Сходимость прямоугольных сумм Фурье-Хаара в пространствах Лебега с переменным показателем l p(x,y) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Для доказательства надо заметить, что 1п(дп/Лп) = 1п(гп/(гп — дп)) = 0(гп/(гп — дп)) = = 0(ф(п)Лп), п е N.

Автор выражает благодарность С. С. Волосивцу за постановку задачи и ценные обсуждения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00097-а) и гранта Президента РФ (проект НШ-4383.2010.1).

Библиографический список

1. Голубов Б. И. Ефимов А. В. Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. М. : Наука, 1987. 344 c. [Golubov B. I., Efimov A. V., Skvortsov V. A. Walsh Series and Transforms : Theory and Applications. Moscow : Nauka, 1987. 344 p.]

2. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. М. : ГИТТЛ, 1956. Т. 5. С. 483-522. [Bari N. K., Stechkin S. B. Best approximations and differential properties of two conjugate functions // Trudy Moskov. Mat. Obshch. 1956. Vol. 5. P. 483-522.]

3. Das G., Ghosh T., Ray B. K. Degree of approximation of functions by their Fourier series in the generalized

Holder metric // Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) 1996. Vol. 106, № 2. P. 139-153.

4. Iofina T. V., Volosivets S. S. On the degree of approximation by means of Fourier-Vilenkin series in Holder and Lp norm // East J. Approximations. 2009. Vol. 15, № 2. P. 143-158.

5. Агаев Г. Н., Виленкин Н. Я., Джафарли Г. М, Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку : Элм, 1981. 180 с. [Agaev G. N, Vilenkin N. Ya, Dzhafarli G. M., Rubinshtein A. I. Multiplicative Systems of Functions and Harmonic Analysis on Zero-Dimensional Groups. Baku : Elm, 1981. 180 p.]

6. Agnew R. P. On deferred Cesaro means // Ann. Math. 1932. Vol. 33, № 2. P. 413-421.

УДК 517.51

СХОДИМОСТЬ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СУММ ФУРЬЕ-ХААРА В ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА С ПЕРЕМЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

М. Г. Магомед-Касумов

Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, Махачкала E-mail: [email protected]

В статье доказывается сходимость прямоугольных частичных сумм Фурье по ортогональной системе Хаара в пространствах Лебега с переменным показателем.

Ключевые слова: двумерная система Хаара, пространство Лебега с переменным показателем, условие Дини-Липшица, сходимость, прямоугольные частичные суммы.

Convergence of Fourier-Haar Rectangular Sums in Lebesgue Spaces with Variable Exponent Lp(x y)

M. G. Magomed-Kasumov

Convergence of Fourier-Haar rectangular partial sums in Lebesgue spaces with variable exponent is proved in this paper.

Key words: two-dimensional Haar system, Lebesgue spaces with variable exponent, Dini-Lipschitz condition, convergence, rectangular partial sums.

ВВЕДЕНИЕ

Пространства Лебега с переменным показателем в последние годы вызывают усиливаю-

щийся интерес у специалистов из самых различных областей. Систематическое исследование топологии указанных пространств впервые было дано в работе И. И. Шарапудинова [1]. В частности, в ней было показано, что если 1 < р(х) < р(Е) < го, то топология пространства Ьр}хХ (Е) нормируема и одну из эквивалентных норм можно определить, полагая для / е Ьр}х (Е)

IIf Ik) = II/lk)(E) = inf{a > 0:

f (x)

p(x)

ß(dx) < 1}.

a

В другой работе [2] того же автора был рассмотрен вопрос о базисности системы Хаара в пространстве £р(х)(0,1), где было показано, что система Хаара является базисом в £р(х)(0,1) тогда и

(( Магомед-Касумов М. Г., 2013

М. Г. Магомед-Касумов. Сходимость прямоугольных сумм Фурье-Лаара в пространствах Лебега

только тогда, когда переменный показатель р(х) удовлетворяет условию Дини-Липшица:

Ь(х)- р(У)|

1п

1

|х - У1

< с.

В настоящей работе этот результат переносится на случай двух переменных. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Через БНм будем обозначать И-М-мерное пространство кусочно-постоянных функций, определенных на квадрате Е = [0,1]2, вида

^мм =

= {'(х,У) = сл • (х,У) е 4) х(*МГ■ % = ^ ' = 1'М

Значения на сторонах и в вершинах прямоугольников

% — 1 %

= 1,Ш.

3 - 1 3

будем считать

N ' И) \ М ' М, равными среднему арифметическому значений функции в прилегающих прямоугольниках.

