CC BY
25
Поэтому из (10), (14) и (16) мы выводим следующий результат
Теорема 1. Для любой дискретной функции /(ж), заданной на сетке ^ = {0,1,..., N — 1}, справедливо следующее равенство
N_3
/ (ж) = / ^ — 1) + / (0) + Г ^ — ^ + ж ^ £ ь Тг (ж — 1, N — 2), (25)
2
2
N - 1
N (N - 1)
в котором коэффициенты дк определены c помощью равенства (24). Рассмотрим частичные суммы конечного ряда (25) следующего вида:
S- i (f x) _ f (N - 1) + f (0) + f (N - 1) - f (0)
Sn,N(f, x) _ о + о
2x
N - 1
k=0
- 1 +
+
8x(N - x - 1) N(N - 1)
Tk1 (x - 1, N - 2).
(26)
k=0
Из равенства (26) видно, что Sn N(f, x) совпадают в концевых точках x = 0 и x = N — 1 с исходной функцией f (x), т. е. S_N(f, x) = f (0), S_N_ = f (N — 1).
Следует отметить, что полиномы т_ *(x,N) = lim (x, N) не образуют ортонормированной
1
системы на • Тем не менее S_ N(f, x) является проектором на подпространство алгебраических
полиномов степени n. Можно показать, что S_N(f, x) как аппарат приближения дискретных функ-
' _ 1 _ 1 ций не уступает суммам Фурье-Чебышева по полиномам Чебышева тп 2' 2 (x,N). Отметим еще, что
конструкция сумм S_ N(f,x) столь же проста, как конструкция конечных рядов Фурье по ортогональным полиномам. Но она является более удобной с точки зрения численной реализации, так как в выражении, определяющем коэффициенты , фигурирующие в конструкции сумм S_ N(f,x), не
r(x + а + 1)r(N — x + а)
участвует весовая функция типа
Г(х + 1)r(N - x)
которая в случае а < 0 привела бы к су-
щественным вычислительным сложностям. Это обстоятельство вместе с (1) делают суммы N(f,x) весьма привлекательным инструментом для решения задач, связанных с аппроксимацией дискретных функций.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00191-а). Библиографический список
1. Шарапудинов И. И. Смешанные ряды по ортого- rapudinov I. I. Mixed series of orthogonal polynomials. нальным полиномам. Теория и приложения. Махачка- Theory and applications. Makhachkala : Dagestan. nauch. ла : Дагестан. науч. центр РАН, 2004. 276 с. [Sha- center RAN, 2004. 276 p.]
УДК 517.518.8
АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СРЕДНИХ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ
В ПРОСТРАНСТВЕ L
Т. Н. Шах-Эмиров
p(x) 2п
Дагестанский научный центр, Махачкала E-mail: Tadgius@gmail.com
В работе рассмотрены аппроксимативные свойства линейных средних типа Норлюнда Яп (f, x) и Рисса Rn (f, x) для тригонометрических рядов Фурье в пространстве Лебега с переменным показателем При определенных условиях на методы суммирования Норлюнда и Рисса доказано, что если f е Lipp(.) (a, M) (0 < а < 1), то ||f - Nn ||р0 < CMSa, llf -Rn ||P(.) < CM8a.
Ключевые слова: пространства Лебега и Соболева с переменным показателем, модуль непрерывности.
Approximation Properties of Some Types of Linear Means in Space Lpx
T. N. Shakh-Emirov
Approximative properties of Norlund Nn (f, x) and Riesz Rn (f, x) means for trigonometric Fourier series in Lebesgue space of variable exponent Lpnx) are considered. Under certain conditions on Norlund and Riesz summation methods it is proved that the estimates
llf - Nn ||P(.) < CMSa, ||f - Rn ||P(.) < CMSa hold for f G Lipp(.) (a,M) (0 < a < 1).
Key words: Lebesgue and Sobolev spaces of variable exponent, module of continuity.
