CC BY
47
УДК 517.521
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ СУММАМИ ХААРА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА И СОБОЛЕВА С ПЕРЕМЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
М. Г. Магомед-Касумов
Научный сотрудник отдела математики и информатики Дагестанского научного центра РАН, Махачкала, [email protected]
Рассматриваются весовые пространства Лебега и Соболева , показатель р(х) > 1 и вес -ш(х) которых
удовлетворяют условиям, обеспечивающим базисность системы Хаара в . Для функций из этих пространств получены оценки скорости сходимости сумм Фурье-Хаара. Оценки даны в терминах модуля непрерывности П(/, , основанного на усредненном сдвиге (функции Стеклова).
Ключевые слова: весовое пространство, пространство Лебега, пространство Соболева, переменный показатель, модуль непрерывности, функция Стеклова, прямые теоремы теории приближений, скорость сходимости, суммы Фурье-Хаара, условие Макенхоупта.
ВВЕДЕНИЕ
Пусть p(x) — измеримая на E функция такая, что 1 < p(E) < p(E) < ж. Здесь и далее символами
p(M), p(M) будем обозначать essinf p(x) и ess supp(x) соответственно. Пусть w(x) — неотрицательная
- хем хеМ
почти всюду (п. в.) положительная суммируемая функция (вес). Через LW(x)(E) обозначим пространство измеримых функций f (x), удовлетворяющих условию J |f(x)|p(x)w(x)dx < ж. Пространство
E
LW(x)(E) представляет собой линейное нормированное пространство, в котором одну из эквивалентных норм можно определить равенством (см. [1-4])
|f ||p0)>w(E) = inf {A > 0 : у |fMf(X)w(x) dx < l}.
В данной работе рассмотрена задача о приближении функций суммами Фурье - Хаара в весовых пространствах Лебега Ь^' х) = ь*(х) ([0,1]) с переменным показателем р(х) и весом w(x). Далее, если речь идет об отрезке [0,1], то существенную верхнюю и нижнюю грани функции р(х) будем обозначать кратко р и р соответственно. Через с,с(р),е(р,т) будут обозначаться константы, зависящие лишь от величин в скобках и, вообще говоря, различные в разных местах. Результаты данной статьи являются обобщениями на весовой случай результатов, полученных в статье [5].
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
В этом параграфе приводятся некоторые свойства весовых пространств Лебега с переменным показателем.
Лемма 1. Множество непрерывных функций С[0,1] всюду плотно в Ьуо ).
Доказательство. Доказательство проведем в три шага. Сначала 1) докажем, что пространство ограниченных функций всюду плотно в , затем 2) покажем, что всякая ограниченная функция может быть сколь угодно точно приближена функциями с конечным числом значений. И наконец, 3) заметим, что функции с конечным числом значений можно с любой степенью точности приближать непрерывными функциями.
1. Отметим сначала, что всякая ограниченная измеримая функция д(х), определенная на отрезке [0,1], будет принадлежать :
1 1 |д(х)| < с ^ ^ |g(x)|p(x)w(x)dx < (с + 1)р ^ w(x)dx < ж. о о
Возьмем теперь произвольную функцию /(х) £ . В силу свойства абсолютной непрерывности интеграла Лебега для всякого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что для любого множества Е С [0,1] с мерой д(Е) < 6 интеграл / |/(х)|р(х)ш(х)^х < е. С другой стороны, /(х) — измеримая функция,
Е
поэтому, пользуясь С-свойством Лузина, мы можем утверждать, что для данного 6 > 0 всегда найдется замкнутое множество ^ С [0,1] с мерой ) > 1 — 6, на котором /(х) будет непрерывной. Рассмотрим следующую функцию:
«МЛ/(х), х£^,
|0, х £ [0,1] \ ^.
