CC BY
33Н.Ю. АГАФОНОВА
УДК 517.51
Мультипликаторы рядов Фурье из пространств Орлича и Лоренца по мультипликативным системам
Введение
Пусть Р = {рХ=1 — последовательность натуральных чисел, такая что 2 ^ рп ^ N для всех п £ N Положим то определению т0 = 1, тп = р1.. .рп при п £ N Тогда каждое х £ [0,1) имеет разложение
то
х = Хп/тп, 0 < Хп < Рп, Хп £ Ъ. (1)
п=1
Разложение (1) будет определяться однозначно, если для х = к/т/, к,1 £ N,k < т/, брать разложение с конечным числом ненулевых хп.
то
Если у £ [0,1) имеет вид (1), то по определению х © у = г = гп/тп,
п= 1
где гп = хп + уп(то(рп), 0 ^ гп < рп, гп £ Ъ. Аналогично определяется х © у. Если к £ Ъ+ записано в виде
то
к = ^^ к?т-1, 0 ^ к? < pj, к £ Ъ, (2)
3=1
то для х £ [0,1) полагаем по определению
Хк(х) = ехр ^2пг ^^ хзк/рз
Известно, что {xk(x)}£=0 _ ортонормированная, полная в L[0,1) система [1,§1.5], и что Хп(x © y) = Хп(x)Xn(y) для п.в. y G [0,1) при фиксированном x G [0,1) и n G Z+. Коэффициенты Фурье и частичная сумма ряда Фурье по системе {xn(x)}^=0 задаются формулами
л __п— 1 л
f (n) = f0 f (t)Xn(t) dt, n G Z+, и Sn(f )(x) = £ /(fc)xk(x), n G N.
k=0
п— 1
Сумма £ xk(x) =: Dn(x) называется n-м ядром Дирихле. Извест-k=0
но, что Dmn (x) = mnX[0;1/mj(x), где XE — характеристическая функция множества E Если f,g G L[0,1) то по определению f * д = 1
= I f (x © t)g(t) dt. Легко видеть, что Sn(f )(x) = f * Dn(x) и что 0
(f * g)(n) = f (n)g(n), n G Z+. В частности, если f является полиномом по системе {xn(x)}^=0, то f * g является таким же полиномом.
Определим пространства Орлича и Лоренца. Пусть Ф(и) — возрастающая, непрерывная па [0, то) выпуклая функция, такая что Ф(0) = 0, lim = и lim = 0 (такая функция называется N-
и^оо и и—> 0 и
и
функцией). В этом случае справедливо равенство Ф(и) = /р^) (£,
о
где р(£)^правосторонняя производная Ф(м), непрерывная справа. Если
V
д(я) = вир{£ : р(£) ^ й}, й С и Ф(^) = / д(я) (й, V С то Ф
о
называется сопряженной по Юнгу функцией к Ф. При этом Ф выпукла и обладает теми же свойствами, что и Ф. Пространство Орлича Ьф[0,1) состоит из измеримых на [0,1) функций /, для которых конечна норма
|f ||ф = < sup
1
f(x)g(x) dx
1
[ ^(jg(x)j) dx) ^ 1
Относительно этой нормы Ьф[0,1) является банаховым пространством. При этом, если / С Ьф[0,1) и д С Ь^[0,1), то имеет место неравенство Гёльдера
< II/Уф • 1Ы1ф. (3)
J /(x)g(x) dx 0
Все эти факты можно найти в [2, §1,2,8,9]. Частным случаем пространств Ьф[0,1) при Ф(х) = xp/p, p > 1 являются пространства 1)
(1 \ltV
с нормой II/||p = I / |/(x)|p dx I При p =1 рассматриваем пространство L1[0,1) также с нор мой || • Пр и p = ж далее используются пространство ограниченных измеримых функций B [0,1) с конечной нормой ||/||о = sup |/(x)| и пространство Р^непрерывных функций
же[0,1)
C*[0,1) = {/ Е B[0,1) : lim ||/(x © h) — /(х)|ж = 0} также с нормой || • || оо- Для измеримой на [0,1) функции / можно рассмотреть функцию распределения Л/(y) = |x Е [0,1) : |/(x)| > y| и невозрастающую перестановку /*(t) = inf{y > 0 : Л/(y) < t}, t > 0. Из определения ясно, что / *(t) = 0 при t ^ 1. Пространство Л о ренца Wq [0,1) состоит из измеримых функций / на [0,1), для которых ||/||pq < оо, где
fL = S ^ 0
1 \ 1tq
pj[t1tp/*(t)]qfl , 1 < p<oo, 1 < q < оо;
supt1/p/*(t), 1 < p < oo, q = oo.
t>0
Пространства L00q [0,1), 1 < q < oo не рассматриваются из-за их тривиальности. Известно, что ^р[0,1) = L^[0,1) при 1 ^ p ^ oo, Wq[0,1) являются банаховыми при 1 <p ^ oo, 1 ^ q ^ oo, и p = q = 1, и что II/\\*pq2 < ||/||pqi ПРИ 1 ^ Р ^ oo, 1 ^ q1 ^ q2 ^ oo. Соотношения между LPq при различпых p см. в лемме 6. Сопряженным пространством к LPq[0,1) где 1 < p < oo, 1 < q < oo, пли 1 ^ p < oo, q = 1, является пространство Lpq [0,1), где p'— сопряженный показатель Гёльдера для p Е [1, oo ] (то есть p' = oo при p = 1, p' = 1 при p = oo, p' = p/(p — 1) при p Е (1, oo )). При 1 < p < oo, 1 ^ q ^ oo имеет место неравенство Гёльдера
II/ • gill ^ CII/IU • \\g\\P>q>, f e Lpq[0,1), g e Lp'q'[0,1). (4)
Эти факты можно найти в [3] или [4, глава 5,§3]. Пусть
Pn = {/ e L1[0,1) : / (k) = 0, k ^ n}, n e N,
En(f)ф = inf{If - Уф : tn e Pn}, n e N, wn(f)Ф = sup If(x © h) — f(ж)Цф, n e Z+.
