Ряды Фурье по полиномам Мейкснера, ортогональным по Соболеву Текст научной статьи по специальности «Математика»

support on locally compact Abelian groups. Izv. Math., 2005, vol. 69, iss. 3, pp. 623-650. DOI: 10.1070/IM2005v069n03ABEH000540.

5. Farkov Yu. A. Orthogonal wavelets on direct products of cyclic groups. Math. Notes, 2007, vol. 82, iss. 5-6, pp. 843-859. DOI: 10.1134/S000 1434607110296.

6. Lukomskii S. F. Multiresolution analysis on zero-dimensional Abelian groups and wavelets bases. Sb. Math., 2010, vol. 201, no. 5, pp. 669-691. DOI: 10.1070/SM2010v201n05ABEH004088.

7. Lukomskii S. F. Step Refinable Functions and Orthogonal MRA on Vilenkin Groups. J. Fourier Anal. Appl., 2014, vol. 20, iss. 1, pp. 42-65. DOI: 10.1007/s00041-013-9301-6.

8. Lukomskii S. F. Riesz Multiresolution Analy-

sis on Vilenkin Groups. Doklady Math., 2014, vol. 90, no. 1, pp. 412-415. DOI: 10.1134/S10645 62414040061

9. Lukomskii S. F. Riesz multiresolution analysis on zero-dimensional groups. Izv. Math., 2015, vol. 79, iss. 1, pp. 145-176. DOI: 10.1070/IM2015 v079n01ABEH002737.

10. Lukomskii S. F., Berdnikov G. S. N-Valid trees in wavelet theory on Vilenkin groups. Int. J. Wavelets Multiresolut Inf. Process, 2015, vol. 13, iss. 5, 1550037. 23 p. DOI: 10.1142/S021969131550037X.

11. Berdnikov G. S., Lukomskii S. F., Kruss Yu. S. On orthogonal systems of shifts of scaling function on local fields of positive characteristic. Math. Notes, 2015, vol. 98, iss. 2, pp. 339-342. DOI: 10.1134/S000143461507038X.

Please cite this article in press as:

Berdnikov G. S. Graphs with Contours in Multiresolution Analysis on Vilenkin Groups. Izv. Saratov Univ. (N. S ), Ser. Math. Mech. Inform., 2016, vol. 16, iss. 4, pp. 377-388 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-377388.

УДК 517.52

РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ПОЛИНОМАМ МЕЙКСНЕРА, ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПО СОБОЛЕВУ

Р. М. Гаджимирзаев

Гаджимирзаев Рамис Махмудович, младший научный сотрудник отдела математики и информатики, Дагестанский научный центр РАН, Махачкала, [email protected]

В настоящей статье рассматривается система дискретных функций {уг,к(х)}^0, которая является ортонормированной относительно скалярного произведения типа Соболева следующего вида:

г-1

(/,д) /(-г)А"д(-т)+^2 Аг/(Ь)АГд(Ь)^Ь),

^=0 teпr

где = (1 - д), = {-г, -г + 1,..., 0,1,...}, 0 < д < 1. Показано, что сдвинутые классические полиномы

Г ( + ) [к] ^ Г-1

Мейкснера {М-т(х + г)}Г= вместе с функциями вида — ( образуют полную ортогональную систему в

Г К ' ) к=0

пространстве (^г), в котором введено указанное скалярное произведение (/, д). Установлено, что ряд Фурье по полиномам Мейкснера {акМ-Г(х + г)}(ак — нормирующие множители), ортонормированным в смысле Соболева, является частным случаем смешанных рядов по полиномам Мейкснера. Кроме того, введен новый специальный ряд по ортогональным полиномам Мейкснера Ма (х) с а > -1, который в случае а = г совпадает с соответсвующим смешанным рядом по полиномам Мейкснера М°(х) и рядом Фурье по системе полиномов Мейкснера {акМ-Г(х + г)}^=г, ортонормированным в смысле Соболева.