Из сказанного видно, что «(х) — ограниченная измеримая функция, причем 1
У |/(х) — «(х)|р(х)Цх) ¿х = I |/(х)|р(х)Цх) ¿х<е, 0 [0,1]\^5
так как д([0,1]\F(5) < 6. Это и означает, что множество ограниченных функций всюду плотно в .
2. Любую ограниченную измеримую функцию «(х) можно с любой степенью точности равномерно приблизить функциями с конечным числом значений. Действительно, задавшись произвольным е > 0, разобьем множество значений [А, В] функции «(х) на интервалы длиной меньше чем е:
А = Уо < У1 < ... < Ун = В, Уз+1 — Уз < е-
Рассмотрим множества ез- = {х : уз- < «(х) < уз+1}, з = 0, N — 1, ен = {х : «(х) = ун}. Введем функцию Л.(х), положив Л.(х) = уз, х £ ез-. Ясно, что Л.(х) — функция, принимающая конечное число значений, и |«(х) — ^(х)| < е, х £ [0,1]. Следовательно, функции с конечным числом значений также образуют в ) всюду плотное множество.
3. Покажем теперь, что всякую функцию Л.(х), имеющую конечное число значений, можно как угодно точно приблизить в непрерывными функциями. Поскольку функцию с конечным числом значений можно представить как линейную комбинацию характеристических функций хм (х), то доказательство достаточно провести только для хм (х).
Пусть М С [0,1] — измеримое множество и
Г1, х £ М, Хм(х) = <
[0, х £ М.
Поскольку рассматривается обычная мера Лебега на прямой, то для любого е > 0 можно найти такие множества Fм — замкнутое и — открытое, что
Fм С М С См и д(£м) — М^м) < е.
Определим теперь функцию
р(х, [0,1] \ См)
^е(х) =
р(х, [0,1] \ См) + р(х^м) '
Легко заметить, что введенная функция является непрерывной, равна 1 на множестве Fм, 0 вне множества и не превосходит 1 на \ Fм. Поэтому разность |хм (х) — (х)| отлична от нуля только на \ Fм, причем |хм(х) — (х)| < 1, х £ \ Fм. Отсюда имеем:
1
/|хм(х) — ш(х)'х = / |хм(х) — Ых)|РМш(х)'х < / ш(х)^
0 См\-м См\-м
Но эд(х) £ X1, поэтому в силу свойства абсолютной непрерывности интеграла Лебега за счет выбора е последний интеграл в приведенной формуле можно сделать сколь угодно малым. □
Почти дословно повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве леммы в [1], можно показать справедливость следующего утверждения.
Лемма 2. Если 1 < р(х) < д(х) < д(Е) < га, то для любой функции / £ (Е)
где
1 /Е т(х)^х
гш < - +
< а + а
а(х) = ТТ, а (х) = ~Т~\—т) V р(х) а(х) — 1 /
а(х)
а(х)— 17
Нам также понадобится следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть /(х, £) — измеримая функция, заданная на декартовом произведении Е1 х Е2 множеств Е1 и Е2, на которых заданы конечные меры д1 и д2 соответственно. Тогда справедливо неравенство
|/(-,х)|^2 (х)
Е2
< Гр / ||/(-,х)|р(^))ад(Е1) ^2(х),
(1)
Е2
где
1 1
Гр < рЕ^ + р(Е) < 2
+ ¿71^ = 1, 1 < < р(Е1) < -
Доказательство. Утверждение леммы в случае т(х) = 1 было доказано в [2, с. 35]. Перенести его на случай произвольного веса т(х) не составляет труда, если учесть, что ||/= ||/■ т^ ||р(^). Действительно,
|/(-,х)|^Д2 (х)
Е2
|/(-,х)м(-) |^Д2(х)
<
Е2
р(Е1)
< Г Л ||/(-,х)м(-) ||р(Е1) (х) = Гр / ||/(-,х)|р(^))ад(Е1) ¿Д2(х).