0<h<1/mn
Аналогично определяются En(f)p, wn(f)p, 1 ^ p ^ то, и En(f)p,q, wn(f )p,q, 1 ^ p< то, 1 ^ q ^ то. Имеют место неравенства A.B. Ефимова 1, глава 10, 510.51
Em„ (f )p ^ IIf — Sm„ (f )Ip ^ wn(f )p ^ 2Em„ (f ^ (5)
где f e L^[0,1) при 1 ^ p < то ми f e C*[0,1) при p = то. Для того, чтобы lim En(f)ф = 0, достаточно потребовать сепарабельность
n—>то
пространства Еф[0,1), которая равносильна выполнению А2^условия на функцию Ф : Ф(2и) ^ CФ(и), u e R+(cm. [2, §10.2]). В этом же случае сопряженным к Еф[0,1) является L^[0,1) (см. [2, §14.2 ]). Из леммы 6 легко следует сепарабельность Lp'q [0,1) при 1 <p< то, 1 ^ q ^ то. В указанных случаях доказательство (3) из [1, §10.5] переносится на случай Еф[0,1) и Lp'q[0,1) (см. лемму 7). Если {<^n}TO=0 _ убывающая к пулю последовательность, то по определению
Нф = {f e Еф[0, 1) : wn(f)ф ^ C^n,n e Z+},
где C зависит от f, но не от n. Аналогично вводятся Нр , 1 ^ p ^ то, и Hp,q, 1 <p< то, 1 ^ q ^ то Естественной нор мой в Нф, от-
p,q Mr
посительпо которой данное пространство является банаховым, будет If Цф,^ = IIf Цф + supwn(f)ф/ып. то же можно отметить для Hp и Hpq.
Пусть X и некоторые функциональные пространства на [0,1), вложенные в L1 [0,1). Если последовательность {Ап}то=0 такова, что для
оо
любой / Е X ряд Е Лп/(п)хп(х) является рядом Фурье (по системе
п=0
(Хп}0==0) функции # Е У, то по определению {Лп}0=0 Е (X, У) или {Лп}0=0 является мультипликатором класса (X, У).
В данной работе изучаются необходимые и достаточные условия принадлежности последовательности {Лп}^=0 класс у (X, У), где в качестве X берутся пространства В, Ь1, а в качестве У^ пространства
В С*, а также пространства У и АС функций ограниченной вариации и абсолютно непрерывных функций на [0,1). Результаты, связанные с Ьф являются аналогами утверждений для тригонометрического случая из работы М.Г. Скворцовой [5].
Необходимо сделать несколько замечаний по поводу пространств
п
V[0,1) и АС[0,1) Как известно, / Е V[0,1) если вир Е |/(х) —
¿=1
—/(ж^-1)| < оо, где вир берется то всем разбиениям {х^}п=0 отрезка [0,1]. Пространство V [0,1) вводится как множество сужений / Е V [0,1] на [0,1). Ус лов ие f Е V [0,1) равносильно следующему: су ществует С > 0, такая что для любой системы попарно непересекающихся полуинтервалов {(«¿,в^]}П=1 С [0,1) имеем
^ С.
Е (/(А) — / (а))
¿=1
В самом деле, пусть выполнено последнее условие. Тогда для любого разбиения {х}П=-0 отрезка [0,1 — г], 0 < £ < 1 имеем
п—1 п—1 п—1
^ |/(х) — /(хг—1)| = (х) — /(хг—1))+ + (х) — f (х—1))— ^ 2С,
¿=1 ¿=1 ¿=1
где 2+ = шах(г, 0) 2— = тах(—г, 0).
В частности, для всехх Е [0,1) имеем /(х) ^ 2С +|/(0)|. Доопределяя ] (х) произвольным образ ом при х = 1 получаем для разб иения {х}П=0 отрезка [0,1]:
£ |/(х) — /(хг—1 )| ^ 2С + |/(1) + /(хп—1)| ^ 4С + |/(0)| + |/(1)|
¿=1
и / Е V[0,1]. Обратное утверждение очевидно.
Рассмотрим класс V (1, Ф) функций ^ С Ьф[0,1), таких что для некоторой константы С > 0 и любого набора попарно непересекающихся полуинтервалов {(аг,вг]}п=1 ^ [0,1) верно неравенство
¿(f (в © t) — f (ai © t))
¿=1
^ C.