Ключевые слова: полиномы Мейкснера, смешанный ряд, специальный ряд, скалярное произведение типа Соболева, полиномы, ортогональные по Соболеву.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-4-388-395

ВВЕДЕНИЕ

Теория полиномов, ортогональных относительно скалярных произведений типа Соболева (полиномы, ортогональные по Соболеву), получила развитие в работах многих авторов (см. [1-5] и цитированную там литературу). Были достаточно подробно исследованы различные особенности полиномов,

ортогональных по Соболеву, которыми не обладают обычные полиномы, ортогональные на интервале (или на сетке) относительно положительных весов. В частности, может случится так, что полиномы, ортогональные по Соболеву на заданном интервале (а, Ь), могут иметь нули, совпадающие с одним или обоими концами этого интервала. Это свойство полиномов, ортогональных по Соболеву имеет важное значение для некоторых приложений, для которых требуется, чтобы значения частичных сумм ряда Фурье функции /(х) по рассматриваемой системе ортогональных полиномов совпали на одном из концов (или на обоих концах) отрезка [а, Ь] со значениями функции /(х) в указанных точках. Заметим, что обычные ортогональные с положительным на (а, Ь) весом полиномы этим важным свойством не обладают. При этом вопросы, связанные с поточечной и равномерной сходимостью рядов Фурье по полиномам, ортогональным по Соболеву, остаются мало изученными. Это, в первую очередь, связано с тем, что асимптотические свойства полиномов, ортогональных по Соболеву, исследованы только в отдельных частных случаях. В связи с этой проблемой отметим работу [6], в которой, используя идеи и технику А. А. Гончара [7], исследована задача о сравнительной асимптотике полиномов, ортогональных относительно скалярного произведения типа Соболева с дискретными массами.

С другой стороны, отметим, что в работах И. И. Шарапудинова [8-12] были введены так называемые смешанные ряды по классическим ортогональным полиномам, частичные суммы которых также обладают свойством совпадения их значений на границе области ортогональности со значениями исходной функции. В работах [8-12] были подробно исследованы аппроксимативные свойства смешанных рядов для функций из различных пространств. В частности, было показано, что частичные суммы смешанных рядов по классическим ортогональным полиномам, в отличие от сумм Фурье по этим же полиномам, успешно могут быть использованы в задачах, в которых требуется одновременно приближать исходную функцию и ее несколько разностных производных.

В настоящей статье показано, что если г ^ 0, то сдвинутые классические полиномы Мейкснера {акМ—г(х + г)}^=г образуют ортонормированную систему в пространстве 12)М(^г), состоящем из дискретных функций /, д,..., заданных на сетке Ог = {-г, —г + 1,..., 0,1,...}, в котором введено скалярное произведение типа Соболева следующего вида:

Г —1

</, д) = £ А-/(—г)А"д(—г) + ^ дг/(;)Дгд(ф(*), (1)

где р(£) = дг(1 — д) — весовая функция, 0 < д < 1. Кроме того, показано, что если к системе {акМ—г(х + г)йГ= присоединить конечный набор степеней | ' } , то мы получим пол-

=г I ' J к=О

ную в (^г), ортонормированную относительно скалярного произведения (1) систему полиномов

ф = | (х+г)[ 11 у {акМ—г(х + г)йГ=г . Показано, что ряд Фурье по системе Ф представляет собой смешанный ряд по полиномам Мейкснера М^(х) с а = 0, в котором присутствуют только классические полиномы Мейкснера. Это, в свою очередь, позволяет использовать при исследовании аппроксимативных свойств ряда Фурье по системе Ф методы, разработанные в работах [8,13] при решении аналогичной задачи для смешанных рядов по полиномам Мейкснера. Кроме того, в параграфе 3 введен новый специальный ряд по ортогональным полиномам Мейкснера Ма(х) с а > —1, который в случае а = г совпадает с рядом Фурье по системе Ф и смешанным рядом по полиномам Мейкснера МО (х).

Прежде чем перейти к формулировке основных результатов, приведем некоторые сведения о полиномах Мейкснера М^ (х).

1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПОЛИНОМАХ МЕЙКСНЕРА

Для д = 0 и произвольного а полином Мейкснера порядка п можно определить с помощью равенства

Ма(х) = М^(х, д) = Пр^А" {Р(х)хИ} , (2)

где

р = р(х) = р(х; а, д) = дх г(х + а + 1) (1 — д)а+1, х[п] = х(х — 1)...(х — п + 1).

Г(х + 1)

Хорошо известны следующие свойства полиномов Мейкснера [8]: 1° Ортогональность:

^ ма(х)ма (х)р(х) = 6пк на (д) = 6пк(П + ^ д-п Г(а + 1), 0 < д < 1, а > -1, (3)

х£По V п /

где 8пк — символ Кронекера. Из (3) следует,что ортонормированные полиномы Мейкснера имеют вид

та (х) = {на(д)}-2 ма (х).

