Решение задачи об определении плотности тепловых источников Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. А. Хромов, Г. В. Хромова. Решение задачи об определении плотности тепловых источников

If ш is a modulus of continuity on [0,n] such that S t 2w(t) dt = 0(w(S)), 1 < p < ж and f e Cp satisfies two properties 1) w(f,t)op < Cu(t); 2}/27r7r/(n+1) t-1 \\yx(t) - px(t + 2n/(n + 1)\\cp dt = 0(ш(1/п)), where Px(t) = f (x +1) + f (x -1) - 2f (x), then \\еП(f) - f\\cp < Сш(1/п), n e N. Some applications to the approximation in Holder type metrics are given.

Key words: functions of bounded p-variation, p-absolutely continuous functions, Euler means, best approximation, modulus of continuity.

References

1. Terekhin A. P. The approximation of functions of bounded p-variation. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 1965, no. 2, pp. 171-187 (in Russian).

2. Bari N. K., Stechkin S. B. Best approximations and differential properties of two conjugate functions. Tr. Mosk. Mat. Obs., 1956, vol. 5, pp. 483-522 (in Russian).

3. Hardy G. H. Divergent series. Oxford, Oxford Univ. Press, 1949.

4. Timan A. F. Theory of approximation of functions of a real variable, New York, MacMillan, 1963.

5. Golubov B. I. On the best approximation of p-absolutely continuous functions. Some Questions of Function Theory and Functional Analysis, vol. 4, Tbilisi, Izd. Tbilisi Univ., 1988, pp. 85-99 (in Russian).

УДК 519.642.8

6. Zygmund A. Trigonometric series. Vol. 1. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1959.

7. Volosivets S. S. Convergence of series of Fourier coefficients of p-absolutely continuous functions. Analysis Math., 2000, vol. 26, no. 1, pp. 63-80.

8. Tyuleneva A.A. Approximation of bounded p-variation periodic functions by generalized Abel-Poisson means and logarithmic means. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2013, vol. 13, no. 4, pt. 1, pp. 25-32 (in Russian).

9. Chui C. K., Holland A. S. B. On the order of approximation by Euler and Borel means. J. Approxim. Theory, 1983, vol. 39, no. 1, pp. 24-38.

10. Rempulska l., Tomczak K. On Euler and Borel means of Fourier series in Holder spases Proc. of A. Razmadze Math. Institute, 2006, vol. 140, pp. 141-153.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОТНОСТИ ТЕПЛОВЫХ ИСТОЧНИКОВ

А. А. Хромов1, Г. В. Хромова2

1 Хромов Александр Августович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected] 2Хромова Галина Владимировна, доктор физико-математических наук, профессор кафедры вычислительной математики и математической физики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

Дано решение задачи об определении плотности тепловых источников в стержне, в котором установилась стационарная температура, если эта температура задана приближенно. В математической постановке это задача нахождения равномерных приближений к правой части обыкновенного дифференциального уравнения в случае, когда заданы равномерное приближение к решению и величина погрешности. На базе так называемого разрывного оператора Стеклова сначала строятся семейства операторов, дающих устойчивые равномерные приближения к функции и ее производным 1 и 2 порядков, а затем на их основе — метод решения поставленной задачи. На некотором классе решений приводится оценка погрешностей приближенного решения.

Ключевые слова: обратная задача, оператор Стеклова, регуляризация.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2015-15-3-309-314

Рассматривается задача об определении плотности тепловых источников в тонком стержне длины l, в котором установилась стационарная температура с нулевыми значениями на концах, по известной температуре.

© Хромов А. А., Хромова Г. В., 2015

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

Обозначим; u(x) £ C2 [0,1] — температура в сечении с абсциссой x, f (x) — плотность тепловых источников, k(x) — коэффициент теплопроводности, q(x) — коэффициент теплообмена. Считаем, что k(x) £ C1 [0,1], q(x) £ C[0,1] — известные функции.

Требуется найти равномерные приближения к f (x) в случае, когда u(x) задана нам приближенно, т. е. вместо u(x) известна щ(x) такая, что ||uj — u||C[0)l] < S.

