Конечные предельные ряды по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерных сетках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2

приближения. М. : Наука, 1987. [Korneichuk N. P. Exact Constants in Approximation Theory. Moscow : Nauka,1987.]

5. Дзядык В. К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев : Наук. думка, 1988. [Dzyadyk V. K. Approximation methods for solving differential and integral equations. Kiev : Naukova Dumka, 1988.]

6. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М. : Наука, 1976. [Stechkin S. B., Subbotin Yu. N. Splines in Computational Mathematics. Moscow : Nauka, 1976.]

7. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.; Ижевск : НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2002. [Babenko K. I. Fundamentals of Numerical Analysis. Moscow; Izhevsk : NIC Regular and chaotic dynamics, 2002.]

8. Шакиров И. А. Полное исследование функций Лебега, соответствующих классическим интерполяционным полиномам Лагранжа // Изв. вузов. Математика. 2011. № 10. С. 80-88. [Shakirov I. A. A complete description of the Lebesgue functions for classical lagrange interpolation polynomials // Russian Math. (Izv. VUZ. Matematika). 2011. Vol. 55, № 10. P. 70-77.]

УДК 517.518.82

КОНЕЧНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ РЯДЫ ПО ПОЛИНОМАМ ЧЕБЫШЕВА, ОРТОГОНАЛЬНЫМ НА РАВНОМЕРНЫХ

Т. И. Шарапудинов

Дагестанский научный центр РАН, Махачкала E-mail: [email protected]

В настоящей работе построены новые конечные ряды, так называемые конечные предельные ряды по полиномам Чебы-шева (Хана), ортогональным на равномерной сетке, которые совпадают в концевых точках x = 0 и x = N - 1 с исходной функцией f (x). Конструкция конечных предельных рядов основана на предельном переходе при а ^ -1 конеч-

N-1

ных рядов Фурье J2 fa Tk'a (x, N) по полиномам Чебышева

k=0

(Хана) T%'a(x, N), ортонормированным на равномерной сетке

{0,1,..., N - 1}.

Ключевые слова: конечные ряды Фурье, ортогональные полиномы.

Finite Limit Series on Chebyshev Polynomials, Orthogonal on Uniform Nets

T. I. Sharapudinov

In the paper we construct new series, called finite limit series on Chebyshev (Hahn) polynomials t^"3(x) = t^"3(x,N), orthogonal on uniform net {0,1,..., N - 1}. Their partial sums Sn (f ; x) equal in boundary points x = 0 i/i x = N - 1 with approximated function f (x). Construction of finite limit series based on the passage to the limit with a ^ -1 of Fourier

N-1

series Y^ fa Ta,a(x,N) on Chebyshev (Hahn) polynomials

k=0

(x, N), orthonormal on uniform net {0,1,..., N - 1}. Key words: Fourier series, orthogonal polynomials.

ВВЕДЕНИЕ

В задачах, связанных с обработкой временных рядов и изображений, возникает необходимость разбить заданный ряд данных на части, затем аппроксимировать его покусочно. Тогда в местах стыка, как правило, возникают нежелательные разрывы. Такая картина непременно возникает при использовании для приближения участков исходной функции сумм Фурье по классическим ортонормированным системам, например полиномам Чебышева, ортогональным на равномерных сетках. Остановимся на этом случае более подробно.

Через т^) мы обозначим классические полиномы Чебышева [1], которые при а, в > — 1 образуют ортонормированную систему на равномерной сетке ^^ = {0,1,..., N — 1} с весом:

л лп Г^)2а+в+1 Г(ж + в + 1)Г^ — ж + а)

шж) = шж; а,в^) = _ "—----- ———-Ьгттг-;-1,

' т ' ; Г^ + а + в +1) Г(ж +1)Г^ — ж) '

Для произвольной дискретной функции / : ^^ ^ И мы можем определить коэффициенты Фурье-Чебышева, конечный ряд Фурье

N —1 N — 1

= £ ма )тгв (^)/а), / (ж) = £ та'в (ж^), 3=0 к =0

и сумму Фурье:

SaN (/,*) = £ (x,N ), 0 < n < N - 1.

k=0

n

© Шарапудинов Т. И., 2013

Указанные выше разрывы в точках «стыка» возникают из-за того, что суммы Фурье (х) не совпадают с исходной функцией /(х) в точках х = 0 и х = N — 1. С другой стороны, проанализировав асимптотические свойства полиномов т^'^(х, N) вблизи концов 0 и N — 1 (см. [1]), можно заметить, что суммы Фурье (/'X) по этим полиномам имеют тенденцию стремиться к /(х) точках х = 0 и х = N — 1 при а, в ^ —1, т. е.

