О приближении функций двух переменных некоторыми интегралами Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

raÄ®

www.volsu.ru

DOI: https://doi.Org/10.15688/mpcm.jvolsu.2019.1.3

УДК 517.518.68 ББК 22.161.5

О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ НЕКОТОРЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ФУРЬЕ

Юсуфали Хасанович Хасанов

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры информатики и информационных систем,

Российско-таджикский (славянский) университет [email protected]

ул. М. Турсунзаде, 30, 734025 г. Душанбе, Республика Таджикистан

о

см

X

о

Аннотация. В работе исследуется поведение отклонений функций двух переменных /(х, у), заданных на всем двумерном пространстве от интегральных средних их преобразований Фурье

а

Uv,r(f;x'У) = J - O^^Ut/^'y)dl

1 - ^ I S*„,(f;x,v)du

в метрике пространства ЬР(Я2) (1 < р < <х>), то есть изучается порядок поведения величины

Да,г(Льр = II f(х, у) - иа,г(f;х, у)\\Ьр

в зависимости от скорости стремления к нулю величины наилучшего приближения заданной функции целыми функциями ограниченной степени. Установлены оценки сверху и снизу величины иа>г (/;х, у) через модули непрерывности, характеризующие структурные свойства рассматриваемой функции

f(х, У)-

Ключевые слова: функции двух переменных, ряд Фурье, преобразо-^ вание Фурье, частичные суммы ряда Фурье, интегральные средние, целая

(g функция конечной степени, наилучшее приближение, модуль непрерывности.

Введение

Через LP(R2) (1 < р < œ) обозначим пространство измеримых функций f (х,у), для которых

{СО СО \ р

j J \f(x,y)\pdxdy\ < œ, 1 < р< œ,

— О — О )

II/(х,у)\\ь= vrai sup \f (х,у)\ < œ,

х,у

и ряд

ОО ОО

к=0 1=0

является рядом Фурье функции f (х,у) Е Lp, (1 < р < то), где

Ak,i(x, у) = ak,i cos кх cos ly + bk,i sin kx cos ly + Ck,i cos kx sin ly + dk,i sin kx sin ly, ak,i, bk,i, ck,i, dk,i — коэффициенты Фурье функции f (x,y), a

Ak,o(x,y) = 1(afc)o cos kx+bk,o sin kx), A0>i(x,y) = ^(a0>i cos ly+Co,¡ sin ly), Л,о = 1 ao,o. Пусть почти всюду существует преобразование Фурье

сю сю

F (t,z) = — J J f (и, v) exp(-г (tu + zv))dudv,

—с —с

где

F(t,z) Е Lq(R2), 1 + 1 = 1.

P Q

Для всякого a > 0 рассмотрим

a a

Sa,a(f; x,y) = / F(t,z)exp(i(tx + zy))dtdz =

а ¡ и и и и

^ A(t,u)dt + J A(t, —u)dt + J A(u,z)dz + J A(-u,z)dz^du

o V,—и —и —и —и

а

= J S*tU(f ; x,y)du. (1)

o

Основные результаты

В работе нами исследуются поведения отклонений функций двух переменных /(х, у), заданных на всем двумерном пространстве от интегральных средних их преобразований Фурье в метрике пространства ЬР(Я2), 1 < р < ж, то есть будем изучать порядок поведения величины

(Льр = \\ f(х, У) - иа,гх-, у)\\ьр

(2)

где

иа,г (f;х, у)

(1 - Ъ

1 - ^) s*aM;х, у)(и.

Теорема 1. Если /(х, у) е ЬР(К2) (1 < р < 2), то справедлива оценка

(Льр < 1)Ьр + 42)(1; ^к}

где

и11)(!;и)ьр = йир \\КН!\\Ьр = йир

и12)(!;и)ьр = йир \\AIJ\\Ьр = вир

Т,(-1)Г-У(Гу) f(х + УЬ, у)

v=0

£ (-1)Г-У(1)!(х,у + VII)

v=0

Ьп

Ср,г — константа, зависящая лишь от р и г.

Теорема 2. В предположениях теоремы 1 при 1 < р < 2 имеет место следующая оценка

1

4У)(1;-)ьр <МР!ГПи!Г(!)Ьр, V =1, 2,

а

где константа Мр,г зависит от р и г.