Как известно [3], функции Хаара {хп(ж)}^=1 определяются на отрезке [0,1] следующим образом:

Х1(х) = 1 Хп(х) = <

о, х е а ,

2к/2, х е А+, -2к/2, х е А-,

(% — 1 %

где п = 2к + %, к = 0,1,..., % = 1,..., 2к, а Ап — это двоичный интервал вида Ап = Ак = ( ~2кГ~' 2к

Ап — замыкание интервала Ап, а А+, А- — соответственно правая и левая половины интервала Ап.

Двумерные функции Хаара определим на квадрате Е = [0,1]2 с помощью равенств:

Хпт(х,У) = Хп(х)Хш(У), (х,У) е Е, п = 2к + %, т = 2 + 3'.

Значения на сторонах и в вершинах четырех прямоугольников А± х А^, А± х Ат определим так, чтобы функции Хпт (х, у) е D2fc + l ,2г + 1.

Ставится задача об исследовании сходимости прямоугольных частичных сумм:

N М

SNM (/,х,у) = £ ^ СптХпт (х,у), Спт =jj f (х, у)Хпт (х, у) Йх ¿у,

[0,1]2

п = 1 т=1

в метрике пространства £р(х'у)(Е), определяемой следующей нормой:

1 1

||К0 =1п£{а > 0:

f (х,У)

а

р(х,у)

¿хйу < 1}.

00

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Через Ам 1, Ам2 , ...,Амм будем обозначать интервалы постоянства системы функций Х1(х),...,хМ(х) [4, с. 17]. Если N = 2к + %, то

[1/2к+1, 1 < 5 < 2%,

1 ^ [1/2к, 2% + 1 < 5 < N. Как известно [4, с. 21], для одномерных частичных сумм Фурье-Хаара справедлива формула

(Лх) =

1

|АМЙ 1

f х е Ам*.

л

Используя эту формулу, совершенно элементарно можно вывести аналогичное представление и для двумерного случая:

Snm(f,x,y) = / J f(и'^) dudv, (x, y) e An- x Xmq• (1)

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Если N = 2k, M = 21 ,шо линейная оболочка функций {xnm j^Ym^ совпадает с Dnm, т. е.

(2fc 21 Л

f (x' У) I f (x' = £ anm Xnm (x' y)= D2fe ,2' • n=l m=l I

Доказательство. Из определения функций Хаара следует, что G2k ,2г С D2k ,2г. Так как {xnm}N=Mm=1 — линейно независимая система, то размерность G2k,2г не меньше 2k ■ 21. □

Лемма, приведенная в работе [2] для отрезка [0,1], непосредственно переносится и на случай квадрата E = [0,1]2 (здесь и далее f (E) := ess sup f (x)).

xeE

Лемма. Пусть p(x, y) и q(x, y) — функции, заданные на E и такие, что 1 < p(x, y) < q(x, y) < < q(E) < го. Тогда для любой функции f e Lq(x,y) (E) имеет место неравенство

llf llp(-)(E) < ||f (E),

где < 2.

В дальнейшем нам также понадобится следующее неравенство, доказательство которого имеется, например, в [5, с. 182].

Утверждение 2. Пусть на некотором множестве D задана интегрируемая функция p(x) > 0, причем f p(x) dx = 1. Пусть на D задана также функция y(x) такая, что у''(x) > 0. Тогда для

D

любой интегрируемой функции f (x) справедливо неравенство

у (/f (x)p(x) dx j < D y(f )p(x) dx

5 частности, для любого y > 1

f (x)p(x) dx

< / |f (x)|p(x) dx < / If (x)|Yp(x) dx.

Прежде чем перейти к основному результату, приведем определения модуля непрерывности и условия Дини-Липшица для случая функций двух переменных.

Модуль непрерывности для функции р(х, у), заданной на множестве Е, определяется следующим образом:

^(р,Е,-) = sup{|p(A) -р(В)| : А,В е Е, р(А,В) < 5}. Говорят, что функция р(х, у) удовлетворяет условию Дини-Липшица порядка а > 0, если

/ 1 \ а

^(р,Е,-)(Ь-] < с (0 <5 < 1),

где с = с(Е,р, а), а > 0. 3. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Теорема. Для того чтобы для любой функции f е £р(х'у)(Е) прямоугольные частичные суммы

N М

Snm (f,x,y) = У^ У^ cnmx'nm (x, y)

x, y) =

n=l m=l

Y

Y

М. Г. Магомед-Касумов. Сходимость прямоугольных сумм Фурье-Хаара в пространствах Лебега

сходились в пространстве Lp(x,y) к функции f (x, y) при N, M ^ ro(N х M), необходимо и достаточно, чтобы показатель p(x, y) удовлетворял условию Дини-Липшица порядка а > 1.

