Аппроксимативные свойства специальных рядов по полиномам Мейкснера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 3, С. 21^36

УДК 517.521

DOI 10.23671 /VNC.2018.3.17961

АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА СПЕЦИАЛЬНЫХ РЯДОВ ПО ПОЛИНОМАМ МЕЙКСНЕРА

Р. М. Гаджимирзаев1

1 Дагестанский научный центр РАН, Россия, 367032 Махачкала, ул. М. Гаджиева, 45 E-mail: ramis3004@gmail.com

1

Аннотация. Построены новые специальные ряды по модифицированным полиномам Мейкснера Ma,N (x) = МЛNx). Эти полиномы при a > — 1 образуют ортогональную с весом p(Nx) систему па равномерной сетке Qs = {0,5,25,...}, где 5 = 1/N, N > 0. Упомянутые специальные ряды по полиномам Ma n (x) появились как естественный и альтернативный рядам Фурье — Мейкснера аппарат одновременного приближения дискретной функции /, заданной на равномерной сетке Qs, и ее конечных разностей /. Основное внимание в настоящей статье уделено исследованию аппроксимативных свойств частичных сумм указанных рядов. В частности, получена поточечная оценка для функции Лебега частичных сумм специального ряда. Следует отметить, что новые специальные ряды, в отличие от рядов Фурье — Мейкснера, обладают тем свойством, что их частичные суммы совпадают со значениями исходной функции в точках 0,5,..., (r — 1)5.

Ключевые слова: полиномы Мейкснера, аппроксимативные свойства, ряд Фурье, специальные ряды, функция Лебега.

Mathematical Subject Classification (2000): 41А10.

В настоящей работе рассмотрены новые специальные ряды по модифицированным полиномам Мейкснера МП N (х) = Ы^^х) с а > — 1, ортогональным на равномерной сетке = {0, 5, 25,...}, где 5 = , N > 0, и исследованы аппроксимативные свойства их частичных сумм. В частности, получена оценка сверху для функции Лебега частичных сумм специального ряда по полиномам Мейкснера МП N (х). Специальные ряды по полиномам Мейкснера МП N (х) обладают значительно лучшими аппроксимативными свойствами, чем ряды Фурье по указанным полиномам. Например, новые специальные ряды, соответствующие заданному г € N обладают тем свойством, что частичные суммы этих рядов интерполируют исходную функцию в точках 0, 5,... , (г — 1)£.

При исследовании аппроксимативных свойств частичных сумм специального ряда нам понадобятся некоторые свойства полиномов Мейкснера МП N (х), которые мы приведем в следующем пункте.

Для ц = 0 и произвольного а € М классические полиномы Мейкснера [1-3] можно определить с помощью равенства

1. Введение

2. Некоторые сведения о полиномах Мейкснера

©2018 Гаджимирзаев Р. М.

где ж[к] = ж (ж — 1)... (ж — к + 1), (а)к = а(а + 1)... (а + к — 1). При а > —1 и 0 <д< 1 полиномы Мейкснера МП(ж) образуют ортогональную систему на сетке {0,1,...} с весом р(ж) = р(ж, а, д) = (1—д)а+1, а, более точно, имеет место следующее равенство:

те

Е

х=0

ша(ж)ша(ж)р(ж) = ¿пк, 0 < ^ < 1, а > —1,

где т«(ж) = т«(ж)(?) = К(<г)Г2М«(ж), = ("^"Т(а + 1).

Пусть Ж > 0, <5 = = е"г, = {0, 5, 25,...}. Многочлены М^м{х) = е"г)

и тпи(.х) = пт-п^х, е~&) = 2 в случае а > — 1 образуют ортогональ-

ную и ортонормированную на системы с весом р(Жж) = р(Жж; а, е-5).