ф
Аналогично вводятся классы V(1,р), 1 ^ р < то, и V(1,р, д), 1 < р < то, 1 ^ д ^ то В периодическом случае аналоги классов V(1,р) рассмат-
р = 1 р > 1 торые получили критерии принадлежности классу (Ь, V) в периодическом случае. Как показано в [8, глава 9, §1], функция / С АС[0,1] тогда и только тогда, когда для любого £ > 0 найдется 6 > 0, такое что для любой системы попарно непересекающихся полуинтервалов {(аг,вг]}п=1 ^
E(f (А) — f Ы)
¿=1
^ £. Сно-
С [0,1] со свойством ^(вг — аг) < 6 имеем
¿=1
ва пусть АС[0,1) — множество сужений пространства АС[0,1] на [0,1). Тогда условие / С АС [0,1) равносильно тому, что для любого £ > 0 най-6>0
п
полуинтервалов {(аг,вг]}П=1 с [0,1) со свойством ХХвг — аг) <6 спра-
¿=1
ведлпво неравенство
E(f (^¿) — f (ai))
¿=1
^ e.
В самом деле, если это так, то стандартным методом (см. [8, глава 9 показывается, что f G V[0,1) и поэтому существует lim f (x) = a. По-
x—^ 1—0
лагая f (1) = a и рассматривая систему непересекающихся полуинтерва-
n
лов {(ai,ei]}n=1 ^ [0,1], таких что ХХА — ai) < 6 и = 1 находим, i i=1
E(f (^¿) — f (ai))
i=1
n— 1
1—Д ¿(f (^i) — f (ai)) + f (1 — y) — f (an)
^ e,
откуда следует, что f G AC[0,1].
Поэтому по определению ^ Е АС(Ф), если для любого £ > 0 найдется б(г) > 0, такое что для любой системы попарно непересекающихся
п
полуинтервалов {(а, А]}п= С [0,1) со свойством Е(А — а) < б верно
¿=1
неравенство
^(^(А © г) — © £))
¿=1
Ф
Аналогично вводятся классы АС(р, д), 1 < р < оо, 1 ^ д ^ оо. Везде далее Ф и Ф — пара сопряженных по Юнгу Х-функций, ар'(д')— сопряженный по Гёльдеру показатель кр(д).
1. Вспомогательные утверждения
Пространство Ьф[0,1) является сопряженным к Ьф[0,1) только в случае, когда функция Ф удовлетворяет Д2^условпю, тем не менее справедливо следующее утверждение.
Лемма 1. [9, глава 4, теорема (10.7)] Если для любой / Е Ьф[0,1)
1
последовательность = / /(х)дп(х) ¿х ограничена, то дп Е для всех
0
пи 1Ы1* = о(1).
При Ф(м) = мр/р, р > 1, имеем Ф(м) = м9'/д', поэтому заключение леммы выглядит так: ||дп||9' = 0(1).
Напомним, что множество функций О на [0,1] называется равностепенно абсолютно непрерывным, если для любого £ > 0 существует б > 0, такое, что для любой системы неперекрывающихся интервалов
п
{(а, А]}п= С [0,1] со свойством Е(А — а) < б и любой функции д Е О
¿=1
п
имеем
Е(д(А)— дЫ)
¿=1
Лемма 2. [9, глава 4, §5)]. Если множество О измеримых на [0,1)
1
функций таково, что / Ф(|д(х)|) ¿х ^ С для всех д Е О (С не зависит от
0
х
д), то множество {^(д)(х) := / д(£) д Е О} равностепенно абсолютно
0
непрерывно.
то П—1
Лемма 3. Пусть дан ряд ^ с*х*(ж) и £п(ж) = ^ с*х*(ж). Если мно-
*=0 *=0
X
жество {Еп(ж)}ТО=0, где Еп(ж) = / 5тп(£) равностепенно абсолютно
о
непрерывно, то существует / Е Ь[0,1) такая, что /(к) = с*, к Е Z+.
Доказательство
Из равностепенной абсолютной непрерывности {Еп}ТО=0 следует, что все Еп Е V[0,1] и их вариации на [0,1] ограничены. В самом деле, подбирая 6 по £ = 1, находим разбиение {ж^}=0 отрезка [0,1] диаметра меньше 6 и получаем, что вариация каждой функции Еп(ж) на любом из отрезков [жг—1,жг], г = 1,...,п не превосходит 1. Поэтому вариация каждой функции Еп(ж) на отрезке [0,1] не превосходит N. По теореме Хелли [8, глава 8, §4] существует подпоследовательность {ЕПк (ж)}£=15 сходящаяся всюду на [0,1] к некоторой функции Е(ж) Е V[0,1]. При
этом, если
Е(Епк (А) — Епк ы)
¿=1
< £ для всех к, то в пределе полу-
чаем
Е(Е (А) — Е Ы)
< £. Таким образом, из равностепенной абсо-
¿=1
лютпой непрерывности {Еп}ТО=0 следует абсолютная непрерывность Е. Пусть к Е г Е Ъ+. Тогда прп п/ ^ г + 1 имеем
1 1
п,
0
К их* (*) ^ = ^ (%* и ^ = с*. (6)
С другой стороны, поскольку х*(ж) постоянна па 1]г+1) := := [;/шг+1, + 1)/шг+1), 0 < ] < шг+1 — 1, имеем
1 тт —1
К(*)х*Ш^ = ^ х*С/М+ОИ»,((; + 1)/т<+0 — ЕП,(¿М+О). 0 -?=0
Последняя сумма при I ^ то сходится к
тт — 1
^ х*О'М+О (Е((; + 1)/шг+1) — Е(;/тг+1)) = ¿=0
и
= Е Fni (t)xk(t) dt = F'(t)Xk(t) dt. j=0 ■/ 0
Таким образом для f = F' G L[0,1) имеем ck = /(k), k G N. Равенство c0 = /(0) легко получить, прибавляя к f константу. Лемма доказана.
x
Замечание 1. Аналогичный результат имеет место для Fn(x) = J an(t)dt,
o
где an(t) = (S1(t) + .... + Sn(t))/n. Вместо равенства (6) будем иметь 1
/ F^(t)xk(t) dt = (1 — k/n)Ck. В остальном доказательство остается
onl
прежним.
