Признак Дини - Липшица для обобщённых систем Хаара Текст научной статьи по специальности «Математика»

18. Roulier J. A. Permissible bounds on the coefficients of approximating polynomials. J. Approx. Theory, 1970, vol. 3, no. 2, pp. 117-122. DOI: 10.1016/0021-9045(70)90018-3.

19. Gurarii V. I., Meletidi M. A. On estimates of the coefficients of polynomials approximating continuous functions. Funct. Anal. Appl. 1971, vol. 5, iss. 1, pp. 60-62. DOI: 10.1007/BF01075850.

Please cite this article in press as:

Tikhonov I. V., Sherstyukov V. B., Petrosova M. A. Bernstein Polynomials for a Standard Module Function on the Symmetric Interval. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2016, vol. 16, iss. 4, pp. 425-435 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-425-435.

УДК 517.52

ПРИЗНАК ДИНИ-ЛИПШИЦА ДЛЯ ОБОБЩЁННЫХ СИСТЕМ ХААРА

В. И. Щербаков

Щербаков Виктор Иннокентьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ), kafmathan@mail.ru (для В. И. Щербакова)

B работе рассматриваются обобщённые системы Хаара, порождённые (вообще говоря, неограниченной) последовательностью {pn}?t=i и определённые на модифицированном отрезке [0,1]*, т. е. на отрезке [0, 1] c «раздвоенными» {pn} — рациональными точками. Основной результат данной работы — установление поточечной оценки между абсолютной величиной разности между непрерывной в заданной точке функции и её n-й частичной суммой Фурье и «поточечным» модулем непрерывности (это понятие (поточечный модуль непрерывности un(x, f)) также определяется в данной работе) заданной функции. На основании этой «поточечной» оценки устанавливается равномерная оценка абсолютной величины разности между функцией и её частичными суммами Фурье и модулем непрерывности данной функции. Установлено также достаточное условие поточечной и равномерной ограниченности частичных сумм Фурье по обобщённой системе Хаара для заданной непрерывной функции. На основании этих оценок устанавливается признак сходимости ряда Фурье по обобщённой системе Хаара, аналогичный признаку Дини-Липшица. Показана также неулучшаемость полученного в работе условия. Для любых {pn}^=i c suppn = то построен пример непрерывной на [0,1]* функции, ряд Фурье

n

которой по обобщённой системе Хаара, порождённой последовательностью {pn}, ограниченно расходится в некоторой фиксированной точке. Данный результат может быть применён и на нульмерных компактных абелевых группах.

Ключевые слова: абелева группа, модифицированный отрезок [0; 1], непрерывность на модифицированном отрезке [0; 1], системы характеров, системы Прайса, обобщённые системы Хаара, ядра Дирихле, признак Дини-Липшица.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-4-435-448

1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Пусть N — множество целых неотрицательных чисел, p0 = 1, {pn— целочисленная последо-

n

вательность с pn ^ 2, mn = П Pk, n <G N. Всякое число n <G N \ {0} единственным образом можно

k=о

представить в виде

s

n = £ ak mk = as ms + n', (1)

k=0

где ak, s и n' — целые с 0 ^ ak ^ pk+i — 1, 1 ^ as ^ ps+i — 1 (т. е. ms ^ n ^ ms+1 — 1) и 0 ^ n' ^ ms — 1.

Рассмотрим систему целочисленных последовательностей G = {{xn}^=1 |xn <G {0,1,... ,pn — 1}} c операцией + покоординатного сложения по модулю pn : {xn}+{yn} = {(xn + yn) mod pn}, относительно которой G является абелевой группой, пусть «—» — обратная операция.

Окрестностями нуля в G являются подгруппы Gn = {{xk}£=1 <G G| x1 = x2 = ... = xn = 0}, G0 = G, смежные классы x+Gn будут окрестностями точки x <G G. Подгруппы Gn образуют убывающую последовательность

^

G = Go D Gi D G2 d ... D Gn D ..., p| Gn = {0g},

n=0

и фактор-группа Gn_i/Gn имеет порядок pn (n G N \ {0}, 0G — нулевой элемент группы G, то есть 0G = {0,0,..., 0,...}) . Таким образом, G стала нульмерной компактной абелевой группой, которую часто называют группой Виленкина [1,2].

Относительно топологии, заданной цепочкой подгрупп (Gn), определяется предел и непрерывность на G.

Обозначим

Wn(x,f) = sup |f (x+t) - f (x)| и Wn(f) = sup Wn(x, f). (2)

teGn xea

Невозрастающую последовательность {wn(f)}^=0 называют модулем непрерывности функции f(t). Очевидно, что lim wn(f) = 0, если f(t) непрерывна на G.

n—

Отображение

M : x = {xn^ M(x) = V ^ (3)

n=1

переводит группу G на отрезок [0,1] с нарушением взаимной однозначности в pn-ично рациональных точках. Его иногда называют отображением Монна [3,4]. Последовательности

x = {li ,l2 ,...,1n-i ,1n, 0,0,...}, (4)

У = {11, I2, . . . ,1n-1,1n - 1,Pn+1 - 1,Pn+2 - 1, . . . ,Pn+k - 1, . . .} (5)

при отображении Монна переходят в одно и то же число 1/mn. Если это число 1/mn считать дважды: как правое (4), так и левое (5), то отрезок [0,1] c такими точками называют модифицированным отрезком и обычно обозначают через [0,1]* . Такой модифицированный отрезок является геометрической моделью группы Виленкина.

Меру д на G вначале определяют на полукольце смежных классов x+Gn как ^(x+Gn) = 1/mn и затем продолжают по схеме Каратеодори. Полученная таким образом мера инвариантна относительно сдвигов и на борелевских множествах совпадает с мерой Хаара. Эту меру будем обозначать через dx. По данной мере по схеме Лебега строится абсолютно сходящийся интеграл fG f (x) dx.