В дальнейшем, при оценке функции Лебега, важную роль играет следующая формула Кристоффеля — Дарбу:

Кп,м (^,ж) = ^ (ж)

к=0

_ <У(п + 1)(та + а + 1)

(ег/2 — е_г/2)(ж — ¿)

которую можно записать [4] так:

[тп+1,М(ж) — (ж)] . (1)

ап

'т<П,М (ж) +

ап ап— 1

(ап + ап-1) + (в2 - е"г) (ж - 0 (2)

х (ж) № — СО) — № (та+1^(ж) — тап-1>м(ж))] ,

ап

= л/(п + 1)(п + а + 1). Для 0 < 5 < 1, Ж = Л > 0, 1 < п < ЛЛГ, а > -1,

0 ^ ж < то, 8 ^ 0 = 4п + 2а + 2 справедливы [2, 5] следующие оценки:

е 2 м(ж ± ^ с(а, А, 2 ^(ж),

<(ж) =

01

а п,

4Ж 2 4 ,

_

Iе 4>

0 < ж <

«п '

вп ^ ™ Збп

2 ^ л ^ 2 ' Ц*- < X < ОО,

(3)

е 2 ± - ж ±

/ --1

Д 2

Рп ,

^ с(а, Л, 8) <

Ж"2 0га4 +

_х_

уе 4,

0 < ж <

«п1

— ^ гр < Оп.

0П ^ 2 '

^ ™ Збп 2 ^ л, ^ 2 '

(4)

3«п

< ж < .

Здесь и далее с с(а), с(а,... , Л) — положительные числа, зависящие только от указанных параметров, причем различные в разных местах.

3

3. Неравенство Лебега для частичных сумм специального ряда по полиномам Мейкснера

В работе [6] были введены специальные ряды по классическим полиномам Лагер-ра и исследованы аппроксимативные свойства их частичных сумм. В настоящей работе мы рассмотрим специальные ряды по полиномам Мейкснера, которые являются дискретным аналогом вышеупомянутых специальных рядов по полиномам Лагерра. Нам понадобятся некоторые обозначения. Пусть Q — дискретное множество, состоящее из бесконечного числа различных точек действительной оси, ^ = ^(ж) — неотрицательная функция, определенная на этом множестве. Через обозначим пространство функ-

ций /, заданных на Q и таких, что Х^еп / 2(ж)^(ж) < то. Мы рассмотрим случай, когда Q = = {0, <5, 2<5,...}, ô = jj, /л(х) = p(Nx) = p(Nx;a,e~s). Пусть d(x) € тогда

при ж € Qr,s = {r£, (r + 1)5,...} мы можем определить дискретный аналог полинома Тейлора следующего вида:

Pr_ 1;N(х) = (Nx) M, A°sd(x) = d{x),

v=0 '

A(jd(x) = d(x + ¿) — d(x), AVd(x) = As(AV-1d(x)). Легко проверить, что функция dr(x) = ^^-т^д^^н^ принадлежит пространству h,PN r(^r,s), где pN,r(x) = p(N(x — rô)), a модифицированные полиномы Мейкснера m^ n г(ж) = mkN(ж — r5) (k = 0,1,...) при a > — 1 образуют ортонормированный базис в l2, PNr(Qr, s) с весом pn, r(ж). Поэтому мы можем определить коэффициенты Фурье — Мейкснера

tenr>5 tenr>5 ( )

и ряд Фурье — Мейкснера

те

dr(ж) = ^ dr,fcmfc,N, г(ж) k=0

который в силу базисности в ¡2,pN r (Qr,s) системы полиномов Мейкснера ш^^Дж) (k = 0,1,...) сходится равномерно относительно ж € Qr,s- Отсюда следует, что

те

¿(ж) = Pr-1,N(ж) + N-rdakш^Дж), ж € Qs. (5)

k=0

Следуя [7, 8], мы будем называть (5) специальным рядом по полиномам Мейкснера для функции ¿(ж). Частичную сумму ряда (5) обозначим через

n

Sn+r,N (¿,ж) = Pr-1,N (ж) + N-r J] â™k т^Дж).

k=0

Если ¿(ж) = pn+r (ж) представляет собой алгебраический пол ином степени n + r, то, очевидно, d^k = 0 при k ^ n + 1 и поэтому го (5) следует Sn+rN(pn+r, ж) = pn+r(ж), т. е. Sa+rN(d, ж) является проектором на подпространство алгебраических полиномов pn+r(ж) степени не выше n+r. Обозначим через qn+r(ж) алгебраический полином степени n + r, для которого AM(0) = Агqn+r (0) (i = 0,..., r — 1). Тогда

Цж) — S"+r, n (d, ж) | = (¿(ж) — qn+r (ж) + qn+r (ж) — Sa+r, n (d, ж) | ^ ^(ж) — qn+Дж)! + |Sa+r,N(qn+r — ¿,ж)( .