© Шах-Эмиров Т. Н, 2013
Т. li. Шах-Змпров. Аппроксимативные свойства линейных средних в пространстве L\¡j^__
ВВЕДЕНИЕ
Пусть p(x) — неотрицательная измеримая 2п-периодическая функция. Через Lp(x) обозначим мно-
2п
жество измеримых 2п-периодических функций таких, что f |/ (x)|p(x) dx < го, а через W p(x) — класс
о
абсолютно непрерывных на периоде функций, производная которых принадлежит Lp(x). Если p(x) > 1, то одна из эквивалентных норм в Lp(x) определяется следующим образом:
II/Ik) =inf |y> 0|/ ^^ dx < 1
Для / e Lp(x) введем в рассмотрение функцию Стеклова:
h
sh(/)(x) = ^У /(x + t) dt
о
и модуль непрерывности [1]
fi(/,5)P(0 = suP ||f - sh(/)|p(^)-
0<h<S
Через Lipp(^) (a,M) обозначим класс Липшица с показателем а в пространстве L|(x), состоящий из функций / e Lp(x), для которых имеет место неравенство
ЭД5)р(0 < (0 < а < 1).
Для дальнейшего потребуются следующие обозначения:
p = ess inf p(x), p = ess sup < го.
- xe[°,2n] xe[0,2n]
Кроме того, мы будем считать, что переменный показатель p(x) удовлетворяет следующему условию Дини-Липшица:
2П
|p(x) - p(y)| ln < C, x,y e [0, 2п]. (1)
Класс 2п-периодических переменных показателей p(x), удовлетворяющих условию 1 < p(x) < p и условию Дини-Липшица (1), обозначим через P. Подкласс класса P — удовлетворяющих дополнительному условию 1 < p < p(x), — обозначим через P Пусть дан ряд Фурье функции / e Lp(x):
f (x) ^ "2" + ^^ cos kx + bk sin kx. k = 1
Обозначим через Sn(f)(x) n-ю частичную сумму этого ряда:
Sn(f )(x) = -2 + ^^ cos kx + bk sin kx. k = 1
Пусть теперь {рп}0° — последовательность положительных чисел. Рассматриваются два типа линейных средних:
1 П 1 п
МЛ/)(х) = Рп-т Sm(f )(х), ^п (/)(х) = ^ ^ (/)(х)'
т=0 т=0
п
где Рп = ^ рп. Средние ^п(/)(х) и Лп(/)(х) называются средними Норлюнда и Рисса соответ-
т=0
ственно [2-4].
Последовательность положительных вещественных чисел {рп }0° называется почти монотонно убывающей (возрастающей), если существует константа с, зависящая только от самой {рп}0°, такая, что для всех п > т выполняется
Рп < СРт (Рп > СРт).
Для краткости введем обозначения {рп}0 € ПМУП ({рп}0 е ПМВП), Адп = дп — дп+ь
n
1. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Теорема 1. Пусть р е Р, 0 < а < 1, / е Ырр^)(а,М) и {рп}0° — последовательность положительных чисел. Если {р}0° е ПМУП, или {р}0° е ПМВП и (п + 1)рп = 0(Рп), то для п = 1,2,... имеет место оценка
II/-М (/)||р(0 = СМп-а. Теорема 2. Пусть р е Р, / е Ь1рр^) (1,М) и {рп}0° — последовательность положительных
п —1 п —1
чисел. Если | = 0(Рп), или ^ |Ар& | = О (Рп/п), то для п = 1,2,... имеет место оценка
II/-Мп(/)||Р(0 = СМп-1.
Теорема 3. Пусть р е V, 0 < а < 1, / е Ырр^)(а,М) и {рп}0 — последовательность положительных чисел. Если
п—1
£
k=0
то для n = 1, 2,... имеет место оценка
. Pk
Д '
k + 1
P
= о' Pn
n + 1
II/-Rn (/ )IUo = CMn-a. Отметим, что впервые аналогичные результаты для классов
Lip(a,p(x,M)) = {/ е : ftp(x)(/,5) < M5a> о} ,
h
где Op(x)(/,5) = sup ||Th(/)||P(-), 5 > 0, Th(/)(x) = h / |/(x+t)-/(x)| dt, были получены в работе [2].