□
Е2
Е2
Как было отмечено в [6,7], для построения рядов Фурье-Хаара (см. определение в [8, с. 70]) для функций из необходимо и достаточно, чтобы имело место вложение
показано, что для выполнения указанного требования достаточно, чтобы вес удовлетворял следующим условиям:
1) т(х) > С1(м) > 0, х £ Е1 (п. в.),
2) ||т-||р/(•) (Е2) < га,
где Е1 ={х : р(х) = 1}, е2 = [0,1]\Е1, р^ху + р^1
Множество весовых функций т(х) на отрезке [0,1], удовлетворяющих при заданном р(х) условиям 1) и 2), будем обозначать через Ж(р). Таким образом, если т £ Ж(р), то С X1. Заметим также [6,7], что для функций / £ при т £ Ж(р) имеет место неравенство
|/(х)| ¿х < ф,т) ■ ||/.
(2)
В [6,7] были получены достаточные условия, при которых система Хаара образует базис в . Приведем соответствующую теорему из упомянутой статьи. Для этого сначала введем некоторые обозначения.
Пусть в — система множеств. Через 5р(в) будем обозначать подсистему системы множеств в, состоящую из множеств 5, для которых ¿(5) = 1:
£р(в) = {5 £ в : ¿(5) = 1}.
Для заданной системы множеств S символом Ap(^(6) обозначим множество весовых функций w(x), удовлетворяющих условиям:
(Al) sup — I w(x)dx < c(p, w), seFP(S) |S1 J
( i f ^ ( i f - 1 \p(s)-i
(A2) sup I —- w(x)dx)(—- w(x) p(S)-1 dx I <c(p, w).
se6\FP(6)v|S U /V|S 1 ' J
Пусть — множество всех двоичных интервалов (см. [8, с. 69]) из пачек с номерами з > V
В = {А} : з > V,« = 1,..., 2}}. Множество измеримых на [0,1] функций р(х) > 1, удовлетворяющих условию
|р(х) - р(У)|1^1—1—г < с(р), (3)
1 1 |х - У1
будем обозначать символом Р .
Теорема А. Пусть р(х) е Р 1°°, w(x) е Ж(р). Тогда система Хаара будет базисом пространства если w(x) е и Ар(.)(В).
V
Отметим, что в безвесовом случае условия базисности системы Хаара были найдены в работе [9]. Основным результатом настоящей работы является оценка скорости сходимости сумм Фурье -
п (х)
Хаара ^п(/, х) = ^ скХк(х) к исходной функции /(х) в метрике пространства . Для безве-к=1
сового случая исследование этого вопроса было проведено в [5], где автор отмечает необходимость использования для пространств Лебега с переменным показателем модуля непрерывности 0(/, £)р(-), основанного на усредненном сдвиге (см. также [10]). В весовом случае мы воспользуемся аналогичной конструкцией. Пусть /(х) е Ь^(х), w е Ж(р). Будем считать, что функция /(х) продолжена на всю полуось [0, +ж) с помощью равенства /(х) = 0, х > 1. Тогда для таких функций /(х) мы можем ввести оператор Стеклова:
н
8н(/) = 8н(/)(х) = ^ I /(х + х е [0, 1].
о
Отметим, что при условии w е Ж(р) имеет место вложение
будет определен для любой / е Ь^(х). Введем теперь модуль непрерывности:
0, S = 0,
\p(:),w,
= sup |f - Sh (f)||p(0>w, ¿> 0. (4)
{0<h<S
Модуль непрерывности (4) является неубывающей неотрицательной функцией, а при некоторых ограничениях на показатель p(x) и вес w(x) также и непрерывной. Последнее вытекает из следующего результата, доказанного в работе [11].
Теорема B. Пусть DV = (Aj U Aj+1 : j > v, i = 1,..., 2j - 1} и
1) p(x) G P1og(E), 2) w(x) G Hp{.) (E), 3) w(x) G U Ap{.) ).
V
Тогда для функций f (x) G LW(x) имеет место оценка (0 < h < 1)
||sh(f)||p(0,w < c(p,w)||f Hp(^w.
