CC BY
11
УДК 517.51
Б. И. Голубов1, С. С. Волосивец2
1 Московский физико-технический институт (государственный университет)
2 Саратовский государственный университет
Обобщенная весовая интегрируемость мультипликативных преобразований Фурье
Мультипликативное преобразование Фурье, введенное Н.Я. Виленкиным, задается последовательностью натуральных чисел Р = {рп}П?=и Рп ^ 2. В случае р„ = 2 оно совпадает с широко известным преобразованием Уолша, имеющим многочисленные приложения в вычислительной математике и теории кодирования. Для ограниченной последовательности Р
их мультипликативных преобразований Фурье на К+. Некоторые из них неулучшаемы. Доказаны мультипликативные аналоги теорем Харди-Литтлвуда, Зигмунда, Морица, Он-невира, М. и Ш. Изуми, а также Алянчича и Томича.
Ключевые слова: мультипликативное преобразование Фурье, мультипликативная
свертка, весовая интегрируемость, функция ограниченной в-флуктуации, классы Липшица, монотонная функция.
I. Введение
Пусть {рп}п=1 — последовательность натуральных чисел, такая, что 2 ^ р^ ^ М, р— = р^ для всех ] € N. Положим т^ = р1 .. р при ] € М, т0 = 1 и т—1 = т^и I € N. Тогда каждому х € М+ можно сопоставить разложение
Ж
j=1
0 < Xn < pn,
Шз
3 = 1
Хп Є Z П [0,Р3), \Ле N. (1)
Здесь в первой сумме из (1) присутствует конечное число слагаемых и разложение определяется однозначно, если для чисел вида х = к/ші, к,1 Є Є N брать разложение с конечным числом х з = 0. Если х,у Є М+ записаны в виде (1), то по определению
x Є y
j=i
ж
+ / —, mj j=i j
zj Є ZП [0,pj), \j\ Є N,
где Zj = Xj — yj ( mod pj). Аналогично определяется операция x ® y.
Для x,y G R+, записанных в виде (1), определим ядро x(x, у) равенством
x(x, y) = exp I 2ni
j=i
xj y-j + x-j y j pj
Для почти всех пар (х, г) € М+ х М+ при фиксированном у € М+ имеем равенство х(х ® г, у) = = х(х,у)х(г,у) и х(х © г,у) = х(х,у)х(г,у). Отсюда следует, что х(х,у) = х({х}, [у\)х([х], {у}),
где {х} — дробная часть х, [х] — целая часть х, х(х, у) х
1к = []/тк, (] + \)/тк) 0 < у < тк (см. [2,
§1-5]).
Пространства ЬР(Ж+), 1 < р из измеримых на М+ функций,
измеримых на \ i/p
< ж, состоят для которых
I \f(t)\pdt
R+ У
<
Для / € Ь1 (К+) мультипликативное Р-пре-образование Фурье (см. [1]) задается формулой
/ (х) = / /(у)х(х,у) Лу, где правая часть явля-
к+
ется интегралом Лебега. Для / € ЬР(Ж+), 1 < < р < 2, Р-преобразование Фурье вводится, как
предел / f (у)х(х,у) Лу в Ь(М+), 1/р + 1/д = 1,
о
при а ^ +гс>. Согласно [2, гл. 6, теорема 6.1.7], имеет место аналог неравенства Хаусдорфа-Юнга
Наконец, для убывающей на R+ к f f ( x)
Wp
венный интеграл / f (y)x(x,y) dy (см. [3]).
0
Пусть f G Lp(R+), 1 < p < ж, тогда “*(f,$)p '■= sup \\f(• e h) — f(0||p и un(f)p : =
0<h<S
:= u*(f, 1/mn)p, n G Z+. Аналогично определяется Un(f)ж = sup sup \f(x e h) — f(x)\ и
0<h<1/mn
u*(f,S)x. Если a > 0 и Wn(f)p < Cm-a, n G G Z+, to по определению f G Lip* (a,p), 1 < p < ^ ж. При p = ж иишем f G Lip*(a). Для f G Lp(R), 1 < p < ж, и f G C(R) положим
Работа первого автора поддержана РФФИ, проект 11-01-00321 и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проект 2.1.1/12136, работа второго автора поддержана программой «Ведущие научные школы РФ» (проект НШ-4383.2010.1).
z
1
u(f,5)Lp : = sup ||f(• + h) — f(0||p и u(f,5) : =
0<h^S
:= sup sup \f (x + h) — f (x)\ соответственно.