Пусть X — банахово пространство функций па [0,1), такое, что {xn}0=o С X С L1[0,1) Оно называется однородным, если 1) ||f ||1 ^ ^ C||f ||X для всех f G X; 2) для всех h G [0,1) имеем ||f (x © h)||X = = ||f (x) ||x 3) линейная оболочка {xn}0=0 плотна bX. Следующая лемма доказана в [10, с.155] для случая pn = 2. В общем случае доказательство аналогично.
Лемма 4. Пусть Х^ однородное банахово пространство на [0,1), f G X, g G L[0,1). Тогда f * g G X и ||f * g||x < ||f ||x • ||g||b
Очевидно, это неравенство верно и приХ = B[0,1). Во введении было отмечено, что (L1^[0,1))* = L1'^'[0,1) при 1 < p < оо, 1 ^ q < оо. Из теоремы Банаха^Штейнгауза вытекает
Лемма 5. Пусть 1 <р<оо, 1 ^ q < оо, и для любой f G L1'9 [0,1) по-
1
следовательпость dn = f f (x)gn(x) dx ограничена. Тогда gn G [0,1)
o
для всех n и ||gn||p',q' = O(1).
Лемма 6. Пусть 1 <p<oo и 1 ^ p1 < p < p2 <оо, 1 <q<oo. Тогда
Lp2[0,1) С Lp'1[0,1) С [0,1) С L^'00 С Lpi[0,1), причем все вложения непрерывны.
Оценим норму ||/||рд через ||/||Р2. С помощью неравенства Гёльдера
1
||f ||р,1 = Р /t1/pf*(t)/tdt ^
p J
0
i 1 \ 1/P2 i 1 \ 1/P2 ^ p-1 U (fW2 dt 1 • I у tp2(1/p-1) dt 1 ^ CJf |p2, (7)
поскольку x/(x — 1) убывает пpn x > 1 и p'2 = p2/(p2 — 1) < p/(p — 1), то есть показатель при t в правой части (7) больше —1. Пусть теперь
||f |U = sup t1/pf*(t) < ГС. Тогда ||f ||g = f (f*(t))pi dt ^ f ||f • te(0,1) о 0
t—pi/pdt ^ C2||f так как — p1/p > —1. Средние вложения отмечены во введении. Лемма доказана.
Следствие 1. Если множество G измеримых на [0,1) функций таково, что ||g||p,q ^ C для всех g Е G и некоторых p Е (1, то), q Е [1, то], то множество {F(g)(x) : g Е G} равностепенно абсолютно непрерывно.
Вытекает из лемм 2 и 6, если взять Ф(и) = upi, где 1 < p1 < p.
Лемма 7. 1) Пусть Ф удовлетворяет Д2-условию. Тогда линейная оболочка {xn}ГС=0 плотна в L$[0,1) и
Em„ (f )Ф < ||f — Sm„ (f )|Ф < ^n (f )Ф < 2Em„ (f )ф. (50
2) Пусть 1 <p< то 1 ^ q ^ то Тогда линейная оболочка {xn }ГС=0 плотна в [0,1) и
Em„ (f )pq ^ ||f — Sm„ (f) ^pq ^ (f )pq ^ 2Em„ (f )pq. (5 )
Доказательство
Из абсолютной непрерывности || • ||ф при Д2-условпп па Ф (см. [2, §10, теорема 10.3]) и теоремы Лузина следует плотность пространства
непрерывных функций С[0,1] в Ьф[0,1). Плотность же линейной оболочки {Хп}0=о в С[0,1] хорошо известпа(см., например, неравенство (5) при р = оо ). Также из неравенства (5) следует плотность линейной оболочки {Хп}0=о в любом 1)1 ^ р < оо, а в силу леммы бив любом [0,1), где 1 <р<оо и 1 ^ д ^ оо. Кроме того, ясно, что нормы || • ||ф и || • ||Р;д инвариантны относительно сдвига, и что Ьф[0,1) и Ь^9[0,1) при условиях 1) или 2) вложены непрерывно в Ь[0,1). Значит, пространства Ьф[0,1) и Ь^9 [0,1) являются однородными и левые неравенства (5') и (5") доказываются аналогично (5) с применением леммы 4. В доказательстве же правых неравенств (5') и (5'') используется только инвари- антность нормы относительно сдвига и постоянство £п (х © к) при условиях £п Е РТОп и к Е [0,1/тп) (см. [1, §10.5]). Лемма доказана.
2. Основные результаты
оо
Теорема 1.1) Ряд Е Х&(х) является рядом Фурье функции д Е
&=о
ш„-1
Ьф[0,1) тогда и только тогда, когда для Бтп(£) := Е Х&(х) справед-
п ^=о
лмео неравенство |^ТОп||ф ^ С, где С не зависит оти.
