ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ p-ВАРИАЦИИ СРЕДНИМИ ЭЙЛЕРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

10. Kocic Lj, М., Della Veeeia В. Degeneracy of positive linear operators. Facta Universitatis (NIs). Ser. Mathematics and Informatics, 1998, vol. 13, pp. 59-72.

11. Petukhova N. Yu., Tikhonov I. V., Sherstyu-kov V. В. Svoistvo skleivaniia polinomov Bern-shteina dlia kusochno-lineinykh nepreryvnykh funktsii [Gluing property of Bernstein polynomials for piecewise linear continuous functions]. Matematika, informatika, phizika v nauke i obrazovanii. Sbornik nauchnykh trudov k 140-letiyu MPGU. Moscow, Prometei, 2012, pp. 81-82 (in Russian).

12. Tikhonov I. V., Sherstyukov V. B. Priblizhenie УДК 517.518

modulia polinomami Bernshteina [The module function approximation by Bernstein polynomials]. Vestnik ChelGU. Matematika. Mekhanika. Informatika, 2012, vol. 15, no. 26, pp. 6-40 (in Russian).

13. Temple W. B. Stieltjes integral representation of convex functions. Duke Mathematical Journal, 1954, vol. 21, no. 3, pp. 527-531. DOI: 10.1215/ S0012-7094-54-02152-3.

14. AramA O. RroprientAfi privind monotonia sirului polinoamelor de interpolare ale lui S. N. Bernstein si aplicarea lor la studiul aproximArii funcfiilor. Studii si cercetari de MatematicA (Cluj), 1957, vol. 8, no. 3-4, pp. 195-210.

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ p-ВАРИАЦИИ

СРЕДНИМИ ЭЙЛЕРА

А. А. Тюленева

Тюленева Анна Анатольевна, аспирантка кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

В настоящей статье мы изучаем средние Эйлера:

eUf)(x) =

П

Е

k=Q

n

k

qn~k (1 + q)~nSk (f )(x)

q > 0, n G Z+,

где Sk (f) есть k-я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье. Для p-абсолютно непрерывных функций (f g Cp, 1 < p < то) мы рассматриваем их приближения средними Эйлера в равномерной и Cp-метрике в терминах модулей непрерывности wk (f )cp, k g N, и наилучших приближений тригонометрическими полиномами En (f )cp. Можно отметить следующее неравенство разных метрик из теоремы 2:

If - el(f)|U < Ci(1 + q)-

Е

j=Q

qn-j Ej (f )

n

p

n G N,

которое является точным. Доказано также следующее обобщение результата Ч. Чуи и А. Холланда.

Если ш является модулем непрерывности на [0, п], таким что S t-2w(t) dt = 0(x(S)), 1 < p < то и f g Cp удовлетворяет двум свойствам: 1) ш2 (f,t)cp < Cw(t) ;2) J2n/(n+1) t-1 \\px(tl)-px (t+2n/(n+1))|cp dt = 0(ш(1/п)), где рх(t) = f (x +1) + f (x -1) - 2f (х),то ||еП(f) - f\\cp < Cw(1/n), n g N. Даны также некоторые приложения к приближениям в метриках типа Гёльдера.

Ключевые слова: функции ограниченной p-вариации, p-абсолютно непрерывные функции, средние Эйлера, наилучшее приближение, модуль непрерывности.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2015-15-3-300-309

ВВЕДЕНИЕ

Пусть 1 < p < то, f (x) — измеримая ограниченная 2п-периодическая функция и £ = {x0 < <x1 < ... < xn = xo + 2п} — разбиение периода. Введем p-вариационную сумму:

KP(f) = (XI|f (x*) - f (xi-1)|3

G=1

1/P

© Тюленева А. А., 2015

А. А. Тюленева. Приближение функций ограниченной p-вариации средними Эйлера

по разбиению £ от функции f и p-вариационные модули непрерывности (см. [1]): w1-1/p(f,5) = sup кР(f), |£| = max (Xi - x-), 5 e [0, 2^],

1 -1 - ^ s l^i^n

|«!«5

Wk-i/P(f, 5)= sup wi-i/p(Д^-1 f (x),h), k e N, k > 2, 5 e [0,2п].

