О преобразованиях рядов по мультипликативным системам Текст научной статьи по специальности «Математика»

С.С. Волосивец

УДК 517.51

О ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ РЯДОВ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ СИСТЕМАМ

Введение

Данная работа посвящена исследованию некоторых операторов в пространствах Ьр[0,1), 1 ^ р ^ то, действие которых удобнее рассматривать на коэффициентах Фурье первоначальной и преобразованной функции. К ним относятся мультипликаторы, которым посвящены теоремы 2.1, 2.3 и 2.4, а также преобразование Харди (в тригонометрическом случае см. [1]), некоторые свойства которого изложены в теоремах 2.5 и 2.6. Теорема 2.2 носит вспомогательный характер и используется при доказательстве теоремы 2.6. Большинство результатов данной работы являются аналогами результатов А.А.Конюшкова [2] для тригонометрической системы.

§1. Определения и вспомогательные утверждения

Пусть {рп}ТО=1 _ последовательность натуральных чисел, таких что 2 ^ рп ^ N при п Е N. По определению т0 = 1, тп = р1.. .рп при п Е N. Тогда каждое х Е [0,1) имеет разложение

то

х = ^^ хп/тп, 0 ^ хп < рп, п Е N. (1)

п=1

Разложение (1) не единственно для х = к/тп, 0 < к < тп, п Е N. В этом случае будем брать разложение с конечным числом ненулевых хп. Для к Е Z+ существует единственное разложение

то

к = ^2 кгтг-1, 0 ^ кг <рг, г Е N. (2)

1=1

(сумма в (2) конечна). Если y представлено в виде (1), то по определению

00

x 0 y = z = Y Zn/mn, где 0 < zn < pn, n e N, zn = Xn + yn( (mod p)n).

n= 1

Аналогично вводится x 0 y. Для чисел x e [0,1) вида (1) и k e Z+ вида (2) положим по определению

Xk (x) = exp ^ ^ Xj kj /pj

Известно, что при фиксированном x £ [0,1) при всех y £ [0,1), за исключением счетного множества значений, верно равенство Xk(x 0y) = = Xk(x)Xk(y), k £ Z+. Система {xk}TO=0 является ортонормированной и полной в L[0,1). Эти факты можно найти в [3, §1.5]. Коэффициенты Фурье функции f £ L[0,1) задаются формулой f(n) = /0 f (t)xn(t)dt, а ча-

n—1 Л

стичная сумма ряда Фурье есть Sn(f )(x) = Y f(k)Xk(x). Здесь и далее

k=0

рядом Фурье называется ряд Фурье по системе {xk}ТО=0. Пространство Lp[0,1), 1 ^ p < то, задается как обычно с помощью нормы ||f ||p =

= (/0 If (t)|pdt)1/p.

Пространство MC[0,1) с нормой ||f ||то = sup |f (x)| состоит из функ-

ж€[0,1)

ций f, для которых lim ||f (x 0 h) — f (x)||TO = 0, и является банаховым. Везде далее 1/p + 1/q = 1 ( при p =1 полагаем q = то и наоборот). Сверткой функций f, g £ L[0,1) называется функция f * g(x) =

1 n—1

= I f (x 0 t)g(t)dt. Ясно, что Sn(f )(x) = f * Dn(x), где Dn(t) = E Xk(t). 0 k=0 Для так называемых однородных пространств X[0,1), к которым относятся все изучаемые в этой работе пространства, верно неравенство ||f * g||x ^ ||f ||x||g|1. Для двоичного случая это неравенство можно найти в [4, п.4.4, лемма 1], в общем случае доказательство аналогично.

Пусть Pn = {f £ L[0,1) : f (k) = 0,k ^ n}, En(f)p = inf{||f — tn||p : tn £ Pn}, n £ N, и Wn(f )p = sup ||f (x 0 h) — f (x)||p, n £ Z+.