оо
^ Ряд Е Х&(х) является рядом Фурье функции, д Е Ь^9[0,1)7 &=о
1 <р<оо; 1 ^ д ^ оо 7 тогда и тол ько тогда, когда |^ТОп ^ С7 Си
Доказательство
1) Для Ф(х), удовлетворяющей Д2-условию, необходимость условия ||^шп ||ф ^ С легко следует из лемм 4 и 7. В общем случае доказательство менее тривиально. Пусть д Е Ьф[0,1) и ||д||ф = 0. Как известно (см. [2, §9, неравенство(9.21)])
1
/ Ф(|д(х)|/||д||ф) ¿х < 1.
Отсюда с помощь,о неравенства Йепсепа (см. [8, глава 10, §5], где оно
приведено в более общей форме), имеем
Ф (|Smn(g)(x)|/||gУф) ^ Ф (| Dmn(x © t) • |g(t)| • Hg^i1 dt ) ^
i 1 ^f Dmn (X © t^(|g (t)|/||g|^) dt/ J Dmn (X © t) dt —
0 0 1
= f Dmn(x © Ф(1д(t)|/||g|^) dt. 0
Поэтому
1 1 1
Пд (t)l\
(д)(х)|/|д|ф) dx ^J J Dmn (x © t) dx Ф^ J^J dt — 0 0 0
1
- / ф (S) ' <
0
Из неравенства Юнга [2, §2] следует, что
llSm.(g)(x)\/Hghh — sup И\Smn(g)(x)|/||gy/(x)| dx : j Ф(|/|)(x) dx < 1 )> ^
l 0 0
1
^JФ (|Smn(g)(x)|/||g|W dx + 1 ^ 2. 0
Значит, ||Smn(g)|^ ^ 21g|ф при n G Z+.
Пусть теперь ||Smn ||ф ^ C. Тогда, как отмечено выше,
1 x
j Ф(\Smn(x)|/C) dx ^ 1 и no лемме 2 функции Fn(x) — f Smn(t)/Cdt 0 0 равностепенно абсолютно непрерывны. В свою очередь, по лемме
3 существует g G L[0,1) такая, что g(k) — Ck для всех к G Z+.
Известно, что 5тп(д)(х) сходятся п.в. к д(х) для д Е Ь[0,1)(см. [1,
п 1
§2.8]). Пусть / — такова, что / Ф(|/|)(х) ¿х ^ 1. Тогда из неравенства
о
1
/ |5тп(д)(х)||/(х)| ¿х ^ С в пределе по теореме Фату получаем
оп
1
I |д(х)Н/(х)| ¿х ^ С,
о
откуда ||д|ф ^ С.
2) Необходимость условия ||5тп ^ С вытекает их леммы 4 (при помощи леммы 7): ||5тп(д)||рд ^ ||д||рд • |^ТОп||1 = ЦдЦр^. Пусть теперь ||5тп ^ С, 1 <р< о, 1 ^ д ^ о. Тогда в силу леммы 6 выполнены условия леммы 2 для Ф(и) = иР1, где 1 < р1 < р. Снова по леммам 2 и 3 (пли следствию 1 и лемме 3) существует д Е Ь[0,1) такая, что д(к) = , к Е Ъ+. Известно, что из сходимости дп(£) к д(£) п.в. на [0,1) следует сходимость дП (£) к д*(£) во всех точках непрерывности д*(£), т.е. почти всюду (см. [11, глава 2, §2, свойство 11°]). Снова применяя теорему Фату, получаем, что ^ С.
оо
Следствие 2. 1) Ряд Е с&Х& (х) является рядом Фурье функцпн д Е Нф, где Ф удовлетворяет Д2^условию, в том и только том случае, когда существуют констнанты С1,С2 > 0, такие, что при всех к, и Е Н, к Е [0,1/тй) справедливы неравенства
|5тп (х © к) - (х) ||ф < С^, (8)
||5тп(х)11ф ^ С2; (9)
оо
2) Ряд ^ Х&(х) является рядом Фурье функции д Е Нр^, 1 < р < о, 1 ^ д ^ о, в том и только том случае, когда существуют константы С1,С2 > 0 такие, что при всех к,и Е Н, к Е [0,1/т&) справедливы неравенства
Ц^ (х © к) - (х)|р,9 < С^, (8')
№тп(х)\\р>д ^ С2. (90
Доказательство
1) Пусть д Е Нф С Ьф[0,1) и Н Е [0,1/тк). Тогда (9) имеет место по теореме 1, а в силу лемм 4 и 7
\\Smn(х © Н) - Бтп(х)\\ф < \\Dmn|| 1 Пд(х © Н) - д(х)\\ф < шк(д)ф < Сзш,
то есть (8) также выполнено. Если выполнены (8) и (9), то по теореме 1 существует д Е Ьф[0,1), такая, что д(к) = ск при всех к Е Ъ+ и £тп(х) = = Бтп(д)(х) при всех п Е Ж+. Используя сходимость п.в. Бтп(д)(х) к д(х)
\\д(х © Н) - д(х)\\ф < Сцшк,
откуда д Е Нф.
2) Доказательство аналогично доказательству 1) и также использует леммы 4, 7 и теорему 1.