0<h<6 xGR
Пусть £ = {x} — разбиение [a, b\, \£\ — диаметр разбиения и 1 ^ p < ж. Тогда для ограни-Rf
чину
“i-i/p(f, 6) = sup j \f (Xi) — f (Xi-i
1/p
—то < a < Ъ < +то, \£\ ^ 6
Если Vp(f) '■= supu1-1/p(f,S) < ж, to f на-
й>0
p
R. Аналогично вводится ш1-1/p(f, £)[а,ь] Для функций, определенных на [a, b\.
Мультипликативной сверткой функций f,g G G Ljoc(R+) называется f * g(x) = f f (x e t)g(t) dt,
R+
если последний интеграл существует. Пусть osc(f, [a, b)) := sup \f (x) — f (y)\. Будем го-
x,y£[a,b)
f
s-флуктуации на R+, 1 ^ s < ж, если
1/s
Fls(f, R+) : = sup I У2 oscs (f,ljk)) 1 < то.
k&\ j=0
Можно также рассматривать следующий s-флуктуационный модуль
Vs (f )n
-- sup I E oscs(f,ljk)) I
k>n \ j=0 I
s
жит К. Оневиру и Д. Ватерману [4], величина Vs(f)n рассматривалась одним из авторов ([5]).
Будем писать, что неотрицательная функция X(t) G Ljoc(R+) принадлежит классу AY, y ^ 1, если найдется ky ^ 1, такое, что
непрерывности
1/s
I . Понятие
' тп+1 \ 1/y
A(t) dt | ^ kymn~!
A(t) dt, n Є Z. (2)
Из неравенства Гёльдера легко следует, что AY2 с С AY1 при І ^ Yi < Y2 < то. Ясно, что функция A(t) = te при в Є R принадлежит всем AY, y > І■
A(t)
sup{A(t) : mn ^ t < mn+1} ^ C inf{A(t) :
mn ^ t < mn+i}, n Є Z, (3)
также принадлежит всем AY, y > І- Аналог условия (3) для последовательностей рассматривался П.Л. Ульяновым [6], тогда как аналог условия (2) для последовательностей введен Л. Гоголадзе и
mn = 2n
тп = 2п
изучения весовой интегрируемости обычных преобразований Фурье.
Пусть ¥(/)(Ь) — преобразование Фурье для функций и, определенных на прямой. Ф. Мориц [8] установил следующие результаты.
Теорема А. Пусть f € Ьр(М), 1 < р < 2, 0 <
< г < д, 1/р + 1/д = 1, А € Лр/(р-гр+г) (при тп = = 2п)и А(-Ь) = А(Ь). Тогда
СП
1'А(г)\¥иш сь < с]а(ь)ь~т/*шг ^. □
\ф2 1 Р
Теорема В. Пусть и € Ьр(М) П С(М) такова, что Ув(и) < ж, где 1 < р < 2, 0 < а < р. Если г, д и А(Ь) такие же, как в теореме А, то
СП
!а(Ь)\¥(и)(Ь)\Г ЛЬ < С!А(Ь)Ь-Гиг(1-°/р) (П^сИ. □
\Ь\^2 1
С помощью леммы 4 (см. ниже) легко установить, что теорема В является следствием теоремы А.
В данной работе мы устанавливаем аналог теоремы А и его неулучшаемость в определенном смысле. Кроме того, мы приводим условия типа Зигмунда, достаточные для весовой интегрируемости преобразований Фурье (мультипликативного и обычного), в которых, помимо ограни-аа ются условия на интегральный модуль непрерывности. Аналогичный результат для тригонометрических рядов был получен М. и Ш. Изуми [9].
Далее мы изучаем условия интегрируемости преобразования Фурье от сверток. При этом большое внимание уделяется доказательству неулучшаемости этих условий. В случае тригонометрических рядов подобные вопросы изучались М. и Ш. Изуми [10] и К. Оневиром [11], а для мультипликативных систем — К. Оневиром [12] и одним из авторов [13]. Отметим следующий результат из
[14-
Теорема С.
1) Если д,Н € Цп, 1 < р < 2, 1/р + 1/д = 1, то ряд из модулей коэффициентов Фурье в степени д/2 их 2п-периодической свертки (д * Ь)2п сходится.
2) Для любого 1 < р < 2 найдутся д,Н € € Ьрп, такие, что ряд из модулей коэффициентов Фурье в любой степени в < д/2 их 2п-периодической свертки (д * Н)2п рас-
□
Ниже доказывается аналог теоремы С для Р
(см. теорему 4).