Отсюда для ж €

е эх 2 + 4 \с1(х) — х) |

^ \й(х) -дп+г(х)\ + — с?, ж)|

Так как Рг-1,? (цп+г — ж) = 0, то

е 2Ж 2 + 4 - (¿,ж)|

Х^+г — <1)акт%м(ж — гй)

к=0

^ е 2 ж

^ — гй)та,?(ж — гй)

к=0

t£Qr §

Положим

Е1(г1, <5) = И вир е 2 ж 2 + 4 — ^(ж)| ,

(6)

(7)

(8)

где нижняя грань берется по всем алгебраическим полиномам Цк(ж) степени к, для которых Дг^(0) = Агдк(0) (г = 0,..., г — 1). Тогда из (6) и (7), учитывая (8), получаем

е 2Ж 2 + 4 \(1(х) - 3%+г>м(с1,х) \ ^ Егп+Г((1,5) (1 + 1%у(х))

(9)

где

^(ж) = ^

t€.Qr §

е-2+гП2"4Г(М - г + а + 1)

(1 — е-<5)а+1 (* — гй, ж — гй)|

В связи с неравенством (9) возникает задача об оценке функции Лебега 1п?(ж) при п ^ ЛЖ, Л ^ 1. В настоящей работе мы ограничимся исследованием величины 1п\? (ж) на множествах С\ = [гй, и 62 = А оценка функции 1п]г (ж) на промежут-

ке (^-,00) является объектом исследования другой нашей работы. При доказательстве следующей теоремы мы воспользуемся техникой доказательства теоремы 4 из работы [6].

Теорема 1. Пусть г £ К, г-\<а<г + \, 9п = 4п + 2а + 2, А ^ 1, 0 < й ^ 1, й = 1 /Ж п ^ ЛЖ. Тоща имеют место следующие оценки: 1) если х (Е С1\ = [гй, , то

п?(ж) < с(а,Л,г^11П+П + 1)

п

а = г, а-г, а = г;

(10)

2) если х € С2 =

то

С?(ж) < с(а, Л, г)

1п(1 + пж) +

а —г

п\ —

ж

(11)

< Пусть х € G\ = \rö, . Тогда

1n'N (x) — Si + S2,

(12)

где

Si < c(r)e"f a;"i+4 (ДГЖ)Г ^ е~Ш"(т)а-г (1 _ е"г)

s\«+i

KON (t — x — r^) I

tenr

>

S2 ^ c(r)e 2Ж 2+4(л/"®)'''

t r 1

e"2t2-4r(iVi - r + a + 1)

(1 — e-s)a+1 (t — r5, x — r5)j .

Z^ Г (./Vi +1) ^ ; 1n'N

7j \ tXJ Pn

Оценим Si. Из (1) и (3) получаем

5*1 ^ c(a, г)ж2 + 4^ ^ ta 2 4 ^ |e 2 m%>N{x — rö) | |e 2m^)iV(i-n5)|

ienr,Ä, fc=o

0n

, fc=0 i€Qr,ä,

(13)

r , 3

<с(а,Л,г)^ 2 4 / ta-2-idt^c(a,\,r)9n 24-

J а 2 -Г 4

7Г"+г

0n

— с(а, Л, r).

0

Перейдем к оценке величины £2. Для этого представим ее в виде S2 ^ S21 + S22 + S23,

где

tri,

S21 = е-вд+iw V — г + а + 1)

^<¿<00

х (1 — e-s)a+1 |ma>N(x — r^m^(t — r£) | ,

522 = """" 1--д ^ 2Ж§+1дГ - г5) - m%_1}N(x - rö) \

OLn ~r OLn—\ g2 — g 2

_ t i_I

■^<t<oo

uinuin—\ и _x Iii Лтг I n / I

s23 = -——--ä-Ге 2Ж2+4ЛГ'" - r<5)|

araara-i__S_ x r , i

CK«, + Öra_l g2 _ g—2

'"ra-l.Wl

x £ ^Xi»-+») +11 ^-!<»■""--<-■■"<'-'"'1

0n

Оценим величину £21. Из (3) имеем

321^с(а,\,г)х1+ ^ Р зе 2 - г + 1)

t€Пr,§,

тг-<*<оо

х (1 — е-г)а+1 |та,?(* — гй)|

(14)

Пусть

ТЛЛ ^ е 2( 2 4Г(т-Г + СК + 1) , I а ,, .