Замечание 2. Аналогичный следствию 2 результат можно доказать Нф Н1ф
\\Зтп (х © Н) — Бтп (х)\\р ^ С1шк „где р = ^и р = то. Условие же (9) следует заменить на фундаментальность {Бтп (х)}ТО=о в ^1[0,1) или С*[0,1) (ср. с теоремами (4.2) и (5.5) в [9, глава 4], а также с теоремами 15 и 17 в [12]).
Теорема 2. 1) Включение {АкЕ (ЬФ,Е), где Е = В[0,1) или Е = С*[0,1) равно- сильно существованию д Е Ь^[0,1)7 такой, что д(к) = Ак при всех к Е Ъ+.
2) Включение {Ак}^=о Е (ЕРЛ,Е), где Е = В[0,1) шш Е = С*[0,1), 1 < р < то 1 ^ Я < ТО равносильно существ ованию д Е [0,1)7 такой, что д(к) = Ак при вс ех к Е Ъ+.
1) Необходимость условия д Е Ь^[0,1) мы докажем для Е = В[0,1), а достаточность — для Е = С*[0,1) Пусть / Е Ьф[0,1) {Л^}0=о Е (Ьф, В), то есть существует р Е В[0,1), такая что к(к) = Л&/(к) при к Е Ъ+. Поскольку (к * Дтп)(к) равны Л&/(к) при 0 ^ к < тп и равны нулю
тп — 1
при к ^ шп, а для /п = Ё Л&коэффициенты (/ * /п)(к) имеют те же значения, то по теореме единственности к * Дтп = / * /п. В частности, значения
1
|к * Втп(0)| = |/* /п(0)| = /(¿)Ц0 © *)
о
ограничены для любой / Е Ь ф[0,1). По лемме 1 получаем ||/п||ф ^ С1? и по теореме 1 найдется д Е Ь^[0,1) такая, что д(к) = Л&, к Е Обратно, пусть / Е Ьф[0,1) д Е Ьф[0,1). Тогда благодаря неравенству Гёльдера (3) имеем
|/* д(х © к) — / * д(х)| < ||/(• © к) — /(•)|ф|д|ф,
откуда / * д Е С*[0,1) и {д(к)}0=о = {Л&}0=о Е (Ьф, С*).
2) В обозначениях пункта 1) при / Е Ь^'9[0,1) снова имеем ограниченность / * /п(0), откуда по лемме 5 Ц/пЦу^' ^ Сь Так как 1 < р' < о, по теореме 1 находим д Е Ь^''9'[0,1) такую, что д(к) = Л&, к Е Ъ+. Обратное утверждение следует из неравенства Гёльдера (4). Теорема доказана.
Сформулируем аналоги теоремы 2 для случаев Ь1[0,1) и В [0,1).
Теорема 3.1) Включение {Л&}о=о Е (В, С*) равносильно существованию д Е Ь1[0,1) такой, что д(к) = Л& для всех к Е Ъ+.
2) Включение {Л&}о=о Е (Ь1,В) (или (Ь1,С*)У) равносильно существованию д Е В [0,1) такой, ч то д(к) = Л& для вс ех к Е Ъ+.
Доказательство
1) Пусть / Е В[0,1) и {Л^}о=о Е (В, С*). Тогда существует к Е
С*[0,1), такая, что Н(к) = Ак¡(к) при к Е Ъ+ и |Н * Бтп(0)| =
1 п-1
= I / I(Шег) &| сходятся к Н(0) (снова 1п = ^ ск\к)- Согласно след-
о к=о
ствию из теоремы Банаха^Штейнгауза [9, глава 4, теорема(9.11)] нормы \/п\1 ограничены, а согласно теореме (9.13) из [9, глава 4] функции
X
Ьп(х) = / 1п(и) <1и равностепенно абсолютно непрерывны. В силу леммы о
3 существует д Е Ь1[0,1), такая, что д(к) = Ак, к Е Ъ+. Обратно, если / Е В[0,1) д Е Ь[0,1) д(к) = Ак, к Е Ж+, то для Н = / * д имеем Н(к) = Ак/ (к) и
ЦН(- © ¿) - Н(-)\\то < \\/\У\д(• © *) - д(*)\\1 ^ 0
при I ^ 0, т.е. Н Е С*[0,1).
2) Пусть / Е Ь1[0,1) {Ак}ТО=о Е (Ь1, В), тогда существует Н Е В[0,1),
такая что Н(к) = Ак / (к) к Е Ъ+. Снов а Н * Бтп = / * 1п и последователь-
1 " ность |Н* Лтп(0)| = | / /(£)/п(©£) ограничена. Снова по теореме (9.11)
о
из [9, глава 4] функции 1п(х) равномерно ограничены. Отсюда согласно лемме 2 из [13] следует существование д Е В[0,1), такой, что д(к) = Ак, к Е Ъ+. Обратно, если / Е В[0,1) д Е В[0,1) д(к) = Ак, к Е Ж+, то аналогично доказательству пункта 1) имеем / * д Е С * [0,1) С В [0,1). Теорема доказана.
Замечание 3. При рп = 2 достаточность в пункте 1) теоремы 3 была доказана Моргента- лером [12, теорема 19].