С. Алянчич и М. Томич [14] получили следующий результат.
V
ГИп — 1
Теорема В. Пусть коэффициенты Фурье четной (или нечетной) функции и € монотонно убывают. Тогда п1-1/рцп < Сш(и,п/2п)ьр, где ш(и,6)ър — модуль непрерывности в 1 <
< р < ж. □
В теореме 6 и следствии 6 мы даем аналогич-
Р
вания Фурье.
Данная работа по тематике примыкает к нашей работе [15], в которой также исследовалась весовая интегрируемость мультипликативных преобразований Фурье.
II. Вспомогательные утверждения
У
Лемма 1. Пусть ВУ (х) = / х(х,Ь) 3,Ь. Тогда
о
1) Бтп (х) = тпХ[о,1/тп)(х), где п € Z и Хе — индикатор множества Е;
2) \ВУ(х)\ < (М + 1)/х для всех х,у > 0. □ Утверждение 1) хорошо известно (см. [2,
§§ формула (10)].
Лемма 2. Пусть и не возрастает на М+ и Иш и(х) = 0. Тогда интеграл и(х) =
= / и(у)х(х,у) Су сходится как несобственный
к+
х > 0
и(х)х1-2/р € Ьр(М+), 1 < р < 2, то и(х) € € Ьр(М+). □
Утверждение леммы 2 доказано в [3, теорема 3].
а(у) х(х, у) Лу
о
а(у) € Ь1ос(М+), сходится всюду на М+ за исключением не более чем счетного множества точек к функции и(х) € Ь}ос(М). Тогда
гнп
(x)= lim / f (y)x(x, y)
n——+ /
dy
п. в. на М+. □
Лемма 3 установлена В.А. Скворцовым [16]. Лемма 4. Пусть Е1е(и, М+) < ж и и € € Ьр(М+), где 1 < а < р < ж. Тогда ип(и)р <
< т-1/рШп~а/р(и)пУ£/ри)з, п € Z+. □
Доказательство. Учитывая, что при х € 1п, Н € Ц1, имеем х © Н € 1п, получаем
1/p
< sup (Un(f)x)1-s/p [m-1^ oscs(f,in) 0<h<1/m? \ j=0
= m-1/p(un(f U)1-s/pVS/p(f )s
при всех n G Z+. Здесь важно, что для функ-s
рывности wn(fU конечен, хотя и может не стремиться к 0. Лемма доказана.
Лемма 4'. Пусть 1 < s < p < ж и Vs(f) < ж, f G Lp(R). Тогда
u(f,S)Lp < S1/p^s1/_p1/s(f,S)(^(f,S)x)1-s/p. Доказательство. Пусть w(x,y) =
= “s-1/s(f,h)[x,y]. Тогда J\f (x + h) — f (x)\p dx <
«/ dx =
N
Un(f )p = sup
0<h<— (
/ \1/p > 1 q > 1n1/r =1/p+1/q —1
г l ликативная свертка f * g суш
2^J\f (x e h) — f (x)\p dx\ ^ Lr(R+)h ||f * g\\r < \\f ||p||g||,.
1/p
^2up s(f)^J \f(x e h) — f(x)\s dxl <
V=0 I? )
= ир в(и,Н) Иш / -ю(х,х + Н) Сх ^
- м
N
^ ир-ь(и,Н) Иш [ (ю(—Ы,х + Н)-
M,N —J
м —т(—Ы,х)) Сх =
= шр->1(и,Н) Иш ( [ •ш(-Ы,х) Сх—
мN—+п \ У
' N
-м+к ч
— J т(—М,х) Сх\ ^
-м
^ 1Мр-ь(и,Н)Н Иш т(—Ы,М + Н) =
М^—+п
= Нир-°и, Н)ш1-1/аи, Н).
Здесь использован легко проверяемый факт: 'ю(х, у) ^ 'ю(х, г) + т(г, у) при х ^ г ^ у. Переходя к эир по Н ^ 6 и возводя в степень 1/р, получаем нужное неравенство. Лемма доказана.
Замечание 1. Неравенство ш(и,6)ьр ^ ^ 61/рУр(и) для периодических функций было доказано Л. Юнгом [17].
Лемма 5. Пусть и € Ьр(М+), д € Ь(М+), р > ^ 1, д ^ 1 и 1/г = 1/р+1/д —1 > 0. Тогда мультипликативная свертка и * д существует как элемент
□
Эта лемма является мультипликативным аналогом теоремы Юнга и ее доказательство проводится аналогично [18, с. 176] с помощью неравенств Минковского и Гёльдера, а также теоремы Рисса-Торина.