Е -- г + 1)-(1"е ) \тп,и(*-Щ=Ш1 + Ш2

teп

4

Уп

г,§ ,

где

^ = е

е-П-*-Щт - Г + а + 1) (1 _ е_,г+1 ! ( _ гЛ) |

уп 2

Г(М — г + 1)

тлл ^ е 2( 2 4Г(№-Г + а+1), -йча+1 I а |

^ = Е -т{т-г + 1)-(1"е )

t€Пr,§ ЗУ

<t<те

Применяя неравенство Коши — Буняковского к величине ^1, получаем

/

<

^ / 1 - г + а + 1)

( ' г№-г+1)

4 ^ 3 9п

п 2

/

^Пг §,

/

/ 2

< с(а)

Г(М — г + 1) \ *

/

/

— ^ *—^ 4 г 1 —

\¥2^с{а,\,г)0п25 ^ е^Гп ^ с(а, X, г)вп 2 е~п.

t€Пr,§,

Из оценок (15) и (16) находим

W ^ с(а,Л,г)Р

Из последнего неравенства и (14) имеем

£21 < с(а, Л, г)р

ОС —Г I 1

9 Ти

а—г п.

(15)

(16)

(17)

х

2 1 4

Перейдем к оценке величины £22- В силу (4) и (3)

где

-§22 < с(а, Л, г)ш^+4 0га2 вп 2 5

^<¿<00 вп

£ — ж

= £22 + £22 + £22!

5*22 = с(а, Л, ** "Г г = 1,2,3,

геВ;

^ ^п' 2

ПО

7' ~2

£ — ж

(30

оо ) П

Из (3) получаем

^ <с(а, Л,

геВх

^ с(а, Л, г)0

_г__1

2 2 2 П

г 1 „а 1

¿2-4^-^-2-4

£ — ж

/ вц. \

__г__3 2

/ 4 \ 2 2 2 Г а г з

5 + / ¿2_2~2 ^

V / ./

V

4

вп

/

^ ——-—уб1^ 2 £ 2 2 2

а _ г. _ _

2 2 2

а_тт._X

а_г_1 / 4\ 2 2 2

^ с(а, А, г)вп 2 2 т- =с(а,Л,г), (18)

V /

^2 < с(а,Л,г)ж2+4 0га45

+ |£ —

геВ2

£ — ж

3 вГ1 2

^ с(а, Л, г)0

а—г— т

о Т л л л / . \

й? + |£ - ей < с(а, Л, 4 04 < с(а, Л, г)0;

(19)

2

т 1 ^ £ 2 4 ^^ ^ ^ 4

£ — ж

геВз

те

- —— /* г 5 £

2 4 / +а-о-т0-т гП^ „(г,, \ „ЛД 2 4„-п

< с(а,А,г)0га2 4 J Г"2-4е-4 М ^ с(а, \,г)9п2 4е~п. (20)

Собирая оценки (18)—(20), находим

£22 < с(а,Л,г)(1 + С-'-2)- (21)

Оценим £22:

г _ 1 _ ^ т 1 ^ £ 2 4 ^^

5*23 ^ с(а, ^ _ ^^

е"1 К+1)М(£ - г5) - т°_1>лК* - г5)| < ^ + + 53

х е 2 1т„ ,1 м-(£ — го) — т,

22,

?-<*<те

в

п

где

5*23 = с(а,\,г)9£+1хГ2+и ^ -—^е а - г5) - - г5)|

г 1

(£ — ж)

В силу (4) получаем

teBl

^ с(а, Л, г)0

--7 л, г 1 а; . 1

0га4Г" 2-4^2+4

^ ж

ск_ г

2 2 п

(Л _ Г__ 1

4 \ 2 2 1

\

+ / ¿2"2"!^

4

Уп

/

21п 0п - 31п 2,

<с(а,Л,г) <( « §

а г 'вп\2~2

Л ч а Г

а = г, а = г,

(22)

£2з < с(а,Л,г)0

_£._|_3 _

г *

teB2

впНа~2~4Г2

0п + К — 0п|

^ ж

^ с(а, Л, г)0

а—г— — п

[01 + К - М < с(а, Л, = с(а, Л, г)0;

а—г п,

(23)

2 °

ск__

¿ 2 4 е 4

teBз

^ ж

^ с(а, Л, г)0

_г | 3

2 2 "|_4

г 5 t

Г-2-4е"4 М ^ с(а,\,г)92 2+1е~п. (24)

Из оценок (22)-(24) выводим

£23 < с(а,Л,г^21пРп — 31п2, а = г,

г, а = г.