Положим en = {0,0,..., 0,1,0,0,...}. Систему {en}^=1 (e1 = {1,0,0,..., 0,...}) назовём базисной.

s-V-'

n —1

Очевидно, что для x = {xn}^=1 G G справедливо равенство

x = x1e1+ x2e2+ ... + xn en + ... (1en = {0,0,..., 0,1,0,0,...} ). Используя базисную последовательность {en}^=1, имеем

4-V-'

n— 1

Pn + 1— 1 p 1 —1 Pn —1

Gn = (J (jen+1 + Gn) и G = Go = (J ... У (je1 +j2e2+... +jnen+ Gn).

j=0 j1 =0 jn =0

Смежный класс j e1 +j2e2 + ... +jnen--Gn при отображении Монна переходит в отрезок где k связано с числами j^,..., jn равенством

k fc + 1]

mn' m„

k = jn + jn—1 Pn + jn —2Pn—1 Pn + ... + j1 P2 . . .Pn, jl G 0; pi - 1.

Далее будем обозначать 1en+Gn = Gl>n, 1 G 0,pn - 1. Очевидно, что

M(Gl,n) =

Положим

1 1 + 1

m'n m,n

и M(Gn \ Gn+1) =

11

mn+1 mn

(6)

n

xk

x0 = 0, xn = У^ —k. (7)

k=1 mk

2. ОБОБЩЕННЫЕ СИСТЕМЫ ХААРА И УОЛША

Пусть (названия систем даются в п. 7.1) Ф = (х)}^=0, где ^о(х) = 1, гк(х) = (х) =

2' 8 = ехр та++1, если к = 0,1, 2,... и (х) = П (гк(х))^, где ак и 5 определены формулой (1). Как

Рк+1 к=0

будет сказано в п. 7.1, иногда гк (х) называют функциями Радемахера. Пусть {^„(х)}^=0 — полная

ортонормированная система непрерывных на группе С функций со свойствами

^те(х+у) = (х) X (у), (х)| = 1. (8)

Рассмотрим ещё одну полную ортонормированную систему непрерывных на группе С кусочно-постоянных функций

г = {Т„(х)}^=о : 7о(х) = 1,

( ,— 2гпа5х8+1 , „

1 у^Шехр-, если п' = х8т8,

(9)

0, если п' = х^Шз,

где хз определены формулой (7), а 5, аз, п' — равенством (1).

3. ЯДРА ДИРИХЛЕ ПО ОБОБЩЕННЫМ СИСТЕМАМ ХААРА И УОЛША И ИХ ВЗАИМОСВЯЗЬ

Напомним, что п-е ядро Дирихле по ортонормированной системе функций (х)}^=0 вычисляется по формуле

n —1

Dn(x) = (x)^k(t).

k=0

Так как (х)| = 1, то (£) = ^(ту = (_¿), и, используя формулу (8), для системы Ф имеем

п —1 „—1

£>п(х,*) = ^ ^ (х)^к (¿) = ^ ^ (х-1 £) = (х-1 £),

, jx-tl =

k=0 k=0

т. е. здесь можно считать, что

n—1

Dn (x) = ^ ^ (x), (10)

k=0

и тогда Dn(-x) = Dn(x).

В дальнейшем ядра Дирихле по системе Ф будем обозначать как Dn(x—t) (либо Dn(x)(KaK функцию одной переменной)), а по системам Г — как Dn(x,t).

Справедливы следующие теоремы (см. [5, равенства (22), (23)].

Теорема A. Ядра Дирихле для систем Ф = {^n(x)}^=0 и Г = {Yn(x)}^=0 с номерами jmn (j = 1,2,... ,pn+1 — 1) совпадают, т. е.

Djmn (x, t) = Djm„ (x—t) • (11)

Теорема B. Для систем Г = {Yn(x)}£°=0 либо Dn(x,t) = D„sms (x,t) = Dasms (x,t), либо Dn(x,t) = Dasms +n' (x,t) = D(„s+i)ms (x, t), а точнее

Dn (x,t) = <

Dasms (x,t), если x—t G Gs, n' ^ xsms = isms,

D(as+i)ms(x,t), если x—t G Gs, n' > xsms = isms, (12)

Dasms (x, t) = 0, если x—t G G \ Gs,

числа а8, и п' определяются формулой (1). Известно также, что (см., например, [1,6-8]

)шп, если х е С„,

(х)Нп (13)

10, если х е С \ С„.

Если з — целое 1 ^ з ^ рп+1 — 1, то

(х) = Бт„ (х)1—^ ^ (14)

1 ;п(х)

— 1

и (так как для х е £п+1, к < шп+1: фк(х) = 1 имеем Бзтп (х) = фк(х) = зш„)

к=0

jmn, если х G Gn+i,

Djm„(х) = < rn^—-n , если х G Gn \ Gn+1, (15)

1 - r„(x)

0, еслих G G \ Gn.

4. S-МАЖОРАНТА И ЕЁ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ОЦЕНКА

Определим функцию

S (х) = . пХП+1, (16)

sin —n+1

-n + 1

где xn+1 — первый отличный от нуля (слева) элемент последовательности {xk(т.е. х1 = х2 = ... = xn = 0, хп+1 = 0, если х G G \ G1, для х1 =0 будет n = 0). B [6] S(х) обозначена как q(x). Функцию S(х) можно определить и так:

S (х) =-, если х G Gi n+1, l = 1, 2, . ..pn+1 — 1, n = 0,1, 2,..., (17)

sin —^—

-n + 1

т.е. Gi,n+1 с Gn \ Gn+1, а смежные классы Gi>n определены в (6). Рассмотрим множества

[-n+1/2] те

Gn,+ = У Gi,n+1 и G+ = У Gn,+ (18)

1=1 n=0

([х] означает целую часть действительного числа х), а также

те

Gn,- = —Gn,+ и G- = —G+ = У Gn,-. (19)

n=0

Отметим, что

Gn,+ U Gn)- = Gn \ Gn+1, G+ U G- = G \ {0G}, (20)

Рп+1 если рп+1 — чётное,

.П+1' М , (21)

0, если рп+1 — нечётное.