В математической постановке эта задача сводится к определению правой части уравнения

k(x)u''(x) + k' (x)u'(x) — q(x)u(x) = f (x),

где u(0) = u(l) = 0, по известной u(x).

Если u(x) — точная температура, то f(x) находится тривиально. Если же u(x) задана приближенно, то в силу неустойчивости операции дифференцирования для нахождения приближений к f (x) требуется привлечение методов регуляризации [1].

В [2] применялась регуляризация с помощью разностных формул численного дифференцирования. При этом приближенное решение получалось на внутренних из [0, l] отрезках, границы которых должны быть увязаны с шагом разностных формул.

В данной работе этот недостаток устраняется; получены равномерные приближения к f (x) на всем отрезке с помощью семейств интегральных операторов с разрывными ядрами.

1. Рассмотрим сначала семейство операторов;

Tau =

Ta2u, x £ [0, l/2],

Ta1 u5 x £ [l/2, l]5

где

Tai u =

a2

x-2a

2

• x

u(t) dt + J u(t)dt

Ta2u = —2 a2

x+a x+2a

— j u(t) dt + J u(t)dt

1 x ^

Согласно [3] Ta1u = DS21 u, Ta2u = DS22u, где Sa1 u = — f u(t) dt, Sa2u = — f u(t) dt, D —

a

x + a

1 x+a

a

(1)

оператор дифференцирования.

В [3] показано, что

||Tau — u' ||l^ [0,1] ^ 0 при a ^ 0 для любой u(x) £ C1 [0, l] (в [3] l = 1). Здесь

(2)

x —a

1 • ||l« = max{|l • ||c[o,i/2], ! • ||c[i/2,i]}. Теперь на базе операторов Ta построим семейство операторов;

T(2) [x £ [0, l/2],

a “ \ T(2)u, x £ [l/2,/].

Лемма 1. Для любой u(x) £ C2[0, l] выполняется сходимость:

llTa u — u" ||l^ [0,1] ^ 0, при a ^ 0-Доказательство. Справедливо равенство

T(2) = S(4)

a u a. 1

(3)

(4)

где

S42, x £ [0, l/2],

S41, x £ [l/2, l].

310

Научный отдел

А. А. Хромов, Г. В. Хромова. Решение задачи об определении плотности тепловых источников

Действительно, из очевидного равенства DSaju = SajDu, j = 1, 2, вытекает;

DSjj u = DSaj (Saj u) = Saj DSaj U = SJ j Du, т. e. Taju = SJ,Du, а отсюда следует;

т. е. TJju = Saju".

Tj u = Ta, (Taj u) = S2, DTaj u = S2, DS2 ,• Du = S4, D2u,

Но S\ ■ p ^ p при a ^ 0 для любой непрерывной p(x) (сходимость в равномерной метрике).

Отсюда и из (3) следует утверждение леммы.

Лемма 2. Для операторов Tj, j = 1, 2, справедливы представления:

г x+a

Ta2u = a

—4

x+2 a

J (t — x)u(t) dt + J (4a — 3(t — x))u(t) dt+

x+3 a

x+a x+4 a

+ (—8a + 3(t — x))u(t) dt + / (4a — (t — x))u(t) dt

x+2 a

x+3 a

(5)

г x—3 a

Th u = a

—4

x—2 a

J (4a — (x — t))u(t) dt + J (3(x — t) — 8a)u(t) dt+

x—4 x—3

x — a x

+ J (4a — 3(x — t))u(t) dt + J (x — t)u(t) dt

x—2 x—

Доказательство. Имеем;

, x+j r t+j t+2 a n x+2 a r t+2 a

—4

(6)

Ta2u = a~

dt +

x+a L t

t+2 a

или

где

Далее,

u(t) dr + J u(t)dr

t t+

Th u = a-4 + + /2 + /з + h ],

x + a t+a x+a t+2 a

I1 = J J u(r) dr dt, I2 = — J J u(r) drdt,

x t x t

x+2a t+2a

I3 = — J J u(r) drdt, I4 = —I2\x^x1 =x + a .

xt

x+a x+2a

Ii = J (t — x)u(t) dt + j (2a — (t — x))u(t) dt

u(r) dr + u(r)dr

t+

dt

(7)

x x+

(см. [3, лемма 1]).