В частности, при а = 0

2° Явный вид:

^ Мк0(х)м°(х)р(х; 0, д) = ¿пкНП(д); (4)

М а (х д) = + ^ V (-П)к (-Х)к Л - 1Хк М (Х'д) I п )= (а + 1)к к! I1 д,

3° Конечные разности

ДМП(х) = мп(х + 1) - МП(х) = (х),

д-1

а(х) = м^(х + 1) - Ма(х) = ?—1 ма+1'

д

дгма(х) = (^ ма+;(х); (5)

4° Формула Кристоффеля- Дарбу:

дкк! ч^а, ч_ (п + 1)!дп+1 Ма+1(х)Ма(у) - Ма(х)М^+1 (у)

к= Г(к + а + Г(п + а + 1)(д - 1) х - у

К?п(х,у) = Г(к + а + 1)Мк(х)Мк(у) = У ' ^ ^ п

5° Рекуррентные соотношения:

ма+1 (х) - ма (х) = ма-1 (х),

(п + 1)дМа+1 (х) = [п(д + 1) + д(а + 1) + (д - 1)х]ма(х) - (п + а)ма-1 (х), (6)

(п - г)! /1 V

М-г(х) = (-- - Л (-х)гМГ-г(х - г), г — целое, 1 ^ г ^ п. (7)

п! д

2. СМЕШАННЫЕ РЯДЫ ПО ПОЛИНОМАМ МЕЙКСНЕРА

Смешанные ряды по полиномам Мейкснера впервые были введены в работах [8,13] как альтернативный рядам Фурье по тем же полиномам аппарат для одновременного приближения функций и их разностных производных. Напомним определение этих рядов, следуя работе [8]. Пусть 0 < д < 1, а > -1, 0 ^ г — целое, 12)Р(Пг) — пространство дискретных функций д(х), заданных на Ог и таких, что д2(х)р(х) < го. Рассмотрим дискретную функцию ¿(х) £ 12)Р(Ог)• Из того, что ¿(х) £ 12)Р(Ог), очевидно, следует, что функция Дг¿(х) = Дг¿(х - г) принадлежит пространству 12,Р(^о), поэтому мы можем определить коэффициенты Фурье - Мейкснера этой функции

¿а,к = Е Дг ¿(*)т* мш- (8)

В [8] доказана следующая

Теорема 1. Пусть х £ Пг, 0 < д < 1, а > -1, р = р(х) = р(х; а, д), й = ¿(х) £ 12,р, ¿(х) = ¿(х - г). Тогда

г —1 [V / \ г ^ ¿а

= £>.*тт+ (д-т) ?„{НаЙ^м-(х,д), (9)

^=0 7 к=0 1 к где

(д/(д - 1))г-^ ^ ¿а,к Г(к + а + 1)

X

Тг,^ —

Д^¿(0) - ^ -1)) , X V

Г(^ - г + а + 1) к=0 {На(д)}1/2 Г(к + г - V + 1)

Нам понадобится случай а = 0. При этом, если 0 ^ V ^ г — 1, то Г^_г+а+1) = 0, поэтому

= А^ (1(0).

Имеет место следующее следствие из теоремы 1.

Следствие 1. Пусть х е Ог, 0 < д < 1, р = р(х) = р(х; 0, д), ((х) е 12,р(Ог)• Тогда

((х) = £ А^((—г)^ + (х + г)И £ Г^ГТ{ММ (10)

Правые части равенств (9) и (10) называются смешанными рядами по полиномам Мейкснера.

3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЯДЫ ПО ПОЛИНОМАМ МЕЙКСНЕРА

В работе [14] были введены специальные ряды по классическим полиномам Лагерра и исследованы аппроксимативные свойства их частичных сумм. В настоящей работе мы введем специальные ряды по полиномам Мейкснера, которые являются дискретным аналогом специальных рядов по полиномам Лагерра. Следует отметить, что смешанный ряд (10) по полиномам Мейкснера М0(х) является частным случаем специальных рядов по полиномам Мейкснера. Пусть ((х) е 12,Р(О),

(х + г)[* ]

Рг_1(х) = Рг_1 ((,х) = £ А"(( — гГ , , (11)

V=0 '

(г (х) = ((х() —. (12)

(х + г)[г]

Предположим, что для функции (г(х), определенной равенством (12), существуют коэффициенты Фурье - Мейкснера:

ф) — Рг_1 (г)

Тогда мы можем рассмотреть ряд Фурье - Мейкснера функции (г (х):

(а,к = Е (г(г)р(г)<(г) = Е Ли(г)р(г)та(г).

