О мультипликаторах равномерной сходимости рядов по мультипликативным системам Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

С.С. ВОЛОСИВЕЦ, Н.Ю. АГАФОНОВА

О мультипликаторах равномерной сходимости рядов по мультипликативным системам

Пусть {рп]п=1 ~ последовательность натуральных чисел, 2 ^ рп ^ N. Положим по определению т0 = 1, тп = р1... рп при п Е N. Тогда каждое х Е [0,1) имеет разложение

то

х = Хп/тп, 0 < Хп < Рп. (1)

п=1

Разложение (1) будет единственным, если для х = к/тп брать разложение с конечным числом ненулевых хп. Если у Е [0,1) имеет вид

00

У = Уп/тп, о < Уп < Рп, (10

п=1

то по определению

00

х 0 у = г = гп/тп,

г=1

где гп = хп + уп(то( рп), 0 ^ гп < рп. Аналогично определяется х 0 у. Если к Е Z+ записано в виде

то

к = ^ кгтг-1, 0 ^ к < р, (2)

г=1

то по определению полагаем для х € [0,1)

Хк (х) = ехр ^2пг ^^ х^- к /р

Известно, что {хк(х)}^=0 — ортонормированная полная в Ь[0,1) система [1, §1.5], и что Хп(х 0 у) = Хп(х)Хп(у) для почти всех у € [0,1) при фиксированном х € [0,1) и п € Z+.

Коэффициенты Фурье по системе {хп(х)}Ж=0 задаются формулой

/ (п) = Г / (ОХПЙ йг. 0

Частичная сумма ряда Фурье по системе {хп(х)}Ж=0 определяется следующим образом:

п—1

ЗД)(х) = £ /(к)хк(х).

Сумма

Ехк(х) =: ^п(х)

п— 1

(х) =: ^п(х) к=0

называется п-м ядром Дирихле. Известно, что Бтп (х) = тпХ[0;1/тп), где Хе — характеристическая функция Е. Отсюда следует, что

р (к+1)/ш„

^ (/)(х)= mn I(г) dí,

о к/тп

где х € /|п) = [k/mn, (к + 1)/mn), к € Z+, 0 ^ к < mn.

Пространство £р[0,1), 1 ^ р < ж рассматривается с нормой

II/у, = Ц11/иг я)

Если /, д € Ь[0,1), то по определению /*д = /01 /(х0г) д(г) йг. Известно, что (/ * д)(п) = /(п)д (п), так что если / является конечным полиномом по системе {хк}, то / * д тоже является им.

Пространство МС[0,1) функций со свойством

Нш ||/(х 0 к) — /(х)||ж = 0, к-» 0

где

||/||то = sup |f(ж)1,

же[0,1)

является банаховым относительно нормы ||f ||то. Пространство B[0,1) с нормой ||f ||то есть множество измеримых и ограниченных на [0,1) функций. Будем отождествлять его с LTO[0,1).

Пусть UC[0,1) — пространство функций, ряды Фурье которых по системе (Хп(ж)}^=0 сходятся равномерно. Последовательность {Av(ж)}ТО=0 является мультипликатором класса (X, Y), если для любой функции f Е X[0,1) ряд

то

f(n)Xn(x)

n=0

является рядом Фурье функции класса Y[0,1).

Основная цель данной работы — описание последовательностей {Av(ж)}то=0 классов (LP,UC), (MC,UC), (UC,UC). В тригонометрическом случае аналогичные результаты были получены Гесом [2], Карамата [3] и Харшиладзе [4] соответственно. В данной статье используется метод работы [4].

Пусть E — банахово пространство функций на [0,1), непрерывно вложенное в L[0,1), такое что для любых f Е E и u Е [0,1)

||f (t ® u)||e = ||f (t)|E. Введем En — множество f Е E, для которых

lim ||f - Sn(f )||e = 0,

n—>-то

и норму

||f ||en = sup ||Sn(f)(ж)||я.

n

Теорема 1. Пространство EN с нормой ||f ||en является банаховым пространством.

Доказательство Пусть последовательность {/(г)}°=1 фундаментальна в Е^. Тогда для любого фиксированного п и г, ^ > г0 имеем

||зд(г)) — зд))уе <е,

то есть {$п(/(г))}Ж=1 фундаментальна в Е .В силу полноты Е для каждого п € N найдется дп, такое что

lim ||gn - Sn

j ^то

E

= 0.

