Научная статья на тему 'Обобщенная весовая интегрируемость мультипликативных преобразований Фурье'

Обобщенная весовая интегрируемость мультипликативных преобразований Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
58
10
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Обобщенная весовая интегрируемость мультипликативных преобразований Фурье»

УДК 517.51

Б. И. Голубов1, С. С. Волосивец2

1 Московский физико-технический институт (государственный университет)

2 Саратовский государственный университет

Обобщенная весовая интегрируемость мультипликативных преобразований Фурье

Мультипликативное преобразование Фурье, введенное Н.Я. Виленкиным, задается последовательностью натуральных чисел Р = {рп}П?=и Рп ^ 2. В случае р„ = 2 оно совпадает с широко известным преобразованием Уолша, имеющим многочисленные приложения в вычислительной математике и теории кодирования. Для ограниченной последовательности Р

их мультипликативных преобразований Фурье на К+. Некоторые из них неулучшаемы. Доказаны мультипликативные аналоги теорем Харди-Литтлвуда, Зигмунда, Морица, Он-невира, М. и Ш. Изуми, а также Алянчича и Томича.

Ключевые слова: мультипликативное преобразование Фурье, мультипликативная

свертка, весовая интегрируемость, функция ограниченной в-флуктуации, классы Липшица, монотонная функция.

I. Введение

Пусть {рп}п=1 — последовательность натуральных чисел, такая, что 2 ^ р^ ^ М, р— = р^ для всех ] € N. Положим т^ = р1 .. р при ] € М, т0 = 1 и т—1 = т^и I € N. Тогда каждому х € М+ можно сопоставить разложение

Ж

j=1

0 < Xn < pn,

Шз

3 = 1

Хп Є Z П [0,Р3), \Ле N. (1)

Здесь в первой сумме из (1) присутствует конечное число слагаемых и разложение определяется однозначно, если для чисел вида х = к/ші, к,1 Є Є N брать разложение с конечным числом х з = 0. Если х,у Є М+ записаны в виде (1), то по определению

x Є y

j=i

ж

+ / —, mj j=i j

zj Є ZП [0,pj), \j\ Є N,

где Zj = Xj — yj ( mod pj). Аналогично определяется операция x ® y.

Для x,y G R+, записанных в виде (1), определим ядро x(x, у) равенством

x(x, y) = exp I 2ni

j=i

xj y-j + x-j y j pj

Для почти всех пар (х, г) € М+ х М+ при фиксированном у € М+ имеем равенство х(х ® г, у) = = х(х,у)х(г,у) и х(х © г,у) = х(х,у)х(г,у). Отсюда следует, что х(х,у) = х({х}, [у\)х([х], {у}),

где {х} — дробная часть х, [х] — целая часть х, х(х, у) х

1к = []/тк, (] + \)/тк) 0 < у < тк (см. [2,

§1-5]).

Пространства ЬР(Ж+), 1 < р из измеримых на М+ функций,

измеримых на \ i/p

< ж, состоят для которых

I \f(t)\pdt

R+ У

<

Для / € Ь1 (К+) мультипликативное Р-пре-образование Фурье (см. [1]) задается формулой

/ (х) = / /(у)х(х,у) Лу, где правая часть явля-

к+

ется интегралом Лебега. Для / € ЬР(Ж+), 1 < < р < 2, Р-преобразование Фурье вводится, как

предел / f (у)х(х,у) Лу в Ь(М+), 1/р + 1/д = 1,

о

при а ^ +гс>. Согласно [2, гл. 6, теорема 6.1.7], имеет место аналог неравенства Хаусдорфа-Юнга

Наконец, для убывающей на R+ к f f ( x)

Wp

венный интеграл / f (y)x(x,y) dy (см. [3]).

0

Пусть f G Lp(R+), 1 < p < ж, тогда “*(f,$)p '■= sup \\f(• e h) — f(0||p и un(f)p : =

0<h<S

:= u*(f, 1/mn)p, n G Z+. Аналогично определяется Un(f)ж = sup sup \f(x e h) — f(x)\ и

0<h<1/mn

u*(f,S)x. Если a > 0 и Wn(f)p < Cm-a, n G G Z+, to по определению f G Lip* (a,p), 1 < p < ^ ж. При p = ж иишем f G Lip*(a). Для f G Lp(R), 1 < p < ж, и f G C(R) положим

Работа первого автора поддержана РФФИ, проект 11-01-00321 и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проект 2.1.1/12136, работа второго автора поддержана программой «Ведущие научные школы РФ» (проект НШ-4383.2010.1).

z

1

u(f,5)Lp : = sup ||f(• + h) — f(0||p и u(f,5) : =

0<h^S

:= sup sup \f (x + h) — f (x)\ соответственно.