0<h<1/mn

Имеет место неравенство А.В.Ефимова [3, §10.5]

2 )р ^ Етп(/)р ^ — Бтп(/^ шп{/)р. (3)

Из него видно, что, в отличие от тригонометрического случая модули непрерывности и наилучшие приближения в указанных выше пространствах ведут себя практически одинаково. Поэтому будем рассматривать классы с заданной мажорантой модуля непрерывности. Пусть 1 ^ р < то, {шп}ТО=0 — убывающая к нулю последовательность. Тогда Н := {/ Е Ьр[0,1) : шп(/)р ^ Сшп; п Е Z+}. Здесь С зависит от /, но не от п. При шп = т-а будем обозначать Н^ через Ыр(а,р). Аналогично вводятся пространства Нш := {/ Е МС[0,1) : шп(/)то ^ Сшп; п Е Z+} и Ыр(а). Пусть А, В - функциональные пространства на [0,1). Если последовательность {Аптакова, что для любой функции / Е А ряд

то

^ Хп/(п)хп(х) является рядом Фурье функции д Е В, то будем писать

п=0

{Ап} Е (А, В).

Далее мы рассматриваем последовательности шп, удовлетворяющие условию

то

^шк = О(шп), п Е N (В)

к=п

Это условие является аналогом условия Н.К.Бари [5].

Переходим к изложению необходимых в дальнейшем вспомогательных результатов.

Лемма 1.1.[3, §1.5]. Пусть п Е Z+. Тогда Бтп(х) = тпХ[0,!/тп), где ХЕ — характеристическая функция Е. Кроме того, существует константа С > 0, не зависящая от п, такая что |Лп(х)| ^ С/х при х Е (0,1).

Из леммы 1.1 легко вытекает оценка:

Рп(х)||р пр(х + / (С/х)р(х < Стр-!. (4)

J0 }\/п

n

Лемма 1.2. [6]. Пусть Kn = Е Dk(x)/n, n G N. Тогда нормы ЦК,^

k=i

ограничены.

Теперь напомним определения P-ичной производной и интеграла про, , mr — 1

извольного порядка. Пусть Tr(a)(t) := Y kaXk(t) (0a = 1 при а ^ 0).

k=0

Если для f G Lp[0,1), 1 ^ p ^ oo, существует g G Lp[0,1), такая что lim ||Tr(a) * f — g ||p = 0, то при а > 0 g называется сильной производной

г—о

f, а при а ^ 0 — сильным интегралом порядка |а|. В обоих случаях записываем g = T(a)f. При а < 0 и f G Lp[0,1), 1 ^ p ^ о, всегда существует Taf G Lp[0,1). Из свойств свертки следует, что (T(a)f)"(k) = = kaf (k) при k G N. Это понятие, обобщающее двоичную производную П.Бутцера—Х.Вагнера [4, с.40], появилось в работе [7]. В [7] установлено, что если а^ < 0 и для f G Lp существует T(a+ß)f g Lp[0,1), то T(a+ß)f = t(a)(T(ß)f). Кроме того, при условии f (0) =0 и а > 0 справедливо равенство T(a)(T(—a)f) = f. Там же были доказаны прямая и обратная теоремы приближения, вошедшие в лемму 1.3.

Лемма 1.3. Пусть 1 ^ p ^ о, а > 0 и для f G Lp[0,1) существует T («) f G Lp[0,1). Тогда имеют место неравенства

^г(f)p < Cim—(T(a)f)p, r G N,

■TW /p ^ ьг J Jp

OO

Jr (T f )p ^

^г(T(a)f)p ^ mjw*(f )p, r G N.

k=r

В §2 активную роль будут играть выпуклые последовательности. Последовательность {an}00=0 называется выпуклой, если для любого n G Z+ верно A2an = an — 2an+1 + an+2 ^ 0. Справедлива

Лемма 1.4.[8, вводный материал, §3]. Пусть последовательность an выпукла и lim an = 0. Тогда

n—уо

1) an убывает;

2) lim nAan := lim n(an — an+1) = 0;

n—>-TO n—>-TO

TO

3)E (n + 1)A2an < TO.

n=0

Следующая лемма является аналогом теоремы М.Рисса для тригонометрических рядов и доказана в [9].

Лемма 1.5. Пусть f Е LP[0,1), 1 < p < то. Тогда существует C(p) > 0, такое что ||Sn(f)||p ^ C(p)||f||p. Кроме того, lim ||f—

— Sm„ (f )|p =

n

Далее при р = то мы отождествляем Нр и Нш, Ьр[0,1) и МС[0,1). Константы С, в разных местах являются разными.