0 <h^S

k , k

Здесь Д{;f(x) = ^(-1)k-iG)f(x + ih), k e N. Пространство Cp функций f, удовлетворяющих

i=o i

равенству ^lm w1—1/p(f, 5) = 0, является банаховым с нормой ||f ||Cp = max(||f ||^,w1-1/p(f, 2n)),

где ||f ||^ = sup |f (x)|. Можно рассматривать также обычный модуль непрерывности цело-

жем

го порядка k e N: wk(f,5)cp = sup ||Дhf||cp и wk(f, 5)^ = sup ||Дhf||^. Известно, что

o<h^s o<h^s

wk(f, 5)cp < 2wk-1/p(f,5) (см. [1]).

n

Пусть Tn = {op + Y^(ai c°s ix + в sinix), ai, в e R}, n e Z+. Тогда En(f )cp := inf ||f - tn ||cp.

i=1 tn eTn

Пространство интегрируемых на [0, 2п] в p-й степени, по Лебегу, 2п-периодических функций Lpn снабжено нормой ||f ||p = f f0 |f (x)|pdx] , 1 < p < to. Далее будет также использоваться пространство

C2n непрерывных 2п-периодических функций с нормой || • ||^. Сверткой двух функций f, g e L\n называется функция f * g(x) = /02п f (x - t)g(t) dt e L2n. Известно, что Sn(f)(x) = n-1f * Dn(x), где Dn(x) = sin(n +1/2)x/(2sin x/2) Для убывающей к нулю последовательности {еп}^=0 определим

ECp (е) = {f e Cp : En(f )Cp ^ en,n e Z+}.

Пусть w(5) возрастает, непрерывна на [0,2п] и w(0) = 0 (w e П). Тогда будем писать w e Na, a > 0, если для 0 < 5 < п ^ 2п имеем w(n) < С(n/5)aw(5), соответственно w e B,

Г a го

если ^ i 1 w(i 1) = O(w(n 1)), n e N, и w e Sa, a > 0, если ^ ia 1 w(i 1) = O(naw(n 1)), n e N.

i=n i=1

По поводу этих определений см. [2].

Пусть Sk (f)(x) — частичные суммы ряда Фурье функции f e L^ порядка k e Z+. Будем рассматривать средние Эйлера:

en(f)(x) = £ (k)«n-k(1 + q)-nSk(f)(x), q ^ 0, n e Z+.

Подробнее об этих методах суммирования см. [3]. Далее будем использовать обозначения (q > 0, n e N)

n

Px(t) = f (x + t) + f (x - t) - 2f (x),

n

e(n,q,t) = (1+ q)-n£

k=0

Mqn-k sin(k + 1/2)t \kjq 2 sin t/2

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Лемма 1. Пусть f e Cp, 1 < p < to, k e N. Тогда справедливы прямая и обратная теоремы приближения

En(f)cp < Cwk(f, 1/(n + 1))cp, n e Z+, (1)

n

wk(f, 1/n)cp < Cn-k£ ik-1 Ei-1 (/)cp, n e N. (2)

i=1

Лемма 1 доказывается аналогично доказательству прямой и обратной теорем приближения в пространствах Lpn и C2n, в которых верны неравенства (1) и (2) с заменой Cp на Lpn или C2n (см. [4, гл. 5] и [6]).

Лемма 2. Пусть 1 < p < to, f e Cp, g e L^. Тогда f * g e Cp и

wi-1/p(f * g,5) < wi-1/p(f, 5)||g||1, 5 e [0, 2n],

Как следствие, ||f * g||cp < ||f ||cp ||g||1.

Математика

301

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

Первое утверждение леммы 2 доказано Б. И. Голубовым [5] для 5 = 2п. Его доказательство переносится на случай 5 е [0, 2п]. Второе утверждение леммы вытекает из первого и определения нормы в Cp.

Следствие. Пусть 1 < p < ж, f е Cp. Тогда

II/- Sn(f)||ср $ Cln(n + 2)En(f)Cp, n е Z+.

Доказательство. Пусть tn е Tn таков, что ||f — tn||Cp = En(f)Cp. Используя соотношение lim ||Dn||i/lnn = 4/п (см. [6, гл. 2, формула (12.1)]) и лемму 2, получаем:

n——^о

|f — Sn (f)|Cp $ ||f — t, $ (1 + llDn ||l

n ||Cp + ||tn — Sn (tn )|Cp + ||Dn * (tn — f )||cp

)||f — tn||cp $ Cl ln(n + 2)En(f)cp.

$

Лемма 3. Пусть 1 < p < ж, f е Cp, k е N. Тогда uk(f, 5)Cp е Nk, wk-1/p(f, 5) е Nk 1/p и класс Na, a> 0, содержится в любом классе Se при в > a.