Из теоремы 1 и 2 вытекает, что в предложениях теоремы 1 в случае, когда 1 < р < < 2, при любом натуральном справедливо следующее порядковое равенство

(Льр 0-)Ьр +42)(f■,-)Lp.

1

а

Заметим, что при р = ж и г = 1 аналогичная задача рассматривалась в работе [3], для случая периодических функций в работе [5].

В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное утверждение. Лемма 1. Пусть функция /(х, у) е ЬР(К2) (1 < р < ж) имеет преобразование Фурье

^(х,у) еЬя(Я2), 1 + 1 = 1,

а Аа>а(/) — наилучшее приближение функции /(х, у) целыми функциями (а>а(/;х, у) степени не выше а, то есть нижняя грань

АаМ1ьр = \\ f(х, у) - QаM';X, У)\\ьр.

^ а, а

а

ь

р

Тогда справедлива следующая оценка

f (х,у) — — F(u,v) exp(i(ux + vy))dudv

< CpAa,a(f)Lp

(3)

Доказательство. Пусть Qа,а(f; х,у) Е ЬР(Я2) есть целая функция степени не выше а, осуществляющая наилучшее приближение порядка а функции $ (х,у) в метрике пространства ЬР(К2), 1 < р < то, то есть

II/ (х,У) - ЯаМ; Х,у)\\Ьр = Аа,а{! )ЬР .

При 1 < р < 2, Qа,а(f;х,у) Е Ь2(К2) и по теореме Винера ^ 179])

а а

; х,у) = — J ! д(и, V) ехр({(их + vy))dudv,

— а — а

где д(и,ь) — преобразование Фурье функции Qа>а(f; х,у). Известна оценка (см. [6, ^ 771])

ЦваА!;х,у)\\ьр < Вр\ц(х,у)\\Ьр. Отсюда, применяя неравенство Минковского, в силу (4) получим

Пели (см. [1,

(4)

\\f (х,У) — Í Í F(u,v)exp(i(ux + vy))dudv\\Lp <

< \\f(x,y) — QvM;x,y)\\Lp +

— [g(u, v) — F(u, w)] exp(i(ux + vy))dudv

< Bp\\f (x,y) - QaM; x,y)\\Lp = BpAa,a(f )Lp,

где Bp — константа, зависящая от р.

Если же 2 < р < то, то для любого е > 0 функция

.sin ех sin еу

Ge{f; х,у) = QvM;Х,У)---е

ех еу

и, следовательно, она представима интегралом

ст+е ст+е

/ / де(и,ь) exp(i(ux + vy))dudv,

1

Ge(f; х,у) = —

—O—E—O—E

где де(u,v) — преобразование Фурье функции Се(£; х,у). Поэтому

<

O+E O+E

f (х, у)--

2п

F(и, v) exp(i(ux + vy))dudv

—O—E—O—E

<

O O

L

V

O O

OO

L

p

L

p

<

¡(х, у) - Qа,а(f;х, У)

эт ех эт еу

+

а+е а+е

е х

а+е и+е

е

+

Р(и, у)ехр(ъ(их + уу))(и(у— / де(и, у)ехр(ъ(их + уу))(и(у

-а— е — а— е

— а— е — а— е

<

<

¡(х, у) - Qа,а(f;х, У)

эт ех йш еу

е х е

<

< \\ f(х, У) - Qа,а(f;X, У)\\ьр +

( а, а (f;х, у) - ( а, а (f;х, у)

эт ех эт еу

е х е

Выбрав е достаточно малым и пользуясь теоремой Фату (см. [2, с. 38]), можно обеспечить, чтобы второе слагаемое в правой части последнего неравенства стало меньше первого. Тогда получим, что

/(х„) - ±

а+е а+е

—а—е—а—е

< ВрАа,а(Льр.

Р(и, у) ехр({(их + уу))(и(у

Отсюда следует неравенство (3) и лемма доказана.

Доказательство основных результатов

Доказательство теоремы 1. Пусть

а а а ( и

Заа(/;х, у) = ! J Р (Ь, г) ехр(г(Ьх + гу))(Ыг = J ^ У Р (^ ,и)ехр(г(Ьх + иу ))(И} (и.