|h| <5 0
Из определений величин Op(x) (/,5) и 0(/, 5)p^ непосредственно вытекает, что 0(/, 5)p^ < Op(x)(/, 5) и, следовательно, Lip(a,p(x)) являются подклассами соответствующих классов Lipp^)(a,M), введенных в настоящей работе. Поэтому основные результаты, полученные в работе [2], являются следствиями теорем 1-3. При этом следует отметить, что соотношение lim Op(x) (/,5) = 0 в работе [2]
выводится из свойства ограниченности максимальной функции Харди-Литтльвуда в , доказанного в [5] при p- > 1. Однако если p- = 1, то максимальная функция, вообще говоря, не ограничена в Lp^. Это обстоятельство не позволяет рассматривать величину Op(x)(/, 5) в качестве модуля непрерывности в том случае, когда p- = 1, поскольку в этом случае мы не можем утверждать, что для любой функции / е Lp^ величина Op(x) (/,5) будет стремиться к нулю, когда 5 стремится к нулю. В этом можно убедиться на примере функции
1
0 < x < 1,
/(ж) = ^ х(1п х)2'
^0, 1 < х < 2п.
Кроме того, в [1] показано, что для произвольного р(х) е Р имеет место соотношение Нт Ор(^) (/,5) = 0, следовательно, величина Ор^)(/, 5), используемая в настоящей работе, являет-
гр(х) 1
ся модулем непрерывности в Ь^П и в том случае, когда р— = 1.
Замечание. Можно показать, что классы Ь1рр^) (а,М) шире классов Ыр(а,р(х), М) не только в случае, когда р(х) е Р, но также тогда, когда р(х) е Р. Но в рамках настоящей статьи мы на этом не остановимся.
2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Пусть р(х) е Р, Тп — множество тригонометрических полиномов степени не выше п. Через Еп(/)р(-) обозначим наилучшее приближение функции / е Ьр((Х) тригонометрическими полиномами степени не выше п:
Еп (/)= + 1пГ II/ - *п||р(0.
110
Научный отдел
Т. Н. Шах-Эмиров. Аппроксимативные свойства линейных средних в пространстве Ь
рО)
2п_
Приведем теорему о неравенстве типа Джексона, доказанную И. И. Шарапудиновым в [1]. Теорема 4. Если р(х) е Р и / е то
Еп(/)р(0 < С(р)0(/, 1/п)ко (п =1, 2,...). Лемма 1. Пусть р е Р и 0 < а < 1. Тогда для любой / е Ь1рр^)(а:,М) верна оценка
II/- ЗД)ЦР(0 < СМп-а (п = 1,2,...).
Доказывается с использованием теоремы 4 и аппроксимативных свойств частичных сумм $п. Лемма 2. Пусть р е Р. Если / е Ырр^)(1, М), то /(х) абсолютно непрерывна и /' е т. е.
/ е .
Доказательство. Пусть / е (1) и 5 > 0. Так как р < р(х) почти всюду по теореме 2.8 из [6]
[/(х + -) - /(х)]
< с
[/(х+-) - / (х)]
р(0
для каждого к такого, что |к| < 5. Из этого неравенства и эквивалентности о>р(/, *) и 0(/, *)р(^)
получаем:
Следовательно, из принадлежности / классу (1) выполняется соотношение о>р(/, *) = 0(5), а
это означает, что / абсолютно непрерывна и /' е ([7, с. 51-54]) Так как (/(х+-) — /(х))/£ — /'(х), - — 0 почти всюду, почти для всех х получаем
/(х + -) - /(х)
г
5/2
|/'(х)|, 5 — 0+.
Так как / е удовлетворяют условию / |/(х)#(х)| ¿х < го, ||д||Р'(•) < 1 по всем #(х) е Ь^тг
(Р/(х) =
р(х)
■), то лемма будет верна при выполнении этого условия для /'(х).
р(х) - 1'
По лемме Фату для каждой измеримой функции ^(х) такой, что ||д||Р'(•) < 1,
2п
2п
|/'(х)||£(х)| ¿х = Ит+7
I \ 5^0 + 5
/(х + -) - /(х)
5/2
|#(х)| ¿х <
2п /
< Нтт£ I —
5^0+ / \ 5
/ (х + -) - /(х)
5/2
|#(х)| ¿х.