0<h<6 xGR

Пусть £ = {x} — разбиение [a, b\, \£\ — диаметр разбиения и 1 ^ p < ж. Тогда для ограни-Rf

чину

“i-i/p(f, 6) = sup j \f (Xi) — f (Xi-i

1/p

—то < a < Ъ < +то, \£\ ^ 6

Если Vp(f) '■= supu1-1/p(f,S) < ж, to f на-

й>0

p

R. Аналогично вводится ш1-1/p(f, £)[а,ь] Для функций, определенных на [a, b\.

Мультипликативной сверткой функций f,g G G Ljoc(R+) называется f * g(x) = f f (x e t)g(t) dt,

R+

если последний интеграл существует. Пусть osc(f, [a, b)) := sup \f (x) — f (y)\. Будем го-

x,y£[a,b)

f

s-флуктуации на R+, 1 ^ s < ж, если

1/s

Fls(f, R+) : = sup I У2 oscs (f,ljk)) 1 < то.

k&\ j=0

Можно также рассматривать следующий s-флуктуационный модуль

Vs (f )n

-- sup I E oscs(f,ljk)) I

k>n \ j=0 I

s

жит К. Оневиру и Д. Ватерману [4], величина Vs(f)n рассматривалась одним из авторов ([5]).

Будем писать, что неотрицательная функция X(t) G Ljoc(R+) принадлежит классу AY, y ^ 1, если найдется ky ^ 1, такое, что

непрерывности

1/s

I . Понятие

' тп+1 \ 1/y

A(t) dt | ^ kymn~!

A(t) dt, n Є Z. (2)

Из неравенства Гёльдера легко следует, что AY2 с С AY1 при І ^ Yi < Y2 < то. Ясно, что функция A(t) = te при в Є R принадлежит всем AY, y > І■

A(t)

sup{A(t) : mn ^ t < mn+1} ^ C inf{A(t) :

mn ^ t < mn+i}, n Є Z, (3)

также принадлежит всем AY, y > І- Аналог условия (3) для последовательностей рассматривался П.Л. Ульяновым [6], тогда как аналог условия (2) для последовательностей введен Л. Гоголадзе и

mn = 2n

тп = 2п

изучения весовой интегрируемости обычных преобразований Фурье.

Пусть ¥(/)(Ь) — преобразование Фурье для функций и, определенных на прямой. Ф. Мориц [8] установил следующие результаты.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теорема А. Пусть f € Ьр(М), 1 < р < 2, 0 <

< г < д, 1/р + 1/д = 1, А € Лр/(р-гр+г) (при тп = = 2п)и А(-Ь) = А(Ь). Тогда

СП

1'А(г)\¥иш сь < с]а(ь)ь~т/*шг ^. □

\ф2 1 Р

Теорема В. Пусть и € Ьр(М) П С(М) такова, что Ув(и) < ж, где 1 < р < 2, 0 < а < р. Если г, д и А(Ь) такие же, как в теореме А, то

СП

!а(Ь)\¥(и)(Ь)\Г ЛЬ < С!А(Ь)Ь-Гиг(1-°/р) (П^сИ. □

\Ь\^2 1

С помощью леммы 4 (см. ниже) легко установить, что теорема В является следствием теоремы А.

В данной работе мы устанавливаем аналог теоремы А и его неулучшаемость в определенном смысле. Кроме того, мы приводим условия типа Зигмунда, достаточные для весовой интегрируемости преобразований Фурье (мультипликативного и обычного), в которых, помимо ограни-аа ются условия на интегральный модуль непрерывности. Аналогичный результат для тригонометрических рядов был получен М. и Ш. Изуми [9].

Далее мы изучаем условия интегрируемости преобразования Фурье от сверток. При этом большое внимание уделяется доказательству неулучшаемости этих условий. В случае тригонометрических рядов подобные вопросы изучались М. и Ш. Изуми [10] и К. Оневиром [11], а для мультипликативных систем — К. Оневиром [12] и одним из авторов [13]. Отметим следующий результат из

[14-

Теорема С.

1) Если д,Н € Цп, 1 < р < 2, 1/р + 1/д = 1, то ряд из модулей коэффициентов Фурье в степени д/2 их 2п-периодической свертки (д * Ь)2п сходится.