Первое утверждение леммы 3 хорошо известно (см. [4, гл. 3]), второе утверждение приведено с доказательством в [7] и третье утверждение легко следует из леммы 3 известной статьи Н. К. Бари и С. Б. Стечкина [2] (см. также лемму 8).

о

Лемма 4. Пусть (an)0=1 убывает к нулю и удовлетворяет условию Бари ak/k = O(an),

k=n

о

n е N, и функция f (x) задается равенством f (x) = ^ an cos nx/n. Тогда f е Cp, 1 < p < ж, и

n=1

En(f)cp $ Can+1, n е Z+. Аналогичное утверждение верно в C2n.

Результат леммы 4 выводится из двух утверждений Б. И. Голубова [5] (подробнее см. в [8]).

Лемма 5. Пусть 1 < p < ж, f е Cp. Тогда ||f — Sn(f)||0 $ CEn(f)Cp и ||Sn(f)||0 $ C||f ||Cp, где C не зависит от n е Z+ и f.

Лемма 5 установлена в [1].

Лемма 6. Для ядра e(n,q,t) справедливы следующие соотношения: 1) |e(n, q, t)| $ Cn, n е N, t е [0, 2n/n];

2) e(n, q,t) =

q2 + 2q cos t + 1\ n/2 sin(n0t + t/2)

0 < |t| < n, где 0t е (—п,п) однозначно

q2 + 2q + 1 2 sin t/2

определяется из условий sin0t = q sin(t — 0t), sgn (0t) = sgn (t), |0t| < |t| $ n;

3) |e(n, q, t) | $ Ct-1 ex^(1Z+qq2n^) ’ 0 < |t| < n;

4) |e(n,q,t)| $ Cn1/2t-2, 0 < |t| < n.

Доказательство. 1. Для t е [0, 2n/n] c [0, п/2] и 0 $ k $ n имеем:

sin t/2 > t/п и | sin(k + 1/2)t| $ (k + 1 /2)t $ (n + 1 /2)t $ 3nt.

2

Поэтому

Kn.q.t)! $ (1 + q) n4-n<^ ^q"'

"-k $ —n. 4

Для n $ 3 неравенство очевидно.

2. Равенство установлено в работе [9].

3. Как и в части 1, имеем неравенство 11/(2 sin t/2) > n|/(2|t|), кроме того, используем очевидную оценку | sin(n0t +1/21 $ 1. С другой стороны,

/ q2 + 2q cos t + 1\n/2 V q2 + 2q + 1 )

4q sin2 t/2

(q +1)2

n/2

= exp

n

2ln

1

4q sin2 t/2\\

(q + 1)VJ .

302

Научный отдел

А. А. Тюленева. Приближение функций ограниченной p-вариации средними Эйлера

При 0 < |t| < п справедливо неравенство 0 < 4q sin2 t/2/(q + 1)2 < 1, кроме того, при у е [0,1) имеем ln(1 — у) < —у. Используя неравенства выше вместе с неравенством sin21/2 > (t/п)2, 0 < |t| < п, мы находим, что

f q2 + 2q cos t + 1 \п/2 f —2nqt2 \

{ q2 + 2q + 1 J < ) ■

Объединяя полученные оценки, находим, что справедливо утверждение 3).

4. Так как при у > 0 имеем ey > 1 + у > 2у1/2, то в силу 3) верно

Лемма доказана.

|e(n,q,t)|

П (q + 1)п 2t (2nq)1/2t

Ci

n1/2t2'

Лемма 7. Пусть l е N, q > 0. Тогда существует постоянная C, зависящая от l и q, но не от n, для которой выполнено неравенство

П

Е

k=о

'A n-k 1 < C(q + 1)П

k)4 (k + 1)1 < (n + 1)1 '

Доказательство. Так как (k + m)/(k +1) < m при k > 0 и m е N, имеем:

kq

n\ 'n-k 1

<"S (n)*n-k

k=0 ,kP (k + 1)1 ^'k=0VкГ (k + 1)(k + 2)...(k + l)

i rtl-1

tl

= l!ЕД k>""‘ Jo Jo - Jo UkdUdtl ■■ dtl-1 =

=l! I1 Г... t(q+U)ndudt1. ..dt-1 < l!(q+1)n+i<C1(q+ 1)n

(n + 1)... (n + l) ^ (n + 1)

00

где C1 = l!(q + 1)1. Лемма доказана.