Очевидно, что 5(х) обладаeт свойством групповой чётности:

5 (-х) = 5 (х). (22)

Сравним теперь S(х) со «стандартной» мажорантой 1/М(х).

Если х G Gi,n+1, l = 1, 2,... ,pn+1 — 1, n = 0,1, 2,..., то (см. равенство (6)) М(х) G ^

i . i+1

m„ + i ' m„ + i

г + 1 mn. + 1 1 mn.+ 1

2i ^ i + 1 ^ M(x) ^ i

Поэтому для х G Gi,n+1 с Gn,+ , т. е. l ^ f-^1], тогда р^Л+Г ^ П и sin ^ 2 х -П+

о/ ч _ mn . Wn _ mnPn+1 - mn+1 / 1 /9оч

S (х) = sn^ ^ 1РПЛ = ^^ = ^2Г ^ М(х), (23)

-n+1 np„+1 V 7

а если х G Gi,n+1 с Gn \ Gn+1 (или l G 0,Pn+1 — 1 ), то

S(х) = -^V ^ = . (24)

v ' sin nl nl n M(х)

— n + 1

А ввиду того что обе части неравенства (24) не зависят от п, то оно справедливо при всех х = 0. Оценим [„ 5(х) йх.

1. Оценка сверху. Имеем / 5(х) йх ^ + 5(х) йх + 5(х) йх. Во втором слагаемом

Ста\^та + 1

делаем подстановку х = — Используя далее формулы (22) и (23), получим

S(x) dx ^ 2 S(x) dx ^ 2

Grn\Grn + 1

^ 2

Gn \Gn + 1

dx M (x)

= 2

l/m„

I

1/m„ + i

dx M (x)

<

du 01 mn+1 01

— = 2 ln- = 2 In pn+1

u mn

(25)

(в последнем интеграле сделана подстановка u = M(t) и использовано равенство (6)). 2. Оценка снизу. Из неравенства (24) имеем:

Í S(x) dx ^ = 1ln Pn+l .

./Gn\G„ + i n ÍGn\GB+i M(x) n

Мы показали, что имеет место следующая Лемма 1. Для любого целого n выполнено неравенство

1 lnPn+1 ^ S(x) dx ^ 2 lnPn+i.

n ,/G„\G„ + 1

Справедлива также следующая лемма.

Лемма 2. Для всех x, t G G и целых n верна оценка

|Dn(x,t)| ^ S(x—t).

Доказательство. Из теоремы B (равенства (12)) непосредственно получаемого равенства

1 - e2ia = —2i sin ae!a,

(26)

(27)

(28)

(29)

формул (8), (15) и (17) для x G Gs \ Gs+1 имеем

|Dn(x,t)| = |Djs ms (x,t)| = |DJsms (x — t)| = m

= то*

1 — exp

( 2in(xs + 1 -ts + 1 )js \

V Ps+1 )

|1 — (r*(x — t))js | |1 — r* (x — t)|

1 — exp

2in(xs + 1 —ts + 1)

Ps + 1

= m*

sin

n(xs + 1 — ts + 1 ) js

Ps + 1

sin

n(xs + 1 — ts + 1 )

Ps + 1

<

m.

n(xs + 1— ts + 1 )

= S (x—t),

sin

Ps + 1

так как в зависимости от п' (см. (12)) ^ = аз либо ^ = аз + 1.

А из формул (8), (10), (11) и (12) получим, что для всех х,^ е С и целых п

□

|Dn (x,t)| = |Djsms (x,t)| = |Djsms (x—1)| =

jsms — 1

^(x)

k=0

^ j*m* ^ (а* + 1)m* ^ p*+1 m* ^ m*+1.

<

(30)

5. ФОРМУЛИРОВКИ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ

Пусть 5„(х,/) п-я частичная сумма Фурье по системе Г. Справедлива

Теорема 1. Для всех целых п и любого х е С произвольной интегрируемой на группе С и непрерывной в точке х е С функции /(£) имеет место неравенство

|Sn(x,f) — f(x)| ^ (1 + 2lnpe+1)we(x,/),

(31)

где n и s связаны формулой (1), a (x, f) — модуль непрерывности f (t) (см. (2)j

G

+

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 4 Из теоремы 1 легко вытекают следующие выводы.

Следствие 1. Для любой непрерывной на группе С функции /(Ь), всех х е С и натуральных п справедлива оценка

|5п(х, /) - /(х)| ^ (1 + 21п^+1Н(/), (32)

где п и в связаны формулой (1), a (/) — модуль непрерывности /(Ь) (см. (2)).

Как будет упомянуто в п. 7.1, следствие 1 можно получить из некоторых результатов [9].

Следствие 2. Если (х, /) = о^ 1пр , то ряд Фурье по системе Г от удовлетворяющей условиям теоремы 1 функции /(Ь) сходится к ней в точке х.

Следствие 3 (признак Дини-Липшица по обобщённым системам Хаара). Если

^>=• (33)

то ряд Фурье по системе Г от непрерывной на С функции /(Ь) сходится к ней равномерно на С.

Следствие 4. B случае ^п(х,/) = О ^щр^-) частичные суммы Фурье от удовлетворяющей условиям теоремы 1 функции /(Ь) по системе Г ограничены в точке х.

Следствие 5. Если suppn < ж, то ряд Фурье по системе Г от любой непрерывной на группе G

n

функции f (t) сходится к ней равномерно на G.

Свойство 5 было известно ранее, см. условие (51) в п. 7.2. Отметим, что условие (33) не улучшается, ибо имеет место

Теорема 2. В случае suppn = ж для любой точки x е G существует непрерывная на группе G

n

функция, модуль непрерывности которой (x, f) = O ^щрт+г), однако её ряд Фурье по системе Г расходится (ввиду следствия 4 — ограниченно) в точке x.