Другими словами, семейство операторов sh(f )(0 < h < 1) будет равномерно ограничено в LW(x).
Данная теорема позволяет утверждать, в частности, что при условиях 1)-3) усредненный сдвиг sh (f) для любой функции f G LW(x) также будет принадлежать пространству LW(x). Более того, с помощью этой теоремы легко устанавливается следующий факт (см. также [5, лемма 3.2]).
Лемма 4. Если р(ж) £ Р, -(ж) £ Н(р) П [у (Э)], то
^ 0 при 5 ^ 0. (5)
Доказательство аналогично доказательству леммы 3.2 в работе [5] с той лишь особенностью, что в данном случае приходится пользоваться леммой 1 о всюду плотности непрерывных функций в .
Отметим, что система Хаара будет базисом в пространствах ), если показатель р(ж) и вес -(ж) удовлетворяет условиям 1)-3) теоремы В.
В данной работе рассматривается задача об оценке в терминах модуля непрерывности (4) скорости приближения функций суммами Фурье - Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем р(ж) £ Ри весом -(ж) £ Н(р) П у (Э)
3. ВЕСОВЫЕ КЛАССЫ СОБОЛЕВА С ПЕРЕМЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Классом Соболева ш(М) с переменным показателем р(ж) и весом -(ж) будем называть множество г — 1 раз непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций /(ж), для которых /(г-1) (ж) абсолютно непрерывна, а /(г)(ж) £ и ||/(г)||р(-),ад — М. Положим = им>о^^(М), = ) ^. В настоящем параграфе рассмотрена задача о приближении функций / £ 'Ж^)^ суммами Фурье-Хаара (/) = фп(/, ж).
Теорема 1. Пусть р(ж) £ Р, -(ж) £ Н(р) П у (•) (Э) . Справедлива следующая оценка для / £ ДОр:
I/ — ^п (/)
п (/)у —
с(р, —) .. '
/ У•
ж) £ и
Доказательство. Пусть сначала /(ж) £ ^^ ^(1). Следовательно, /'(ж) £ £
у// У — 1.
Напомним, что для сумм Фурье-Хаара справедлива формула [12, с. 21]
1
^п(/5 ж) =
|Ап5 1
/ж £ А П5 ;
(6)
где Ап5, 5 = 1,п — двоичные интервалы постоянства системы функций , к = 1,п и
1
|АП5 1 =
Используя эту формулу, оценим интеграл:
25+1
, 1 — 5 — 2г,
1
—, 2г + 1 — 5 — п 25' - -
|п(^п(/,ж) — /(ж))|р(х)-(ж) ¿ж = £
| АП5 |
п Г р(х)
(/(У) — /(ж)) ¿У -(ж) ¿ж =
Ая
Е
П I Г I 1 р(х) ^—л I г п I I ~|Р(Х')
—^ у [У¿^¿у -(ж)¿ж — ^ У 1.|А"7 У ^ У |/;(^)| ^ -(ж)¿ж =
Ап ч X Ап Ч Ап Ч Ап
I р(х)
п
Е / [п [ |/'(*)| Р(Х)-(ж) ¿ж = £ / [п [ |/^)|
Апч Апз
А„. А
-(ж) ¿ж,
(7)
где через р5 обозначен минимум р(ж) на Ап5. Поскольку /'(ж) £ и -(ж) £ Н(р), то можно применить неравенство (2). Поэтому, используя условие (3) и неравенство (6) для одного из множителей под интегралом в последнем выражении цепочки соотношений (7), получим:
п |/' — п
— пр (х)-р ^ / |/ '(£)|^
<
п
А
1
п
У
1
А
г . -|р(х)-р8
< с(р) Ф,^1^ СОИр^),™ < c(p,w).