§2. Условия принадлежности классам Нр

то

Лемма 2.1. Пусть 1 < р < то. Ряд ^ акхк является рядом Фурье

к=0

функции / Е Нр{ тогда и только тогда, когда для любой функции д Е Ьд [0,1) выполнено условие

акд(к) = О(шп). (5)

к=тп

то

При р =1, то и ш Е В ряд акхк является рядом Фурье функции

к=0

/ Е Н^ тогда и только тогда, когда для любых п Е N и д Е Ьд [0,1) выполнено условие

m„+i—1

akg(k)

k=mn

где C не зависит от l и п.

< Cun, (50

Доказательство Необходимость. Пусть 1 < p < то. Так как согласно лемме 1.5 имеем lim ||f — Sn(f)||p = 0 для f Е Lp[0,1), то справедливо равенство

n—TO

Парсеваля

00

ад(к) = / (/(х) - (/)(х))д*(х)^х.

, ./0

Здесь д*(£) = д(©£). Согласно неравенству Гельдера и (3) получаем

00

&=ш„

При р = 1, то имеем

т„+1-1 1

^ II/ - (/)Ы|д(х)||д < С1цп(/)р < С2цп.

ад(к) = £ (^ш„+1(/)(х) - (/)(х))д*(х)^х <

и нужная оценка следует из (3).

Достаточность. Пусть 1 < р < то и выполнено (5). Тогда по теореме

то

Банаха—Штейнгауза следует, что ряд Е (х) есть ряд Фурье функции / Е Др[0,1), а из ограниченности функционалов ТЦд) = /0 (/ —

—^Топ)(х)д*(х)цп на каждой функции д Е Д[0,1) следует ограниченность норм ||/ — 5ТОп(/)||рц—\ что благодаря (3) дает / Е Яр. При р = 1

Ш„+1 —1

или р = то из (5') выводим ограниченность 1 Е (х) по норме

Д[0,1) или Дто[0,1) соответственно. В силу ступенчатости функций х&(х) во втором случае получаем ограниченность в В[0,1). Таким образом, с

то

учетом условия (В), частичные суммы с номерами тп ряда Е (х) в первом случае фундаментальны в Д[0,1), а во втором случае - в МС[0,1), откуда следует их сходимость к / Е Д[0,1)(/ Е МС[0,1)). Из условия (В) и (5;) следует

00 00

&=п &=п

и согласно (3) / Е Я^ , р =1 или р = то. Лемма доказана.

1

то

Замечание 2.1. Аналогично доказывается, что ряд ^ акхк(х) явля-

к=0

ется рядом Фурье функции / Е Ьр[0,1), 1 < р < то в том и только в том

то

случае, когда для любой д Е Ьд[0,1) ряд ^ акд(к) сходится.

к=0

Лемма 2.2. Пусть 1 ^ р ^ то, / Е . Тогда для любой выпуклой

то

сходящейся к нулю последовательности {Ап}то=0 ряд ^ Ак/(к)хк(х) яв-

п=0 к=0

ляется рядом Фурье функции Л/ Е .

Доказательство При 1 < р < то проще воспользоваться аналогом теоремы Мар-цинкевича о мультипликаторах [10], ибо по лемме 1.4 Ап убывает. По

п—1

этой теореме для S:^(/) = ^ Ак/(к)хк(х) верно неравенство Цб^ (/) —

к=0

— Зтп (/)ур < С1у^тк (/) — ^тп (/^^ которое влечет сходимость (/)

в Ьр[0,1) к некоторой Л/. В пределе получаем ||Л/ — (/)||р ^ ^ С1|/ — Бтп(/)||р ^ С2шп, и согласно (3) Л/ Е Нр. В общем случае имеем, применяя два раза преобразование Абеля:

m„-1 m„-3

Y^ ^гХг(х) = A'Ai(i + 1)Ki+l(x) + AAm„-2(mn - 1)Km„-l(x)-

-AAmfc (mk )Kmk (x) + Xmn-lDmn (x) - Amfc Dmfc (x). (6)

Используя леммы 1.1 и 1.2 (ограниченность ||Ki||i и ||Dm.||i), получаем оценку

mn-i

X] AXi(x)

i=mk

mn-3

^ сз[ ^ (i + 1)A2Ai + mnAAmn-2+

i=mk

+mkAAmk + max АЛ . (6')

i>mk J

Из (6;) и леммы 1.4 следует фундаментальность последовательности

mn-l

Е Aixi(x) в L1[0,1). Значит, она сходится к g Е L[0,1) и тогда

i=mk

ш„-1

^ Л/(г)Х*(х)

г=шй

= * / * 9 — * / * 9 Ур < (/) - (/)|р < С^ЫЬ^к,

согласно (3). При п ^ то получаем ||/ * 9 — £тк(/ * 9)||р ^ С4|9|1ык и по (3) / * 9 Е Яр. Теорема доказана.