(25)

Собирая оценки (17), (21) и (25), находим

о ^ г \ \ /1п(п + 1), а = г,

£2 < C(а, Л, г /

11 + па ', а = г.

(26)

Из (12), (13) и (26) имеем

г^'?(ж) < с(а, Л, г)

{1п(п + 1), а = г, 1 + па—г, а = г.

Тем самым оценка (10) доказана.

Л 2

2

п

3

2

Перейдем к доказательству оценки (11). Пусть ж € С2 = -у]. Введем обозначения

Б

2 —

г5,х - Л / —

= ( Ж- ,Ж +

V

П ж

П £,

Ог= [х + . —, оо П

Тогда (ж) — 72 + 72 + 7з, где

Зг < ^ |(£ - гй, ж - гй) | , г = 1,2,3.

Оценим 72- Для этого заметим, что в силу неравенства Коши — Буняковского

Далее, если — ^ ¿р, кроме того, для £ € £>2, имеем С1Ж ^ £ ^ с2ж.

Тогда

Отдельно оценим величину |е-гКНм(£ — гО, £ — г0)|. Используя (1), (3) и (4), почти дословно повторяя рассуждения доказательства леммы 7.1 из работы [6], в которой получена оценка ядра Кристоффеля — Дарбу для полиномов Лагерра, можно доказать следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть а > — 1, 6П = 4п + 2а + 2, А ^ 1, £ ^ Тогда равномерно относительно п и N таких, что 1 ^ п ^ ЛЖ, имеет место оценка

Вернемся к оценке величины 72. В силу леммы 1 мы можем записать

г__|__1 _а__1 1 ^—> __^г__1

72 ^ с(а, А, г)ж2+4Ж 2 2

г 1 а._

"2 4/7,4

^ с(а, А,г)ж2 2П^5 ¿2 2 2 ^с(а,Х,г)х ^п^ ^ 5 ^ с(а, Х,г).

(27)

Перейдем к оценке величины 72- С этой целью представим ее в виде 72 ^ 7ц + 722 + 722,

где

7ц ^ с(а,г)е 2Ж2 + 4^ ^ е 2£а 2 4 — — г5)

712 ^ с(а, г)пе 2^2+4 |т^+1;М(ж — г5) — т^-х^^ ~ ^

—1 п—Г—1

Ее 2Г 2 4

\t-xl геД1 1 1

тп,м(£ — гО)|

J13 ^ с(а, г)пе 2^2 + 4 — r¿)| 5

— 1 rv_—_—

_^ g 2 ¿ 2 4

¿2 \t-xI - - - ró)\

teDl

Оценим величину 7ц. Для этого запишем ее в следующем виде:

< с(а,г) (^ + ^) , (28)

где (будем считать, что = 0, если гб >

в,

т* \ 2L_1, а \ ^_- г 1 г а —_— / г 1

Ji1! < с(а, Л, г)ж2+4 0га2 4Ж"2"4^ ^ t«-2"4 <; с(а,Л,г)ж2"2 0га2 4 / t»-2~idt

tGO.r,5 > 0

< С("'гЛ'Гз = с(а> Л) r)(^ra)i-f 0-1 ^ с(а> л, (29) о; 2 + 4

гч Т Oí _— V "Л т 1 Oí 1 1 _—

J?! < с(а,Х,г)х2~2впЧ Y, ía-2-4í"2-4 <; с(а,Л,г)ж2 0га2. (30)

Из неравенств (28), (29) и (30) имеем

J11 ^ с(а, Л, r)

1

Ж \ 2

^Ч + 0п 2

(31)

Чтобы оценить величину J12, представим ее в виде

J12 = J12 + J12, (32)