Теорема 4. Последовательность {Ак}£=о принадлежит, классу (Е, Нф )
1) при Е = Ь[0,1) существует д(/) Е Нф, такая, что д(к) = Ак, к Е
2) при Е = В [0,1) существу ет д Е Нф, такая, ч то д(к) = Ак, к Е Ъ+;
3) при Е = Ьф[0,1) существу ет д Е Нф, такая, ч то д(к) = Ак, к Е Ъ+;
4) при, Е = Ьрл[0,1)7 1 < р < то 1 ^ Я < ТО существует д Е Нф, ,,
такая, что д(к) = Лк? к Е Ъ+.
1) Пусть Е = Ь[0,1) / Е Ь[0,1) и {Лк}о=о Е (Ь,Я^). Тогда существует д(/) Е С*[0,1) для шторой д(к) = Лк/(к), к Е Ъ+. По теореме 3 найдется ^ Е В[0,1), такая, что ^(к) = Лк при к Е Ж+, причем д = ^ * /. По лемме [6.5.2] из [14] оператор д(/) ограничен из Ь в НХ- Поэтому при ||/11 ^ 1 величины
|(д(х © к) — д(х))М! =
у /(¿)(^(х © к © ¿) — <р(х © ¿))/^п ^ о
ограничены постоянной С1? выбор которой не зависит от х Е [0,1) и к Е [0,1/шп), п Е Ж+. Поэтому при любом п Е и к Е [0,1/тп) по теореме 9.11 из [9,глава 4]
||<р(- © к) — < С1.
В общем случае здесь стоит норма в Ьо[0,1), то так как ^ Е В[0,1), здесь можно рассматривать равномерную норму.
Обратно, если / Е Ь[0,1) ^ Е НХ? ^(к) = Лк, к Е Ж+, то (/ * д) ( к) = = Лк/(к) к Е Ж+, и при этом по лемме 4 ||(/ * ^)(х © к) — (/ * ^)(х)||о ^ ^ ||/© к) — ^(м)||о ^ С2ып при всех к Е [0,1/тп), то есть / * ^ Е
Ях
2) Пусть / Е В[0,1) и {Лк}°=о Е (В,ЯХ) с (В, С*). По теореме 3 найдем ^ Е Ь[0,1) такую, что Лк = ^>(к), к Е Ъ+. Снова используя теорему (9.11) из [9, глава 4], получаем (аналогично 1)), что ||^(х © к) — ^(х)|1 /ып ^ Сз равномерно по п Е Ъ+ и к Е [0,1/шп). Обратное утверждение, как и в 1), следует из леммы 4.
3) Пусть / Е Ьф[0,1) и {Лк}о=о Е (Ьф, НХ). Пусть д Е НХ с С*[0,1) такова, что д(к) = Лк/(к) к Е Ж+. По теореме 2 найдем ^ Е Ь^[0,1) та-
1
кую, что Ак = ф(к), к Е По лемме 1 из равномерной ограниченности
д(ж © Н) - д(ж)
^ф(ж © Н © ¿) - ф(ж © ¿) ^
по ж Е [0,1) и Н Е [0,1/тп) выводим ограниченность ||ф(и © Н) — ф(м)|
ф Е Если же / Е Ь ф [0,1) ф Е то, согласно неравенству Гёльдера (3), имеем
|/ * ф(ж © Н) — / * ф(ж)| ^ ||/||ф • ||ф(и © Н) — ф(м)||ф < С2^п,
откуда / * ф Е НХ-
4) Доказательство аналогично доказательству 3), только вместо леммы 1 используется лемма 5, а вместо леммы 3 — лемма 4.
Теорема 5. 1) Последовательность {Ак}£=0 принадлежит, классу (Ьф,У) тогда и только тогда, когда существует ф Е V (1, Ф); такая что Ак = ф(к) при всех к Е Ъ+.
2) Последовательность {Ак}£=0 принадлежит, классу , V), 1 < р < оо, 1 ^ д<оо тогда и только тогда, когда существует ф Е V (1, р/, д/); такая что Ак = ф(к) при вс ех к Е Ъ+.
Доказательство
1) Пусть / Е Ьф[0,1) {Ак}£=0 Е (Ьф, V) С (Ьф,В). По теореме 2 существует ф Е Ьф[0,1), такая что ф(к) = Ак, к Е Если д = / * ф и {(«¿, А]}£=1 _ совокупность непересекающихся полуинтервалов из [0,1), то
оо
¿=1
оо
f (¿)^(ф(Д © *) — ф(а © *)) ^
¿=1
(10)
По лемме 1 из ограниченности левой части (10) следует ограниченность норм
^(ф(А © г) — ф(а © £))
¿=1
ф
1
1
Другими словами, р Е V(1, Ф).
Обратно, если ] Е ЬФ[0,1) р Е V(1, Ф), д = / * р, то по неравенству Гёльдера из (10) мы выводим, что
^2(д(в) - д(аг))
г=1
Ф •
£(р(в © г) - р(аг © г))
г=1
^ С1
ф
где {(аг, вг]}ТО=1 _ совокупность непересекающихся полуинтервалов из [0,1), а С1 зависит от / и р.
2) Доказывается аналогично 1) с использованием леммы 5 и неравенства Гёльдера (4). Теорема доказана.
