Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 3, С. 38^46

УДК 517.521

БАЗИСНОСТЬ СИСТЕМЫ ХААРА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С ПЕРЕМЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

М. Г. Магомед-Касумов

Найдены достаточные условия, при которых система Хаара образует базис в весовых пространствах Лебега с переменным показателем.

Ключевые слова: пространства Лебега с переменным показателем, весовые пространства, система Хаара, базисность, условие Макенхоупта, условие Дини — Липшица.

1. Введение

Пусть р{ре) — измеримая на Е функция, такая что 1 sí PÍE) sí PÍE) < oo. Здесь и далее символами р(М), р(М) будем обозначать ess infжем р(ж) и ess 8иржеМ р(ж) соответственно. Пусть w(x) — неотрицательная почти всюду (п. в.) положительная суммируемая функция (вес). Через LW(x) = LW(x) (E) обозначим пространство измеримых функций f (ж), удовлетворяющих условию

I |f (x)|p(x) w(x) dx < То.

Пространство представляет собой линейное нормированное пространство, в кото-

ром одну из эквивалентных норм можно определить следующим равенством [1-3]:

llf lk),w(E)=inf{ А> 0: У

f (ж)

А

p(x)

w(x)dx ^ 1

Отметим некоторые свойства, связанные с этими пространствами, которые понадобятся нам в дальнейшем.

II/ 1к),™ =

2°. Для любых измеримых множеств А С В

II/ 1к),»(А) < ||/||р(0>ш(В),

так как

f (ж)

A

If lUo.w (в)

p(x)

w(x) dx ^

f (ж)

B

If IIp(0,w(B)

p(x)

w(x) dx = 1.

© 2014 Магомед-Касумов M. Г.

3°. Почти дословно повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве леммы в [4], можно показать, что если 1 ^ р(х) ^ д(х) ^ я(Е) < оо, то для любой функции

/ е ь^х){Е)

где

W / 1 , Ie w(x) dx _ q(x) a(x)

С < Г + -У Иж) = !Ьт >«*(*) =

p'q a c^\ р(ж)' а(ж) —1/

4°. Если р(ж) > 1, ж G М (не исключая и случай, когда р(М) = 1), то справедливо неравенство типа Гёльдера для пространств Лебега с переменным показателем [1, неравенство (8)]:

У If (x)||g(x)| dx < C(p, M) ■ ||f||p0)(M) ■ \\g\\p,{.)(M),

M

гДе ^y + F^J = C('P,M) < ^jy + ^тщу- Через C,C(a),C(a, p),... здесь и далее будут обозначаться положительные числа, зависящие лишь от указанных параметров, различные в разных местах.

Вопросы базисности классических ортогональных систем в пространствах Лебега с переменным показателем исследовались в статьях [4-8]. Отметим, что наиболее важные результаты в этих пространствах в безвесовом случае связаны с условием Дини — Липшица

(1)

обнаруженным впервые в работах [4, 9]. В частности, в статье [4] было показано, что система Хаара образует базис в пространстве Лебега Lp(x)([0,1]) с переменным показа-

p(x) p(x)

результат для двумерного случая был доказан в статье [8]. В упомянутых работах базисность системы Хаара рассматривалась относительно безвесовых пространств Лебега с переменным показателем. В данной работе исследуется этот вопрос для пространств Лебега LW(x) с весом w(x), подчиняющимся определенным условиям (см. (12), (13)), одно из которых напоминает известное условие Макенхоупта [3, 10, 11]

sup J w(x) dx \ J w(t)->B-i dt j < oo, (2)

B B

, -1

над В. Причина появления второго условия (см. (12)) связана с тем, что в нашем случае переменный показатель может также принимать и значения, равные 1.

где 23 — всевозможные интервалы, а рв = (щ /в dx^j — среднее гармоническое р

2. Система Хаара в lLW )

Функции Хаара {xk (x)}£=! определяются па отрезке [0,1] следующим образом [12]:

'0, х^Ак, Xi(x) = 1, Xk (x)= 2j/2, x G Д+,

,-2j/2, x G Д-,

где к = 2° + г, j = 0,1,..., г = 1,..., 2°, а Дк — это двоичный интервал вида Дк = = {^Г'^)' ^к — замыкание интервала Д&, а Д^, Д^ — соответственно правая и левая половины интервала Интервалы {Д° }2=1 называются интервалами j-& пачки.

Ясно, что Хк £ = ¿г«(х)([0,1]) для всякого суммируемо го веса ад(ж). Каждой

функции / £ мы хотим поставить в соответствие ряд Фурье — Хаара:

/ Ск Хк, (3)

к=0

где Ск = /0 /(ж)хк(ж) ¿ж. Однако те при всяком весе ад(ж) для функции / £

Е^ц ) можно

построить ряд Фурье. Поэтому па вес ад(ж) требуется наложить дополнительные условия, при которых станет возможным вычисление коэффициентов, т. е.