6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1

Известно, что n-я частичная сумма Фурье от функции f(t) в точке x по ортонормированной системе Ф = {^n(t)}^=0 можно найти по формуле

1

(x,f ) = / f (t) Dn(x,t) dt, 0

где Dn(x,t) — ядра Дирихле.

Тогда для системы Г: Snr)(x,f) = / f (t)Dn(x,t) dt.

Рассмотрим 5ПГ)(х, /) — /(х). Ввиду того, что / Бп(х,Ь) dЬ = 1, получаем

а

5ПГ) (х,/) — /(х) = У /(Ь)Бп(х, Ь) dЬ — /(х) ^ Бп(х,Ь) dЬ = /(/(Ь) — /(х))Б„(х,Ь) dЬ = а а а

= I (/(Ь) — /(х))Бп(х, Ь) dЬ + У (/(Ь) — /(х))Бп(х, Ь) dЬ + ^ (/(Ь) — /(х))Бп(х,Ь) dЬ.

х-ъа8+1 *+а8\а8+1 *+а\а8

Исходя из равенства (12) для третьего слагаемого в полученной формуле справедливы равенства:

У (/(Ь) — /(х))Бп(х,Ь) dЬ = У (/(Ь) — /(х))Бп(х, Ь) dЬ = 0.

х+а\а8 х- ¿еа\а8

Мы показали, что

5„г) (х,/) — /(х)= У (/(Ь) — /(х))Я„(х,Ь) Л + У (/(Ь) — /(х))Д„(х,Ь) Л. (34)

Первое слагаемое в равенстве (34) оценим исходя из (30):

0 ^ | У (/(Ь) — /(х))Д„(х,Ь) ^ У |/(Ь) — /(х)||£>„(х,Ь)| Л ^

^ ^+1 (х,/) У |Я„(х,Ь)| (И ^ (х, /)шв+1 У (И = ^(х, /) ^ ^в(х,/), (35)

х-+ 1 х — + 1

так как мера Сз+1 : д(Сз+1) = т1+1, а последовательность {ш„(/)}^=0 (см. формулу (2)) не убывает. Применяя формулы (27) и (28), рассмотрим второй интеграл в (34)

0 ^ | У (/(Ь) — /(х))£>„(х,Ь) ^ У |/(Ь) — /(х)||^„(х,Ь)| Л ^

^ ^(х,/) У 5(х—Ь) Л ^ 2ив(/)1пРз+1. (36)

х-\С8 + 1

Подставляя (35) и (36) в (34), получим неравенство (31). Теорема доказана. □

7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2

7.1. Построение контрпримера в случае, когда последовательность {р„ имеет бесконечную подпоследовательность, состоящую только из нечётных чисел

Пусть р„+1 — нечётное, а = р"+21 —1. Тогда из равенства (29), формулы (15) и теоремы А найдём

по системе Г тп (х, Ь) при х—Ь е С41+1,п+1 С С„ \ Сп+1 (т. е. I — целое с 0 ^ I ^ р"+.1 2):

2 о

тп (х Ь) при х Ь е С41 + 1,п+1 С Сп \ Сп+1 (т е. 1 целое с ° ^ 1 ^ 4

2гп(4г + 1);ь

. .1. I „ с 1 — ехр -

тп (х, Ь) = тп (х—Ь) = шп " 7 =

1 — (г„(х— Ь)рп = 1 — ехр р„+1

1 — г„(х_1 Ь) = Ш„ 1 — ехр 2^(41 + 1)

Рп+1

2г п(4г+1)^„ ехр Лп(4г+1)^„ ^ . п(41+1)(рп+1—1)

— 2г 81П Рп + 1 ехр ^ Рп + 1 ) _ 2рП + 1+ ' г ^ + 1+-1)

= _--"" + 1_V у = _-г.о-т^__р +1 =

= Ш„ -2г в1п ехр (гП4Ш^ = в1п пШИ 6

^ Й1П Рп + 1 ехр V Рп + 1 ^ & Рп + 1

Б1П

(п(42+„1+Р1та+1 — пë±г) г^+2Р(р+±1^_ в1п(2П + 2 — .п(41+21)(рта+1-3)

. , 2р -1 V 2 2Рп+1 / г 2р , '

— тл ---— Р 2рп + 1 — ТП ---— Р 2рп + 1

= Ш„ о • п(41 + 1) п(41 + 1) 6 = ш„ о • п(41 + 1) п(41 + 1) 6

2 вт —->- соб ^—— 2 Б1п —->- ООБ ——

2рп+1 2р„+1 2р„+1 2р„+1

ООБ п(41+1) -п(4г+1)(рп+1 -3) ш -п(4г+1)(рп+1 -3)

2р™ + 1 6г-- = __6г-2рП+1-

- ТЛ -!-Р 2рп + 1 — -р 2рп

2 Бт —->- ооб ^—— 2 Бт ——

2рп+1 2р„+1 2р„+1

Мы показали, что для х е С41+1,„+1, I = 0,1, 2,..., ^ справедливо равенство

ш . п(4г+1)(рта+1-3) (х, Ь) = . п„4, + В 6г 2р™ + 1 - (37)

2 б1П

п(4г+1)

2рп+1

Пусть {pnfc+1 — бесконечная возрастающая подпоследовательность последовательности {р„, состоящая только из нечётных чисел, и такая, что

Рп*+1 > 12. (38)

Так как +1 — нечётные, то числа

= +21 — 1 (39)

целые.

Рассмотрим функцию

f (t) =

1

,n(4i + l)(p +1 -3)

ln Pnfe + 1 0, для остальных t.

2pnk+1 , если x-t e G4i+i,nfc+i, l = 0,1, 2,..., [p"k +1 2]

, k = 1, 2,

1

= 0 = f(x), то функция f(t) непрерывна на группе G и

Так как lim |f(t)| = lim

t^x к^те lnpnfc +1

(x, f) < -1-. B [9-11] показано, что для систем Г (обобщённых систем Хаара) будет

ln Pnfc +1

lim Sm„ (x,f) = f(x). (40)

те^те

Найдём частичную сумму Фурье Sjkmnfc (x, f) по системе Г (jk определено в (39))

Sjrm„k (x, f) = l f (t)Djkm„k (x, t) dt =

'G

f (t)Djkm„k (x,t) dt +

f (t)Djkm„k (x, t) dt + f (t)Djkm„k (x, t) dt.