III. Основные результаты
Теорема 1. Пусть д (х) не возрастает на М+ и Иш д(х) = 0. Тогда существует и € Ьр(М+),
X—
1 < р ^ 2, такая, что и = д п. в. на М+, в том и только том случае, когда д(х)х1-2/р € Ьр (М+). □ Доказательство. Пусть д(х)х1-2/р € Ьр(М+). По лемме 2 д1(х) := д(х) € Ьр(М+) существует
х > 0
этом д1 € Ь}ос(М+). По лемме 3 имеем д(х) =
т п
= Иш Г д1(у)х(х,у) Су п. в. наМ+. Но
п—о
\\д 1 — / д1(Ь)х(-,Ь) <СЦья[отк) ^ п ^ ж для
о
любого к € Z. По теореме Ф. Рисса о сходящейся
§
дется {шПі}Ц=1, такая, что / д1(і)х(^,і) Сі ^ д1
о
п. в. при і ^ ж на [0, шк). Значит, для любого к Є Є Z д(х) = д 1(х) п. в. на [0, шк) и, стало быть, это равенство верно п. в. на М+. Обратное утверждение вытекает из теоремы 2 из [3]. Теорема доказана.
Замечание 2. Для косинус-преобразования Фурье подобный результат принадлежит Харди и Диттлвуду (см. [20, глава 4, теорема 82]).
Следующая теорема 2 является аналогом теоремы А.
Теорема 2.
1) Пусть I Є Ьр(Ж), 1 < р і 2, 1/р + 1/ц =
т п
= 1, А Є Ь1ос(Ж+), вп = / А(і) Сі. Если
тп— і
А Є Ар/(р-гр+г) для некоторого г Є (0,д), А Є Є Ьч/(ч-г)[0,1) и сходится интеграл
У А(і)і-г/ч(иЩ, 1/і)р)г Сі
или ряд
(I )рвпШ-г/,
(4)
(5)
п=о
г г- Т 1(
то А(Ь)\и(Ь)Г € Ь1(М+).
2) Пусть 1 < р < 2, 1/р + 1/д =10 < г < д.
Если убывающая к нулю последовательность {ип}П=0 такова, что ряд (5) расходится и вы-
полнено условие Бари:
= О(шп),
(6)
к=п
то найдется І0 Є Ьр(М+), такая, что ип(/0)р і
і Сип, п Є Z+, но интеграл / А(і)\I0(і)\г Сі
ж+
расходится. □
Доказательство. 1) Ясно, что
СЮ
I А(і)і-г/ч(и*(! 1/і)р)г Сі =
1
ГПп
= Е / А(і)і-г/ч(ш*(/, 1/і)р)г Сі >
впШ-г/« < (I )р.
п=1
С другой стороны, как указано во введении, Л7 с С А1 при 7 ^ 1. Следовательно, учитывая, что 70 : = р/(р—рг + г) = д/(д — г) > 1 и А € Л10, имеем
тп+1 гпп
/ А(Ь) СЬ < С1 / А(Ь) СЬ, п € Ъ. Поэтому
тп тп-1
I А(і)і-г/ч(и*(1,1/і)р)г Сі =
1
тг + 1 СЮ р
= £ / А(і)і-г/*(и*(1,1/і)р)г Сі і
п=0 тг
тг+1
Ю
і С^ ш-г/*ип(I)р А(і) Сі і
^ _п ^
і с^ ип (і )рвп.
Таким образом, интеграл (4) и ряд (5) сходятся одновременно. Как отмечалось ранее, х(х, Ь) постоянна на [0, шп), как функция х при Ь = 1/шп+1 Є Є [0,1/шп). Кроме того, мультипликативное преобразование Фурье функции I(• 0 Ь) имеет вид
I(• 0 Ь))(х) = I(х)х(х, Ь). Поэтому согласно аналогу неравенства Хаусдорфа-Юнга (см. [2, гл. 6, теорема 6.1.7]) имеем
тг+1
I(х)\ч\1 - х(х, 1/шп+1)\ч Сх і
< у(х 01/шп+1) - і-(х)\\р < ипи)р. (6>)
Если Х Є [Ішп, (I + 1)шп), ще I = 1,2,..., Рп+1 -
- 1, то \1 - х(х, 1/шп+1)\ = \1 - ехр(2піІ/рп+1)\ > > 2віп(п/М), поскольку рп < N щи п Є N. Таким
тг + 1
образом, / \I(х)\ч Сх < С4ип(I)р и
т^г+1
\I(х)\гА(х) Сх ^
'тп+1
г/Ч/
'тп+1
1-г/Ч
і. Ц \т\<Ц А <
п (Лрш-1^-^*
і С5игп(Прш.