1

У / (ж) хк (ж) ^ж < то, к = 0,1,... (4)

0

к=0

1

J /(ж) ^ж < то. 0

Другими словами, вес ад (ж) должен быть таким, чтобы имело место вложение С Е1. Очевидно, что в этом случае будут выполнены неравенства в (4) и при к > 0. Найдем условия на ад (ж), достаточные для

/ £ Е1([0,1]). Для этого разобьем отрезок Е = [0,1] на множества Е1 = {ж | р(ж) = 1} Е2 = Е \ Е1. Тогда

J /(ж) ^ж = J /(ж) ^ж + J /(ж) ^ж. (5)

Е Е1 Е2

На вопрос о существовании первого интеграла отвечает следующая лемма.

Лемма. Функция / £ (Е) будет суммируем ой на Е1 в том и только в том случае,

Е1

ад(ж) ^ С1 (ад) > 0 для почти всех ж £ Е1. (6)

< Достаточность сразу следует из соотношений

У |/(ж)| с1х < У |/(ж)|ад(ж) (¿ж = у У |/(ж)|р(ж)ад(ж) (¿ж

Е1 Е1 Е1

< 777-Т / |/(ж)|р(ж)ад(ж)йж < то. Сцад) у

Е

Необходимость. Пусть

11

Мп = { ж £ Ег : —— < ад (ж) < - к = ц(Мп), 1 п+1 п1

где ц — мера Лебега. Предположим, что условие (6) не выполняется. Тогда можно считать, что ^п > 0 для любого п. Рассмотрим функцию

/(ж) = 11, х е в = Е \ 0 Мп.

V п=1

Покажем, что / е (Е), но в то же время / е ^(Е^. Имеем

го(ж) ¿ж = J г«(ж)с?ж + ^ J —^—У)(х)(1х

Б п=1Мп

Интеграл справа в равенстве выше в силу суммируемости функции ад (ж) конечен. Рассмотрим сумму

л 1 ОО л 11 ^^ 1

> / -ад(ж) г1х < > /--г1х = >

^ У п^п ^ У п^п п ^

п=1,^ п=1,^ п=1

■ Ш[Х) (IX < > /--(IX = У —г < оо.

п^п п ^' п2

1М„ п=1М„

Таким образом, / е Ь^(х)(Е). С другой стороны, из соотношений

/О „ 1 О 1

\1{х)\(1х ^ > / -г1х ^ > — с1х = ОО

Е1 п Мп п=1

ВЫВОДИМ, ЧТО / е ^(Е^. >

Легко показать, что при выполнении условия (6) будет справедливо следующее неравенство:

У |/(ж)| ^ж < СИ||/(Е). (7)

Е1

Действительно, достаточно воспользоваться свойством 2°:

I \f(x)\dx^^щ I \$(х)\и)(х)(1х = ^Г^^у 11р(')>'ш ) ^ С^ш) ^ '

Е1 Е1

Перейдем теперь к рассмотрению второго интеграла из (5):

J \/(х)\(1х = J[w(x)]p{x>\f(x)\[w(x)]~p{x>dx. (8)

Е2 Е2

Применяя последовательно 4°, 1° и 2°, получим

/1 __1 и 1 и и _ 1 и

Е2 (9)

1 .. .. 1 ..

Из (8) и (9) приходим к неравенству:

J \/(х)\(1х < С(р) ■ т^Е) ■ \\уГШ\\р/{)(Е2). (10)

Е2

Из полученного неравенства видно, что для суммируемости / £ (Е) на Е2 достаточно, чтобы

__]_

\\у) р(-) Нр/^СЕг) < оо.

Таким образом, получаем два условия на вес, которые обеспечивают существование рядов Фурье — Хаара в пространстве (Е):

1) ад(ж) ^ С1(ад) > 0 ж £ Е1 (п.в.),

__]_

2) Ц«; Р(0 Ц^^а) <оо.

Множество весовых функций ад(ж), удовлетворяющих условиям 1) и 2), будем обозначать через Ж(Е,р).

Отметим, что при выполнении условий 1) и 2) из (7) и (10) имеем

У |/(ж)| ¿ж < С-||/||р(^)>ш. (11)

Е

3. Основной результат

В предыдущем пункте было показано, что при условиях 1), 2) каждому элементу f £ ) можно поставить в соответствие ряд Фурье (3). Возникает вопрос о том, в

каких случаях указанный ряд будет сходиться к самой функции f. Ответ на это дает приведенная в этом пункте теорема.