Сделав соответствующие замены в остальных интегралах, придем к выражениям;

x+2a x+3a

I2 = — J ((t — x) — a)u(t) dt — j (3a — (t — x))u(t) dt, I3 = I2.

x+ x+2

Подставим полученные выражения в формулу (7), соберем слагаемые, содержащие интегралы с одинаковыми пределами интегрирования, получим представление (5).

Представление (6) получается из (5) при замене x на x — 4a.

Математика

311

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

Подсчитаем нормы \\Та |c[0,ц^ьж

[0,1] И |Т<2>

C[0,1]—L^[0,1] • СпРаведлива

Лемма 3. Имеют место формулы:

|Та||c[0,1]—[0,1] = 2а 1, Доказательство. Имеем:

ЦТ®

C[0,1]—[0,1]

8

з а

-2

|Та\\c [0,1]—Ьж [0,1] = max{||Ta 2 || C[0,1]—C [0,1/2], |Та 1 \\c [0,1]—C [1/2,1] }•

Далее,

1

iTa2(Х, t)| dt,

0

где Ta2 (x,t) — ядро интегрального оператора Ta2, и аналогичная формула справедлива для IT 11|c[0,1]—c[1/2,1]• Так же вычисляются нормы IIT^||c[0,1]—C[0,1/2] и HTJi||c[0,1]—C[1/2,1]• Учитываем, что вычисление норм для Та 1 и Т21 сводится к вычислению соответствующих норм операторов с индексом 2. Тогда из (1) получаем первое утверждение леммы 3, а из леммы 2 — второе. □

Введем в рассмотрение величины:

A(5,Ta,u') = sup{||Taus - u'|T : |us - u|c $ 5},

Д(5,Т(2,u") = sup{|T((2)u6 - u"|T : ||u6 - u|c $ 5}.

По аналогии с теоремой 3 в [3] из (2) и лемм 1, 3 следует

Теорема 1. Для сходимости Д(5, Ta,u') ^ 0 при а ^ 0, 5 ^ 0 необходимо и достаточно выполнения согласования а = а(5), удовлетворяющего условиям: 1) а(5) ^ 0 при 5 ^ 0 и

2) 5(а(5))-1 ^ 0 при 5 ^ 0. Для сходимости Д(5, Та2) ,u") ^ 0 при а ^ 0, 5 ^ 0 необходимо и достаточно выполнения согласования а = а(5), удовлетворяющего условию 1) и условию

3) 5(а(5))-2 ^ 0 при 5 ^ 0.

IT

2| C[0,1]—C[0,1/2]

max

0<ж<1/2 ^

2. Теперь построим приближенное решение нашей задачи с помощью операторов Та и Т(2. Рассмотрим функции ff (x) = k(x)T(2') us (ж) + k' (х)Тащ (ж) - q(x)us (ж).

Теорема 2. При согласовании а = а(5), удовлетворяющем условиям 1) и 3), указанным в теореме 1, имеет место сходимость

Ilf? (S) (х) - f (x)IT [0,1] ^ 0, при 5 ^ 0-

Доказательство. Очевидна оценка

Ilf? - f IU.« $ кЦТ®us - u''||iM + K1 ||T«us - u'||t.„ + Q5, (8)

где K = ||k(x)||c[0,1], K1 = ||k1 (x)|c[0,1], Q = |q(x)|c[0,1]•

Поскольку

||T(2) us - u'' ||lm $ Д(5,Т® ,u'') и || Та us - u' $ △(5,Ta,u'),

а согласование а = а(5) из условия 3) теоремы 1 обеспечивает и согласование из условия 2), то отсюда вытекает утверждение теоремы. □

Таким образом, приближенное решение поставленной задачи строится по следующей схеме:

1) вычисляются функции v>a (x) = Taus и wa (x) = Tava;

2) выбирается согласование а = а(5) по теореме 2;

3) составляется функция fs = fa(s)(x) = k(x)wO"(s)(x) + k'(x)vO*(s)(x) - q(x)us(x).