— а —а 0 ч— и

Тогда в силу (1) будем иметь

' дг

дх

:$а,а(1; х, у)

Р(Ь, г)ГГ ехр(гЬх) ехр(ъгу)(Ыг

Р(Ь,и)Г ехр(гЬх)ехр(ъиу)(И + Р(Ь, -и)Г ехр(г 1х)ехр(-ъиу)(И+

+ у Р (и, г)иТ ехр(тх) ехр({гу)((г + I Р (-и, г)иТ ехр(-г их) ехр(ггу)(г

—и —-и

Аналогично по переменному у получим

и

/ Р(Ь,и)иг ехр(гЬх)ехр(ъиу)(И +

( и

дГ ( \ а Г

= / 0

ь

Р

Ь

р

ь

р

ь

р

а

и

и

+ F(t, —u)ur exp(ztx) exp(-iuy)dt + F(u, z)zr exp(zих) exp(izy)dz +

+ F(-u, z)zr exp(-iих) exp(izy)dz

d u

Так как в силу доказанной леммы справедливо

\\ f(x, У) - Sа,а{f;X, У)\\Ьр < СрАа,а(Льр (1 <Р< , то применяя неравенства Минковского, получим

Яа,г (Цьр = \\ f{x, у) - Иа,г (f]X, у)\Ьр < \\ у) - Sа,а(f;X, у)\Ьр +

а,а ( f;x, у) - иа,гХ, У^Ьр < СрАа,а ( Льр + я а,г ( ^а,а)Ьр. (5)

Очевидно, что

Ro,r (SSa,a)Lp = \\Su,u(f;x, у) - Ua,r (f;x, У)\\ь„

1

^ I urs:M;x, y)du

а

(6)

1

а

trA(t, u)dt + trA(t, -u)dt+ zrA(u, z)dz + zrA(-u, z)dz

u

Определим функцию , г) следующим образом

!

tr

щ,Z) = { чт, l^j

tr +zr , 1 — Z-

Тогда соотношение (6) принимает следующий вид

Ra,r (Sa,a)LP = r

ar

Ä(t,u)(tr + ur)A(t,u)dt+ Ä(t,u)(tr + ur)A(t, -u)dt +

+ J X(u, z)(ur + zr)A(u, z)dz + J X(u, z)(ur + zr)A(-u, z)dz

—u —u

Пусть

d u

tr zr

Mt, z) = 7——, M(t, z)

Тогда

tr + zr' tr + Zr

dM(t, z) _ r(tz)r dM(t, z) _ r(tz)r

dt t(tr + zr)2' dz z(tr + zr )2'

d\2(t, z) r(tz)r d\2(t, z) r(tz)r

dt t(tr + zr)2' dz z(tr + zr )2'

u

u

u

а

L

p

u

u

u

u

u

L

p

D

u

u

u

u

L

v

д2\г(Ь, г) _ г2(гг)г(Г - гг) дгдг = + )3 :

д2Л2(г, г) г2(гг)г(гг - Г)

Далее очевидно, что

, г)

д

< тп,

д д

дЛг(1, г)

гг(гг + хг )3

(0 < ^ < ^;

(0 <1< г).

д

д2Лг(1, г)

< ти,

< М1,

дЛ2(г, г)

д2Л2(1, г)

< Ш21,

дЛ2 (I, г)

д

< Ш22

д д

< М2.

Поэтому, применяя известную теорему о мультипликаторах в непериодическом случае (см. [2, с. 69]), получим

Яа,г (Ба,а)ьр = ^

а

(гг + иг )А(ь, и)а + (гг + и )А(ь, -и)а +

+ (иг + гг) А(и, г)(г + (иг + гг) А(-и, г)(г

( и

Следовательно, при 1 < р < ж будем иметь

С

Яа,г (Ба,а)ьр < Г"

дг

д х

$а,а(1; х, У)

+

дг

За,а(!;х, У)

После применения оценки С.М. Никольского для норм частных производных целой функции при 0 <1 < а— 1 (см. [4, с. 232]), находим, что

л!