Введем некоторые обозначения. Через Bv обозначим множество всех двоичных интервалов из пачек с номерами j ^ v, а терез BV'p — такие двоичные интервалы £ что р(Afe) = 1:

®„ = {Ai: = Я1* = {Ьк р(Ак) = 1}.

Множество измеримых на E функций p(x) ^ 1, удовлетворяющих условию (1), будем обозначать символом Plog(E).

Теорема. Пусть p(x) £ Plog (E), w(x) £ H(E,p). Тогда система Хаара будет базисом пространства (E), если для некоторого v ^ 0 выполняются следующие условия:

sup —!— [ w(x)dx<C(w), (12)

в&вЬр B J

в

(if \ (If 1 \-(Б)_1

SUP I tttj- / w{x)dx I TTTf / w(x) v^-1 < C{p,w). (13)

BeBvЛ I B B '

< Покажем, что для любой функции f £ LW(x)(E) последовательность частичных сумм

П 1

Sn(f )(x) = cfc Xfc(x), ck = f (x) Xfc(x) dx k=o 0

сходится к функции f в метрике пространства LW(x)(E). Для этого, как известно [13, с. 215], достаточно показать выполнение следующих условий:

а) линейные операторы £п(/) равномерно ограничены на единичном шаре ||/||р(-),™ ^ 1 пространства ЬадХ) (Е), т. е.

вир вир ||5„(/)||р(о>ш < то;

п II/||Р(.)<1

(14)

Ь) последовательность линейных операторов 5п(/) сходится к тождественному оператору I(/) для любой функции / £ Э, вде Э — некоторое множество, всюду плотное в Ь*(х)(Е).

Условие Ь) следует из утверждения 1 книги [12, с. 71] и того факта, что множество Э, состоящее из кусочно-гладких функций, постоянных на интервалах с двоично-рациональными концами, всюду плотно в Ь^х)(Е).

Покажем равномерную ограниченность. Пусть / £ Ь^(х)(Е) и

||/|к),» < 1. (15)

Напомним прежде, что для сумм Фурье — Хаара справедлива формула [14, с. 21]

1

Яп^,ж) = тт—т [ хе\пз,

(16)

где Ап5, в = 1,...,п, — двоичные интервалы постоянства системы функций хь к = 1,..., п и

_ /2ЗТТ>

|АП5|

Формула (16) имеет смысл для любой функции / £ ЬадХ), поскольку для весов ад(ж) £ Ж (Е,р), как было показано выше, имеет мест о вложение ЬадХ) С Ь^ Чер ез обозначим минимум р(ж) на замыкании интервала Ап5. Тогда, используя (16), получаем

I = / |ЗД,ж)|р(х)Цж) ^ж = ^ / |5п(/,ж)|р(х)ад(ж) ^ж

I 5 = 1 У

п л 1 л р( ) п л 1 Л

^У га// га/

5—1 \ \ 5—1 \ \

ЛПв Лп

/ (4) ^

(17)

ад(ж) ^ж.

Применяя неравенства (11) и (15), выводим следующее соотношение:

Р(х)-Рв

1 Ап5 1

/(4) ^

<

1 Ап5 1

Р(х)-Рв

Р(х)-Рв

I/(*)| ^

1 \р(х)-Рв ^ I тт—г I

1 Ап5 1

Так как р(ж) удовлетворяет условию Дини — Липшица (1), то

1 Ап5 1

Р(х)-Рв

<

с

1

1 Ап5 1

< С, (С(р,ад))р(х)-рв < С2(р,ш).

Л

1

1

Л

1

пв

Следовательно,

1 Апз 1

/ (*) ^

р(ж)-ра

< С(р,ад).

Подставляя найденную оценку в (17), получим

„ I 1

5=1 л Л

Лпа

п

Ра

ад (ж) (ж

(И

У Цж^ж- J /(¿)

5=1 Л Л

С(р,ад/ ^ + ^ = С(р,ад)(©1 + ©2)

(18)

где = {в : р5 = 1} ^2 = {в : р5 > 1}

Воспользовавшись условием (12) и неравенствами (11), (15), приходим к следующей оценке для первой суммы:

(12) <

©1 = У^ / тт~—г [ ^ У^ [ ш{х)(1х- I \f(t)\dt

а У а |Ап5| .) J

51 \ \ 51 \ \

ЛПа

С (ад)£ У |/(4)| М < С(ад^ |/ф| (¿^ С (ад) ■ С(р,ад) ■ ||/С1(р,ад).

(19)

51 Апа Е

Покажем теперь ограниченность второй суммы:

©2 = ^ у ад(ж) (ж

52 .