Функция g(t) почти убывает на промежутке P, если из t1 ,t2 е P, t1 < t2, следует, что

f (t2) < Cf (t1), где C не зависит от t1,t2.

Лемма 8 (см. [2]). Условие w е Sа, а > 0, равносильно условию почти убывания функции p(t)/ta-e на (0, п] для некоторого в е (0,а).

2. ПРИБЛИЖЕНИЕ СРЕДНИМИ ЭЙЛЕРА

Теорема 1. Пусть 1 < p < ж, f е Cp, k е N. Тогда имеют место оценки

П

1

П

If — eKf)||ср < Cln(n + 2)wk(f, 1/n)cp,

П

If — en(f)|Cp < Cln(n + 2)n-k£ik-1 E,-1 (f)Cp.

i=1

Доказательство. Имеем по определению, следствию и лемме 1

f — еП (f )|cp =

(1+q)-n Ё (jV- (f — Sj (f)

j=0 J

<

Cp

n-j,

< C1 <■ + «-n jE C).-j 'n<J + 2)Ejf >Cp <2^ j= (J>'-V, (f. -^)Cp .

Из первого утверждения леммы 3 стандартным образом вытекает неравенство

Wkи.Щвр < (A + 1)kWk(f,S)op.

Математика

303

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

Поэтому в силу леммы 7 получаем;

C ln(n + 2) ДД (n

II/- e’(/)4 $

(1 + Я)

j=0

E"h

,-,,п±1 + Л „кГ/.-i

j + i

n + 1

$

Cp

$

2k+l Cl ln(n + 2)

„к

(/■4) cp(n+11‘ Е (n)q-

j(-+T! < C2|n» + 2>„k /Г

(1 +q)n V"n + 17 Cp j=-0\J/ \J^±j \ "v Cp

Применяя второе неравенство леммы 1, получаем второе неравенство теоремы. Теорема доказана. Теорема 2. Пусть 1 $ p < ж, / е Cp, k е N. Тогда справедливы неравенства

I/ - en(/)Щ $ Ci(1 + q)-n£ (jqn-jE(/)cp, n е N,

j=0

n

j=0 -

II/ - en(/)IU $ C2„k(/, 1/n)cp $ 2C2Wfc-i/p(/, 1/n), n е N. Доказательство. По лемме 5 получаем;

(3)

(4)

II/ - еП(/)IU $ (1 + Я)-П Е (-У- ||/ - Sj(/)|U $ C3(1 + q)-n Е (jV-'E(/)cp,

j=0 N-/ j=0 N-/

что доказывает (3). Здесь C3 — константа из первого неравенства леммы 5. Применяя (3), леммы 1 и 7, аналогично доказательству теоремы 1 имеем;

II/ - en (/)|Ц $ C4 (1 + я}-"'£ (jqn-j „к (/■

п

$

$ C11 + Я)" I" + Ч Ч) Cp g (цЧ $ «•» (4 4) c_ ■

Последнее неравенство в (4) вытекает из только что доказанного и [1, п. 2.2]. Теорема доказана. Докажем неулучшаемость неравенства (3).

О

Теорема 3. Пусть 1 $ p < ж, {sk}О=о убывает к нулю, ек $ Cek+i, k е Z+, и Y sk/(k+1) х

n е Z+. Тогда

k=n

sup II/ - en(/)|Ц х (1 + q)-n£ ("Уч■ n е N.

:ECp (в) j=0 V-У

(5)

f e^Cp(в) j=0

Доказательство. Оценка сверху в (5) вытекает из (3). Для доказательства оценки снизу рассмот-

О

рим функцию /0(x) = Y £к cos kx/k. По лемме 4 имеем Ej (/0)Cp $ CiSj+1 $ CiSj, j е Z+, т. е.

k=i

/о/Ci е Ecp (s). С другой стороны,

ll/о - en (/о )||о $ (1 + я)-п £ (")яп"' ll/о - Sj (/о )Щ $

j=0 j

$ (1+ Я)-"'£ (")яп-' £ Sk :=(1 + q)-n£ (n)qn-jj ■

7=о Д-/ k = j + 1 k 7=о

(6)

Но

n / \ n / \ СО

/о(0) - en (/о )(0) = (1 + q)-n£ (n qn-j (/о(0) - Sj (/о )(0)) = (1 + q)-n £ Г Wn-j £ Sk ■

'=о — '=о j k=j + 1 k

В силу (6) и последнего равенства получаем;

n , х О

,(/о)||» = /о (0) - en (/о )(0) = (1 + яГ‘£ n qn-j £ St.