(8)
Из (7) и (8) имеем:
|п(фп(/, х) - /(х))|р(х)w(x) dx < с(р^)^ J |/'(¿)| dí] ^(х) dx =
ХуБ ^ПБ
= с(р^)^ / w(x) dx[n / |/'(£)| dí]P^ (9)
Разобьем полученную сумму на две части: к первой части Е1 отнесем члены с такими номерами 5, для которых р« = 1, а все остальные включим во вторую часть Е2. Так как w(x) е и Ар^ (^), то
V
для веса w(x) выполняется условие (А1). Поэтому для первой суммы = {5 : р« = 1}) можно написать:
Е1 = 5] |У~] / w(x)dx ■ (п|Ап* |) ■ I |/' (*)^<с(р^)^ У |/' (t)|dt <
< с(р^)£ / |/'(t)|dt = с(р^)||/'||1.
5=1,
Как уже отмечалось, к /'(х) применимо неравенство (2). Поэтому для суммы Е1 получим:
Е1 < с(р, w). (10)
Перейдем теперь к рассмотрению второй суммы (ст2 = {5 : р5 > 1}):
Е2 / w(x)dx[n [ |/'(£)^^. (11)
X
апб хПБ
Применяя неравенство Гельдера для второго множителя, можно получить следующую оценку:
п |/'(*)| dt
П w(í) |/' (г)^(£)-¿Б dí
<
<
п^ у w(t)|//(;)|Рб dt с(р) /
w(í) рБ dí
<
<
|Ап« |г
w(í)|/'(í)|pБ dí w(í)-РБ dí
рб-1
= с(р)
| АПв|
w(í)|/'(*)|рБ dt
|АПЗ |
w(í) РБ 1 dí
Подставляя (12) в (11), приходим к следующему соотношению:
Е2 < с(р) £
рб-1-1
| АПв|
w(x) dx |
| АПв|
w(í) рБ-1 dí
^ + -1 = 1-
р« р5
(12)
В силу (А2) выражение в квадратных скобках ограниченно величиной с(р, w), не зависящей от Ап Следовательно,
Е2 <с(р^)£ I '(¿)|рБdt.
1
п
Л
Л
р
р
Л
Л
р
р
Л
Рб
Р
Л
Л
1
1
Л
Л
1
1
Л
Л
Л
Рассмотрим функцию Н(£) = р5, I £ Ап5. Так как Н(£) — р(£), то в силу леммы 2 и условия (6) имеем:
1
£2 < с(р,-) ^ I Ц£)|/'(£)|НМ^ — с(р,-) /-(^/'(г)^^ =
0
= с(р,/ '
/'(*)
Н(*)
^ — с(р,-) / -(¿)(г^,р)НМ ||/'Н^
/'(*)
Н(*)
^ —
— с(р, -)(г£р)ру -(*)
о
/'(*)
Н(*)
^ = е(р,-)(г^)р.
Из (9), (10) и (13) находим
Следовательно,
Но тогда тем более
Последнее и означает, что
|п(3п(/,ж) — / (ж))|р(х)Цж)^ж — с(р, -).
п(^п (/,ж) — / (ж))
р(ж)
1 р(ж)
Ш/,ж) — / (ж))
(1 + с(р, -))р /п
-(ж)^ж — 1.
-(ж)^ж — 1.
(13)
Ш/) — /I
(1 + с(р,-))р с(р, -)
□
Таким образом, для /(ж) £ ^^ ш(1) теорема доказана. Случай /(ж) £ сводится к уже
/(ж)
доказанному заменой #(ж) = -.
4. ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА С ПЕРЕМЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
В случае постоянного р задача о скорости приближения функций /(ж) £ суммами Фурье ■ Хаара была решена П. Л. Ульяновым.
Теорема (П. Л. Ульянов). Если /(ж) £ £р(0,1) с некоторым р £ [1, га], то
Н/ — ^п(/)||р — 24^(/, п) при п > 1,
, 1-н
где (/, 5) = вир ( / |/(ж + Н) — /(ж)|р¿ж о<н<<Л о
Данная теорема получила обобщение на переменный показатель в работе И. И. Шарапудинова [5]. Напомним, что для этого потребовалось ввести модуль непрерывности, основанный на усредненном сдвиге.