^ М I V / пк ^ ' I \ / и^'^п-к

х-геапк+1 х--£еапк \апк+1 х-геа\апк

Ввиду формулы (15) и теоремы А, третье слагаемое в правой части последнего равенства обращается в нуль. Таким образом, мы показали, что

(г)

Sjkm„fc (x,f ) =

У /(Ь)Б^тпк (х,Ь) dЬ + J /(Ь)Б^тпк (х, Ь) dЬ. (41)

+1 \апк +1

Исходя из теоремы А и (15) оценим первое слагаемое в (41) (в (39) обозначено через з)

J f (t)Djfem„fc (, t) dt| < jkmnfe | J f (t) dt

x-tGG„fc + i x iGG„fc + i

< +1 - 1TO

< 2 ' "fc

lf (t)| dt <

x-tGG„k +1

<

Pnfe + 1 mnfe

ln Pnfc +1

ибо мера множества p(Gnfc+1) =

dt =

mnfc + 1

x-t£G„fc +1 1

m„fc+1ln pnfc+1 ln pnfc+1'

mn. + 1

Мы получили неравенство

<

ln p

W+1

J f (t)Djfem„fc (x,t) dt

x tGG„fc +1

Второе слагаемое в формуле (41) оцениваем исходя из равенства (37):

1

(42)

f (t)Djkm„k (x,t) dt

x —t&Gnk \Gnk + 1

p"fc+1-2

E

1=0

f (t)Djk- (x,t) dt

x tGG4i + 1i„fc +1

ln p

nfc + 1

p"fc+1 -2

E

1=0

-i n(4i+1)(p"k+1 -3) TOr

2p„, +1

2 sin

mn

2 ln p

+1-2

E

x — GG4i + 1i„, +1

1

n(41 + 1)

2Pnk +1

;n(4I + 1)(p„fe + 1-3)

2p"fe+1 dt

n(41 + 1)

dt >

mn

+1-2

E

2Pnk +1

nk + 1 1=0 Sin J 2m„fc + 1 lnpnfc + 1 1=0 n(41 + 1)

г=0 2Pnk + 1 x—teG^ + 1,^ + 1 г=0

>

1

4

4

1

e

e

4

4

>

2mnfe Pnfe + 1

p"fe+1-

2nm

nfc +1

ln p

nfc +1

E

ln

>

Pnk + 1 _2

ln (' _ i

1=0

4(1 + 1) 4n ln pnfc+1

>

ln(pnfc+1 - 6) - ln4

4n ln p

nfc + 1

4n ln p

nfc + 1

Показано неравенство

J f (t)Djfem„fc (x,t) dt

x_i^Gnfc \G™fc +1

Ввиду условия (38) p^+1 - 6 > p^+1 -

>

ln(pnfc+1 - 6) - ln4

4n ln p

(43)

nfc +1

p^l+i = p^i+i. Поэтому из (43) имеем

f (t)Djfem„fc (x,t) dt

x_i^Gnfc \G™fc +1

>

ln pnfe+1 - ln8

4n ln p

1

ln8

nfc +1

4n 4n ln p,

(44)

'nfc + 1

Подставляя неравенства (44) и (42) в (41), получим

IS (г) (x f )| > —__ln8 1

|Sjkrn„fe (x ,f )| > 4n 4n lnpnk + 1

ln p

(45)

nfc + 1

т.е. ¿^т (х, /) не стремится к нулю при к ^ ж. Сопоставляя это с равенством (40), выводим, что ряд Фурье по системе Г в точке от функции /(Ь) расходится (ограниченно). Теорема 2 доказана в случае, если последовательность (рп}^=0 имеет бесконечную подпоследовательность, состоящую только из нечётных чисел.

7.2. Построение контрпримера в случае, когда последовательность (рп}^=1 не удовлетворяет условию п. 7.1

Пусть число рп+1 — чётное, а з'„ = ^^. Найдём Б^тп (х,Ь) для х—Ь е &4г+1,п+1 С \ £п+1 (или I = 0,1, 2,..., ). Используя равенство (15) и теорему А, а также формулу (29), имеем

( 2гп(4г + 1)з'п

Dj

(x,t) = Dj„ mn (x-t) = m,

1 - (rn(x-t))jn

1 - rn (x-1)

1 - exp

= mn

V P™+1

-2i sin —+-^ in(4i + 1)j„ -in(4i + 1)

= mn-, ",+E e Pn+1 e Pn+1 = m.

—2i sin

sin

n(41 + 1)

Pn+1

n(41 + 1) in(4l + 1)(p

1 - exp( ^^ )

n(41 + 1)p„+1 sin V 2p + + in(4i + 1)(j„-1)

-P" + 1-e Pn + 1

n . n(41 + 1) e sin -—L

Pn+1

n + 1 -

=m

n . n(41 + 1) sin —-

Pn+1

2Pn + 1

mn sin(2n1 + I) in(4l+1)(Pn+1

sin

n(41 + 1)

Pn + 1

2Pn + 1

Мы показали, что для x-1 е G41+1,n+1 С Gn\Gn+1, т.е. 1 — целое с 0 ^ 1 ^ и j

in(4i + 1)(pra + 1 -2)

и jn =

_ Pn+1

2

Dj

(x,t) =

sin

mn

n(41 + 1)

Pn+1

2Pn + 1

(46)

Пусть неограниченная последовательность {pn}^=1 не удовлетворяет условию п. 7.1. Это означает, что всякая её бесконечная подпоследовательность (а она должна быть, так как suppn = ж)

n

может содержать не более чем конечное число нечётных чисел. Отбросив их, получим бесконечную подпоследовательность, состоящую только из чётных чисел. Перейдя в ней, в случае необходимости, к подпоследовательности, построим бесконечную возрастающую подпоследовательность {pnk+1}£=1, состоящую только из чётных чисел и удовлетворяющей условию (38). Рассмотрим функцию

f(t) =

ln p

0,

1 _ in(4l + 1)(p„fe + 1 -2)

-e 2p"k +1 , если x-1 е G4i + 1,nfc + 1 С Gnfc \ Gnfc +1,

nfc + 1

1 = 0,1, 2,... [p"fe+1 2] , k = 1, 2,3,

для остальных t.