+ 1И 0„ (г + г)

(х) ~ Е та (х). (13)

0=0

Если ряд (13) сходится к функции (г (х), то с учетом (12)

£

((х) = Рг_1 (х) + (х + г)[г^ та (х). (14)

0=0

Это и есть специальный ряд по полиномам Мейкснера функции ((х). Если а = г, то ряд (14) совпадает с рядом (10). Действительно, в силу (2), (8) и (7) имеем

г,0

,_0

<0 = Е Аг((г — г)ш°(г, д)р(г; 0, д)

ген

д Е аг(((г — г) — Рг_1 (г — г))АЧ р(г; 0,

= к((^1(Гд))1/2 ^ (((г) — рг_1 (г))А'+Чр(г; 0,д)г[0]} =

к'(^0^э1)))Г1(/>2 +-)д)_г £ (((г) — рг_1(г))р(г + г; —г, д)м_г(г + г)

о

г ^ _0

0+г

г_]

¿еНо

(д))1/1(1 — д)_г ' ( Е (((г) — рг_1 (г))р(г + г; — г, д)МГ(г)(г + г)[г] =

^ 7 ¿еНо

о

= (h0k(q1))1/2 JI0 +РГГ)И (t) p(t; r'q)M* (t) = (h0k (Q))1/2 (q))1/2•

В силу последнего равенства смешанный ряд (10) примет вид

ФО - Г Д'd(-r)(x + r)M + (x + r)W f (ft0<q))1/2¿í.0 M(x,q) _

d(x) ¿0 Д d( r) V! +(x + r) 0k (h0(«))1/2(k + 1)r (h0(«))1/2

те

— Pr_i(x) + (x + r)[r] E drr 0m0 (x), 0=0

который совпадает со специальным рядом (14).

4. РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ПОЛИНОМАМ МЕЙКСНЕРА M_r (x + r), ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПО СОБОЛЕВУ

Пусть д(х) — qx(1 — q), 0 < q < 1. Рассмотрим систему полиномов {^r,0(x)}^0, в которой

(x + r)[0]

^r,0 (x) — 1 , 0 ^ k ^ r — 1, (15)

^r,0(x) — a0M_r(x + r), r ^ k, (16)

где a-0 —

0

q

(1 - д)г

Теорема 2. Полиномы ^г,к (х) (к = 0,1,...), определенные равенствами (15) и (16), образуют полную в 12)М(Ог) ортонормированную систему относительно скалярного произведения (1).

Доказательство. Для полиномов ^г,к(х) = акМ— г(х + г) и (х) = а,М—г(х + г), к, I ^ г, с учетом равенств (7), (5) и (4) имеем

r — i

(<¿V,0, > — «0a^ Д'M—r(x + г)Д^M—r(x + r)

V=0

+a0ai E ДгM_r(x + г)ДгM_r(x + r)^(x)

/ — 1 \ 2r

— a0аЛ -- I E M(_r(x + r)Mi(_r(x + r)qx(1 — q)

q

(x) —

+

/ \ 2г / к + г \ 2 , \ 2г

= ак ^ = д-к+г(= .к,.

Далее, легко заметить, что (^г,к, ) = в случаях, когда к, I ^ г - 1 и к ^ г - 1, I ^ г. Это означает, что система полиномов {^г,к(х)}^0 ортонормирована в 12)Д(Ог) относительно скалярного произведения (1). Убедимся в ее полноте в 12)М(Ог). Для этого покажем, что если для некоторой функции ¿(х) £ 12)М (Ог) и для всех к = 0,1,... справедливы равенства (¿, ^г,к) = 0, то ¿(х) = 0. Действительно, если к ^ г - 1, то (¿, ^г,к) = Дк¿(-г). Учитывая, что (¿, ^г,к) = 0 дискретный аналог формулы Тейлора для функции ¿(х)

¿(х) = ¿(-г) + г) (х + г) + ... + Д(г (х + г)[Г-1] + (Т!1^ Х0(х - 1 - *)[Г-1] ДГ

примет вид

.. х-1

¿(х) = т^тг Е(х - 1 - ^)[г-1] Дг¿(4 (17)

(г )! ¿=0

При k ^ r имеем

0 — (d, ^r,0> — a^ Дгd(x^rM—r(x + r)(1 — q)qx

= ak(1 - q) fЕ ДГd(x)Mfc0-r(x + r)qx.