jk

-e

j=0

C

p

n

304

Научный отдел

А. А. Тюленева. Приближение функций ограниченной p-вариации средними Эйлера

П

+ (1+ g)-nYl

j=о

£fc

к

£fc

k '

^ k — 1

Пусть An = ^ ek/к (см. (6)), n e N, и Bk = (n)qn—j, 1 < k < n +1, B0 = 0. Тогда в силу условия

k=n j=0 j

находим, что

(1 + q)n||/о - е/(/о= (1 + q)nAu+i + ^Bk(Ak - Ak+1)

k=1

n n+1 n+1 /■ 4

= An+1 Bn+1 + ^ Ak (Bk - Bk—1) - BnAn+1 = J2 Ak (Bk - Bk—1) = ( k - J «n—k+1 Ak >

k=1 k=1 k=1 k - 1

n+1

k=1

(k n J qn—k+1ek = c2£ (n)qn—j £j+1 > c3£ (n)«n—j £j.

j=0

j=0

(7)

n

n

n

Для /0/C1 также верно (7) с константой C3/С1. Теорема доказана.

Для случая q =1 сформулируем и докажем теорему, обобщающую результат К. Чуй (С. К. Chui) и А. Холланда (A. S. В. Holland) [9].

Теорема 4. Пусть и e S1, 1 < p < ж и / e Cp такова, что (/, t)cp ^ Cw(t) и, кроме того,

A(t)

2п/(n+1)

п

Ax(t + 2-/(n + 1)1 cp t

dt = O(w(1/n)),

neN.

Тогда ||en(/) - /||cp < Cw(1/n), n e N.

Доказательство. При q = 1 справедливо равенство sin0t = sin(t - 0t) (см. лемму 6)) и при 0 < 0t < t мы имеем 0t = t/2, поэтому e(n, 1,t) = cosn(t/2)sin[(n + 1)t/2]/(2sint/2). Пусть an = 2-/(n + 1), bn = 2-/(n + 1)e, где 1/2 > в > a/(a + 1) и a e (0,1) — число такое, что функция A(t)/ta почти убывает на (0,-) (такое а существует по лемме 8). Тогда верно равенство sin(n + 1)(t + an)/2 = - sin(n + 1)t/2, что будет использовано далее. Пусть n достаточно велико так, что bn < п/2. Запишем:

1 1'П 1 fan 1

en(/)(x) - /(x) = - Ax(t)e(n,1,t) dt = - + -

- J 0 - J 0 -

1 Г

+ - = 11 + 12 + Is.

- Jbn

b

n

n

В силу утверждения 1) леммы 6, леммы 3 и обобщенного неравенства Минковского в Cp (см. [5])

III1 llcp < C1

an

0

^2(/,t)cp ndt < C2Ы2(/, 1/n)cp

< C3w(1/n),

(8)

а благодаря утверждению 3) леммы 6 находим, что

HTsllcp < C4^ b—1 ^2(/,t)cp exP (-dt <

< C4 / new2(/, t)cp exp(-C5n1—2e) dt < C6ne+2w2(/, 1/n)exp(-C5n1—2e) < C7w(1/n),

bn

n), (9)

так как 1 - 2в > 0 и любая степень растет медленнее экспоненты. В (8) и (9) также использовалось неравенство w2(/, Ad)cp < (2A)2w2(/, d)cp, A > 1, по сути содержащееся в первом утверждении леммы 3. Для 12 запишем:

4-12 = 2

Ax (t) ..

------т cos - sin

sin t/2 2

t . n + 1

2

t dt =

Ax(t)

-----t cos - sin

sin t/2 2

t . n + 1

2

t dt-

b„ —ar

Ax (t + an) cosn t + an s.n n + 11 dt =

sin(t + an )/2

cos

sin

b

b

n

n

n

n

Математика

305

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

bn Vx (t) - Vx (t + an) n t . n + 1

sin t/2

cosn - sin —2— t dt+ 22

+

n Vx (t + an)