Замечание 2.2. Из доказательства ясно, что для любой 9 Е Ь[0,1) имеем {9(к)} Е (#р, Яр). Аналогично доказывается, что {9 (к)} Е (Ьр,Ьр), 1 ^ Р ^ то. Условие выпуклости в лемме 2.2 можно заменить на условие

то

квазивыпуклости Е(г + 1)|Д2^«| < то. Тогда пункт 2) леммы 1.4 снова

¿=0

имеет место и доказательство выше для случая р =1, то проходит для всех Р.

Теорема 2.1. Пусть 1 < р < то. Тогда / Е Ьр[0,1) принадлежит классу Яр тогда и только тогда, когда для любой выпуклой сходящей-

то

ся к нулю последовательности {Ап}то=0 ряд Е / (к)Хк(х) является

к=0

рядом Фурье функции /л Е Яр.

Доказательство Необходимость установлена в лемме 2.2. Докажем достаточность. Пусть 9 Е [0,1). Для произвольной последовательности Ь > 0, г Е Z+

п—1

и ^П(х) = Е Ьг9(г)х«(х) с помощью преобразования Абеля находим, что

¿=0

5П(х) — ь09(х) = ^(5<г+1(9)(х) — 9(х))М + (^п(9)(х) — 9(х))ьп—1.

¿=0

Согласно лемме 1.5 имеем

119 — ^(9)||, ^ С(<?)Д(9)д ^ С(д)Ет„(9), ^ С(д)|9 — ^(9)!,,

где тп ^ г ^ тп+1. С помощью леммы 1.1 легко доказывается, что последнее выражение есть 0(ш(д, 1/тп))ьч = 0(ш(д, 1/г))^, где ш(д, 5)ьч = = вир (/0 Н |/(х + к) — /(х)1ч)1/ч. Как известно, если ш(д,5)ь не равен нулю тождественно и 5 > г/, то ш(д,5)ь ^ 25/цш(д,ц)ь . Рассмотрим возрастающую последовательность ai = ш—1/2(д, 1/г)ья =: ^ 1/2. Из неравенства выше вытекает, что при г < ] верно 21/2ai(j/г)1/2 ^ а^. Следуя С.Б.Стечкину [11], для ломаной функции, равной нулю в нуле, а,1 при х = г и линейной на [г — 1,г] при всех г Е N, рассмотрим минимальную вогнутую мажоранту Ь(х). Она существует, поскольку ап = 0(п1/2) = о(п), и тоже является ломаной. Пусть (пк,апк) — узлы этой ломаной (п0 = 0, ап0 = 0). Тогда при пк—1 ^ п ^ пк имеем

ап < Ьп := Ь(п) = (пк — пк—1)—1((пк — п)а^_1 + (п — пк—1)а^) <

< (пк — пк—1)—1(пк — п + (п — пк—1)(2пк/п)1/2)ап < < (пк — пк—1)—1(пк — пк—1 + 21/2пк — 21/2пк—1)ап < Зап.

п— 1

Теперь при п > т Цб^(х) — 8'т(х)||д < С(#)(Х! 1| + £пЬп—1 +

i=m

+£тЬт—1). По определению и неравенству ^ ^ Зai два последних сла-

п—1

гаемых стремятся к нулю при т ^ +то. Далее имеем ^ | ^^Ь^_11 ^

i=m

п— 1

^ 9 X} Ь_2(Ьi — Ьi—1). Последняя сумма является интегральной сум-

i=m

мой для функции у = х—2 на [Ьт—1,Ьп—1) и она стремится к нулю при т ^ +то. В силу полноты Ьд[0,1) существует функция д1 Е Ьд[0,1)

то

с рядом Фурье £ Ь^(г)х^х). Так как Аi = 1/Ьi выпукла и Аi ^ 0, то

i=0

согласно условию /\ Е Н£ и лемме 2.1

тото

Е /(г)д(г) = Е А/(г)д(г) = О(шп).

В силу произвольности д Е [0,1) по лемме 2.1 получаем / Е Н£. Теорема доказана.