А( х) Сх
тп— 1
= С^п (и )рт-пг/1 вп. (7)
Здесь использовано равенство д/(д — г) = р/(р —
— гр + г) и условие А € Лр/(р-гр+г). Суммируя неравенства (7) по п ^ 0, заключаем, что °°
интеграл J\и(х) \г А(х) Сх сходится. Сходимость
1
1
I \и(х) \г А(х) Сх следует из неравенства Гёльдера и
о
условия А € ЬЧ/(Ч-Г)[0,1).
° _1 /
2) Пусть и = Е иктк /Ч (Бтк + 1 — Отк )■
к=0
Тогда в силу леммы 1 имеем \\Бтк+1 — Бтк ||р =
= 0(т\-1/р) И ^п(Втк+1 — Втк)р = ^И к < п. Поэтому в силу условия (6) имеем
п
^п(и0)р ^ ^кт- ^п(&тк+1 ^тк )р ^
к=п п
^53 шк т- / 2\^тк+1 — Етк ||р ^
к=п
п
^ С^ ] <^к ^ С^^п.
С другой стороны, поскольку Dmn (x) =
Ю 1/q
= Х[0,тп) (x), ТО f 0(x) = J2 Un'm- /q X[mn,mn+i) И
n=0
поскольку {wnm-lr/q}°°=0 убывает,
° ж тп+1
\h(x)\rA(x) dx = Е wnm-r/q A(t) dt >
i n=0 mn
OG ™n OO
wnm-r/q A(t) dt = E wnm-r/qвn = то.
---1 J -1
Теорема доказана.
Следствие 1 является аналогом теоремы В для Р-преобразования Фурье.
Следствие 1. Пусть и € Ьр(М), 1 < р <
< 2, и Т 1е(и, М+) < ж ВДе 0 < а < р. Если А € Лр/(р-гр+г) и А € Ьч/(ч-г) [0,1^, где 0 <
< г < д, 1/р + 1/д = 1, то из сходимости
п
ряда £ Ка)°)г( /р) впт-(Уп(и)*)гз/р
выте-
n=0
кает сходимость интеграла / \и(х) \г А(Ь) СЬ. □
0
Утверждение следствия вытекает из теоремы 2 и леммы 4.
Следствие 2. Пусть и € Ьр(М+), 1 < р < 2, Т 1р(и,М+) < ж и А такое же, как в следствии 1.
п
Тогда из сходимости ряда £ впт-г вытекает ко-
п=0
°°
нечность интеграла / \и(х) \г А(Ь) СЬ. □
0
Следствие 3. Пусть и € Ьр(М+), 1 < р < 2, и Т 13(и, М+) < ж, где 0 < а < рии € Ыр*(а).
Тогда I Є Ьг(К+) щи р/(р + а(р - в)) < г < д, 1/р +1/д = 1 □
Следствие 4. Пусть I Є Ьр(Ж+) ПЬір*(а), 1 <
< р і 2, причем ТІ1 (I, М+) < ж, то I Є ^(М^ при всех а > 0 □
Следствие 4 является аналогом классической теоремы Зигмунда об абсолютной сходимости тригонометрического ряда Фурье (см. [21, глава 6, теорема 3.13] при в = !)•
Утверждение 1. Теорема В является следст-
□
Доказательство утверждения 1 аналогично доказательству следствия 1 с использованием леммы 4.
Теорема 3 при А(і) = 1 является аналогом теоремы М. и Ш. Изуми [9] об абсолютной сходимости рядов Фурье.