в котором

г _ 1 _

Т 1 ^ Oí 1 а ^ -j- 2 ^ ^^ 1 Г Oí 1

J12 ^ с(а, Л, 5 ^ --—^с(а,Х,г)вп

ГЙ SÍÍSÍ7T-

1 ^—Л г 1 CÍCK. Л. г) —+- r-a 1 _«+-—- r-a 1

x_¿ у ¿»-2-4 ^ 4 =с(а>Л)Г)(хвп)—-2} (33)

ж *=ti, «-2 + 4

rásíísí^

о , , г —а I 1 — ^ — i v—л U* * U * — / — Т , ч г —а , 1

Jf2 ^ с(а,Х,г)пх~+2вп4вп45 --—--i < с(а,Х,г)х~+2

071^ V 0-

^ . о! — г 1 x х / я +<5 _ ^

i:)" "Т

+ i -- м

х —

л ^ ' ж — Í

1-Л/-Я-+1

V Ж^п x

a — r 1

< с(а, Л, г) / —-dy

1 — y

дп Л.

0П /

^ у х О п х

I сх—г_

^ с(а,Х,г) / у 2 2 ¿у + с(а, X, г)

л

хв„

Из (32)-(34) получаем

1 — У

(1у ^ с(а,Х,г) (^1 + 1п л/хв^ . (34)

ЧТО

712 < с{а,Х,г) (1 + 1п у/Ж) . (35) Повторяя рассуждения, которые привели нас к оценкам (33)^(35), можно показать,

Лз < с{а,Х,г) (1 + 1п у/Ж) . (36) Из (31), (35) и (36) имеем

71 ^ с(а, X, г) + 1п \/хв^ . (37)

72

7з < с(а,г)(7з2 + 722 + 7зз), (38)

где

731 = |т^м{х - г5)| ^ е-Ч^"(т)а~г(1 - е~&)а+1 |- г5)

геДз

7з2 = пе 2 х 2+4(7Уж)г - г6) - - г6)

Ь г 1

ге^з

£ж

7зз = пе 2 ж 2+4(ТУж)г |т^;Лг(ж — г<5)| У^

ге^з

£—ж

—¿\а+2 | а

х (1 — е-*|тП+2,м(£ — гО) — тП— ^(£ — гО)| .

Величину 722 представим в виде 722 — 722 + 7^ + 7з2- Обращаясь к неравенству (3), получаем

1 , г | 1-- а 1 ^—> г 1--

73\ < с(а,Л)ж2+4б»га4Ж"2-4^ ^ ¿2-4б»га4Г2-4^ / \

г — СУ -

^ с(а, А)ж 2 б1«

ос —г_

Ж N 2 2

+

ос —г_ 1

¿2 2 си

V

г —ос -

^ с(а, Л, г)х 2

ос —Г I 1

О \ ~ н2

т

ж+

- ж +

г-а | 1 /П\~2~

^с(а,Х,г)х 2 0п20п2 2 ^ с(а, А, г) ^

(39)

в

а —г | 1 ~

22

1 — — а 1

ж

^ с(а,

Е

teп

г,§ ,

9п ^ З^п 2 2 а._^г

\ 2 2 _3 П 4

Р» Р» + — Р»

Е

^ с(а,

30п 2

"2 _3 П 4

к [в1 + \1-вг,

^ с(а,

(40)

2 2

о Т СИ _— V у- X

1 —— ^ --т+а-гд 2е-3

tenr,§,

^ с(а, А)« 4 2 Ж2 2 <5

Е

3Уп ^ ^ -

2 4 е 4

^ с(а,Х)п 4 2Ж2 2 J ¿а2 4в 4 сМ ^ с(а, Х,г)

2-2

(41)

Из (39)—(41) выводим

_г

\ (42)

Перейдем к оценке величины 7з2, для этого представим ее в виде

732 ^ 732 + 732 + 732,

в котором

< с(а,Х)пх2 + 4вп4х 2+4^

Е

„ г 1 —4 <* 1 Г-2-1вп4Г2-4

Ь — ж

ж+

2ж

^ с(а, Л)

^ с(а, Х)х2 2 2

г—

Ь — ж

(Й Ь — ж

2

+ с(а, Л)ж2 2 + 2

ос —г_3 I 0 л

£ 2 2 ¿Ь ^ с(ск, Л, г) 1п —,

ж

2ж

(43)