Доказательство. Достаточность. Как известно [6, с. 215], для сходимости последовательности линейных операторов Snm(f) к тождественному оператору I(f) = f достаточно выполнения следующих условий:

1) линейные операторы SNM(f) равномерно ограничены на единичном шаре ||f ||p < 1 пространства

Lp(x,y)(E), т.е.

sup sup ||Snm(f)||p < ro; (2)

N,M у/||p<1

2) SNM(f) ^ I(f) для любого f e D, где D всюду плотно в Lp(x,y)(E).

oo oo

Условие 2) следует из утверждения 1 и того факта, что множество D = (J (J D2k 2i всюду плотно

к=ог=о

в Lp(x,y)(E).

Покажем равномерную ограниченность. Пусть f e Lp(x'y)(E) и

iP <

< 1. (3)

Обозначим через Ызд = (хв,уд) точку минимума функции р(х, у) на Л^ х ЛМд, где С означает замыкание множества С. Тогда в силу (1) имеем:

1 1

N M

if .. . \ I п(ж.и) 7 7

JM

00 a ± ч Am,

N M

J = / |Snm (f,x,y)|p(x'y) dxdy = / / |Snm (f, x, y)|p(x'y) dxdy =

J ^pMqi I If(u'v)' " s?dxdy =

/s iK I Ws Am, ANs AM,

p(x,y)-p(Msq )+p(Ms, )

3sq

N M

= / / |Jsq|p(x'y)-p(Ms,)+p(Ms,) dxdy. (4)

s=i q=V A

A«s Am,

Применяя лемму и неравенство (3), выводим следующее соотношение

, ч ,,, ч / 1 \p(x,y)-p(Ms,)/ /• /• \p(x,y)-p(M„)

ANs AMq

|ANs ||AMq 1

/ 1 \ p(x,y)-p(MS, ) , ч ,,, ч / 1 \ p(x,y)-p(MS, ) < (-1-I -C0 • i|f||p(x,y)-p(Ms,) < c0(-1-)

-V|ANs||AMq К 0 IIJ llp - 4 |ans||aMq |/

Так как p(x, y) удовлетворяет условию Дини-Липшица, то при а > 1 получим:

C

1 \p(x,y)-p(Msq) / 1 \ 1П . J, |2

<

|Ans||AMQ К MANS II AMq I

Из того, что N х M, следует

C11 AMq 1 < 1 ANs 1 < C2 1 AMq |, 0 < C1 < C2 .

Тогда

1 \ p(x,y)-p(Ms, )

г \ гл/г \ f 1 \ p(x>y)-p(Ms,)

|jsq|p(x.y)-p(M„> < <

■ |Ans||AMQ I ■ C 2C

1 1n _1__1 1n 1

VC1 |AMq VC1|AMq К

Для |р(мз<г) с помощью утверждения 2 получим

|р(м-) =

|Амв||Амд |

/(и,

р(мз9)

<

А«я Ал

|Амв ||Амд |

|/(и, V

А «я Ал

Используя соотношения, полученные для |р(и>и) р(м^) и |р(мя^), из (4) имеем

N м

^ = 0(1)££ / / |/мр(м

г)СиСи.

(5)

Шя АMq

Обозначим через Л,(и, V) такую ступенчатую функцию, что Л,(и^) = р(Мвд) при (и, V) е А^ х Амд. Поскольку Л,(и, V) < р(и^), то из (3) и (5) с помощью леммы находим

1 1

1 1

^ = 0(1) / / |/(и, v)|h(u'v) СиСи = 0(1)

/ (и^

Н(и,и)

<

0 0

0 0

1 1

< 0(1)

00

< 0(1) ■ 2р

/ (и, V)

II/II н

1 1

// /( II

7 7 00 1

Н(и,и)

■ 2н(и'и)Ц/||Н(и'и) СиСи <

Н(и,и)

Сис^ = 0(1) ■ 2р.

(6)

Неравенство (6) эквивалентно неравенству (2).

Необходимость. Покажем, что в классе функций, удовлетворяющих условию Дини-Липшица порядка 0 < а < 1, найдется такая функция ра(и^), что для некоторой / е £Ра (и'и) прямоугольные частичные суммы не будут сходиться к этой функции. Для этого обобщим функции ра(£) и /(£), приведенные в работе [2, доказательство теоремы 1], на случай двух переменных следующим образом:

ра(и^) = Ра(и), (и^) е Е, (7)

/(и^) = /(и), (и^) е Е. (8)

Легко убедиться, что ра(и, v) удовлетворяет условию Дини-Липшица порядка а. Далее, так как 1

/ |/(и)|ра(и) < го (см. [2, доказательство теоремы 1]) и

1 1

|/(и^)|ра СиС^ = |/(и)|ра(и) ¿И ■ ¿V = |/(и)|ра ^ С^,

00

то / е №(и>и).