Теорема 3. Пусть 1 < р < ж, 1 і в < 2р, 1/р+ + 1/д =10 < г < 2, I Є Ь2(Ж+), ТШ, М+) < ж и А(і) Є А2/(2-г) П Ь2/(2-т^[0, 1). Если
£ вk(f ),Ч2-„V’k"/2r(f). <
k=0
< то,
°°
то / \ f (x) \r A(t) dt < то. □
0
Доказательство. Аналогично доказа-
б'
’ mk + i \ p
І \ f (t) \2 dt | <
j\ f (t е І/mk+i) — f (t)\2 dt | =
mk -1
i=0
mk mk+i J
Пользуясь равенством 2 = s/p + ((2 — s)q + s)/q и применяя интегральное неравенство Гёльдера с pq
’ mk + 1 \ p
I \ f (t) \2 dt | <
mk -1
Cim-1J2
j=0R
f{, е m+H) —f(t е ±)
mk+1 mk
s
dt
x( / \ f (t е (jpk+i + І)/mk+i) —
v+
p-1
—f (t е j/mk) \s+(‘2-s^)q dd <
p
m^_ i
p
1
mk -1 оо
хЕЕ
о j=0 l=0
fit е l е
j
—fit е l е —
mk
jpk+1 + І mk+i
s
dt ^
1 2 p- s (
< Стк1 ^кр-ЧикУк(и)з,
где а1 = а + (2 — а)р и р — 1 = (2р — а)/(а + (2 — — а)д)
А € Л2/(2-г), находим что
аналогично Иш \\Нп * дп — и||г/ =0 1/г +1/г' =
п—►п
= 1. Находя по теореме Рисса [19, § 13] подпоследовательности Нпк,дпк, такие, что Нпк (х) ^ ^ Н(х) и дпк ^ д(х) п.в., выделяем из нее, в свою очередь подпоследовательности Н\к ,д1к, такие, что Н\к (х)д1к (х) ^ и (х) п.в. Отсюда следует, что Н(х)д(х) = и(х) п.в. Теперь по неравенству Конш-Буняковского получаем
/ \и(х) \ч/2 Сх = [ \ Н(х)д(х) \ч/2 Сх ^
mk+i
A(t) \ f (t) \r dt <
' mk+i
r/2
/ mk+i
|2 i, I j I Л г,\2Ц2-r)
1-r/2
< [ J \ f (t) \2 dt I [ J A(t)2/(2-r') dt| <
ч mk
< C-2 V?*(t),f ‘m-r/23t =
= C2,„—'^/2p—'/kJkk'r/kp(f).iVT/2p(f)A. (S)
Складывая неравенства (8) no k ^ 0, получаем
Ю
f A(t) \ f (t) \r dt <
Ю
< C^ m-r/2p-r/2wrr/2p(f)siVsr/2p(fUk <
< то. (S')
r/2
k=0
А(і) Є
Є Ь2/(2-г[0,1) имеем А(і)\I(і)\г Є Ь[0,1), откуда и из (81) следует утверждение теоремы.
Теперь приведем два утверждения, относящихся к преобразованиям Фурье сверток. Теорема 4 является аналогом теорем 4 и 5 из [11] для тригонометрических рядов.
Теорема 4.
а) Пусть д,Ь Є Ьр(Ш+), 1 і р і 4/3, 1/р +1/д = 1, I = д* Ь. Тогда I Є Ьч/2(Ж+).
б) Если 1 < р і 4/3, 1/р +1/д = 1, то существуют
д,Ь Є Ьр(Ш+), такие, что для I = д * Ь имеем I Є Ъ7(М+) при всех г Є (0, д/2). □
Доказательство, а) При 1 і р і 4/3 число г,
1/г = 2/р - 1 г =
= р/(2-р)), принадлежит [1,2]. Согласно лемме 5 в этом случае I = д* Ь Є Ьг (К+) и можно говорить об I в обычном смысле. Известно, что для ф,ф Є Є ^(М^ справедливо равенство (ф * ф)=фф всюду на М+ (см. [2, гл. 6, теорема 6.1.4]). При этом если дп, Ьп Є Ь1(М+) П Ьр(Ж+) и Ііт \\д - дп\\р =
п—►Ю
= Ііт ||Ь - Ьп\\р = 0, то по аналогу неравенства
п—►Ю
Хаусдорфа-Юнга Ііт \\д-$п\\д = Ііт \\Ь-Ьп\\„ =
п—►Ю п—►Ю
= 0. Поскольку дп * Ьп ^ д * Ь = I в Ъг, то
<
\h(x) \q dx
1/2 1/2
\g(x)\q dx I < то.
б) Пусть g1(x) = h1(x) = x 1/q(log2 x + І) 1 на
[І, +то) и g1(x)
gi(x
p-2
(x) hi(x)
І на [0, І]. Тогда
X 1(log2 X + І) p при x ^ І и
др(х)хр-2 = хр-2 на (0,1^, так что др(х)хр-2 € € Ь1(М+) и по теореме 1 найдутся д(х), Н(х) € € Ьр (М+), для которых д = д ^ Н = Н1. При г < д/2 имеем ((д * Н)(х))г = (д1(х)Н1(х))г = = х-2г/ч(^2 х + 1)-г € Ь1[1, ж), так что д, Н — искомые функции. Теорема доказана.