Так как E непрерывно вложено в L[0,1), функционалы

Fm(f ) = f (m)= / f (t)xm(i) dt ,/0

непрерывны на E, в частности

Fm(gn) = gn(m) = lim Sn

j ^то

m) = lim Fm(Sn

j^TO

Отсюда сразу получаем, что д«,^) = 0 при m ^ п. При m < п имеем

|gn(m) - f (j) (m)| =

(gn(x) - Sn

x))Xm(x)dx

^ 1Sn

Последнее выражение стремится к нулю при j ^ то в силу непрерывности вложения E С L[0,1). Но тогда получаем, что

gn(m) = lim f(j) (m)

j^TO

не зависит от n при n > m. Обозначим это значение через am. Докажем сходимость ряда

то

^ ^ amXm(t)

m=0

в

E. В силу фундаментальности {f(i)} в En находим

sup

m€ N

m— 1

£(/W(v) fV))Xv(t)

V=0

< e, i,j>io.

E

1

1

1

В пределе при ] ^ то и каждом т Е N получаем

т— 1

V=0

^ е, г > г0.

(3)

Е

Оценим

п—1

£«. XV

<

Е

п1

- /«(V»XVИ

V=0

+

Е

+

т1

£(./ ! '(V) - «'V^(4)

v=0

+

Е

п1

£/( "(V )XV («)

Е

Здесь г — фиксировано, г > г0. Тогда первые два слагаемых справа не превосходят е, а так как /(г) Е Ея, то £п(/(г') фундаментальны в Е. Поэтому последнее слагаемое меньше е при п> т > N (е). Таким образом, частичные суммы ряда

то

XV и

V=0

фундаментальны в Е и сходятся к функции / Е Е. Сходимость /(г) к / следует из неравенства (3). Теорема доказана.

Замечание 1. Согласно аналогу теоремы М. Рисса [5] для Е = Ьр[0,1), 1 < р < то верно равенство ЕN = Е .В этом случае (хп(^)}ТО=0 является базисом в Е.

В общем случае также верна Теорема 2. Система (хп(^)}ТО=0 является базисом в EN.

Доказательство Согласно критерию базисности [6, с.19] достаточно показать, что для / Е EN и любого п Е N ||5П(/)||Е^ ^ ||/||Е^, что легко следует из определения нормы в Ем. Минимальность системы следует из ее ортонормиро-ванности, а то, что замыкание линейной оболочки (хп(^)}ТО=0 совпадает с EN, следует из определения пространства EN. Теорема доказана.

Пусть Та/(4) = / (4+а). Тогда Та/ равномерно непрерывен по а в большинстве находящих применение пространств Е (исключением является Сформулируем аналог этого свойства для пространств Е^.

Лемма 1. Если / е Е^, то для любого £ > 0, найдется 5 = 5(£, /) > 0, такое, что для всех Н е [0,5) и а е [0,1) ||Таф^/ - Т/||е№ < £.

Доказательство По заданному £ > 0 найдем п0, такое, что при п ^ п0

Ё /(VЬ(4)

V=П0

< £/2.

Е

Имеем

|Тае/(4) - Та/(*)||е„ =8ПР

Ё /(VXXV(4 0 а 0 Н) - XV(4 0 а))

v=0

<

Е

<

по-1

Е/>^(^(а)(Xv(Ч - 1)

V=0

Е

+ вир

п^по

Ё /(V^ (4 0 а)

V=по

+ вир

п^по по-1

Ё /(V^ (4 0 а 0 Н)

V=по

+

Е

<

2£/2+Ё |/ (v )|х (ч - 1| ||xv (4)||е .

Е

v=0

Но при п0 е [тк,шк+1) и Н < 1/шк+1 все xV(Н) = 1, 0 ^ V ^ п0 - 1. Таким образом, при 5 = 1/ш^+1 получаем утверждение леммы. Пусть теперь

п-1 „ 1 п-1

1п(/) = Ё ^/ (V) = /(4) Ё ЛVXV(4) ^

0

V=0

v=0

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Для того чтобы последовательность {ЛV} принадлежала (Е^, иС), необходимо и достаточно, чтобы нормы функционалов /п(/) в Е^ были ограничены.

п

Доказательство Необходимость. Пусть {Av}ТО=0 Е (EN, UC), то есть для любой f Е Е En ряд

то

£ Av f (v )xv (t)

v=0

сходится равномерно. В частности, при t = 0 получаем сходимость ряда

то

£ Avf(v).

v=0

Таким образом, последовательность ln(f) сходится (и ограничена) на каждом f Е En. По теореме Банаха—Штейнгауза получаем ограниченность норм ln в En.