2

4

1

4

2

e

e

Аналогично п. 7.1 показываем, что функция /(Ь) непрерывна на группе С и её частичные суммы Фурье удовлетворяют условию (40). Положим

=

Рп,+1 2

(47)

Рассмотрим / /(Ь)^,т (х, Ь) А. Из равенства (46) получим

х — + +1

/(№,тп, (х,Ь) ^ =

х — + + 1

1п р.

X

шп

>

п, + 1 Б1п

шп

п(41 + 1)

¿п(41 + 1)(р„ь + 1 -2) — гп(41 + 1)(р„ь +1 -2) 6 2р"^+1 6 "

2рп,+1 Л >

"п, + 1

х—+ +1

1п р п(41 + 1)

1п Рп, + 1-"-

"п,+± х-*еС41+1,пк+1

А =

Шп, Рп, +1

^+1 Рп,+1

Мы доказали формулу

п(41 + 1) 1п Рп, + 1 Шп, + 1 п(41 + 1) 1п Рп, + 1 '

х—^еС4г + 1,п, + 1

п(41 + 1) 1п Рп,+1

(48)

(неравенство (48), в частности, означает, что его левая часть всегда действительна).

Теперь рассмотрим п (х, /):

п, (x, /) = У /(x, Ь) = У , V.

С х - ¿еСп, + 1

/тп, (х,Ь)

/тп, (х,Ь) Л.

+ у /(Ь)^тп, (х,Ь) Л + J

х-¿еСп, \Сп, + 1 х-

Ввиду равенства (12) последнее слагаемое в (49) обращается в нуль. Мы показали, что

(49)

5(г) ( /) =

7,тп, V' ■) )

/тп, (х,Ь) ^ +

тп,

х--£€Сп, +1 х\Сп, + 1

/(Ь)^,тп, (х,Ь) й. (50)

Первое слагаемое в (50) оценим исходя из теоремы А и равенства (15) определены в (47)):

/(№■,тп, (х,Ь) ^

х - ¿еСп, + 1

= Шп,

/(Ь) ^

х - ¿еСп, +1

с

Шп, +1

а с n,+1

с

1

Рп, + 1 шп,

2

|/(Ь)| ^ с

х - ¿еСп,+1

1

Шп, + 1 ш с

2 1пРп, +1 У ^ 1пРп, + 1 " Шп, + 1 1пРп, + 1'

х - ¿еСп,+1

так как мера д(Сп,+1) = ^

тп, + 1

Заметим, что равенства (41) и (50) идентичны.

Мы показали, что первое слагаемое в (50) удовлетворяет неравенству (42).

Используя определение функции /(Ь) (перед формулой (47)), рассмотрим второй интеграл в правой части равенства (50). Из неравенства (48) имеем

рп, + 1 -2

/ /тп, (х,Ь) а = £ [

, „ 1=0 • , ^ ^

/тп, (х,Ь) ^ ^

х-¿еСп, \Сп, + 1

х — ¿еС4г + 1,п, + 1

1

X

1

1

4

ln lü^l Vjlx+zl - U ln(pnk + 1 - 6) - ln4

^ - > —,--1-•

п ln pnfc+1 1=0 4(1 + 1) 4п ln pnfc+1 4п ln pnfc+1 4п ln pnfc+i

Итак, второе слагаемое в (50) оценивается неравенством (43). Рассуждая далее как в п. 7.1, мы приходим к выводу, что ряд Фурье по системе Г от функции f (t) в точке расходится (ограниченно). Теорема 2 полностью доказана. □

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. О БОЛЕЕ РАННИХ РЕЗУЛЬТАТАХ И ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Систему Ф рассматривали Н. Я. Виленкин [1] для простых pn как систему характеров нульмерной компактной абелевой группы и Прайс (Price) [12] на отрезке [0,1] (условия простоты pn Прайс не накладывал). В данной работе система Ф рассматривается на группе последовательностей G, которая отображением Монна взаимно-однозначно переводится на модифицированный отрезок [0,1]* c сохранением меры и интеграла Лебега. Условие простоты на числа из последовательности не

накладывается, а базисный элемент en выбирается не произвольный из смежного класса в Gn-1/Gn, как в нульмерных компактных абелевых группах, а строго задан. Поэтому рассматриваемую в работе систему Ф лучше называть системой Прайса.

Для pn = p система Ф переходит в систему Крестенсона (Chrestenson) [13] (либо Крестенсона-Леви); для pn = 2 — в систему Уолша (Walsh) [14] W = {wn}^=0 в нумерации Пэли (Paley) [15].

При pn = 2 функции rn(x) = (x) = w2n (x) рассматривались Радемахером (Rademacher) [16]. Поэтому их часто называют функциями Радемахера (для систем Виленкина либо Прайса).