Покажем теперь, что прямоугольные частичные суммы Фурье-Хаара функции / не ограничены в топологии пространства £ра(и'и)(Е). Рассмотрим подпоследовательность б^+^м(/). В силу (1),(7) и (8) имеем при (и, V) е А22п+1 >в х Амд

^22п + 1,м(/ и^) = 2

_ 02п+1

1

|Амд |

/(и, V) Си ¿V = 2

_ 02п+1

/ (и) Си.

(9)

А22п + 1 я Амq

2^п + 1 ,я

Последнее выражение в равенствах (9) представляет собой значение на интервале А22п+1 3 одномерной частичной суммы Фурье-Хаара ^22«+1 (/, и) для функции /. Повторяя далее рассуждения, проведенные в работе [2, доказательство теоремы 1], придем к соотношению

1 1

|£22п+1 ,м(/,и^)|раМ Си¿V ^ го (п ^ го),

1

1

н

н

1

1

1

а это и означает, что прямоугольные частичные суммы (/) не сходятся в пространстве (Е)

к функции /.

□

Автор благодарит И. И. Шарапудинова за постановку задачи. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00191-а). Библиографический список

1. Шарапудинов И. И. О топологии пространства Lp(x)([0,1]) // Мат. заметки. 1979. Т. 26, № 4. С. 613-632. [Sharapudinov I. I. Topology of the space Lp(x) ([0,1]) // Math. Notes. 1979. Vol. 26, № 4. P. 796806.]

2. Шарапудинов И. И. О базисности системы Хаара в пространстве Lp(x)([0,1]) и принципе локализации в среднем // Мат. сб. 1986. Т. 130(172), № 2(6). С. 275283. [Sharapudinov I. I. On the basis property of the Haar system in the space Lp(x)([0,1]) and the principle of localization in the mean // Math. USSR Sb. 1986. Vol. 58, № 1. P. 279-287.]

3. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды.

М. : АФЦ, 1999. 560 с. [Kashin B. S., Saakyan A. A. Orthogonal series. Moscow : AFC, 1999. 560 p.]

4. Соболь И. М. Многомерные квадратные формулы и функции Хаара. М. : Наука, 1969. 288 с. [Sobol I. M. Multidimensional quadratic Haar formulas and functions. Moscow : Nauka, 1969. 288 p.]

5. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. М. : Гос. изд-во иностр. лит., 1948. 456 с. [Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G. Inequalities. Cambridge : University Press, 1934. 329 p.]

6. Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. М. : Наука, 1967. 416 с. [Vulih B. Z. Introduction to functional analysis. Moscow : Nauka, 1967. 416 p.]

УДК 517.51

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ БИРКГОФА ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ УПОРЯДОЧЕННОЙ Л-ВАРИАЦИИ

В. В. Новиков

Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]

В терминах обобщенной упорядоченной Л-вариации получено достаточное условие равномерной сходимости на всей числовой прямой интерполяционного процесса Лагранжа и (0,2,3)-ин-терполяционного процесса Биркгофа.

Ключевые слова: интерполяция Лагранжа, интерполяция Биркгофа, лакунарная интерполяция, упорядоченная Л-ва-риация.

On Birkhoff Interpolation of Functions of Ordered A-bounded Variation

V. V. Novikov

A sufficient condition for the uniform convergence of Lagrange and (0,2,3) Birkhoff interpolation on the whole real line is obtained. The condition is in terms of ordered A-bounded variation.

Keywords: Lagrange interpolation, Birkhoff interpolation, lacunary interpolation, ordered A-variation.

ВВЕДЕНИЕ

Определение 1. Пусть Л = {Лк— неубывающая последовательность положительных чисел

те 1

такая, что ^ — = Говорят, что / есть функция ограниченной Л-вариации (обозначение:

к=1 Лк / е ЛБУ), если

^ |/(^2к) — /(^2к-1)| ^ . БИр^ --- < +ГО, (1)

П к

где верхняя грань берется по всем системам П непересекающихся интервалов вида

/к := (¿2к—1 ,*2к) С [—к = 1, 2,... .

(2)

Определение 2. Функция / называется функцией ограниченной упорядоченной Л-вариации (обозначение: / е ОЛБУ), если выполнено (1), причем супремум берется по всевозможным системам неналегающих интервалов (2) таких, что /к < /к+1, к = 1, 2,..., или /к > /к+1, к = 1, 2,... (запись /к < /к+1 или /к > /к+1 означает, что /к расположен левее, соответственно правее, чем /к+1).

При Л = {к}те=1 соответствующие классы обозначаются НВУ и ОНВУ (гармоническая вариация).

© Новиков В. В., 2013

81