Теорема 2.2. Пусть 1 < р < то, ш Е В и

^ Cwn+1, n е N,

а / Е Ьр[0,1) такова, что {п т/(п)}то=1 убывает при некотором т ^ 0. Тогда следующие четыре условия равносильны:

1) / Е Яр;

2) /(п) = 0(п1/р—1^п), где ^п = шк при Шк ^ п < Шк+1; / то \ 1/,

3) Е /(к) = О(шп);

\к=т„ у

4Л Е кр—2/р(км = О(шп).

ук=т„ у

Доказательство Докажем эквивалентность 2) и 3). Если выполнено 3), то при п Е [шк,

mk+1) и по, таком, что f (no) = min f (n) имеем

mfc-1

i/q

f (n) ^ N2tf (no) ^ N2t(mk - mk-i)-1/q I ^ f(i) I £

\ i=n

^ Ci^k-in-1/q ^ C2n1/p-1^n.

l i=mfc-1

Если же верно 2), то согласно неравенству Йенсена

i/q

mi+n 1

С» mj+1

i/q

Е f?(n) < сз Е £

n

<

^n=mk

. i=k n=mj

то \ 1/q то

q

^ C4(E 4q) ^ C^ V ^ Cs^k.

i=k

. i=k

Аналогично, если верно 4), то при п Е [шк,шк+1) и прежнем п0 имеем

mfc-1

1/p

f (n) ^ N2tf (no) ^ N2T(mk - mk-i)-

2т /

-1

£ ip-2fp(i) I ^

i=mfc_i

^ CrWk-1 n1 —1/p ^ C8n1/p—1Vn.

Условие 4) выводится из 2) точно так же, как и условие 3) выше. Пусть теперь верно 1) и ик Е Ртк таков, что ||/ — ик||р = Етк(/)р. Тогда в силу (4), (3) и неравенства Гельдера

mk+i — 1

Е f(n)

n=mk

(f (t) — Uk (t))(Dmk+i (t) — Dmk (t))dt

<

^ ||f — Uk||p(|D.

p\H^mk+i ||q

+ I\D

mk Wq

) < Cg^kmk

1 — 1/q

(8)

Имеем тк/(тк+1) < (тк+1 — тк)/ (тк+1) < Сд^шкт]. 1/ч или / (тк+1) ^ С10т\!р 1шк. Условие 2) легко получается из последнего неравенства. Наконец, пусть выполнено 2) или 3). При р ^ 2 по теореме Ф.Рисса—Хаусдорфа—Юнга [8, гл. 2, §4]

00

1/q

f — Smn (f )||p ^ Cn E |/(k)|4 ^ C12Un,

k=m

и согласно (3) / Е Н£. При 1 < р < 2 считаем сначала, что т = 0. Запишем с помощью преобразования Абеля

n1

n2

Е f (i)Xi(x) = Е Af(i)(Di+1(x) —Dmk (x))+ f (n— 1)(Dn(x) —Dmk (x)).

i=mk

i=mk

Так как lim (n = 0 и верно (4), Lp-норма последнего слагаемого стре-

n—TO

мится к нулю. То же верно при фиксированном x > 0. Согласно оценке Dn(x) из леммы 1.1 при x Е [1/m1+1,1/m/)

00

Е f(i)Xi(x)

00

<

Cum/ Е Af (i) < C^m/f (mn).

(9)

Поэтому

n1

1/p

\f (x) — Smn ( f)(x)||Lp[1/m„ ,1) < C13f(mn) E mp(m— 1 — m—+11)

<

1

^ С14шП/р—1ШпшП—1/р = С14ШП. Пусть теперь I ^ п и х Е [1/ш/+1,1/ш/). Используя очевидную оценку

т; — 1 Л т; — 1 Л

I Е /(г)Хг(х)| ^ Е /(г), (8) и (9), а также монотонность / (г), полу-

г=т„

чаем

•1/т„

оо

*1/т;

I/(х) — 5т„ (/)(х)|р^х = £ / |/(х) — 5т„ (/)(х)|р^х ^

/=п ^ 1/т;+1

<

то Г 1/т; /

2р—1 £ X

/=п ^ 1/т;+1 \

т; — 1

£ / (гЫх)

+

00

£ / (гЫх)

г=т;

/

<

МЕЕ

.1/р,

ш^ шг ш/

1

+£(ш/ш;/р—1ш/)

1/р——1

ш

(10)