Из последнего равенства и из того, что полиномы шк(х + г) = (к^(д))-2 М0(х + г) (к = 0,1,...) образуют базис в 12,Р(^г) следует, что Аг¿(х) = 0. Поэтому в силу (17) ¿(х) = 0. □

Пусть ¿(х) £ 12)М(Ог). Тогда мы можем определить коэффициенты Фурье этой функции

4 = > =Ак¿(-г), 0 ^ к ^ г - 1, (18)

dk = (d, > = afc Е ДГd(t)ArM-r(t + r)(1 - q)q*, k ^ r (19)

и рассмотреть ее ряд Фурье

teor

Г-1 Дк d(-r)

d(x) ^ dk (x) = E-¿^(x + r)[k] + £ dk ak M_r (x + r). (20)

k!

k=0 k=0 k=r

С другой стороны, из (19) и (8) с учетом (5) имеем

4 = ak(^ Дгd(i)Mk°_r(t + r)(1 - q)q

iGO

r

= ak ((hk_r(q))1/2 ^ Дгd(t)mk_r(t + r)(1 - q)q* = (-1)rd°k_r. (21)

V q / tc о

Из (20) и (21), учитывая (7), получаем

r-1 Д k d(-r) ^

d(x) ^ + r)[k + (-1)^d° k_rakM-r(x + r) =

k=0 k=r

= E +r)[kl + jf-jF E q2 d°,k M_r (x+r) =

k=0 k! (1 - q) k=0

У ДМ-)^ + r)[kl+(x + r)[r]f d°,kMk(x) (22)

h k! (x +r) +(x +r) ¿o° (k + 1)r(hk(q))1/2 • ()

Сравнивая ряды (10) и (22), заключаем, что смешанный ряд по полиномам Мейкснера M°(x) совпадает с рядом Фурье по системе полиномов {^r>k(x)}^°, ортонормированной относительно скалярного произведения (1). Это позволяет использовать при исследовании аппроксимативных свойств ряда (20) методы, разработанные в работах [8,13] при решении аналогичной задачи для смешанных рядов по полиномам Мейкснера.

Автор искренне благодарит И. И. Шарапудинова за плодотворные беседы, результатом которых явилась настоящая работа.

Библиографический список

1. Area I., Godoy E., Marcellan F. Inner products in- 4. Delgado A. M, Fernandez L, Lubinsky D. S., volving differences : the Meixner - Sobolev polyno- Perez T. E., Pinar M. A. Sobolev orthogonal poly-mials // J. Differ. Equ. Appl. 2000. Vol. 6, iss. 1. nomials on the unit ball via outward normal deriva-P. 1-31. tives // J. Math. Anal. Appl. 2016. Vol. 440, iss. 2.

2. Marcellan F., Xu Y. On Sobolev orthogonal p. 716-740. DOI: 10.1016/j.jmaa.2016.03.041. polynomials // Expositiones Mathematicae. 2015. 5. Fernandez L., Marcellan F., Perez T. E., Vol. 33, iss. 3. P. 308-352. DOI: 10.1016/ Pinar M. A., Xu Y. Sobolev orthogonal poly-j.exmath.2014.10.002. nomials on product domains // J. Comput. Ap-

3. Perez T. E., Pinar M. A., Xu Y. Weighted Sobolev pl. Math. 2015. Vol. 284. P. 202-215. DOI: orthogonal polynomials on the unit ball // J. Ap- 10.1016/j.cam.2014.09.015.

prox. Theory. 2013. Vol. 171. P. 84-104. DOI : 6. Lopez G, Marcellan F, Van Assche W. Relative

10.1016/j.jat.2013.03.004. asymptotics for polynomials orthogonal with re-

t

9.

1G.

spect to a discrete Sobolev inner-product // Con-str. Approx. 1995. Vol. 11, iss. 1. P. 107-137. DOI: 10.1007/BF01294341

Гончар А. А. О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций // Матем. сб. 1975. Т. 97(139), № 4(8). C. 607-629. Шарапудинов И. И. Аппроксимативные свойства операторов Yn+2r (f) и их дискретных аналогов // Матем. заметки. 2002. Т. 72, вып. 5. C. 765-795. DOI: 10.4213/mzm466.