sin t/2

r bn

+ Vx (t + an )cos

Jan

n t n t + an

cosn-cosn-

22

n +1

sin----tdt+

n t + an

1

1

2 [sin t/2 sin(t + an )/2j 2

• n + 1 + Л+

sin —-— tdt—

an

Vx (t + an) sin(t + an )/2

n t + an . n + 1 ,

cosn —-— sin —-— t dt+ 22

+

Vx (t + an) n t + an. n +1,

cos —-— sin —-— t dt = /21 + /22 + I23 + 124 + I25 •

Jbn-an sin(t + an)/2

В силу условия теоремы

/21 ||Cp $

II Vx (t) - Vx (t + an)|CP

dt $ п

П II Vx (t) Vx (t + an)||cp

sin t/2 an t

По теореме Лагранжа

| cosn t/2 — cosn(t + an)/2| = |ncosn-1 zn(t) sinzn(t)an/2| $ nnt—-+y $ nt, где t/2 < zn(t) < (t + an)/2 $ t для t £ [an, bn]. Поэтому в силу определения bn

II/22IICp $ п2 / + a”^Cptdt $ п2 / W2(f, 2b„)cpdt $

$ C8w(1/n). (10)

t J 0

$ C9n-ew(n-e) $ C10w(n-1 )•

В самом деле, по выбору в > a/(a + 1) (см. начало доказательства) получаем:

n-ew(n-e) $ n-eC11 (n-e/n-1)aw(n-1) = C11 na-(a+1)ew(n-1) $ C11 w(n-1). Далее, так как an $ t $ bn $ п/2, то по лемме 8 выполняются неравенства

| sin 1 (t/2) — sin 1 ((t + an)/2)| $

-1

ann

2t(t + an)

поэтому с помощью замены t = any имеем:

И w (an + t) $ C11 ((an + t)/an) w(an )5

II/23||cp $ C12an / (f’t + an) dt $ C13an1 a)w(an)

t(t + an)

dt

t(t + an )1_

an w(an)

= C13—-r-a—

dy

1

y(1 + y)

= C14w(an) $ C15w(1/n).

(11)

(12)

Для оценки /24 используем неравенства | sint| $ |t| и sin(t + an)/2 > sinan/2 > an/п. В результате

находим, что

/24IICp $ п

2an

w2 (f,t)Cp n + 1

an dt $ C16 an nw2(f, 2 an )cp $ C17 w(1/n).

(13)

Наконец, снова по лемме 8 в силу неравенства a — 1 < 0 получаем:

|/25||ср $

п^2 (f,t + an )c

bn -an

t + an

bn (t + a„ )a-1

pdt $ C18w(a„) / '...^-----dt $

bn -an

$ C18w(an)an (bn + an) $ C18w(an)j

так как (an/(bn + an))1-a $ 1. Объединяя оценки (8)-(14), завершаем доказательство теоремы.

(14)

n

0

b

n

b

n

ГО

n

n

ГО

n

2

a

n

n

b

n

306

Научный отдел

А. А. Тюленева. Приближение функций ограниченной p-вариации средними Эйлера

Замечание. Если и е S\ то условия U1 (f,S)op = 0(и(5)), 5 е [0, п], и и(f, 5)ср = 0(и(5)), 5 е [0, п], равносильны, т.е. использование модуля непрерывности второго порядка не дает в теореме 4 никакого преимущества.

С помощью теорем 1 и 2 получим оценку приближения средними Эйлера в гЕльдеровых метриках. Пусть и е П, f е CW и ||f ||W)k,» := ||f ||» + sup ик(f, 5)»/и(5) < ж. Множество всех таких

0<£<2п

функций обозначим через П£». Это пространство является банаховым с нормой ||-||Ш)к,го• Аналогично определяется пространство #£ср с нормой || • ||W)k)Cp.

Теорема 5. Пусть и, у положительны па (0, 2п] и и, у е П, причем функция y(t) = и(t)/y(t) возрастает на (0,2п]. Если и е Sк для некоторого к е N, f е , то

||f - еП(f)IU,» < Cn(1/n), n е N, (15)

и если последовательность {n(1/n)ln(n + 2)}»= убывает к нулю, то

||f - еП(f)|^,k,Cp < Cy(1/n) ln(n + 2), n е N. (16)

Доказательство. По теореме 2 имеем неравенство

Ilf - еП(f)||» < Clu(1/n) < Ciy(2n)n(1/n). (17)

Пусть 5 > 1/n. Тогда

ик(f - el(f),5)» < 2k||f - eqn(f< 2kC1и(1/n)

<

= 2k Ci n(1/n),

(18)

У(5) y(1/n) y(1/n)

Так как el (f) является тригонометрическим полиномом порядка не выше n, то

En (f)» = E„ (f - el (f ))» < ||f - el (f )||» < Ci и (1/n), n е N.