2) Для любого 1 < р < 2 найдутся д,Н € € Ьрп, такие, что ряд из модулей коэффициентов Фурье в любой степени в < д/2 их 2п-периодической свертки (д * Н)2п рас-

Ниже доказывается аналог теоремы С для Р

(см. теорему 4).

С. Алянчич и М. Томич [14] получили следующий результат.

V

ГИп — 1

Теорема В. Пусть коэффициенты Фурье четной (или нечетной) функции и € монотонно убывают. Тогда п1-1/рцп < Сш(и,п/2п)ьр, где ш(и,6)ър — модуль непрерывности в 1 <

< р < ж. □

В теореме 6 и следствии 6 мы даем аналогич-

Р

вания Фурье.

Данная работа по тематике примыкает к нашей работе [15], в которой также исследовалась весовая интегрируемость мультипликативных преобразований Фурье.

II. Вспомогательные утверждения

У

Лемма 1. Пусть ВУ (х) = / х(х,Ь) 3,Ь. Тогда

о

1) Бтп (х) = тпХ[о,1/тп)(х), где п € Z и Хе — индикатор множества Е;

2) \ВУ(х)\ < (М + 1)/х для всех х,у > 0. □ Утверждение 1) хорошо известно (см. [2,

§§ формула (10)].

Лемма 2. Пусть и не возрастает на М+ и Иш и(х) = 0. Тогда интеграл и(х) =

= / и(у)х(х,у) Су сходится как несобственный

к+

х > 0

и(х)х1-2/р € Ьр(М+), 1 < р < 2, то и(х) € € Ьр(М+). □

Утверждение леммы 2 доказано в [3, теорема 3].

а(у) х(х, у) Лу

о

а(у) € Ь1ос(М+), сходится всюду на М+ за исключением не более чем счетного множества точек к функции и(х) € Ь}ос(М). Тогда

гнп

(x)= lim / f (y)x(x, y)

n——+ /

dy

п. в. на М+. □

Лемма 3 установлена В.А. Скворцовым [16]. Лемма 4. Пусть Е1е(и, М+) < ж и и € € Ьр(М+), где 1 < а < р < ж. Тогда ип(и)р <

< т-1/рШп~а/р(и)пУ£/ри)з, п € Z+. □

Доказательство. Учитывая, что при х € 1п, Н € Ц1, имеем х © Н € 1п, получаем

1/p

< sup (Un(f)x)1-s/p [m-1^ oscs(f,in) 0<h<1/m? \ j=0

= m-1/p(un(f U)1-s/pVS/p(f )s

при всех n G Z+. Здесь важно, что для функ-s

рывности wn(fU конечен, хотя и может не стремиться к 0. Лемма доказана.

Лемма 4'. Пусть 1 < s < p < ж и Vs(f) < ж, f G Lp(R). Тогда

u(f,S)Lp < S1/p^s1/_p1/s(f,S)(^(f,S)x)1-s/p. Доказательство. Пусть w(x,y) =

= “s-1/s(f,h)[x,y]. Тогда J\f (x + h) — f (x)\p dx <

«/ dx =

N

Un(f )p = sup

0<h<— (

/ \1/p > 1 q > 1n1/r =1/p+1/q —1

г l ликативная свертка f * g суш

2^J\f (x e h) — f (x)\p dx\ ^ Lr(R+)h ||f * g\\r < \\f ||p||g||,.

1/p

^2up s(f)^J \f(x e h) — f(x)\s dxl <

V=0 I? )

= ир в(и,Н) Иш / -ю(х,х + Н) Сх ^

- м

N

^ ир-ь(и,Н) Иш [ (ю(—Ы,х + Н)-

M,N —J

м —т(—Ы,х)) Сх =

= шр->1(и,Н) Иш ( [ •ш(-Ы,х) Сх—

мN—+п \ У

' N

-м+к ч

— J т(—М,х) Сх\ ^

^ 1Мр-ь(и,Н)Н Иш т(—Ы,М + Н) =

М^—+п

= Нир-°и, Н)ш1-1/аи, Н).

Здесь использован легко проверяемый факт: 'ю(х, у) ^ 'ю(х, г) + т(г, у) при х ^ г ^ у. Переходя к эир по Н ^ 6 и возводя в степень 1/р, получаем нужное неравенство. Лемма доказана.

Замечание 1. Неравенство ш(и,6)ьр ^ ^ 61/рУр(и) для периодических функций было доказано Л. Юнгом [17].