./=п \г=п / /=п /

Благодаря неравенству Йенсена, вторая из внутренних сумм в правой части (10) есть 0(шП). Для оценки первой суммы воспользуемся идеей

то / 1 /

Харди и Литтлвуда [12, теорема 346]. Пусть = Еш—1, 5/ = Е ш/рш^

¿=/ ¿=п

(йп—1 = 0). Применяя неравенство Гельдера и теорему Лагранжа о сред-

нем, имеем

N

N

N

£шгЧ = !> — ¿мК < Е 4 (*р — <

N

/=п

< 2^шг1s5-ш;/pш¡ = 2^шг1/'sfг^ш, < 2^шр ) I Е

/=п

/=п

N

N

1/р

N

— 1/^р— 1, /

1/,

/=п

/=п

/=п

/=п

Сокращая на последний сомножитель и используя неравенство Йенсена, получаем

N

1/р

N

1/р

1§р < 2Р £Шр ^ С16шп.

/=п

/=п

Переходя к пределу при N ^ то, видим, что правая часть (10) есть О(шП), откуда ||/ — (/)||р = О(шп) и / Е Я". В случае т > 0 рас-

смотрим Т( т/. В силу условия 3) теоремы | Е 1(Т( т/)"(к)|9

к=тп

п

р

= 0(т—Тшп). Используя разобранный случай т = 0 находим, что шп(Т(—Т/)р = 0(т—Тшп) и в силу леммы 1.3 и условия (В) получаем,

то

что шп(/)р ^ С17 Е тткт—Тшк ^ С18шп. Таким образом показано, что из

к=п

2) следует 1) и тем самым показана попарная равносильность утверждений 2) и 3), 2) и 4), 1) и 3). Значит, все утверждения 1)-4) эквивалентны. Теорема доказана.

Рассмотрим теперь К(а,р) = {/ Е Ь[0,1) : Т(—а)/ Е Ыр(а,р)}, а > 0, 1 ^ р ^ то.

Теорема 2.3. Пусть 1 ^ р ^ то, а> 0, / Е Ь[0,1). Тогда / Е К(а,р) в том и только в том случае, когда для любой д Е Ыр(а, д) верно соотношение

тп+1—1

Е /(к)д(к) = 0(т—а). (11)

к=тп

Доказательство Пусть 0 < в < а, д Е Ьгр(а,д), / Е К(а,р), 1 < р < то. В силу леммы 1.3

(Т(в)д)д < С1 Етвт—а < С^т—а, п Е N,

(12)

то есть Т(в)д Е Ыр(а — в, д). Далее, пусть к = Т(—а)/ Е Ыр(а,р). Тогда Т(а—в)к в силу (12) принадлежит Ыр(в,р) и по теореме единственности Т(—в)/ = Т(а—в)к + С. Таким образом, согласно лемме 1.3, (3) и (12),

примененному два раза, имеем

тп+1—1

Е /(к)д(к)

к=т

тп+1 1

Е (Т(—в)/Г(к)(Т(в)дГ(к)

к=т

(6'тп+1 (Т( - в)/(х)) — 5тп (Т(—в)/)(х))(б;,п+, (Т (в)д(х))

5тп(Т(в)д)(х))(х ^ СзЕтп(Т(—в)/)рЕтп(Т(в)д), ^ С4т—вт^— = С4т—а.

В итоге, (11) установлено. Пусть, напротив, для всех д € Ьгр(а,д) верно (11). В силу соотношения Т(а)Т(-а)Н = Н при Н(0) = 0 и леммы 1.3 получаем

(Т(-а)Н}? < С5ш-аып(Н}?, п € N, Н € Ья[0,1), (13)

то есть д = Т(-а)Н € Ьгр(а, д) при Н € [0,1). Ясно, что (13) не зависит от Н(0) и что Н(к) = кад(к) при к € N. Значит, для любой функции Н € [0,1) в силу леммы 2.1

Ш„+1-1 Ш„+1-1

£ Н(к)к-а/(к} = £ д (к)/ (к) = о(т-а).

к—т^п, к—т^п

, —а

Так как ¡х>п = Ш-" удовлетворяет условию (В), снова применяя лем-

то

му 2.1 и замечая, что также Е Н(к)к-а/(к) = 0(ш-а), находим, что

к—тп

то

ряд Е к-а/(к)хк(х) является рядом Фурье функции класса Ьгр(а,р), к—1

то есть / € К(а,р). Теорема доказана.