Систему Г на отрезке [0; 1] рассматривали (по-видимому, впервые) Б. И. Голубов и А. И. Рубинштейн [10] (с ограничением suppn < ж) и Б. И. Голубов [9] (без ограничений на последовательность

n

{pn}^=0; сама система Г обозначена в честь Б. И. Голубова). В случае pn = 2 последовательность функций {y„(x)}£°=0 является системой Хаара (Haar) [17] H = {hn(x)}£=0. На нульмерной компактной абелевой группе система {Yn(x)}^=o была рассмотрена С. Ф. Лукомским [11]. Следует отметить, что, как показывает теорема 2, система типа Хаара Г в отличие от системы Хаара H при suppn = ж

те n}n=1

уже не является системой сходимости

Так как двусторонняя оценка 5-мажоранты (27) не зависит от выбора базисных элементов {еп} (хотя сама 5-мажоранта к ним привязана), а при доказательстве теоремы 1 используется только эта оценка 5-мажоранты, то теорему 1 и все следствия из неё (в том числе и следствие 2 — признак Дини - Липшица по системам типа Хаара) можно распространить и на группы Виленкина. С. Ф. Лукомский [11] показал, что если выполнено условие

^п (/) = о(—) , (51)

то ряд Фурье по обобщённой системе Хаара от непрерывной на группе С функции /(£) сходится к ней равномерно на С, откуда, в частности, легко вывести и следствие 5 (ранее получено в [11]). В [11] результат рассматривался на нульмерных компактных абелевых группах. Теорема 1 (точнее — следствие 3) является улучшением условия (51), а теорема 2 показывает, что отменить (51) (либо хотя бы улучшить (33)) уже нельзя.

Интегральные оценки ядер Дирихле (функции Лебега) по обобщённым системам Хаара на нульмерных компактных группах найдены также Н. Е. Комиссаровой [18] .

Для систем Ф условие Дини-Липшица было получено в [8], где показано, что если

^п(/) = 0 '

ln m

n+1

то ряд Фурье по системе Виленкина от непрерывной на группе G функции f (t) сходится к ней равномерно на G, а также в случае sup pn = ж существует непрерывная на группе G функция f (t),

n

такая, что (/) = О ^ 1п^ , однако её ряд Фурье по системе Виленкина расходится в точке х = 0.

2

4

n

Не лишне было бы упомянуть, что следствие 1 можно получить из установленного Б. И. Голубовым [9, формула (4.10)] неравенства

||/(Ь) — 5п(Ь,/)||с(С) С (1 + ¿з)ЕГ(/),

где п и 5 связаны соотношением (1), ¿п — константа Лебега (Комиссаровой [18] было показано, что ¿п = 0(1п п) ), а (/) — наилучшее приближение в метрике С (С) непрерывной на С функции / (Ь) полиномом п-й степени по обобщённой системе Хаара {тп(Ь)}^=0. Однако в данной работе приведено иное доказательство с получением соответствующей поточечной оценки для непрерывной в заданной точке (и совсем не обязательно на группе С) функции /(Ь) (теорема 1).

Автор выражает благодарность Б. И. Голубову, Т. П. Лукашенко, С. Ф. Лукомскому, В. А. Сквор-цову и Д. В. Фуфаеву за ценные советы и замечания, С. А. Маненкову, А. Ю. Кудрявцеву и А. И. Шканаеву за помощь при оформлении работы, а также организаторам 17-й Международной Саратовской зимней математической школы [19] за предоставленную возможность сделать доклад и изложить основные результаты данной работы.

Библиографический список

1. Виленкин H. Я. Об одном классе полных ортогональных систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1947. Т. 11, № 4. С. 363-400.

2. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах. Баку : ЭЛМ, 1981. 180 с.

3. Monna A. F. Analyse Non-Archimedienne. Berlin ; Heidelberg ; N.Y. : Springer-Veilag, 1970. 118 с.

4. Хренников А. Ю., Шелкович В. М. Современный p-аддический анализ и математическая физика. Теория и приложения. М. : Физматгиз, 2012. 452 с.

5. Щербаков В. И. Расходимость рядов Фурье по обобщённым системам Хаара в точках непрерывности функции // Изв. вузов. Сер. матем. 2016. № 1. С. 49-68.

6. Щербаков В. И. О поточечной сходимости рядов Фурье по мультипликативным системам // Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика. 1983. № 2. С. 37-42.

7. Onneweer C. W., Waterman D. Uniform convergence of Fourier Series on groups // Michigan Math. J. 1971. Vol. 18, iss. 3. P. 265-273.

8. Щербаков В. И. Признак Дини - Липшица и сходимость рядов Фурье по мультипликативным системам // Analysis Math. 1984. Vol. 10, iss. 1. P. 133-150.

9. Голубов Б. И. Об одном классе полных ортогональных систем // Сиб. матем. журн. 1968. Т. IX, № 2. С. 297-314.

10. Голубов Б. И., Рубинштейн А. И. Об одном классе систем сходимости // Матем. сб. Нов. сер. 1966. Т. 71, вып. 1. С. 96-115.

11. Лукомский С. Ф. О рядах Хаара на компактной нульмерной группе // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 1. С. 24-29.

12. Price J. J. Certain groups of orthogonal step functions // Canadian J. Math. 1957. Vol. 9, iss. 3. P. 417-425.

13. Chrestenson H. E. A class of generalized Walsh's functions // Pacific J. Math. 1955. Vol. 5, iss. 1. P. 17-31.

14. Walsh J. L. A constructive of normal orthogonal functions // Amer. J. Math. 1923. Vol. 49, iss. 1. P. 5-24.

15. Paley R. E. A. C. A remarkable series of orthogonal functions // Proc. London Math. Soc. 1932. Vol. 36. P. 241-264.

16. Rademacher H. Enige S'ätzeüber Reihen von allgemeinen Orthogonalfunctionen // Math. Ann. 1922. B. 87, № 1-2. P. 112-130.

17. Haar A. Zur Theorie der Orthogonalischen Functionsysteme // Math. Ann. 1910. B. 69. P. 331371.

18. Комиссарова Н. Е. Функции Лебега по системе Хаара на нульмерных компактных группах // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 3. С. 30-36.

19. Щербаков В. И. Признак Дини - Липшица по обобщённым системам Хаара // Современные про-блеммы теории функций и их приложения : материалы 17-й междунар. Сарат. зимн. шк. Саратов : Научная книга, 2014. С. 307-308.

Образец для цитирования:

Щербаков В. И. Признак Дини-Липшица для обобщённых систем Хаара // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 4. С. 435-448. 001: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-435448.