Отсюда следует, что при k > n верно

Ek(f - el Ц))» = Ek(f )» < Ciw(1/k), а при k < n справедливо неравенство

Ek (f - el (f))» < ||f - el (ЛИ» < Ci w(1/n) < Ci и(1/к).

Так как и е Sk, по лемме 4 из [2] ик(f - el(f), 5)» < C2u(5), 0 < 5 < 1 (см. также (2)). Поэтому

ик(f - el (f), 5)» < ^ < C2n(5) < C2n(1/n), 0 <5 < 1/n.

у(5)

у(5)

(19)

Из оценок (17)-(19) вытекает неравенство (15). Неравенство (16) доказывается аналогично. Вместо (17) по теореме 1 имеем ||f - el(f )||Cp < Cs^ (f, 1/n)Cp ln(n + 2) < C4n(1/n)ln(n + 2), а вместо (18) при 5 ^ 1/n находим, что

ик(f - el(f ),5)Cp < 2k ||f - el(f )|Cp <0 k^y п/ M ( , ^ p < ----------------------7-^-----p < 2kC4n(1/n) ln(n + 2).

у(5)

y(1/n)

Пусть теперь 0 <5 < 1/n. Если и е Sk и {^1/n)ln(n + 2)}»=i убывает к нулю (что в данном случае вытекает из условия), то

n-kY^ ik-1 и(1/г) ln(i + 2) < ln(n + 2)n-^ ik-1 и(1/г) < C5 ln(n + 2M1/n),

i=i

i=i

т.е. и(t) ln(2 + 1/t) е Sk (за исключением возсрастания данной функции). Аналогично доказательству (15) мы выводим соотношение ^(f - el(f ),5)Cp < C6и(5) ln(2 + 1/5), 5 е (0,1]. В силу условия

l

l

Математика

307

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

убывания последовательности {n(1/n)ln(n + 2)}^= мы получаем, что функция n(t) ln(2 + 1/t) почти возрастает на (0,1). В самом деле, пусть 0 < 1/(p +1) < t < 1/p < 1/m < u < 1/(m — 1) < 1, где m,p G N, m > 2. Тогда n(t) ln(2 + 1/t) < n(1/p) ln(p+3). Так как ш G Sk, то по лемме 8 для некоторого a G (0, k) функция ш(t)/ta почти убывает на (0,п). В частности, ш(25) < 2аКш(25) и аналогичное неравенство верно для п(5). Поэтому

n(1/p)ln(p+3) < C7n(1/(p + 1))ln(p+3) < C7n(1/m) ln(m + 2) < C8n(u) ln(m +1) < C9n(u) ln(2 + 1/u),

так как функция g(x) = ln(x + 2)/ln(x + 1) убывает при x > 0 и m > 2. В результате имеем:

Шк(f - en (f),S)Cp < C6tU<5)ln(2 + 1/<5)

v{$) ^ V{S)

< C7n(1/n) ln(n + 2),

0 < 5 < 1/n.

Из полученных оценок выводим неравенство (16). Теорема доказана.

Библиографический список

1. Терехин А. П. Приближение функций ограниченной p-вариации // Изв. вузов. Математика. 1965. № 2. С. 171-187.

2. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. о-ва. 1956. Т. 5. С. 483-522.

3. Харди Г. Расходящиеся ряды. М. : Изд-во иностр. лит., 1951. 504 с.

4. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М. : Физматгиз, 1960. 624 с.

5. Голубое Б. И. О наилучшем приближении p-абсолютно непрерывных функций // Некоторые вопросы теории функций и функционального анализа. Т. 4. Тбилиси : Изд-во Т6ил. ун-та, 1988. С. 85-99.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в 2 т. Т. 1. М. : Мир, 1965. 616 с.

7. Volosivets S. S. Convergence of series of Fourier coefficients of p-absolutely continuous functions // Analysis Math. 2000. Vol. 26, № 1. P. 63-80.

8. Тюленееа А. А. Приближение периодических функций ограниченной p-вариации обобщенными средними Абеля - Пуассона и логарифмическими средними // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 1. С. 25-32.

9. Chui С. К., Holland A. S. В. On the order of approximation by Euler and Borel means // J. Approxim. Theory. 1983. Vol. 39, № 1. P. 24-38.

10. Rempulska l., Tomczak К. On Euler and Borel means of Fourier series in Holder spases // Proc. of A. Razmadze Math. Institute. 2006. Vol. 140. P. 141-153.