Теорема (И. И. Шарапудинов). Пусть р(ж) £ Р , /(ж) £ £р(ж). Тогда справедлива оценка
||/ — Зп(/)||р() — с(р)0(/, п)Р(^).
В этом параграфе мы получим аналогичную оценку для функций /(ж) £ в терминах модуля непрерывности (4). Для этого нам понадобится следующий оператор:
V V Н V ж+Н
©V(/)(ж) = 2 [ 5Н(/)(ж)^ = 2 / ^ [/(ж + *) ^ =2 /" ^ / /(*) 0 — 1.
V у н
^/2 О
V у н
^/2
1
1
1
ш
1
1
п
п
Отметим, что данный оператор использовался при доказательстве приведенной ранее теоремы из статьи [5, § 5] (см. также [10, с. 291]). Рассмотрим некоторые свойства этого оператора.
1. Для любого /(х) е Ь1 функция BV (/)(х), 0 < V < 1 является абсолютно непрерывной на отрезке [0,1].
Доказательство есть в [5, теорема 4]. Таким образом, BV(/)(х) — абсолютно непрерывна и, следовательно, почти всюду дифференцируема. Более того, справедливо следующее свойство.
2. Для любого /(х) е Ь1 для почти всех х е [0,1] имеет место равенство
^(/))'(х) =2 //(х + ^- /(х)Ш,
(14)
v/2
Доказательство этого утверждения можно найти в [5, с. 13].
3. Для любого /(х) е Ь^(х), w е Ж(р) выполняется неравенство (0 < V < 1)
(©V(/))' !!р(.),вд < ф)^^ .
Доказательство. Воспользуемся интегрированием по частям для интеграла из (14) (и = 1/Л, V = /(х + Л) - /(х)):
Л (/(х + Л) - /(х)) dh = Л [ (/(х + *) - /(х)) dt
v/2
v/2
+
+
V Н
IИ
v/2 0
/(х + г) - /(х)) dí dh = 11 (х) + /2(х).
(15)
11 (х) можно записать в следующем виде:
/1 (х) = (^(/)(х) - /(х)) - (^/2(/)(х) - /(х)).
Отсюда следует, что
!|/1 Ур^),™ < (/) - /Ур^),™ + !|^/2(/) - /Ур^),™ < V)р(^),™ + 2)р(^),™ < V)р(^),™. (16)
Рассмотрим теперь /2 (х):
/2 (х) =
v/2
/(х + *) - /(х) dt
dh = / 5н(/)(х) - /(х)) dЛ.
v/2
Тогда, используя лемму 3, получим:
I/
2
5Н(/)(■) - /(■П dh
<
v/2
< с(р^ л|5н(/) - /Нр(-),™ ^ < ФМУ>)р(^),™ (с(р) <2).
v/2
Из (15), (16) и (17) получаем требуемое.
Из свойств 1 и 3 следует, что, в частности
4. ©V(/) е для / е Ьр(х), w е Ж(р), 0 < V < 1.
5. Пусть / е Ь^(х), w е Ж(р), 0 < V < 1. Тогда справедливо неравенство
(17)
□
(©V (/) - / Цр(-),™ < ФМЛ V )р(^),™ .
н
V
1
1
Л
Л
V
1
Л
V
2 ^
Доказательство. В силу того что ©(/)(ж)—/(ж)| — — / |зН(/)(ж)—/(ж)| ¿Н, пользуясь леммой 3,
сразу получаем требуемое:
V v/2
Н© (/) — / — с(р) 2 У |5Н(/) — / — с(р) 2 У 0(/, V )р(^),ш = С(р)0(/, V )р(^),ш . □
^/2 ^/2
Сформулируем теперь основную теорему данного пункта.