S—n(f,x) = f (x), x e{0,N - 1}, (1)

где S— N(f,x) = lim S^ 'NN(x). В настоящей статье мы исследуем, что собой представляет S— N(f,x)

и нельзя ли использовать S— N (f, x) в качестве альтернативного суммам Фурье S^ 'NN (f, x) аппарата приближения дискретных функций.

1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОЛИНОМАХ ЧЕБЫШЕВА, ОРТОГОНАЛЬНЫХ НА РАВНОМЕРНОЙ СЕТКЕ

Пусть а, в — произвольные действительные числа. Полиномы Чебышева (x,N) мы определим с помощью обобщенной гипергеометрической функции следующим образом:

(x, N) = (-1)^n + ^ 3F(-n, —x, а + в + 1+ n; в + 1,1 - N; 1) =

= )п Г(п + в + 1) А( )fc n[k] (n + а + в + 1)kx[k] (2)

( X) n! k=0( X) Г(к + в + 1)k!(N - 1)И' (2)

k=0

где а[0] = 1, a[k] = а(а - 1) ■ ■ ■ (а - k + 1), (а)0 = 1, (a)k = а(а + 1) ■ ■ ■ (а + k - 1), в частности

T0a'e(x, N) = 1, Ta'e(x, N) = а + вx - в - 1. (3)

Ниже нам понадобятся следующие [1] свойства полиномов (х^): ортогональность при а, в > —1

N — 1

Mx)TT'e(x, N)Tm'e(x, N) = ¿nmh^'N, (4)

x=0

где

равенства

в = (N + n + а + в )[n] Г(п + а + 1)Г(п + в + 1)2а+в+1 n''N = (N - 1)N п!Г(п + а + в + 1)(2n + а + в + 1), ()

(х, N) = (—1)п ^ — 1 — х, N), (п + а + 1)та'в (х, N) — (п + 1)1^1 (х, N) = 2п + в + 2 (N — 1 — х)Т^+1'в (х, N — 1),

(х, N) =(п +!в)!(п+а)';^в тй' (х+в, N+в),

где в — целое, —п < в < —1, причем, если а, в — целые, —п < в < —1, — (п + в) < а < —1, то

(X'N) = ¿'--в!!^ — х + вГа]] Г»--Й-5(х + в' N + а + в). (6)

2. КОНЕЧНЫЙ ПРЕДЕЛЬНЫЙ РЯД ПО ПОЛИНОМАМ ЧЕБЫШЕВА, ОРТОГОНАЛЬНЫМ НА РАВНОМЕРНОЙ СЕТКЕ

rna(x) = Tna(x,N) = {h^'N}—2TT'a(x,N), 0 < n < N - 1. (7)

Пусть а > —1,

Тогда в силу (4) полиномы т,а(х) = т^ (X'N) (0 < п < N — 1) образуют на сетке = {0,1,... ^ — 1} ортонормированную систему с весом

^ лп г лп Г(N )22а+1 Г(х + а + 1)Г(N — х + а)

д (х)= д (x'N)= д(х; а,а^) = г(N + 2а + 1) Г(х + — х) , (8)

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2 т. е.

N-1

^ да (х)та (х)тШ (х) = ¿пш. (9)

х=0

Дискретную функцию / : ОN ^ К мы можем представить в виде конечного ряда Фурье по полиномам т£(х) = та(х, N) (0 < п < N — 1):

N—1

а

f(x)=E faTka(x), x e On, (10)

k=0

где

N —1

f* = ^ f(jK(jK(j). (11)

j=0

Конечным предельным рядом по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке, мы будем называть конечный ряд, полученный в результате почленного предельного перехода при а ^ — 1

N—1

в конечном ряде Фурье-Чебышева (10), т.е. конечный ряд вида f(x) ~ f—1 т—1 (x), x e On, где

k=0 k k

f—1т—1(x) = lim ffcarfca(x). При этом отметим, что выражение f— 1т— 1(x), вообще говоря, не может

а^ — 1

N —1

быть определено с помощью равенств (7) и (11), так как сумма f(j)T— 1(j)^_1(j) теряет смысл

j=0

из-за того, что д_1(0) = ^_1(N- 1) = го (см.(8)). Поэтому возникает вопрос о том, что представляет собой выражение f— 1т— 1 (x) = lim faта(x). Рассмотрим сначала два случая: k = 0 и k = 1.