Лемма 5. Пусть и € Ьр(М+), д € Ь(М+), р > ^ 1, д ^ 1 и 1/г = 1/р+1/д —1 > 0. Тогда мультипликативная свертка и * д существует как элемент

Эта лемма является мультипликативным аналогом теоремы Юнга и ее доказательство проводится аналогично [18, с. 176] с помощью неравенств Минковского и Гёльдера, а также теоремы Рисса-Торина.

III. Основные результаты

Теорема 1. Пусть д (х) не возрастает на М+ и Иш д(х) = 0. Тогда существует и € Ьр(М+),

X—

1 < р ^ 2, такая, что и = д п. в. на М+, в том и только том случае, когда д(х)х1-2/р € Ьр (М+). □ Доказательство. Пусть д(х)х1-2/р € Ьр(М+). По лемме 2 д1(х) := д(х) € Ьр(М+) существует

х > 0

этом д1 € Ь}ос(М+). По лемме 3 имеем д(х) =

т п

= Иш Г д1(у)х(х,у) Су п. в. наМ+. Но

п—о

\\д 1 — / д1(Ь)х(-,Ь) <СЦья[отк) ^ п ^ ж для

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о

любого к € Z. По теореме Ф. Рисса о сходящейся

§

дется {шПі}Ц=1, такая, что / д1(і)х(^,і) Сі ^ д1

о

п. в. при і ^ ж на [0, шк). Значит, для любого к Є Є Z д(х) = д 1(х) п. в. на [0, шк) и, стало быть, это равенство верно п. в. на М+. Обратное утверждение вытекает из теоремы 2 из [3]. Теорема доказана.

Замечание 2. Для косинус-преобразования Фурье подобный результат принадлежит Харди и Диттлвуду (см. [20, глава 4, теорема 82]).

Следующая теорема 2 является аналогом теоремы А.

Теорема 2.

1) Пусть I Є Ьр(Ж), 1 < р і 2, 1/р + 1/ц =

т п

= 1, А Є Ь1ос(Ж+), вп = / А(і) Сі. Если

тп— і

А Є Ар/(р-гр+г) для некоторого г Є (0,д), А Є Є Ьч/(ч-г)[0,1) и сходится интеграл

У А(і)і-г/ч(иЩ, 1/і)р)г Сі

или ряд

(I )рвпШ-г/,

(4)

(5)

п=о

г г- Т 1(

то А(Ь)\и(Ь)Г € Ь1(М+).

2) Пусть 1 < р < 2, 1/р + 1/д =10 < г < д.

Если убывающая к нулю последовательность {ип}П=0 такова, что ряд (5) расходится и вы-

полнено условие Бари:

= О(шп),

(6)

к=п

то найдется І0 Є Ьр(М+), такая, что ип(/0)р і

і Сип, п Є Z+, но интеграл / А(і)\I0(і)\г Сі

ж+

расходится. □

Доказательство. 1) Ясно, что

СЮ

I А(і)і-г/ч(и*(! 1/і)р)г Сі =

1

ГПп

= Е / А(і)і-г/ч(ш*(/, 1/і)р)г Сі >

впШ-г/« < (I )р.

п=1

С другой стороны, как указано во введении, Л7 с С А1 при 7 ^ 1. Следовательно, учитывая, что 70 : = р/(р—рг + г) = д/(д — г) > 1 и А € Л10, имеем

тп+1 гпп

/ А(Ь) СЬ < С1 / А(Ь) СЬ, п € Ъ. Поэтому

тп тп-1

I А(і)і-г/ч(и*(1,1/і)р)г Сі =

1

тг + 1 СЮ р

= £ / А(і)і-г/*(и*(1,1/і)р)г Сі і

п=0 тг

тг+1

Ю

і С^ ш-г/*ип(I)р А(і) Сі і

^ _п ^

і с^ ип (і )рвп.

Таким образом, интеграл (4) и ряд (5) сходятся одновременно. Как отмечалось ранее, х(х, Ь) постоянна на [0, шп), как функция х при Ь = 1/шп+1 Є Є [0,1/шп). Кроме того, мультипликативное преобразование Фурье функции I(• 0 Ь) имеет вид

I(• 0 Ь))(х) = I(х)х(х, Ь). Поэтому согласно аналогу неравенства Хаусдорфа-Юнга (см. [2, гл. 6, теорема 6.1.7]) имеем

тг+1

I(х)\ч\1 - х(х, 1/шп+1)\ч Сх і

< у(х 01/шп+1) - і-(х)\\р < ипи)р. (6>)

Если Х Є [Ішп, (I + 1)шп), ще I = 1,2,..., Рп+1 -

- 1, то \1 - х(х, 1/шп+1)\ = \1 - ехр(2піІ/рп+1)\ > > 2віп(п/М), поскольку рп < N щи п Є N. Таким

тг + 1

образом, / \I(х)\ч Сх < С4ип(I)р и

т^г+1

\I(х)\гА(х) Сх ^

'тп+1

г/Ч/

'тп+1

1-г/Ч

і. Ц \т\<Ц А <

п (Лрш-1^-^*

і С5игп(Прш.