Теорема 5.
а) Пусть 1 < р < 2 1 <д < 2 1/р +1/д > 3/2, а > > 0. Если д € Ыр*(а,р), Н € Ь(М+) и и = д * Н,
f Є
-), pq/^pq + 2pq — p — q) < в <
< pq/(2pq — p — q)-
б) Пусть 1 < p < 2 1 < q < 2 a > 0, 3/2 <
< 1/p + 1/q < a + 2 — 1/q. Тогда существуют g G Lip*(a,p) и h G Lq(M+), такие что (g * h) G Le° (R+), p0 = pq/(apq + 2pq — p — q)).□ Доказательство.
а) Применяя лемму 5, находим что g * h G Lr, где 1 < r ^ ^ и 1/r = 1p + 1/q — 1, т. e. r = = pq/(p — pq + q), причем аналогично доказательству теоремы 4 h(x)g(x) = f (x). Также по лемме 5 получаем ||f (■ + h) — f (-)||r < ||g(- + h) —
— g^WpWhWq ^ C1 m—a, если 0 < h < 1/mn и
g G Lip* (a, p^^ теорему 2 при A = 1,
имеем f G Le (R+) при условии 1 — [3a — в/r' < <0
Из неравенства в > 1/(a +1/r') легко получаем в > pq/(apq + 2pq — p — q), и утверждение а) теоремы доказано.
б) Пусть g(x) = £ m—a+1/p—1(Dmn (x) —
n=1
— Dmn-1 (x)). Тогда при 0 < h < 1/mk верно равенство Dm? (x ® h) = Dm? (x) и, как следствие,
wk(g)p m-a+1/p 1 W Dmn — Dmn-1 lip <
Ю
< C2Y, m-a = C3m-a.
n= k
n= k
Следовательно, g G Lip*(a,p). При этом Dmn =
= x[0,mn)i поэтому
£
g(x) = J2 m—a+1/p—1xlmn-i,
1
[mn-i,mn)
£ —1/'
Пусть h1(x) = J2 m— /q n—YX[mn_umn), 1/q +
n=1
+ 1/q' = 1и Yq > 1 при x ^ 1 и h1(x) = 1 при x G [0,1). Тогда h1(x) убывает и
£
j h\(x)xq—2 dx =
= xq 2 dx + mi qn q I xq 2 dx ^
n
1
< C3 1 + j = C4 < ю.
По теореме 1 существует h G Lq (R+), такая, что h = h1
£
J \g(x)\e° \h(x)\e dx =
0
£ 7Пп
= E m[— a+1/p—1—q — 1)во n—Yl3of 1 dx >
n=1 m{_i
OO OO
m—(a+1/r'—1)e0+1n—Ye° = J2 n—ie°. (9)
Правая часть (9) равна бесконечности, если Yfh < 1. Неравенство 1/в0 > 1/q равносильно неравенству a + 2 — 1/q — 1/p > 1/q. Таким образом, при выполнении условий пункта б) найдется y G (1/q, 1/в0) и тогда h G Lq(М+), но левая часть (9) равна бесконечности. Теорема доказана.
Следствие 5.
а) Пусть 1 < p < 2,1 < q < 2, и a > 1/p + 1/q — 1. Если g G Lip*(a,p), h G Lq(M+), то для f = g * h имеем f G L1(R+).
б) Пусть 1 < p < 21 <q < 2,0 < a = 1/p +1/q — 1.
Тогда существуют g G Lip* (a,p) rn h G Lq (M+), такие, что (g * h) G L1(R+). □
Замечание 3. Утверждение пункта а) теоремы 5 и следствие 5 являются аналогами теоремы 6, следствия 5 и теоремы 7 из [12] для мультипликативных систем. Дальнейшие результаты в этом направлении см. в [13].