а^ —1

Из (3) и (7) имеем:

tf(x) = WN Г'* = Ж + ^ = п—Л /Г<а + 3/2), (12)

0W 1 0'NJ 2а+1/2Г(а + 1) у Г(а +1) ' v ;

т а (x) па>П — 1/2 (а + 1)f 2x Л _ —1 /4, /о Г(а + 5/2)(а + 1) f N - 1 /2x Л т1 (x) = {h1'N} /(а + 1-_ 7 V^y—Т(ОТ2— Vn+1 + 2а In-г-1

Из (11) и (12) находим

N—1

«(x) = £ ^(jK(j)f (jК(x) =

j=0

N—1

= —1/2 Г(а + 3/2) r(N)22а+1 (а + 1) ^ r(j + а + 1)r(N - j + а) (.) = _ Г(а + 2) r(N + 2а + 1) r(j + 1)r(N - j) f (j)

_1/2 Г(а + 3/2) r(N )22а+1 Г(а + 2) r(N + 2а + 1)

Г(а + 2)r(N + а)

r(1)r(N) f (0)+

r(N + а)Г(а + 2) +1) r(j + а + 1)r(N - j + а) f(j) + r(N)Г(1)-f (N - 1) + (а + 1) r(j + 1)r(N - j)-f (j)

Из (13) непосредственно следует, что

(13)

^ /?tf (x)= f (0) + ^ — 1). (14)

а^ —1 2

В случае k = 1 из (12) и (7) имеем:

j=0

N—1

fW(x) = £ ^(jK(xK(j)f (j) = _—1/222а+2 ^;++522) N N 1+12а (

х(а + П V ('r(j + а + 1)r(N - j + а) (.) (15)

х(а + 1)Z, I n - 1 Vr(N + 2а + 1) r(j + 1)r(N - j) f (j)' (15)

j=0

= п

106

Научный отдел

Применяя такие же рассуждения, какие применялись при доказательстве (14), из (15) выводим

Ä ™ (x) = ¿^ЪМ (т - г) . (16)

Перейдем теперь к случаю, когда к > 2. В этом случае, пользуясь равенствами (7), (8) и (11), мы можем записать

Ta,a(x N) N-1 ra,a(x N) N-2

faTka(x) = k .Га' ^ )lT(j\N)f(j) = k ^ )Tka'a(j,N)g(j), (17)

' k,N j=0 hk,N j = 1

где

g(t)- f(t) f (Q) + f (N - 1) f (N - г) - f (QU 2t г g(t) - f (t) 2 2 IvN-T- г

Далее, при к > 2, 1 < j < N — 2 имеем (см. (5))

hа,а - (N + к - 2)[k] (к - г)!2) = (N + к - 2)[k] к - г (18)

al-1 hfc>N (N - 1)И 2к!(к - 2)!(2к - 1)) (N - 1)И 2к(2к - 1)' ( 8)

lim ) - r(N) r(x)r(N - x- г) - N - 1 - (?) (19)

Л-1 ^ (j) 2r(N - 1) Г(х + 1)r(N - x) 2j(N - 1 - j) ^ (j)' (19)

Кроме того из (2) и (6) имеем:

Jim IT(*,N) - Г-1'"1 (x,N) - - (N(--(Xv--1}2)Tk-2(x - N - 2). (20)

Сопоставляя (18)-(20) с (17), при к > 2 находим

„a a/ . 2к(2к - 1) (N - 1)[k] x(N - x - 1) ,1f _ дг ^

lim fa та (x) - —\-zr^T^r—7 un /лг —2 (x - - 2)x

ai-Uk kW к - 1 (N + к - 2)[k] (N - 1)(N - 2) k-2V ' 7

N"2 • (N - ' - 1)

X E ^ (j )(N Г- 1)/n -2) Tk1i(j - - 2)g(j ) -

3=1 (Ж — 1)(Ж — 2)

= п к(2к — 1) — 3)[к—2] 1,1 ж — ж — 1) ,21.

= 9к-2^—Т N + к — 2)[к—2] Тк—2(ж — 1' Ж — 2) N (Ж — 1) ' (21)

где

1 N—2

9т = 9т(Ж) = тт1 (а — 1, N — 2)9(3). (22)

3=1

Из (10), (14), (16), (21) и (22) мы выводим следующее равенство:

, = / (Ж — 1) + / (0) + / (Ж — 1) — / (0)/ 2ж Л

; (ж)= 2 + 2 ^ — 1 У +

+ ж(Ж — ж — 1) (к + 2)(2к + 3) (Ж — 3)[к] 9Т 1,1 (ж 2) (23)

+ N (Ж — 1) к=0-к+1-(Ж + к)[к]9к Тк (ж — — 2)- (23)

Равенству (23) можно придать несколько иной вид. С этой целью заметим, что в силу (5)