А( х) Сх

тп— 1

= С^п (и )рт-пг/1 вп. (7)

Здесь использовано равенство д/(д — г) = р/(р —

— гр + г) и условие А € Лр/(р-гр+г). Суммируя неравенства (7) по п ^ 0, заключаем, что °°

интеграл J\и(х) \г А(х) Сх сходится. Сходимость

1

1

I \и(х) \г А(х) Сх следует из неравенства Гёльдера и

о

условия А € ЬЧ/(Ч-Г)[0,1).

° _1 /

2) Пусть и = Е иктк /Ч (Бтк + 1 — Отк )■

к=0

Тогда в силу леммы 1 имеем \\Бтк+1 — Бтк ||р =

= 0(т\-1/р) И ^п(Втк+1 — Втк)р = ^И к < п. Поэтому в силу условия (6) имеем

п

^п(и0)р ^ ^кт- ^п(&тк+1 ^тк )р ^

к=п п

^53 шк т- / 2\^тк+1 — Етк ||р ^

к=п

п

^ С^ ] <^к ^ С^^п.

С другой стороны, поскольку Dmn (x) =

Ю 1/q

= Х[0,тп) (x), ТО f 0(x) = J2 Un'm- /q X[mn,mn+i) И

n=0

поскольку {wnm-lr/q}°°=0 убывает,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

° ж тп+1

\h(x)\rA(x) dx = Е wnm-r/q A(t) dt >

i n=0 mn

OG ™n OO

wnm-r/q A(t) dt = E wnm-r/qвn = то.

---1 J -1

Теорема доказана.

Следствие 1 является аналогом теоремы В для Р-преобразования Фурье.

Следствие 1. Пусть и € Ьр(М), 1 < р <

< 2, и Т 1е(и, М+) < ж ВДе 0 < а < р. Если А € Лр/(р-гр+г) и А € Ьч/(ч-г) [0,1^, где 0 <

< г < д, 1/р + 1/д = 1, то из сходимости

п

ряда £ Ка)°)г( /р) впт-(Уп(и)*)гз/р

выте-

n=0

кает сходимость интеграла / \и(х) \г А(Ь) СЬ. □

0

Утверждение следствия вытекает из теоремы 2 и леммы 4.

Следствие 2. Пусть и € Ьр(М+), 1 < р < 2, Т 1р(и,М+) < ж и А такое же, как в следствии 1.

п

Тогда из сходимости ряда £ впт-г вытекает ко-

п=0

°°

нечность интеграла / \и(х) \г А(Ь) СЬ. □

0

Следствие 3. Пусть и € Ьр(М+), 1 < р < 2, и Т 13(и, М+) < ж, где 0 < а < рии € Ыр*(а).

Тогда I Є Ьг(К+) щи р/(р + а(р - в)) < г < д, 1/р +1/д = 1 □

Следствие 4. Пусть I Є Ьр(Ж+) ПЬір*(а), 1 <

< р і 2, причем ТІ1 (I, М+) < ж, то I Є ^(М^ при всех а > 0 □

Следствие 4 является аналогом классической теоремы Зигмунда об абсолютной сходимости тригонометрического ряда Фурье (см. [21, глава 6, теорема 3.13] при в = !)•

Утверждение 1. Теорема В является следст-

Доказательство утверждения 1 аналогично доказательству следствия 1 с использованием леммы 4.

Теорема 3 при А(і) = 1 является аналогом теоремы М. и Ш. Изуми [9] об абсолютной сходимости рядов Фурье.