Теорема 2. Пусть р(ж) £ Р 1°°, -(ж) £ Н(р) П ^ (Э^. Тогда для /
£ ) имеет место
оценка
||/ — ^п (/)||р(0,ш — С(р,-)0(/, п )р(^),ш.
Доказательство. Имеем:
Н/ — Зп(/)||р(0,ш — Н/ — ©п (/)||р(0,ш + Н©п (/) — ^п(©П (/))||р(0>ш +
+Н^п(в п (/)) — дп(/)Нр(^),ш. (18)
П ± \ / >
Из свойства 5 оператора ©^(/) следует, что
Н/ — ©п (/)Нр(^),ш — ФМ/, п)р(^),ш. (19)
Далее, при условиях теоремы система Хаара образует базис в
¿Ш(ж) (см. теорему А), поэтому
№п(/) Нр(^),ш — С(р, -)Н/Нр(^),ш .
Но тогда в силу линейности оператора ^п(/) и свойства 5 оператора ©^(/) для 3-го слагаемого в (18) получаем:
|Ш©п (/)) — Зп(/)||р(0,ш = ||3п(©П (/) — /)||р(0,ш —
П ± \ / > п 4 у
— с(р,-)Н©п(/) — /Нр(^),ш — е(р,-)0(/, п)р(^),ш. (20)
Наконец, свойства 3, 4 оператора ©^(/) и теорема 1 позволяют написать для второго слагаемого из (18) оценку:
Н©п (/) — ^п(©п (/))||р(0,ш — ^^ Ц©! (/)||р(0,ш —
< —---i/n— _c(p 'w)ü(f ' n )p(-),w • (21)
Доказательство завершается подстановкой оценок (19)-(21) в (18). □
Автор благодарит И. И. Шарапудинова за постановку задачи и ценные советы при ее решении.
Библиографический список
1. Шарапудинов И. И. О топологии пространства Springer-Verlag, 2013. P. 312. DOI: 10.1007/978-3-0348-Lp(t)([0,1]) // Мат. заметки. 1979. Т. 26, № 4. С. 613- 0548-3.
632. 5. Шарапудинов И. И. Приближение функций из про-
2. Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории при- странств Лебега и Соболева с переменным показателем ближений в пространствах Лебега с переменным по- суммами Фурье-Хаара // Мат. сб. 2014. Т. 205, № 2. казателем. Владикавказ : ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, С. 145-160. DOI: 10.4213/sm8274.
2012. 270
с. 6. Магомед-Касумов М. Г. Базисность системы Хаара в
3. Diening L, Harjulehto P, Hasto P, Ruzicka M. весовых пространствах Лебега с переменным показате-Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents. лем // Порядковый анализ и смежные вопросы матема-Berlin; Heidelberg : Springer-Verlag, 2011. P. 509. DOI: тического моделирования : тез. докл. междунар. науч. 10.1007/978-3-642-18363-8. конф. (Владикавказ, 14-20 июля 2013 г.). Владикавказ,
4. Cruz-Uribe D., Fiorenza A. Variable Lebesgue Spaces :
2013. С. 68-69.
Foundations and Harmonic Analysis. Berlin ; Heidelberg : 7. Магомед-Касумов М. Г. Базисность системы Хаара
в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Владикавказ. мат. журн. 2014. Т. 16, вып. 3. С. 38-46.
8. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М. : Изд-во АФЦ, 1999. 560 с.
9. Шарапудинов И. И. О базисности системы Хаара в пространстве ([0,1]) и принципе локализации в среднем // Мат. сб. 1986. Т. 130(172), № 2(6). С. 275-283.
10. Guven A., Israfilov D. M. Trigonometric approximation in generalized Lebesgue spaces Lp(x) // J. Math. Inequal. 2010. Vol. 4, № 2. P. 285-299.
11. Шах-Эмиров Т. Н. О равномерной ограниченности семейства операторов Стеклова в весовых пространствах Лебега с переменным показателем // Вестн. ДНЦ РАН. 2014. Вып. 54. С. 12-17.