Применяя интегрирование по частям получаем
2п ,
Нтт£ I -
5^0+ 7 \ 5 0
/(х + -) - /(х)
г
5/2
|#(х)| ¿х =
= Нт т£
5^0+
2п , г 5 г ^
2( 1 / [/(х + Т) - / (х)]^г [/2+| -2 /[/(х + т) - / (х)]^т
0
0
5/2 0
< Нтт£
5^0+
2п , г 5 г ^
2( Ц/(х + т) - / (х)]^т [/2+/ / [/(х + т) - /(х)]М
0 0 5/2 0
|#(х)| ¿х < |#(х)| ¿х <
2
< Нтт£ —
5^0+ \ 5
2п
г
5
-у [/(х + Т) - /(х)]^т 5/2
|#(х)| ¿х+
1
1
к
к
р
5
—^
5
£
5
г
5
2
+s
2п
5 t
J 1 J[f (x + T) - f (x)]dTdt
5/2 0 1
2"~w' 2'
|g(x)| dx <
< limönf 2(0(f, 5)p{.) + 2u-) + (1 + rp([0, 2n])fi(f, s)p(0) < CM.
Здесь гр([0, 2п]) = р + = < 2. Лемма доказана.
Лемма З.Пусть р(х) еТ и / е Ь1рр() (1, М). Тогда для п =1, 2,... верна оценка
||Sn (f ) - ^г
0 < CMn-1,
где On(f )(x) =
1 n
—Г £ Sm(f)(x).
n + 1 m=0
Доказательство. Следует из предыдущей леммы, равномерной ограниченности частичных сумм Бп(/)(х) и того факта, что для произвольной / е Ь^г^ и ее сопряженной функции /х) имеет место неравенство ||/||р() < с(р)||/||р(), где с(р) — некоторая константа, зависящая только от переменного показателя р.
Теоремы 1-3 доказываются аналогично теоремам 1-3 в [2] с помощью приведенных выше лемм.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00191-а) Библиографический список
1. Шарапудинов И. И. Некоторые вопросы теории приближения функций тригонометрическими полиномами в // Математический форум (Итоги науки. Юг России). 2011. Т. 5. С. 108-118. [Sharapudinov I. I. Some problems in approximation theory by trigonometric polynomials in L?^ // Math. Forum (Itogi nauki. The South of Russia). 2011. Vol. 5. P. 108-118.]
2. GuvenA., Israfilov D. M. Trigonometric approximation in Generalized Lebesgue spaces Lp(x) // J. of Math. Inequalities. 2010. Vol. 4, № 2. P. 285-299.
3. Chandra P. Approximation by Norlund operators// Mat. Vestnik. 1986. Vol. 38. P. 263-269.
4. Chandra P. A note on degree of approximation
УДК 517.984
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ЗВЕЗДООБРАЗНОМ ГРАФЕ С РАЗНЫМИ ПОРЯДКАМИ НА РАЗНЫХ РЕБРАХ
В. А. Юрко
Саратовский государственный университет E-mail: YurkoVA@info.sgu.ru
Исследуется обратная спектральная задача для дифференциальных операторов переменных порядков на компактных звездообразных графах. Приведена теорема единственности восстановления потенциалов по матрицам Вейля. Получено конструктивное решение обратной задачи.
Ключевые слова: звездообразные графы, дифференциальные операторы переменных порядков, обратные спектральные задачи.
by Nörlund and Riesz operators// Mat. Vestnik. 1990. Vol. 42. P. 9-10.
5. Diening L. Maximal function on generalized Lebesgue spaces Lp(-)// Math. Inequal. Appl. 2004. Vol. 7. P. 245253.
6. Kovacik O., Rakosnik J. On spaces Lp(x) and Wfe'p(x)// Czechoslovak Math. J. 1991. Vol. 41, № 4. P. 592-618.
7. DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive Approximation. Vol. 303 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Berlin : Springer-Verlag, 1993.
Recovering Differential Operators on Star-Type Graphs with Different Orders on Different Edges
V. A. Yurko
An inverse spectral problem is studied for variable orders differential operators on compact star-type graphs. A uniqueness theorem of recovering potentials from the Weyl matrices is provided. A constructive solution of the inverse problem is obtained.
Key words: star-type graphs, variable orders differential operators, inverse spectral problems.
© Юрко В. А., 2013