Теорема 3. Пусть 1 < р < ж, 1 і в < 2р, 1/р+ + 1/д =10 < г < 2, I Є Ь2(Ж+), ТШ, М+) < ж и А(і) Є А2/(2-г) П Ь2/(2-т^[0, 1). Если

£ вk(f ),Ч2-„V’k"/2r(f). <

k=0

< то,

°°

то / \ f (x) \r A(t) dt < то. □

0

Доказательство. Аналогично доказа-

б'

’ mk + i \ p

І \ f (t) \2 dt | <

j\ f (t е І/mk+i) — f (t)\2 dt | =

mk -1

i=0

mk mk+i J

Пользуясь равенством 2 = s/p + ((2 — s)q + s)/q и применяя интегральное неравенство Гёльдера с pq

’ mk + 1 \ p

I \ f (t) \2 dt | <

mk -1

Cim-1J2

j=0R

f{, е m+H) —f(t е ±)

mk+1 mk

s

dt

x( / \ f (t е (jpk+i + І)/mk+i) —

v+

p-1

—f (t е j/mk) \s+(‘2-s^)q dd <

p

m^_ i

p

1

mk -1 оо

хЕЕ

о j=0 l=0

fit е l е

j

—fit е l е —

mk

jpk+1 + І mk+i

s

dt ^

1 2 p- s (

< Стк1 ^кр-ЧикУк(и)з,

где а1 = а + (2 — а)р и р — 1 = (2р — а)/(а + (2 — — а)д)

А € Л2/(2-г), находим что

аналогично Иш \\Нп * дп — и||г/ =0 1/г +1/г' =

п—►п

= 1. Находя по теореме Рисса [19, § 13] подпоследовательности Нпк,дпк, такие, что Нпк (х) ^ ^ Н(х) и дпк ^ д(х) п.в., выделяем из нее, в свою очередь подпоследовательности Н\к ,д1к, такие, что Н\к (х)д1к (х) ^ и (х) п.в. Отсюда следует, что Н(х)д(х) = и(х) п.в. Теперь по неравенству Конш-Буняковского получаем

/ \и(х) \ч/2 Сх = [ \ Н(х)д(х) \ч/2 Сх ^

mk+i

A(t) \ f (t) \r dt <

' mk+i

r/2

/ mk+i

|2 i, I j I Л г,\2Ц2-r)

1-r/2

< [ J \ f (t) \2 dt I [ J A(t)2/(2-r') dt| <

ч mk

< C-2 V?*(t),f ‘m-r/23t =

= C2,„—'^/2p—'/kJkk'r/kp(f).iVT/2p(f)A. (S)

Складывая неравенства (8) no k ^ 0, получаем

Ю

f A(t) \ f (t) \r dt <

Ю

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

< C^ m-r/2p-r/2wrr/2p(f)siVsr/2p(fUk <

< то. (S')

r/2

k=0

А(і) Є

Є Ь2/(2-г[0,1) имеем А(і)\I(і)\г Є Ь[0,1), откуда и из (81) следует утверждение теоремы.

Теперь приведем два утверждения, относящихся к преобразованиям Фурье сверток. Теорема 4 является аналогом теорем 4 и 5 из [11] для тригонометрических рядов.

Теорема 4.

а) Пусть д,Ь Є Ьр(Ш+), 1 і р і 4/3, 1/р +1/д = 1, I = д* Ь. Тогда I Є Ьч/2(Ж+).

б) Если 1 < р і 4/3, 1/р +1/д = 1, то существуют

д,Ь Є Ьр(Ш+), такие, что для I = д * Ь имеем I Є Ъ7(М+) при всех г Є (0, д/2). □

Доказательство, а) При 1 і р і 4/3 число г,

1/г = 2/р - 1 г =

= р/(2-р)), принадлежит [1,2]. Согласно лемме 5 в этом случае I = д* Ь Є Ьг (К+) и можно говорить об I в обычном смысле. Известно, что для ф,ф Є Є ^(М^ справедливо равенство (ф * ф)=фф всюду на М+ (см. [2, гл. 6, теорема 6.1.4]). При этом если дп, Ьп Є Ь1(М+) П Ьр(Ж+) и Ііт \\д - дп\\р =

п—►Ю

= Ііт ||Ь - Ьп\\р = 0, то по аналогу неравенства

п—►Ю

Хаусдорфа-Юнга Ііт \\д-$п\\д = Ііт \\Ь-Ьп\\„ =

п—►Ю п—►Ю

= 0. Поскольку дп * Ьп ^ д * Ь = I в Ъг, то

<

\h(x) \q dx

1/2 1/2

\g(x)\q dx I < то.

б) Пусть g1(x) = h1(x) = x 1/q(log2 x + І) 1 на

[І, +то) и g1(x)

gi(x

p-2

(x) hi(x)

І на [0, І]. Тогда

X 1(log2 X + І) p при x ^ І и

др(х)хр-2 = хр-2 на (0,1^, так что др(х)хр-2 € € Ь1(М+) и по теореме 1 найдутся д(х), Н(х) € € Ьр (М+), для которых д = д ^ Н = Н1. При г < д/2 имеем ((д * Н)(х))г = (д1(х)Н1(х))г = = х-2г/ч(^2 х + 1)-г € Ь1[1, ж), так что д, Н — искомые функции. Теорема доказана.