Approximation of Functions of Bounded p-variation by Euler Means

A. A. Tyuleneva

Tyuleneva Anna Anatol’evna, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., 410012, Saratov, Russia, [email protected]

In this paper we study the Euler means

e

q

n

n

(/)(x) =

k =0

n

k

qn-k (1 + q)-nSk (/)(x),

q > 0,

n G Z+,

where Sk (/) is the k-th partial trigonometric Fourier sum. For p-absolutely continuous functions (/ g Cp , 1 < p < ro) we consider their approximation by the Euler means in uniform and Cp-metric in terms of moduli of continuity Xk (f )cp, k G N, and the best approximations by trigonometric polynomials En(f )cp. One can note the following inequality for different metrics from Theorem 2

II/ - en(/)ll~ < Ci(1 + qr”E j q’^Ej(/)Cp, n G N,

which is sharp. Also the following generalization of a result due to C. K. Chui and A. S. Holland is proved.

n

308

Научный отдел

А. А. Хромов, Г. В. Хромова. Решение задачи об определении плотности тепловых источников

If ш is a modulus of continuity on [0,n] such that S t 2w(t) dt = 0(w(S)), 1 < p < ж and f e Cp satisfies two properties 1) w(f,t)op < Cu(t); 2}/27r7r/(n+1) t-1 \\yx(t) - px(t + 2n/(n + 1)\\cp dt = 0(ш(1/п)), where Px(t) = f (x +1) + f (x -1) - 2f (x), then \\еП(f) - f\\cp < Сш(1/п), n e N. Some applications to the approximation in Holder type metrics are given.

Key words: functions of bounded p-variation, p-absolutely continuous functions, Euler means, best approximation, modulus of continuity.

References

1. Terekhin A. P. The approximation of functions of bounded p-variation. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 1965, no. 2, pp. 171-187 (in Russian).

2. Bari N. K., Stechkin S. B. Best approximations and differential properties of two conjugate functions. Tr. Mosk. Mat. Obs., 1956, vol. 5, pp. 483-522 (in Russian).

3. Hardy G. H. Divergent series. Oxford, Oxford Univ. Press, 1949.

4. Timan A. F. Theory of approximation of functions of a real variable, New York, MacMillan, 1963.

5. Golubov B. I. On the best approximation of p-absolutely continuous functions. Some Questions of Function Theory and Functional Analysis, vol. 4, Tbilisi, Izd. Tbilisi Univ., 1988, pp. 85-99 (in Russian).

УДК 519.642.8

6. Zygmund A. Trigonometric series. Vol. 1. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1959.

7. Volosivets S. S. Convergence of series of Fourier coefficients of p-absolutely continuous functions. Analysis Math., 2000, vol. 26, no. 1, pp. 63-80.

8. Tyuleneva A.A. Approximation of bounded p-variation periodic functions by generalized Abel-Poisson means and logarithmic means. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2013, vol. 13, no. 4, pt. 1, pp. 25-32 (in Russian).

9. Chui C. K., Holland A. S. B. On the order of approximation by Euler and Borel means. J. Approxim. Theory, 1983, vol. 39, no. 1, pp. 24-38.

10. Rempulska l., Tomczak K. On Euler and Borel means of Fourier series in Holder spases Proc. of A. Razmadze Math. Institute, 2006, vol. 140, pp. 141-153.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОТНОСТИ ТЕПЛОВЫХ ИСТОЧНИКОВ

А. А. Хромов1, Г. В. Хромова2

1 Хромов Александр Августович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected] 2Хромова Галина Владимировна, доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики и математической физики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

Дано решение задачи об определении плотности тепловых источников в стержне, в котором установилась стационарная температура, если эта температура задана приближенно. В математической постановке это задача нахождения равномерных приближений к правой части обыкновенного дифференциального уравнения в случае, когда заданы равномерное приближение к решению и величина погрешности. На базе так называемого разрывного оператора Стеклова сначала строятся семейства операторов, дающих устойчивые равномерные приближения к функции и ее производным 1 и 2 порядков, а затем на их основе — метод решения поставленной задачи. На некотором классе решений приводится оценка погрешностей приближенного решения.

Ключевые слова: обратная задача, оператор Стеклова, регуляризация.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2015-15-3-309-314

Рассматривается задача об определении плотности тепловых источников в тонком стержне длины l, в котором установилась стационарная температура с нулевыми значениями на концах, по известной температуре.

© Хромов А. А., Хромова Г. В., 2015