Яа,г (ва,а)Ьр < ^ (^ [ЦА^М^, У)\\ьр + ЦА^ваА!^, У)\\ьр ] . (7)

Так как при 1 < < ж

\\А1х8а,а(1;х, У)\\ьр < Мр\\Аи (х, У)\\Ь

то из (7) получим

Яа,г(Ба,а)ьр < Сг,р ш^^; а—1)Ьр + а—1)ьр

(8)

Отсюда из соотношений (5), (8) и неравенства (см. [4, с. 294])

Еа,а(Льр < С ш^и; а—1)ьр + ш^У; а—1)Ьр

получим утверждение теоремы 1.

и

а

и

и

и

и

ь

V

ь

ь

V

V

Доказательство теоремы 2. Докажем первую часть теоремы, то есть справедливость оценки сверху модуля непрерывности равномерно по у величиной (2)

1

41](f; ~)lp <Mp,rRa,r (f)Lp

а F

где

Ro,r (f)Lp = \\ f(x, У) - Uo,r (f]x, v)\\lp = ~ I urSu<u(f;X, V)du-

(9)

(10)

Пусть 0 <К < а. ^гда

(х, у)\\ьр = (х, у) - (1;х, у) + А^г(¡;х, у)\\Ьр <

< \ \ ¡(х, у) -иа,г (¡;х, У)\\ьр + \\АГ1г!хиа,г (^Х, У)\\ьр. (11)

Принимая во внимание (2) и (10), при 1 < р < то имеем

дг

\\&lxU.,r(f;x, у)\\lp < hr\\ — U.,r(f;x, y)\\l.

xr

hr

(1 - ОТ)

1 - и urs*uM;x, y)du

< or

(i - $

1 - —r) urs*uM;x, y)du

Mn

- Or^) slu(f;x, y)dl

u- I ( 1 - — ] S.

а

S*a,u (f;x, y)du

Отсюда

где

= Mp\\Uo,r(f; x, y) - Uo,r[Uo,r(f;x, y)]\\lp. \ \ K,xUo,r (f; x, У) \\lp < CpLo,r \\f(x,у) - Uo,r(f;x,y)\\lp

Lr

— oo —oo

-(1 - 3

sin uz sin ut cos ut--+ cos uz-

d u

dt dz.

Интегрируя по частям, получим

Lr

sin а sin а

dt dz < то.

—<x —<x

Тогда

\ \ К,хиа,г (f;x, у)\\Ьр < Ср,г\\/(Х, у) - Иа,г (f;X, у)\\Ьр.

Благодаря (11) получим оценку (9).

Аналогично устанавливается вторая часть теоремы.

Полученные результаты устанавливают в терминах модулей гладкости точный порядок стремления к нулю рассматриваемых отклонений.

В заключение заметим, что теоремы 1 и 2 ранее без доказательства приведены в работе автора [7].

а

а

а

L

L

р

р

D

а

L

Р

а

4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер. — М. : Наука, 1965. — 323 с.

2. Никольский, С. М. Приближения функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. — М. : Наука, 1969. — 456 с.

3. Пономаренко, В. Г. О приближении функций, равномерно непрерывных на всей вещественной плоскости / В. Г. Пономаренко // Сиб. мат. журн. — 1975. — Т. 16, № 1. — C. 86-97.

4. Тиман, А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного / А. Ф. Тиман. — М. : ГИФМЛ, 1960. — 624 с.

5. Тиман, М. Ф. О приближении периодических функций двух переменных суммами типа Марцинкевича / М. Ф. Тиман, В. Г. Пономаренко // Известия вузов. Математика. — 1975. — № 9. — C. 59-67.

6. Hill, Е. On the theory of Fourier transform / Е. Hill, J. Tamarkin // Bull. Amer. Math. Soc. — 1933. — № 39. — P. 768-774.

7. Khasanov, Yu. Kh. Approximation of almost periodic functions of two variables / Yu. Kh. Khasanov // Russian Mathematics (Iz vuz). — 2010. — Vol. 54, № 12. — P. 72-75.

REFERENCES

1. Akhiezer N.I. Lektsii po teorii approksimatsii [Lectures on Theories of Aproximationsj. Moscow, Nauka Publ., 1965. 323 p.