Теорема 5.

а) Пусть 1 < р < 2 1 <д < 2 1/р +1/д > 3/2, а > > 0. Если д € Ыр*(а,р), Н € Ь(М+) и и = д * Н,

f Є

-), pq/^pq + 2pq — p — q) < в <

< pq/(2pq — p — q)-

б) Пусть 1 < p < 2 1 < q < 2 a > 0, 3/2 <

< 1/p + 1/q < a + 2 — 1/q. Тогда существуют g G Lip*(a,p) и h G Lq(M+), такие что (g * h) G Le° (R+), p0 = pq/(apq + 2pq — p — q)).□ Доказательство.

а) Применяя лемму 5, находим что g * h G Lr, где 1 < r ^ ^ и 1/r = 1p + 1/q — 1, т. e. r = = pq/(p — pq + q), причем аналогично доказательству теоремы 4 h(x)g(x) = f (x). Также по лемме 5 получаем ||f (■ + h) — f (-)||r < ||g(- + h) —

— g^WpWhWq ^ C1 m—a, если 0 < h < 1/mn и

g G Lip* (a, p^^ теорему 2 при A = 1,

имеем f G Le (R+) при условии 1 — [3a — в/r' < <0

Из неравенства в > 1/(a +1/r') легко получаем в > pq/(apq + 2pq — p — q), и утверждение а) теоремы доказано.

б) Пусть g(x) = £ m—a+1/p—1(Dmn (x) —

n=1

— Dmn-1 (x)). Тогда при 0 < h < 1/mk верно равенство Dm? (x ® h) = Dm? (x) и, как следствие,

wk(g)p m-a+1/p 1 W Dmn — Dmn-1 lip <

Ю

< C2Y, m-a = C3m-a.

n= k

n= k

Следовательно, g G Lip*(a,p). При этом Dmn =

= x[0,mn)i поэтому

£

g(x) = J2 m—a+1/p—1xlmn-i,

1

[mn-i,mn)

£ —1/'

Пусть h1(x) = J2 m— /q n—YX[mn_umn), 1/q +

n=1

+ 1/q' = 1и Yq > 1 при x ^ 1 и h1(x) = 1 при x G [0,1). Тогда h1(x) убывает и

£

j h\(x)xq—2 dx =

= xq 2 dx + mi qn q I xq 2 dx ^

n

1

< C3 1 + j = C4 < ю.

По теореме 1 существует h G Lq (R+), такая, что h = h1

£

J \g(x)\e° \h(x)\e dx =

0

£ 7Пп

= E m[— a+1/p—1—q — 1)во n—Yl3of 1 dx >

n=1 m{_i

OO OO

m—(a+1/r'—1)e0+1n—Ye° = J2 n—ie°. (9)

Правая часть (9) равна бесконечности, если Yfh < 1. Неравенство 1/в0 > 1/q равносильно неравенству a + 2 — 1/q — 1/p > 1/q. Таким образом, при выполнении условий пункта б) найдется y G (1/q, 1/в0) и тогда h G Lq(М+), но левая часть (9) равна бесконечности. Теорема доказана.

Следствие 5.

а) Пусть 1 < p < 2,1 < q < 2, и a > 1/p + 1/q — 1. Если g G Lip*(a,p), h G Lq(M+), то для f = g * h имеем f G L1(R+).

б) Пусть 1 < p < 21 <q < 2,0 < a = 1/p +1/q — 1.

Тогда существуют g G Lip* (a,p) rn h G Lq (M+), такие, что (g * h) G L1(R+). □

Замечание 3. Утверждение пункта а) теоремы 5 и следствие 5 являются аналогами теоремы 6, следствия 5 и теоремы 7 из [12] для мультипликативных систем. Дальнейшие результаты в этом направлении см. в [13].

f (x)

f(x)

Теорема 6. Пусть f G Lp(R+), 1 <p < 2, такова, что f (x) > 0 и f (x) j на (0, го). Тогда при x G [mn,mn+1), n ^ 1 имеем

f (x) < Cmn/p—1^n—1(f )p, n G N. □ (10)

Доказательство. Снова отметим, что (и(- 0 1/тп+1) — и(-))~(х) = и(х)(х(х, 1/тп+1 ) —