Dini - Lipschitz Test on the Generalized Haar Systems V. I. Shcherbakov

Victor I. Shcherbakov, Moscow Technical University of Communication and Information, 32, Narodnogo Opolchenija str., 123995, Moscow, Russia, kafmathan@mail.ru (for Shcherbakov V. I.)

Generalized Haar systems, which are generated (generally speaking, unbounded) by a sequence {p™and which is defined on the modification segment [0,1]*, thai is on a segment [0,1], where {p™} — rational points are calculated two times and which is a geometrical representation of zero-dimensional compact Abelians group are considering in this work. The main result of this work is a setting of the pointwise estimation between of an absolute value of difference between continuous in the given point function and it's n-s particular Fourier sums and "pointwise" module of continuity of this function (this notion ("pointwise" module of continuity Wn(x, f)) is also defined in this work). Based on this a uniform estimation between an absolute value of difference between a continious on the [0,1]* function and it's particular Fourier Sums and the module of continuity of this function is established. A sufficient condition of the pointwise and uniformly boundedness of particular Fourier Sums by generalized Haar's systems for the given continuous function is established too. Based on this estimation we establish a test of convergence of Fourier Series with respect to generalized Haar's systems analogous Dini-Lipschitz test. The unimprovement of the test, which is obtained in this work, is showed too. For any {pn}"=1 with supp™ = <x a model of the continuous on [0,1]* function, which Fourier Series

n

by generalized Haar's system, which generated by sequence {pn}"=1 boundly diverges in some fixed point, is constructed. This result may be applied to the zero-dimentions compact Abelian groups.

Key words: Abelian group, modification segment [0; 1], a continuous functions on the modification segment [0; 1], characters systems, Price's systems, a generalized Haar's systems, Dirichler's kernels, Dini — Lipschitz's test.

References

1. Vilenkin N. Ya. On a class of complete orthonormal systems. Izv. Akad. Nauk SSSR. Ser. Mat., 1947, vol. 11, no. 4, pp. 363-400 (in Russian).

2. Agaev G. N., Vilenkin N. Ya., Dzafarli G. M., Rubinstein A. I. Mul'tiplicativnye sistemi funkciy i garmonicheskiy analiz na nul'mernyh gruppah [Multiplicative Systems of Functions and Harmonic Analysis on Zero-dimensional Groups]. Baku, ELM, 1981, 180 p. (in Russian).

3. Monna A. F. Analyse Non-Archimedienne. Berlin, Heidelberg, N.Y., Springer-Veilag, 1970, 118 p.

4. Khrennikov A. Y., Shelkovich V. M. Sovremennyi p-addicheskyi analiz i matematicheskaja phizika. Teoria i prilozhenija [The Moderne p-additional Analysis and Mathematical Phisics. Theory and Applications]. Moscow, Fizmatgiz, 2012, 452 p. (in Russian).

5. Shcherbakov V. I. Divergence of the Fourier series by generalized Haar systems at points of continuity of a function. Russian Math. (Iz. VUZ), 2016, vol. 60, no. 1, pp. 42-59. DOI: 10.3103/S1066369X16010059.

6. Shcherbakov V. I. About Pointwise convergence of the Fourier Series with Respect to Multiplicative Systems. Vestn. MSU, Ser. Math., Mech., 1983, iss. 2, pp. 37-42 (in Russian).

7. Onneweer C. W., Waterman D. Uniform convergence of Fourier Series on groups. Michigan Math. J., 1971, vol. 18, iss. 3, pp. 265-273.

8. Shcherbakov V. I. Dini - Lipschitz Test and Convergence of Fourier Series which Respect to Mul-

tiplicative Systems. Analysis Math., 1984. vol. 10, iss. 1, pp. 133-150 (in Russian).

9. Golubov B. I. About One Class of the Complete Orthogonal Systems. Sib. Math. J., 1968, vol. IX, no. 2, pp. 297-314 (in Russian).

10. Golubov B. I., Rubinshtein A. I. A class of convergence systems. Mat. Sb. (N.S.), 1966, vol. 71, iss. 1, pp. 96-115 (in Russian).

11. Lukomskii S. F. Haar series on compact zero-dimensional abelian group. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2009, vol. 9, iss. 1, pp. 24-29 (in Russian).

12. Price J. J. Certain groups of orthogonal step functions. Canadian J. Math., 1957, vol. 9, iss. 3, pp. 417-425.

13. Chrestenson H. E. A class of generalized Walsh's functions. Pacific J. Math., 1955, vol. 5, iss. 1, pp. 17-31.

14. Walsh J. L. A constructive of normal orthogonal functions. Amer. J. Math., 1923, vol. 49, iss. 1, pp. 5-24.

15. Paley R. E. A. C. A remarkable series of orthogonal functions. Proc. London Math. Soc., 1932, vol. 36, pp. 241-264.

16. Rademacher H. Enige S ätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunctionen. Math. Ann., 1922, B. 87, no. 1-2, pp. 112-130.

17. Haar A. Zur Theorie der Orthogonalischen Func-tionsysteme. Math. Ann., 1910, B. 69, pp. 331-371.

18. Komissarova N. E. Lebesgue functions for Haar system on compact zero-dimensional group. Izv.

Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2012, vol. 13, iss. 3, pp. 30-36 (in Russian).

19. Shcherbakov V. I. Priznak Dini - Lipshitza po obob-shchennym sistemam Haara [Dini-Lipschitz Test on the Generalized Haar's Systems]. Sovremennye problemy teorii funktsii i ikh prilozheniia : materi-

aly 17-i mezhdunar. Sarat. zimn. shk. [Contemporary Problems of Function Theory and Their Applications : Proc. 17th Intern. Saratov Winter School], Saratov, Nauchnaya kniga, 2014, pp. 307-308 (in Russian).

Please cite this article in press as:

Shcherbakov V. I. Dini - Lipschitz Test on the Generalized Haar Systems. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2016, vol. 16, iss. 4, pp. 435-448 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-435-448.