1

Ра

1 Апз 1

/ (¿) М

(20)

Для этого отдельно рассмотрим второй множитель под знаком суммы в (20). Применяя неравенство Гёльдера и замечая, что Щ- = р8 — 1, получаем:

Ра

|Ап

/ (*)

1 1

[ад^)]^/(^)[ад(^)] р» ей

1 Апз 1

Ц*)|/(¿)|Ра а

= у ад(*)|/(¿)|Ра = / ад^/^Г^-

|Ап5|Ра

ад(£) р-о М

Ра

. . _£к , \ рГ ад^) Ра М

| |

Ра

| ^пз |

| Апз |

ад(£) р«-1 (М

ад(£) ра-1 (Л

Ра-1

Ра-1

1

Л

Л

Р

Р

.у

.У

1

1

Л

Л

1

Р

1

Л

1

Л

1

Л

Л

1

1

Л

Л

Учитывая полученное соотношение и условие (13), из (20) имеем:

1 f , ч , \ / 1 f ____ЛРа_1

62 ^Е/f w(x)dx) - (¿у/

< C(p,w) ^У w(t)|/ (t)|Ps dt.

S2 \ лп

Введем функцию h(t) = ps, t G Ans. Тогда, так как h(t) ^ p(t), в силу свойства 3° и условия (15)

©2 < C(p,w) ^у w(t)|/ (t)|h(t) dt < Cw(t)|/ (t)|h(t) dt

I w(t)|/ (tin 7 dt ^ C(p,w) / w

S2 Ans E

, f r„Mt) /(*) Mt)

= G(p, w) / ur^" л| w

h(t)

dt

^C[pM{rlPf{E) j wit)

E

II/Ik)

h(t)

ll/Им-Г

/(t)

(21)

dt

II/IIh(-),-

dt = C(p,w)(rZpf

Из (18), (19) и (21) следует равномерная ограниченность частичных сумм Фурье — Хаара на единичном шаре. >

Автор искренне благодарит И. И. Шарапудинова за плодотворные беседы, результатом которых явилась настоящая работа.

Литература

1. Шарапудинов И. И. О топологии пространства Lp(t)([0,1]) // Мат. заметки.—1979.—Т. 26, № 4.— С. 613-632.

2. Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории приближений в пространствах Лебега с переменным показателем.—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2012,—267 с.

3. Diening L., Harjulehto P., Hasto P., Ruzicka M. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents.—Berlin: Springer, 2011.—509 p.

4. Шарапудинов И. И. О базисности системы Хаара в пространстве Lp(t)([0,1]) и принципе локализации в среднем // Мат. сб.—1986.—Т. 130(172), № 2(6).—С. 275-283.

5. Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории приближений в пространствах Lp(x) // Anal. Math.-2007.-Vol. 33, № 2.-Р. 135-153.

6. Izuki М. Wavelets and modular inequalities in variable Lp spaces // Georgian Math. J.—2008.—Vol. 15, № 2.—P. 281-293.

7. Izuki M. Wavelets and modular inequalities in variable Lp spaces.—2007.—(Preprint).

8. Магомед-Касумов M. Г. Сходимость прямоугольных сумм Фурье — Хаара в пространствах Лебега с переменным показателем Lp(x'y) // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информа-тика.—2013.—Т. 13, № 1 (2).-С. 76-81.

9. Шарапудинов И. И. О равномерной ограниченности в Lp (p = p(x)) некоторых семейств операторов свертки // Мат. заметки.—1996.—Т. 59, № 2,—С. 291-302.

10. Diening L., Hasto P. Muckenhoupt weights in variable exponent spaces.—2008.—(Preprint).

11. Cruz-Uribe D., Diening L., Hasto P. The maximal operator on weighted variable Lebesgue spaces // Fract. С ale. Appl. Anal.-2011.-Vol. 14, № 3.-P. 361-374.

12. Кашин В. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды.—М.: Изд-во АФЦ, 1999.—560 с.

13. Булях В. 3. Введение в функциональный йнштиз. —М.: Наука, 1967.—416 с.

14. Соболь И. М. Многомерные квадратные формулы и функции Хаара.—М.: Наука, 1969.—288 с.

Статья поступила 25 июня 2013 г.

Магомед-Касумов Магомедрасул Грозвекович Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, младший научный сотрудник отдела функционального анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: rasuldevOgmail. com

BASIS PROPERTY OF THE HAAR SYSTEM IN WEIGHTED VARIABLE EXPONENT LEBESGUE SPACES

Magomed-Kasumov M. G.

Sufficient conditions for Haar system to be a basis in weighted variable exponent Lebesgue spaces were found.

Key words: variable exponent Lebesgue spaces, weighted spaces, Haar system, basis property, Mucken-houpt condition, log-Holder condition.