12. Соболь И. М. Многомерные квадратные формулы и функции Хаара. М. : Наука, 1969. 288 с.
Approximation of Functions by Fourier - Haar Sums in Weighted Variable Lebesgue and Sobolev Spaces
M. G. Magomed-Kasumov
Daghestan Scientific Centre of Russian Academy of Sciences, 45, Gadgieva str., Makhachkala, Republic of Dagestan, 367000, Russia, [email protected]
It is considered weighted variable Lebesgue LW(x) and Sobolev Wp(.),w spaces with conditions on exponent p(x) > 1 and weight w(x) that provide Haar system to be a basis in LW(x). In such spaces there were obtained estimates of Fourier - Haar sums convergence speed. Estimates are given in terms of modulus of continuity Q(f, S)p(.),w, based on mean shift (Steklov's function).
Key words: weighted space, Lebesgue space, Sobolev space, variable exponent, modulus of continuity, Steklov's function, direct theorems of approximation theory, convergence speed, Fourier - Haar sums, Muckenhoupt condition.
References
1. Sharapudinov I. I. Topology of the space Lp(t)([0,1]). Mat. Zametki, 1979, vol. 26, no. 4, pp. 613-632. DOI: 10.1007/BF01159546.
2. Sharapudinov I. I. Some aspects of approximation theory in variable Lebesgue spaces. Vladikavkaz, 2012, 270 p. (in Russian).
3. Diening L., Harjulehto P., Hasto P., Ruzicka M. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2011, 509 p. DOI : 10.1007/978-3-642-18363-8.
4. Cruz-Uribe D., Fiorenza A. Variable Lebesgue Spaces: Foundations and Harmonic Analysis. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2013. 312 p. DOI 10.1007/978-3-03480548-3.
5. Sharapudinov I.I. Approximation of function by Fourier—Haar sums in variable exponent Lebesgue and Sobolev spaces by Fourier —Haar sums. Sb. Math., 2014, vol. 205, no. 2, pp. 145-160. DOI: 10.4213/sm8274.
6. Magomed-Kasumov M. G. Basis property of the Haar system in the weighted variable Lebesgue spaces. Poriadkovyi analiz i smezhnye voprosy matematiches-kogo modelirovaniia: tezisy dokladov mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii (Vladikavkaz, 14—20.07.2013). Vladikavkaz, 2013, pp. 68-69 (in Russian).
7. Magomed-Kasumov M. G. Basis property of the
Haar system in the weighted variable Lebesgue spaces. Vladikavkazskii matematicheskii zhurnal [Vladikavkaz Mathematical Journal], 2014, vol. 16, iss. 3, pp. 38-46 (in Russian).
8. Kashin B. S., Saakyan A. A. Orthogonal series. Translations of Math. Monographs, vol. 75, Providence, RI, Amer. Math. Soc., 1989.
9. Sharapudinov I.I. On the basis property of the Haar system in the space Lp(t)([0,1]) and the principle of localization in the mean. Math. of the USSR-Sbornik, 1987, vol. 58, no. 1, pp. 279-287. DOI: 10.1070/SM1987v058n 01ABEH003104.
10. Guven A., Israfilov D. M. Trigonometric approximation in generalized lebesgue spaces Lp(x). J. Math. Inequal., 2010, vol. 4, no. 2, pp. 285-299.
11. Shakh-Emirov T. N. O ravnomernoi ogranichennosti semeistva operatorov Steklova v vesovykh prostranstvakh Lebega s peremennym pokazatelem [Uniform bounded-ness of Steklov's operators families in weighted variable Lebesgue spaces]. Vestnik DNC RAN, 2014, iss. 54, pp. 12-17 (in Russian).
12. Sobol I. M. Mnogomernye kvadratnye formuly i funktsii Khaara [Multidimensional Quadrature Formulas and Haar Functions]. Moscow, Nauka, 1969, 288 p. (in Russian).