Теорема 2.4. 1) Пусть 1 ^ р ^ то. Тогда {Лп} € (Ьгр(а,р), Ьгр(а}} тогда и только тогда, когда найдется Н € К(а,д}, такая что Н(п) = = Лп, п € Z+.

2) Пространство К(а,р), 1 ^ р ^ то, не зависит от а.

Доказательство 1) Пусть существует Н € К(а,д) со свойством Н(п) = Лп, п € Z+, и / € Тгр(а,р). Согласно замечанию 2.2 для любой д € Т[0,1) имеем {д(к)} € , ) и поэтому {д (к)} € (К(а,д),К(а,д)}. По теореме 2.3

Е д(к)(Лк/(к)) = Е /(к)(Лкд(к)) = 0(ш-а). В силу произволь-

к—тп к—тп

ности д и леммы 2.1 Н * / € Ьгр(а) ((Н * /)(к} = Лк/(к) и = ш-а удовлетворяет условию (В)).

Пусть теперь {Лп} € (Ьгр(а,р), Тгр(а}}. Снова по лемме 2.1 для всех

/ € Тгр(а,р) и д € Т[0,1), I > п, имеем Е /(к)(Лкд(к}} = 0(ш-а).

к—тп

В силу (13) Т( а)/1 Е 1гр(а,р) для всех /1 Е Ьр[0,1), поэтому

тп+1 1

р

р[

Е (к—а/1(к))(Акд(к)) = 0(т—а), где /1 Е Ьр[0,1) и д Е Ь[0,1). Пола-

к=тп

гая д(х) = Бт. (х), г ^ п + 1, по теореме Банаха—Штейнгауза получаем,

тп+1 — 1

что Е к—а/1(к)Ак = 0(т—а) для любой /1 Е Ьр[0,1). По лемме 2.1

к=тп

то

Е к—аАкхк(х) есть ряд Фурье функции из Ьгр(а,д), что и требовалось к=1

доказать.

2) Пусть 0 < в < а, / Е К(а,р) и д =

Т( а)

/. Согласно (12) имеем

шп(Т(а—в)д)р ^ С1т—в. Последнее означает, что д1 = Т(а—в)д Е Ыр(в,р) или что ка—вд(к) = к—в/(к) = д1(к), к Е N где д1 Е Ыр(в,р), то есть / Е К(в,р). Если же / Е К(в,р), то, как отмечалось в §1, Т(—а)/ = = Т(в—а)Т(—в)/. В силу (13), учитывая Т(—в)/ Е Ыр(в,р), получаем

Шп(Т(—а)/)р ^ С2тп—аШп(Т(—в)/) ^ Сзт—а,

откуда / Е К(а,р). Теорема доказана.

Чтобы сформулировать две последние теоремы, определим оператор

к

С/ следуюшим образом: (С/)Л(0) = / (0), (С/)(к) = Е / (г)/к, к Е N.

i=l

Можно доказать, что этот оператор, называемый преобразованием Хар-ди по системе {хп}то=0, ограничен в пространствах Ьр[0,1), 1 ^ р < то (при рп = 2 см. [13], в общем случае результат получен автором, но еще не опубликован). Здесь приводятся два результата, касающиеся рядов по системе {хп}то=0 с монотонными или квазимонотонными коэффициентами. Пусть последовательность {ак}то=1 убывает к нулю. Тогда тем

к

же свойством обладает последовательность Ак = к—1 Е а{ .

i=l

Теорема 2.5. Пусть 1 < р < то. Если / Е Ь[0,1) такова, что {/(п)}то=0 убывает, то включения С/ Е Ьр[0,1) и / Е Ьр[0,1) равносильны.

Доказательство Как известно [14], если {/(п)}то=0 убывает, то / Е Ьр[0,1), 1 < р < то,

тогда и только тогда, когда

то

£ |/ (п)|рпр-2 < то. (14)

п—1

Для а^ ^ 0 имеет место частный случай неравенства Харди—Литтлвуда [12, теорема 346]:

то / п \ р то /п\р то

£ пГ2 п-1 £ а, = £ п-2 £ а, ^ С £ п-2(пй„)р. (15)

п—1 \ ¿—1 / п—1 \ ¿—1 / п—1

то п то

С другой стороны, при убывающих а, Е пр-2(п-1 Е а,)р ^ Е пр-2ар.