(Ж + к)[к] Г(к + 2)Г(к + 2)23 (Ж + к)[к] к + 1

.1,1 - у- . -у -у- . -у- V" . -у- - о

AT О - -----_ Ч Г7 т У, -х/.^-, -X - 0

k'N-2 (N - 3)И к!Г(к + 3)(2к + 3) " (N - 3)И (к + 2)(2к + 3)' отсюда, с учетом (7) и (21), для к > 2 имеем

alim1 fkaTka(x) - 0Xj(-(i—--)1)^k-2Tk-2(x - 1,N - 2),

где

1 N-2

öm - öm(N) - E тт(j - 1, N - 2)g(j). (24)

j=1

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2

Поэтому из (10), (14) и (16) мы выводим следующий результат

Теорема 1. Для любой дискретной функции /(х), заданной на сетке ^ = {0,1,... ^ — 1}, справедливо следующее равенство

f (x) _ f (N - 1) + f (0) + f (N - 1) - f (0)

2

2

2x

N - 1

1

N_3

+ 81N: x -,1) ¿ fcr¿(x - 1,N - 2), (25)

k=0

N(N - 1)

в котором коэффициенты дк определены c помощью равенства (24). Рассмотрим частичные суммы конечного ряда (25) следующего вида:

S-i (f x) _ f(N - 1) + f(0) + f(N - 1) - f(0)

Sn,N(f, x) _ о + о

2x

N1

1+

+

8x(N - x - 1) N(N - 1)

r,1 (x - 1, N - 2).

(26)

=0

Из равенства (26) видно, что Sn N(f,x) совпадают в концевых точках x = 0 и x = N — 1 с исходной функцией f (x), т. е. S"N(f, x) = f (0), S"N—1 = f (N - 1).

Следует отметить, что полиномы т—1 (x,N) = lim т^'^(x, N) не образуют ортонормированной

а,в—►_ 1

системы на ОN. Тем не менее £п (/,х) является проектором на подпространство алгебраических

полиномов степени п. Можно показать, что (/, х) как аппарат приближения дискретных функ-

' — 1 — 1 ций не уступает суммам Фурье-Чебышева по полиномам Чебышева тп 2' 2 (X'N). Отметим еще, что

конструкция сумм £—N(/,х) столь же проста, как конструкция конечных рядов Фурье по ортогональным полиномам. Но она является более удобной с точки зрения численной реализации, так как в выражении, определяющем коэффициенты дк, фигурирующие в конструкции сумм £—N(/,х), не

Г(х + а + 1)Г^ — х + а)

участвует весовая функция типа

Г(х + 1)r(N - x)

которая в случае а < 0 привела бы к су-

щественным вычислительным сложностям. Это обстоятельство вместе с (1) делают суммы N(f,x) весьма привлекательным инструментом для решения задач, связанных с аппроксимацией дискретных функций.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00191-а). Библиографический список

1. Шарапудинов И. И. Смешанные ряды по ортого- rapudinov I. I. Mixed series of orthogonal polynomials. нальным полиномам. Теория и приложения. Махачка- Theory and applications. Makhachkala : Dagestan. nauch. ла : Дагестан. науч. центр РАН, 2004. 276 с. [Sha- center RAN, 2004. 276 p.]

УДК 517.518.8

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ СРЕДНИХ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ

В ПРОСТРАНСТВЕ L

Т. Н. Шах-Эмиров

p(x) 2п

Дагестанский научный центр, Махачкала E-mail: [email protected]

В работе рассмотрены аппроксимативные свойства линейных средних типа Норлюнда Яп (f, x) и Рисса Rn (f, x) для тригонометрических рядов Фурье в пространстве Лебега с переменным показателем Lp^- При определенных условиях на методы суммирования Норлюнда и Рисса доказано, что если f е Lipp(.) (a, M) (0 < а < 1), то ||f - Nn ||р(.) < CMSa, llf -Rn ||p(.) < CM8a.

Ключевые слова: пространства Лебега и Соболева с переменным показателем, модуль непрерывности.

Approximation Properties of Some Types of Linear Means in Space Lpx

T. N. Shakh-Emirov

Approximative properties of Norlund Nn (f, x) and Riesz Rn (f, x) means for trigonometric Fourier series in Lebesgue space of variable exponent Lpnx) are considered. Under certain conditions on Norlund and Riesz summation methods it is proved that the estimates

llf - Nn ||P(.) < CMSa, ||f - Rn ||P(.) < CMSa hold for f G Lipp(.) (a,M) (0 < a < 1).

Key words: Lebesgue and Sobolev spaces of variable exponent, module of continuity.

© Шах-Эмиров Т. Н, 2013