— 1^. Если х € [тп, 2тп), то х(х, 1/тп+1) = = ехр(2пг/рп+1) = еов(2п/рп+1) + г вт(2п/рп+1). Известно, что для и,д € Ьр (М+) верно равенство и(х)д(х) Сх = ^к+ и(х)д(х) Сх (см. [22]). Поэтому

'mn+1

f (x)(x(x, 1/mn+1) — 1) dx

J(f (x 0 1/mn+1) — f (x)) x

X (Dmn+i (x) Dmn (x)) dx

m,n+1

2 sin2

pn+1

'mn + 1

<

f (x)(x(x, 1/mn+1) — 1) dx

^ Wf ( 0 1/mn+1 ) — f ()WpWDmn+1 — Dmn || q,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где 1/p + 1/q = 1. В результате находим, что mnf (mn+1) ^ Cmh 1/qun(f )p, откуда в силу монотонности f (x) и ограниченности {piЮ получаем неравенство теоремы.

f

виям теоремы 6 и u*(f, 6) ^ ^(6), где ш(6) удовлетворяет Д2-условию ^(26) < C1^(6), 6 > 0. Тогда f(x) ^ C2x1/p—1 ш(1//x). □

Доказательство использует результат теоремы 6 и оценку

w*(f, 1/mn) < u(1/mn) = ш(pn/mn+1) <

< Cl1°92pn+1]+1u(1/mn+1).

Теорема 6 и следствие 6 являются аналогами теоремы D.

Литература

1. Виленкин Н.Я. К теории интегралов Фурье на топологических группах // Мат. сб. - 1952. -Т. 30, № 2. - С. 233-244.

2. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. - М.: Наука, 1987.

3. Golubov B.I., Volosivets S.S. On the integrabil-ity and uniform convergence of multiplicative Fourier transform // Georgian Math. J. - 2009. - V. 16, N 3.

- P. 533-546.

4. Onneweer C., Waterman D. Uniform convergence of Fourier series on groups // Mich. J. Math. -1971. - V. 18, N 3. - P. 265-273.

5. Волосивец С. С. Приближение функций огра-

p

ликативным системам // Anal. Math. - 1995. -V. 21, N 1. - P. 61-77.

ГПп— 1

6. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара с монотонными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1964. - Т. 28, № 4. - С. 925-950.

7. Gogoladze L., Meskhia R. On the absolute convergence of trigonometric Fourier series // Proc. Raz-mazde Math. Inst. - 2006. - V. 141. - P. 29-40.

8. Moricz F. Sufficient conditions for the Lebesgue integrability of Fourier transforms // Anal. Math. -2010. - V. 36, N 2. - P. 121-129.

9. Izumi М., Izumi S. On absolute convergence of Fourier series // Arkiv. Mat. - 1967. - V. 7, N 12. -P. 177-184.

10. Izumi М., Izumi S. Absolute convergence of Fourier series of convolution function // J. Approx. Theory. - 1968. - V. 1, N 1. - P. 103-109.

11. Onneweer C.W. On absolutely convergent Fourier series // Arkiv. Mat. - 1974. - V. 12, N 1.

- P. 51-58.

12. Onneweer C. W. Absolute convergence of Fourier series on certain groups // Duke Math. J.

- 1974. - V. 41, N 3. - P. 599-610.

13. Волосивец С.С. О сходимости рядов из коэффициентов Фурье мультипликативных сверток и Изв. вузов. Матем. - 2008. - № И. - С. 2739.

14. Aljancic S., Tomic М. Uber Stetigkeitsmodul von Fourier-Reihen mit monotonen Koeffizienten // Math. Zeitschrift. - 1965. - V. 88, N 3. - S. 274-284.

15. Волосивец С.С., Голубов Б.И. Весовая интегрируемость мультипликативных преобразований Фурье // Тр. МИАН. - 2010. - Т. 269. - С. 7181.

16. Скворцов В.А. Теорема единственности представления функций мультипликативными преобразованиями // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., мех. - 1992. - № 6. - С. 14-18.

17. Young L.C. An inequality of the Holder type connected with Stieltjes integration // Acta Math. -1936. - V. 67. - P. 251-282.

18. Эдвардс F. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 2. - М.: Мир, 1985.

19. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. - М.: Факториал, 1998.

20. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. - М.: Гостехиздат, 1948.

21. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. - М.: Мир, 1965.

22. Беспалов М. С. Операторы мультипликативного преобразования Фурье // Изв. вузов. Матем. - 2006. - № 3. - С. 9-23.

Поступила в редакцию 16.01.2011

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.