312

Научный отдел

А. А. Хромов, Г. В. Хромова. Решение задачи об определении плотности тепловых источников

3. При наличии дополнительных условий на функцию u(x) укажем конкретную формулу для выбора a = a(S) и получим оценку погрешности приближенного решения.

Обозначим

M = max |u"(x)|

0<x<l

и будем считать, что эта константа нам известна и что, кроме того, u"(x) е LipMl 1. Тогда справедлива Лемма 4. При каждом фиксированном а выполняются оценки:

\\Таu - u'\\l. < 2Ma, \\T^)u - u"||l. < 4Mia.

Доказательство первой оценки вытекает из леммы 5 в [3], второй - из равенства (4).

Запишем оценку (8) в виде

ИЯ - /\\l. < K[WT<2>u - u"\\l. + s\\t<2)Wo~L„]+

+Ki[||Tau - u'||l. + S\\TaWc^lm] + QS. (9)

Из этой оценки и лемм 3 и 4 вытекает

Теорема 3. Если M = ||u"(x)||C[0)l] и u"(x) е LipMl 1, то справедлива оценка:

\\/W - /\\l. < CiS1/3 + C2S2/3 + QS, (10)

где

Ci

C=

4(2KMi + Ki M )2/3

a(S) = CSi/3,

4 \i/3

- Kj (2 KMi + Ki M)-i/3,

'4 \i/3

- K j , C2 = Ki (6K )i/3 (2KMi + Ki M )i/3

(11)

Доказательство. Подставим в оценку (9) равенства для норм из леммы 3 и оценки из леммы 4. Получим:

о

ll/a - /IIl. < 2(2KMi + KiM)a + ^KSa-2 + 2KiSa-i + Q,, (12)

Теперь сделаем конкретный выбор a = a(S) из разумных соображений, а именно из равенства

о

2(2KMi + Ki M )a = - KSa-2.

3

Отсюда получим формулу (11).

Подставив (11) в (12), получим оценку (10).

Работа выполнена при финансовой поддержке

Библиографический список

1. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения.

М. : Наука, 1978. 206 с.

2. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач.

М. : Изд-во Моск. ун-та, 1994. 206 с.

□

РФФИ (проект № 13-01-00238).

3. Хромов А. А. Приближение функции и её производных с помощью модифицированных операторов Стеклова // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 2. С. 593-597.

313

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3

The Solution of the Problem of Determining the Density of Heat Sources in a Rod

A. A. Khromov1, G. V. Khromova2

1 Khromov Aleksandr Avgustovich, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., 410012, Saratov, Russia, [email protected]

2Khromova Galina Vladimirovna, SaratovState University, 83, Astrakhanskaya st., 410012, Saratov, Russia, [email protected]

We give a solution of a problem of determining the density of heat sources in the bav, which is set to a fixed temperature, if the temperature is given approximately. Mathematically it is the problem of finding uniform approximations to the right-hand side of the ordinary differential equation when uniform approximations to the solution and values of error are known. First using the so-called discontinuous Steklov operator we construct families of operators which give stable uniform approximations to a function and its first and second derivatives, and then with their help we propose the method of solving the formulated problem. For a certain class of solutions error estimations are given.

Keywords: inverse problem, Steklov operator, regularization.

This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 13-01-00238).

References

1. Ivanov V. K., Vasimn V. V., Tanana V. P. Teoriia lineinykh nekorrektnykh zadach i ee prilozheniia [The theory of linear ill-posed problems and its applications]. Moscow, Nauka, 1978, 206 p. (in Russian).

2. Denisov A. M. Vvedenie v teoriiu obratnykh zadach [Introduction to the theory of inverse

problems]. Moscow, Moscow Univ. Press, 1994, 206 p. (in Russian).

3. Khromov A. A. Approximation of Function and Its Derivative by the Modificated Steklov Operator. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2014, vol. 14, iss. 4, pt. 2, pp. 593-597 (in Russian).

314

Научный отдел