Шарапудинов И. И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам. Теория и приложения. Махачкала : Дагестан. науч. центр РАН, 2004. 276 с. Шарапудинов И. И. Смешанные ряды по полиномам Чебышева, ортогональным на равномерной сетке // Матем. заметки. 2005. Т. 78, вып. 3. C. 442-465. DOI: 10.4213/mzm2599.

11. Шарапудинов И. И. Аппроксимативные свойства смешанных рядов по полиномам Лежандра на классах Wr // Матем. сб. 2006. Т. 197, № 3. С. 135-154. 001: 10.4213Дш1539

12. Шарапудинов И. И. Аппроксимативные свойства средних типа Валле - Пуссена частичных сумм смешанных рядов по полиномам Лежандра // Матем. заметки. 2008. Т. 84, вып. 3. С. 452-471. 001: 10.4213/шгш5541.

13. Гаджиева З. Д. Смешанные ряды по полиномам Мейкснера : дис. ... канд. физ.-мат. наук / Сарат. гос. ун-т. Саратов, 2004. 103 с.

14. Шарапудинов И. И. Специальные (смешанные) ряды по классическим полинома Лагерра и некоторые их приложения // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования : тез. докл. XII Междунар. науч. конф. (с. Цей, 12-18 июля 2015 г.) / ЮМИ ВНЦ РАН. Владикавказ, 2015. С. 48-49.

Образец для цитирования:

Гаджимирзаев Р. М. Ряды Фурье по полиномам Мейкснера, ортогональным по Соболеву // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 4. С. 388-395. 001: 10.18500/1816-97912016-16-4-388-395.

7.

The Fourier Series of the Meixner Polynomials Orthogonal with Respect to the Sobolev-type Inner Product

R. M. Gadzhimirzaev

Ramis M. Gadzhimirzaev, Dagestan Scientific Center RAS, 45, M. Gadzhieva str., 367032, Makhachkala, Russia, [email protected]

In this paper we consider the system of discrete functions {^r,k (x)}£=0, which is orthonormal with respect to the Sobolev-type inner product

r — 1

f,g) f(—r)Avg(-r)+Y, Arf(t)Arg(t)p(t),

v=o tenr

where p(t) = qf (1 - q), 0 <q< 1. It is shown that the shifted classical Meixner polynomial^ M—r (x + r)} °^=r togetherwith functions { form a complete orthogonal system in the space (Hr) with respect to the Sobolev-type inner product.

I ' J k=0

It is shown that the Fourier series on Meixner polynomials {akM—r (x + r)}^=r (ak — normalizing factors), orthonormal in terms of Sobolev, is a special case of mixed series on Meixner polynomials. Some new special series on Meixner orthogonal polynomials Mka (x) with a > -1 are considered. In the case when a = r these special series coincide with mixed series on Meixner polynomials M0(x) and Fourier series on the system {akM—r (x + r)}°^=r orthonormal with respect to the Sobolev-type inner product.

Key words: Meixner polynomials, mixed series, special series, Sobolev-type inner product, Sobolev orthogonal polynomials.

References

1. Area I., Godoy E., Marcellan F. Inner products involving differences : the Meixner - Sobolev polynomials. J. Differ. Equ. Appl., 2000, vol. 6, iss. 1, pp. 1-31.

2. Marcellan F., Xu Y. On Sobolev orthogonal polynomials. Expositiones Mathematicae, 2015, vol. 33, iss. 3, pp. 308-352. DOI: 10.1016/ j.exmath.2014.10.002.

3. Perez T. E. , Pinar M. A. , Xu Y. Weighted Sobolev orthogonal polynomials on the unit ball. J. Ap-

5.

prox. Theory, 2013, vol. 171, pp. 84-104. DOI : 10.1016/j.jat.2013.03.004.

Delgado A. M., Fernandez L., Lubinsky D. S., Perez T. E., Pinar M. A. Sobolev orthogonal polynomials on the unit ball via outward normal derivatives. J. Math. Anal. Appl., 2016, vol. 440, iss. 2, pp. 716-740. DOI: 10.1016/j.jmaa.2016.03.041. Fernandez L., Marcellan F., Perez T. E., Pinar M. A., Xu Y. Sobolev orthogonal polynomials on product domains. J. Comput. Appl.