п—1 ¿—1 п—1

Таким образом, для / и С/ сходимость рядов (14) равносильна. Теорема доказана.

Теорема 2.6. Пусть 1 < р < то, ы € В и / € [0,1} такова, что

{п т/(п)}то—1 убывает при некотором т ^ 0. Тогда / € Яр в том и только в том случае, когда С/ € Яр.

Доказательство В силу (15) и теоремы 2.2 из / € Яр следует С/ € Яр. Далее, если п-тап убывает, то

п п- 1 к п

£ к-таккт = £(к-так - (к + 1}-так+1} £ ;т + п-тап £;т ^ к—1 к—1 .—1 .7—1

^ п-тапС(т}пт+1 = Спап.

то п то

Поэтому £ пр-2(п-1 Е а,)р ^ Е пр-2ар. Осталось показать, что

п—1 ¿—1 п—1

п

п-аАп, где Ап = п-1 Е а, и п-тап убывает, тоже убывает при достаточно

¿—1

большом а > 0. Неравенство п-аАп ^ (п + 1)-аАп+1 равносильно нера-

пп

венству ((п+1)а+1 -па+1} Е ак ^ па+1ап+1. Как показано выше, Е ак ^

к—1 к—1 ^ С(т)пап, а (п + 1}а+1 - па+1 = па+1((1 + 1/п)а+1 - 1} ^ (а + 1}па.

Теперь ясно , что при фиксированном т можно подобрать а, такое что

нужное неравенство будет выполняться для всех п > п0 и теорему 2.2

следует / Е Н%

можно применять к Cf Таким образом , из Cf Е И? следует f Е И?.

Теорема доказана.

Библиографический список

1. Hardy G.H. Notes on some points in the integral calculus //Messenger of Math. 1928. V.58. P.50-52.

2. Конюшков А.А. О классах Липшица //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1957. Т.21, №5. С.423-448.

3. Голубое Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.

4. Schipp F., Wade W.R., Simon P. Walsh series. An introduction to dyadic harmonic analysis. Budapest: Akademiai Kiado, 1990.

5. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций //Тр. Моск. Матем. об-ва. 1956. Т.5. С.483-522.

6. Pal J., Simon P. On a generalization of the concept of derivative //Acta Math. Hung. 1977. T.29, №1-2. P.155-164.

7. He Zelin. The derivatives and integrals of fractional order in Walsh-Fourier analysis with applications to approximation theory //J. Approx. Theory. 1983. V.39. P.361-373.

8. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

9. Watari C. On generalized Walsh-Fourier series // Tohoku Math. J. 1958. V.10, №3. P.211-241.

10. Блюмин С.Л. Некоторые свойства одного класса мультипликативных систем и вопросы приближения функций полиномами по этим системам //Изв. вузов. Математика. 1968. №4. С.13-22.

11. Стечкин С.Б. О приближении периодических функций суммами Фейера //Труды МИАН им. В.А.Стеклова. 1961. Т.62. С.48-60.

12. Харди Г., Литттлвуд Д., Полиа Г. Неравенства. М.: Изд-во иностр. лит., 1948.

13. Eisner T. The dyadic Cesaro operators //Acta Sci. Math. (Szeged). 1998. V.64. P.99-111.

14. Тиман М.Ф., Тухлиев К. Свойства некоторых ортонормированных систем // Изв. вузов. Математика. 1983. №9. С.65-73.

УДК 519.984

О.Ю. Дмитриев

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

На отрезке [0,1] рассмотрим краевую задачу

У(4) - Ay = 0 (1)

U(y) = a,y(i-1)(0) + biy(i-1) = 0, i = Т/4, (2)

где ( = 1, a2 = 2, a3 = 1, a4 = 0, b1 = b2 = b4 = 1, b3 = 0, A — спектральный параметр.

Ранее в литературе изучались случаи распадающихся краевых условий [1] или краевых условий, у которых только один из коэффициентов ( равен нулю, а b = 0 [2-3]. Данные краевые условия носят принципиально новый характер, являясь, как и в ранее изученных случаях, нерегулярными по Биркгофу [4]. Функция Грина G(x,t, A) имеет экспоненциальный рост как при t < x, так и при t > x, что представляет основную трудность при исследовании.

Положим A = —р, arg р е [—|; . Тогда функции yj(x) = yj(x,p) = = exppjx, где oj = exp ni, j = 1,4 образуют фундаментальную