f (x)
f(x)
Теорема 6. Пусть f G Lp(R+), 1 <p < 2, такова, что f (x) > 0 и f (x) j на (0, го). Тогда при x G [mn,mn+1), n ^ 1 имеем
f (x) < Cmn/p—1^n—1(f )p, n G N. □ (10)
Доказательство. Снова отметим, что (и(- 0 1/тп+1) — и(-))~(х) = и(х)(х(х, 1/тп+1 ) —
— 1^. Если х € [тп, 2тп), то х(х, 1/тп+1) = = ехр(2пг/рп+1) = еов(2п/рп+1) + г вт(2п/рп+1). Известно, что для и,д € Ьр (М+) верно равенство и(х)д(х) Сх = ^к+ и(х)д(х) Сх (см. [22]). Поэтому
'mn+1
f (x)(x(x, 1/mn+1) — 1) dx
J(f (x 0 1/mn+1) — f (x)) x
X (Dmn+i (x) Dmn (x)) dx
m,n+1
2 sin2
pn+1
'mn + 1
<
f (x)(x(x, 1/mn+1) — 1) dx
^ Wf ( 0 1/mn+1 ) — f ()WpWDmn+1 — Dmn || q,
где 1/p + 1/q = 1. В результате находим, что mnf (mn+1) ^ Cmh 1/qun(f )p, откуда в силу монотонности f (x) и ограниченности {piЮ получаем неравенство теоремы.
f
виям теоремы 6 и u*(f, 6) ^ ^(6), где ш(6) удовлетворяет Д2-условию ^(26) < C1^(6), 6 > 0. Тогда f(x) ^ C2x1/p—1 ш(1//x). □
Доказательство использует результат теоремы 6 и оценку
w*(f, 1/mn) < u(1/mn) = ш(pn/mn+1) <
< Cl1°92pn+1]+1u(1/mn+1).
Теорема 6 и следствие 6 являются аналогами теоремы D.
Литература
1. Виленкин Н.Я. К теории интегралов Фурье на топологических группах // Мат. сб. - 1952. -Т. 30, № 2. - С. 233-244.
2. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. - М.: Наука, 1987.
3. Golubov B.I., Volosivets S.S. On the integrabil-ity and uniform convergence of multiplicative Fourier transform // Georgian Math. J. - 2009. - V. 16, N 3.
- P. 533-546.
4. Onneweer C., Waterman D. Uniform convergence of Fourier series on groups // Mich. J. Math. -1971. - V. 18, N 3. - P. 265-273.
5. Волосивец С. С. Приближение функций огра-
p
ликативным системам // Anal. Math. - 1995. -V. 21, N 1. - P. 61-77.
ГПп— 1
6. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара с монотонными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1964. - Т. 28, № 4. - С. 925-950.
7. Gogoladze L., Meskhia R. On the absolute convergence of trigonometric Fourier series // Proc. Raz-mazde Math. Inst. - 2006. - V. 141. - P. 29-40.
8. Moricz F. Sufficient conditions for the Lebesgue integrability of Fourier transforms // Anal. Math. -2010. - V. 36, N 2. - P. 121-129.
9. Izumi М., Izumi S. On absolute convergence of Fourier series // Arkiv. Mat. - 1967. - V. 7, N 12. -P. 177-184.
10. Izumi М., Izumi S. Absolute convergence of Fourier series of convolution function // J. Approx. Theory. - 1968. - V. 1, N 1. - P. 103-109.
11. Onneweer C.W. On absolutely convergent Fourier series // Arkiv. Mat. - 1974. - V. 12, N 1.
- P. 51-58.
12. Onneweer C. W. Absolute convergence of Fourier series on certain groups // Duke Math. J.
- 1974. - V. 41, N 3. - P. 599-610.
13. Волосивец С.С. О сходимости рядов из коэффициентов Фурье мультипликативных сверток и Изв. вузов. Матем. - 2008. - № И. - С. 2739.
14. Aljancic S., Tomic М. Uber Stetigkeitsmodul von Fourier-Reihen mit monotonen Koeffizienten // Math. Zeitschrift. - 1965. - V. 88, N 3. - S. 274-284.
15. Волосивец С.С., Голубов Б.И. Весовая интегрируемость мультипликативных преобразований Фурье // Тр. МИАН. - 2010. - Т. 269. - С. 7181.
16. Скворцов В.А. Теорема единственности представления функций мультипликативными преобразованиями // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., мех. - 1992. - № 6. - С. 14-18.
17. Young L.C. An inequality of the Holder type connected with Stieltjes integration // Acta Math. -1936. - V. 67. - P. 251-282.
18. Эдвардс F. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 2. - М.: Мир, 1985.
19. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. - М.: Факториал, 1998.
20. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. - М.: Гостехиздат, 1948.
21. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. - М.: Мир, 1965.
22. Беспалов М. С. Операторы мультипликативного преобразования Фурье // Изв. вузов. Матем. - 2006. - № 3. - С. 9-23.
Поступила в редакцию 16.01.2011