Math2015, vol. 284, pp. 202-215. DOI: 10.1016/ j.cam.2014.09.015.

6. Lopez G., Marcellan F., Van Assche W. Relative asymptotics for polynomials orthogonal with respect to a discrete Sobolev inner-product. Constr. Approx., 1995, vol. 11, iss. 1, pp. 107-137. DOI: 10.1007/BF01294341

7. Gonchar A. A. On convergence of Pade approxi-mants for some classes of meromorphic functions. Math. USSR-Sb., 1975, vol. 26, iss. 4, pp. 555-575. DOI: 10.1070/SM1975v026n04ABEH002494.

8. Sharapudinov I. I. Approximation properties of the operators Yn+2r (f) and of their discrete analogs. Math. Notes, 2002, vol. 72, iss. 5, pp. 705-732. DOI: 10.1023/A:1021421425474.

9. Sharapudinov I. I. Smeshannye rjady po ortogo-nal'nym polinomam. Teorija i prilozhenija [Mixed series of orthogonal polynomials. Theory and Applications]. Makhachkala, Dagestan Scientific Center RAS, 2004. 276 p. (in Russian).

10. Sharapudinov I. I. Mixed series of Chebyshev polynomials orthogonal on a uniform grid. Math. Notes, 2005, vol. 78, iss. 3, pp. 403-423. DOI: 10.1007/s11006-005-0139-3.

11. Sharapudinov I. I. Approximation properties of

mixed series in terms of Legendre polynomials on the classes Wr. Sb. Math., 2006, vol. 197, no. 3, pp. 433-452. DOI: 10.1070/SM2006v197n03 ABEH003765.

12. Sharapudinov I. I. Approximation properties of the Valle - Poussin means of partial sums of a mixed series of Legendre polynomials. Math. Notes, 2008, vol. 84, iss. 3-4, pp. 417-434. DOI: 10.1134/S0001434608090125.

13. Gadzhieva Z. D. Smeshannye riady po polinomam Meiksnera : Diss. ... kand. fiz.-mat. nauk [Mixed series of Meixner polynomials : Diss. phys. and math. sci.]. Saratov State Univ., Saratov, 2004. 103 p. (in Russian).

14. Sharapudinov I. I. Special (mixed) series of the classical Laguerre polynomials and some of their applications. Poriadkovyi analiz i smezhnye vo-prosy matematicheskogo modelirovaniia : tez. dokl. XII Mezhdunar. nauch. konf. [Sequential analysis and related questions of mathematical modeling: Book of Abstracts of the XII Intern. Sci. Conf.] (village Tsey, 12-18 July 2015 ). Vladikavkaz, UMI VSC RAS, pp. 48-49 (in Russian).

Please cite this article in press as:

Gadzhimirzaev R. M. The Fourier Series of the Meixner Polynomials Orthogonal with Respect to the Sobolev-type Inner Product. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2016, vol. 16, iss. 4, pp. 388-395 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-388-395.

УДК 517.19

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОГО КЛАССА РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

С РАСТУЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Г. В. Гаркавенко1, Н. Б. Ускова2

1 Гаркавенко Галина Валериевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и методики преподавания математики, Воронежский государственный педагогический университет, [email protected] 2Ускова Наталья Борисовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и физико-математического моделирования, Воронежский государственный технический университет, [email protected]

В работе метод подобных операторов применяется для спектрального анализа разностного замкнутого оператора вида (Ах)(п) = х(п + 1) + х(п - 1) - 2х(п) + а(п)х(п),п е рассматриваемого в гильбертовом пространстве 12 (Ъ) двусторонних последовательностей комплексных чисел с растущим потенциалом а : Z ^ С. Получены асимптотики собственных значений, собственных векторов, оценки равносходимости спектральных разложений для исследуемого оператора и оператора умножения на последовательность а : Z ^ С. Для исследования рассматриваемого оператора он представляется в виде А - В, где (Ах)(п) = а(п)х(п),п е Ъ,х е ¿2с естественной областью определения. Этот оператор является нормальным с известными спектральными свойствами и выступает в качестве невозмущенного оператора в методе подобных операторов. В качестве возмущения выступает ограниченный оператор (Вх)(п) = —х(п + 1) - х(п - 1) + 2х(п),п е Z, х е

Ключевые слова: метод подобных операторов, спектр, разностный оператор, спектральные проекторы. DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-4-395-402