Теорема 6. 1) Последовательность {Хк}ТО=0 принадлежит, классу (Ь^,АС) тогда и только тогда, когда существуетр Е АС(Ф)7 такая что Хк = р(к) при, всех к Е Ъ+;
2) Последовательность {Хк}£=0 принадлежит, классу (Ьр,ч,ЛС), 1 < р < то 1 ^ Я < то, тогда, и только тогда, когда существует р Е АС (р/, я/), такая ч то Хк = р(к) при вс ех к Е Ъ+.
Доказательство
2) Достаточность условия р Е АС(р/, д/), как и в теореме 5, следует из неравенства Гёльдера (4). Пусть ] Е Ьр'4[0,1) 1 < р < то 1 ^ Я < то, а функцияд Е АС[0,1) такова, чтод(к) = Хк/(к) Рп = {(а(п),вг(п)]}^=(1Г) _ последовательность совокупностей непересекающихся полуинтервалов, такая что
N (п)
11Ш £
п
г=1
(п) (п)
v — а =0.
(11)
Так как д Е АС[0,1) то существует {7п}, такая что 7п > 0 при всех п Е N 1*ш 7п = 0 и
п
N (п)
£ (д(в,(п)) - д(а(п))
г=1
откуда аналогично доказательству теоремы 5 по лемме 5 выводится огра-
ниченность
N (п)
£ (ф(А(п) ег) - ф(«(п) е о)
¿=1
• 7"1.
I п
Здесь ф Е V(1,р',д') — функция, существование которой доказано в теореме 5. Значит, для любой последовательности Рп с указанными выше
свойствами
N (п)
£ (ф(Д(п) е г) - ф(а(п) е г))
¿=1
0
при п ^ оо. Если, несмотря на это, ф Е АС(р',д'), то найдутся ео и последовательность Рп со свойством (11), такая что
N (п
£ (ф(Д<п) е г) - ф(«(п) е г))
¿=1
что противоречит доказанному выше. 1) Доказывается аналогично 2). Теорема доказана.
Последняя теорема при выполнении Д2— условия для Ф совпадает с одним из утверждений теоремы 6 из 15.
Теорема 7. 1) Условие {Ак}0=о Е \ где Ф удовлетворяет
д2^ условию, равносильно существованию ф Е Ьф[0,1)7 такой что ф (к) = Ак при всех к Е
2) Условие {Ак}0=о Е ), 1 < р < оо7 1 < д < оо 7 равносильно
существованию ф Е Ьр/,?'[0,1) такой ч то ф(к) = Ак прм ее еж к Е Ж+.
Доказательство
2) Пусть / Е Ь1[0,1) {Ак}°=0 Е (Ь1,^), а й Е ¿^'[0,1). По теореме 2 имеем }0=о Е , В), поэтому {Ак}0=о Е (£, В) для любой ^ Е Ьр/,?'[0,1) По теореме 3 существует д Е В[0,1), такая что Ак= д(к), к Е Ж+. Таким образом, {Ак}0=о Е ,В). Снова по
теореме 2 существует ф е № q[0,1) такая что ф(k) = k G Z+. Обратное утверждение следует из леммы 4 для X = LP'q[0,1). Утверждение 1) доказывается аналогично 2). Ввиду применения леммы 4 приходится вводить Д2 — условие на Ф.
Библиографический список
1. Голубое Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения. М.: Наука, 1987.
2. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958.
3. Hunt R.A. On L(p,q) spases. L'Enseignement Math., 1966. V.12. № 4.
4. Стейн П., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространств. М.:Мир, 1974.
5. Скворцова М.Г. Свойства мультипликаторов тригонометрических рядов Фурье// Матем. записки Уральского ун^та, 1972. Т. 8. Вып. 2.
6. Verblunsky S. On some classes of Fourier series// Proc. London Math. Soc., 1932. V. 33.
7. Kaczmarz S. On some classes of Fourier series// J. London Math. Soc., 1933. V. 8.
8. Натансон Н.П. Теория функций вещественной переменной// М.: Наука, 1974.
9. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965. Т. 1.
10. Schipp F., Wade W. R., Simon P. Walsh series. An introduction to dyadyc analysis. Budapest: Akademiai Kiado. 1990.
11. Крейн С.Г., Пет,унин Ю.И., Семенов E.M. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1974.
12. Morgenthaler С. W. On Walsh^Fourier series// Trans. Amer. Math. Soc., 1957. V. 87. № 2.
13. Агафонова Н.Ю. О мультипликаторах рядов борелевских мер// Ис-
следования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 4.
14. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физ-матгиз, 1958.
15. Волосивец С. С., Агафонова Н.Ю. О мультипликаторах равномерной сходимости рядов по мультипликативным системам// Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам: Межвуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 3
А.Е. КОРОТКОВ, Е.В. СЕЦИНСКАЯ
Об одном классе степенных рядов, принимающих трансцендентные значения в алгебраических точках
В 1881 году Линдеман доказал, что функция е^ в алгебраических точках а = 0 принимает трансцендентные значения [1]. Позднее, в 1885 году К. Вейерштрасс доказал более общее утверждение о том, что, если а1,..., ап, п ^ 2, различные алгебраические, а с1,..., сп — алгебраические, не все равные нулю, то
В данной работе доказывается одно утверждение, позволяющее расширить класс функций, для которых имеет место аналог теоремы Лин-демана.
Имеет место
Теорема. Пусть степенной ряд
УДК 511.3
С1еа1 + ••• + Спеа" = 0.
оо
п=о