3

еп

е

0

п

е

2

е

г —ОС I 1 —-

7322 ^ с(а, \)пх~ 20п4 5

3 0п 2

г 1 — —

Г"" вп 2 Ь — ж

Рп Р п + |* — Р п

г—ос | 1

^ с(ск, А)ж 2 2 0

а-г_1 + оО 2 4 2п

сИ

Ь — ж

= с(а, А)ж' 2 +2 0,

вп—вп

Оп —t + Рга^) ---Ь

/ Ь — ж

з вГ1 2

1 "3

п ^п

9п—9 1

а —г _

/ 0 \ 2 / X \ 2

^ с(а, А) — ( —— ) 1п -

у ' V х ) \в,г I в,

РП + — Р»

Рп ж

■ м

Ь — ж

2 ' \ / д.. -ь

(44)

4

а —г 1

24

X

е

4 „ г 1

3 ~ е"4Гп1

Ь — ж

г_о, ^ _о^ I .1 - — ^ г 5 зп

^ с(а,А)ж—+20га 2 + 4й ^ е"4Г"2-4 ^ с(а,А,г)е"-. (45)

оо

2

Из (43)-(45) получаем оценку

Аналогично оценим величину 7зз . С этой целью представим ее в виде 7зз ^ + +7зз,

где

</зз ^ с(а, А, г)пх2+4вп 4ж 2 4^ У^

teп

Ь — ж

г,5 ,

2ж

г —ОС

^ с(а, А, г)х 2 §

Е

teп

Ь — ж

^ с(а, Л, г)

£Й

Ь — ж

г,5 ,

0П 2

+ с(а, А, г)ж 2 у ^ 2 1сМ^с(а,\,г)

2ж-й

ос —г ' 2

(47)

е

Х+Л/ 0„ 2 +Л/ 0„

е

Х+Л/ 0„ 2 +Л/ 0„

е

9 \ г —а —^

7зз < с(а, Л, г)х 2 5 ^

геп

г,5,

г—се ——- ^—>

< с(а,Х,г)х 2 5 у ^

геПг,^, _

2 ^У

£ж

г —а ——- ^—л

+ с(а, А, г)х 2 9п 5 2_^

1

I \ 4

дп + дп _ £ 1 1

¿епг,5,

£

дП + £ _ дп

Б £4

£ж

^ с(а, Л, г) — ж

1 + 1п-

дп ж

2а. I __г

2 У в„ Х

(48)

п

а —г

2

</|3 ^ с(а, Л, г)пхъ + ±вп 4х 2 ^

£ 2 4 е 4

¿епг,5 зв

£ж

_3 г —а ^—л __^ __£ _Зп

^с(а,Х,г)п4 ж 2 £ £ 2 4 е 4 ^ с(а, Л, г)е 2. (49)

Из (47)-(49) получаем

722 ^ с(а, Л, г)

^<¿<00

си —г

2 (1 + ьв

Ж / \ в„ : X

2 + \ вп Х

В свою очередь из (38), (42), (46) и (50) выводим оценку

72 ^ с(а, Л, г)

2 (1 + Ш ^

I / __т

2 У в„ Х

1п(1 + пж) +

^ с(а, Л, г)

Собирая оценки (27), (37) и (51), мы получаем следующее неравенство:

^(ж) ^ с(а, Л, г) Тем самым оценка (11) доказана. >

а —г

п\ —

си —г

1п(1 + пх) + ( 2

(50)

(51)

2

ж

Литература

1. Никифоров А. Ф., Суслов С. К., Уваров В. Б. Классические ортогональные многочлены дискретной переменной.—М.: Наука, 1985. 216 с.

2. Шарапудинов И. И. Многочлены, ортогональные на сетках.—Махачкала: Изд-во Даг. гос. пед. ун-та, 1997.^255 с.

3. Вейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2.—М.: Наука, 1966.—297 с.

4. Гаджиева 3. Д. Смешанные ряды по полиномам Мейкснера: Дисс.... к.ф.-м.н.—Саратов: Саратовский гос. ун-т, 2004.

5. Шарапудинов И. И. Смешанные ряды по классическим ортогональным полиномам // Дагестанские электронные мат. изв.—2015.—Вып. 3.—С. 1-254.