2. Nikolskiy S.M. Priblizheniya funktsiy mnogikh peremennykh i teoremy vlozheniya [Approximations of the Functions of Many Variables and Embedding Theorems]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 456 p.

3. Ponomarenko V.G. O priblizhenii funktsiy, ravnomerno nepreryvnykh na vsey veshchestvennoy ploskosti [On Approximation of the Functions Uniformly Continuous over the Entire Real Planej. Sib. mat. zhurn. [Siberian Mathematical Journal], 1975, vol. 16, no. 1, pp. 86-97.

4. Timan A.F. Teoriya priblizheniya funktsiy deystvitelnogo peremennogo [Theory of Approximation of the Functions of Real Variable]. Moscow, GIFML Publ., 1960. 624 p.

5. Timan M.F., Ponomarenko V.G. O priblizhenii periodicheskikh funktsiy dvukh peremennykh summami tipa Martsinkevicha [On Approximation of Periodic Functions of Two Variable Sums of Marcinkiewicz Type]. Izvestiya vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 1975, no. 9, pp. 59-67.

6. Hill E., Tamarkin J. On the Theory of Fourier Transform. Bull. Amer. Math. Soc., 1933, no. 39, pp. 768-774.

7. Khasanov Yu.Kh. Approximation of Almost Periodic Functions of Two Variables. Russian Mathematics (Iz vuz), 2010, vol. 54, no. 12, pp. 72-75.

ON APPROXIMATION OF THE FUNCTIONS OF TWO VARIABLES BY SOME FOURIER INTEGRALS

Yusufali Khasanovich Khasanov

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Informatics and Information Systems, Russian and Tajik Slavonic University [email protected]

M. Tursunzoda St., 30, 734025 Dushanbe, Republic of Tajikistan

Abstract. This paper we studies some issues on the deviation of the functions of two variables f(x, y) defined on the whole two-dimensional space from integral mean values of their Fourier transforms in the metric of the space LP(R2) (1 <p < <).

Let LP(R2) (1 < p < <) stand for the space of measurable functions f(x, y) such that

II f(x, У) II lp = </ lf(x, y)lpdxdy} < ж (1 <p < ж),

V—œ — œ

I I f(x, y) 11 lM =v rai sup 1 f(x, y)l < <

x,y

and almost everywhere there exists the Fourier transform

F(t, z) = — J J f(u, v) exp(-i(tu + zv))dudv,

—oo —oo

where

F(t, z) eLq(R2) (^ + 1 = 1).

For any a > 0 we consider

a a

Sa,a(f;x, y) = / F(t, z)exp(i(tx + zy))dtdz

& f и

A(t,u)dt + J A(t, -u)dt + J A(u, z)dz + J A(-u, z)dz}du

0 \—u —u —u —u

a

= J suM';X' y)du 0

where A(t, z) = F (t, z) exp(i(t x + zy)). This paper estimates the value

Ra,r (f)Lp = \\f(x, y) - Ua,r (f]x, y)\ \ Lp ,

и

и

и

where

ua,r(f; x, у) = J (l - S*uM;x, y)du-0

Theorem 1. If f{x,у) E LP(R2) (1 < p < 2), then the following bound is

valid

R.,r(f)Lp < ^{^(f; ±)Lp + u>?\f; 0)Lp}

where

ul1)(f;u)Lp = sup \\Alhf\\Lp = sup

W<U

Щ<и

Y,(-1)r-y(V) f(x + vh, y)

v=0

иi2)(f;u)Lp = suP \\AiJ\\Lp = suP

Щ<и

Щ<и

Y/(-1)r-V(V)f(x,y + Vh)

v=0

Cp,r is a constant value that depends only on p and r.

Theorem 2. Under the assumptions of Theorem 1 with 1 < p < 2 the following bound is valid

-)lp < Mp,rRa,r(f)Lp (v = 1, 2), a

where the constant Mp,r depends only on p and r.

Key words: function of two variables, Fourier series, Fourier transformation, partial sums of Fourier series, integral mean values, entire function of finite order, best approximation, modulus of continuity.

о

L

p

L,

p