6. Шарапудинов И. И. Некоторые специальные ряды по общим полиномам JIareppa и ряды Фурье по полиномам JIareppa, ортогональным по Соболеву // Дагестанские электронные мат. изв.—2015.— Вып. 4.—С. 32-74.

7. Гаджимирзаев Р. М. Ряды Фурье по полиномам Мейкснера, ортогональным по Соболеву // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.—2016.—Т. 16, вып. 4.—С. 388395.

8. Гаджимирзаев Р. М. Ряды Фурье по полиномам Мейкснера, ортогональным по Соболеву // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 18-й международной Саратовской Зимней школы.—2016.—С. 102-104.

Статья пост,упила 17 января 2017 г.

Vladikavkaz Mathematical Journal 2018, Volume 20, Issue 3, P. 21-36

APPROXIMATION PROPERTIES SPECIAL SERIES BY MEIXNER POLYNOMIALS

Gadzhimirzaev R. M.1

1 Daghestan Scientific Centre of RAS, 45 M. Gadjieva st., Makhachkala 367025, Russia E-mail: ramis3004@gmail.com

Abstract. In this article the new special series in the modified Meixner polynomials M^ N(x) = Ma(Nx) are constructed. For a > — 1, these polynomials constitute an orthogonal system with a weight-function p(Nx) on a uniform grid Og = {0,5,25,...}, where 5 = 1/N, N > 0. Special series in Meixner polynomials Ma,N (x) appeared as a natural (and alternative to Fourier-Meixner series) apparatus for the simultaneous approximation of a discrete function f given on a uniform grid Og and its finite differences AV f. The main attention is paid to the study of the approximative properties of the partial sums of the series under consideration. In particular, a pointwise estimate for the Lebesgue function of mentioned partial sums is obtained. It should also be noted that new special series, unlike Fourier-Meixner series, have the property that their partial sums coincide with the values of the original function in the points 0,5,..., (r — 1)5.

Key words: Meixner polynomials, approximative properties, Fourier series, special series, Lebesgue function.

Mathematical Subject Classification (2000): 41A10.

References

1. Nikiforov A. F., Suslov S. K., Uvarov V. B. Klassicheskie ortogonalnye mnogochleny diskretnoj peremennoj [Classical Orthogonal Polynomials of a Discrete Variable], Moscow, Nauka, 1985, 216 p. (in Russian).

2. Sharapudinov I. I. Mnogochleny, ortogonalnye na setkah [Polynomials Orthogonal on Grids], Mahachkala, Izd-vo DGPU, 1997, 255 p. (in Russian).

3. Bateman H., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions, Vol. 2, N. Y.-Toronto-London, McGraw-Hill Book Company, Inc. 1953.

4. Gadzhieva Z. D. Mixed Series by Meixner Polynomials. PhD thesis, Saratov, Saratov State. Univ., 2004 (in Russian).

5. Sharapudinov I. I. Mixed Series by Classical Orthogonal Polynomials, Dagestanskie ehlektronnye matematicheskie izvestiya [Dagestan Electronic Mathematical Reports], 2015, no. 3, pp. 1-254 (in Russian). DOI: 10.31029/demr.3.1.

6. Sharapudinov I. I. Some Special Series by General Laguerre Polynomials and Fourier Series by Laguerre Polynomials, Orthogonal in Sobolev Sense, Dagestanskie ehlektronnye matematicheskie izvestiya [Dagestan Electronic Mathematical Reports], 2015, no. 4, pp. 32-74 (in Russian). DOI: 10.31029/demr.4.4.

7. Gadzhimirzaev R. M. The Fourier Series of the Meixner Polynomials Orthogonal with Respect to the Sobolev-Type Inner Product, Izv. Sarai. TJn-ta. Nov. ser. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika [Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform.], 2016, Vol. 16, no. 4, pp. 388-395 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-388-395.

8. Gadzhimirzaev R. M. The Fourier Series of the Meixner Polynomials Orthogonal with Respect to the Sobolev-Type Inner Product, Sovremennye problem,y teorii funkcij i ih prilozheniya: Materialy 18-j mezhdunarodnoj Saratovskoj Zimnej Shkoly [XVIII International Saratov Winter School «Modern Problems of Function Theory and Their Applications»], 2016, p. 102-104 (in Russian).

Received January 17, 2017