Достаточность. Пусть нормы ln ограничены в EN. Так как ln(xv) = = Av при n ^ v + 1, то lim ln(f) =: l(f) существует на всех полиномах

n—>-то

по системе {xv}ТО=0. Так как в En полиномы по системе {xv}ТО=0 плотны, отсюда следует сходимость ln на всех f Е En. Теперь отметим, что

то

ln (Taf ) = lJ £ f (v)Xv (t 0 o) v=0

/то \ n—1

= ln £ f (v)Xv(o)Xv(t) = £ Avf (v)Xv(o).

v=0 v=0

Таким образом, для доказательства теоремы достаточно доказать, что ln(Taf) сходится к l(Taf) равномерно по o.

Найдем £ = 1/mk+i из леммы 1. Тогда любое o попадает в некоторый полуинтервал [i/mk+1, (i + 1)/mk+1). Имеем

|ln(Taf) — l(Taf)| ^ |ln(Taf) — ln(T/mfc+1 f)| +

+ |ln(T/mfc+1 f) — l(T/mfc+i f )| + |l(T/mfc+i f) — l(Ta)f |.

По условию |ln(f)| ^ M||f ||En и в пределе |l(f)| ^ M||f ||En. Поэтому первое и последнее слагаемые меньше Me. Так как i/m^+i фиксировано, при n > n1(e), среднее слагаемое станет меньшим е. Значит, при

n > ni(s) |/n(Taf) — 1(Taf)| ^ (2M + 1)e, что завершает доказательство теоремы.

Следствие 1. (Аналог теоремы Карамата—Геса) Пусть 1 < p < то, 1/p +1/q = 1. Тогда {Av}ТО=0 принадлежит (Lp, UC) тогдаи только тогда, когда нормы

n—1

Xv (t)

v=0

ограничены.

Доказательство Как отмечено в замечании 1, Lpn = Lp. С другой стороны, норма функционала

h(f) = i f (t)g(t)dt ,/0

равна ||g||q, откуда получаем утверждение следствия.

Следствие 2. Последовательность {Av}ТО=0 принадлежит (UC, UC) тогда и только тогда, когда числа

n— 1 n— 1

An = sup < Ё Av av : tn(x) = ^ av Xv (x), sup ||Sk (in )|U ^ 1 I v=o v=o

ограничены.

Достаточно заметить, что /n(f) = /n(Sn(f)), поэтому норму в UC можно вычислять по tn, таким что

H^UC = suP ||Sk(tn)|TO ^ 1. k

Следствие 3. Последовательность {Av}^=0 принадлежит (LN, UC) тогда и только тогда, когда числа

n— 1 n— 1

Bn = sup £ Av av : tn(x) = ^ avXv (x), sup ||Sk (tn)||i < 1 Iv=0 v=0

ограничены.

Напомним, что функциями Радемахера называются функции

(t) = sign sin(2v+1nt), v E Z+.

Рассмотрим ряд

то

£av Xv (t)

v=0

и обозначим его частичную сумму порядка n через Sn,t(x).

Теорема 4. (Аналог теоремы Зигмунда—Пэли) 1. Если

то

£ a|2 < то,

v|

v=0

то при почти всех £ Е [0,1) равномерно по х Е [0,1) £П;г(х) = о(1п1/2 п). 2. Если / Е Е[0,1) такова, что

£|/>)|2(1п(^ + 1))1+£ < то

V=0

при некотором £ > 0, то при почти всех £ Е [0,1)

то

V=0

сходятся равномерно по х Е [0,1).

Доказательство 1. В [7, т. 1, с. 342] показано, что если

то

£ |2 = 72 < то,

то для

v|

v=0

то

g(t) = £ cv^v(t)

vv

v=0

верно неравенство

f 1

22

/ exp(M|g(t)|2)dt ^ K(M72) 0

при достаточно малых д или 7. Если

то

£к I2 = ^2,

^=0

то при с^ = а^(х)

то

Е |с*I2 = 72.

Г =

V=0

Поэтому

/ ехр(д|5^(х)|2)^ ^ К(д72) =: К 0

равномерно по х. Меняя порядок интегрирования, находим, что

/ / ехр(д|5^(х)|2)^£ ^ К, (4)

00

где К не зависит от п. Пусть п Е [тк, шк+1). Тогда число Мп(£), равное наибольшему значению |£П;г(ж)|, есть значение |5П^(ж)| на некотором Имеем

J ехр(д|5^(ж)|2)^ж ^ ! ехр(д|5П^(ж)|2)^ж = ш-|1 ехр(дМ2(£)) ^

I (к+1)

^ (Жп)-1 ехр(дМ2(£)). Интегрируя последнее неравенство по £ Е [0,1), получаем

Jo

откуда

1

ехр(дМ2(£))^£ < С1(К, N)п,

1

ехр(д(М2(£) - а 1п п))^£ < Сщ1-^, а > 0

При ад = 3 правая часть есть общий член сходящегося ряда. По теореме Леви находим, что ряд

то

2

^ехр(дМ2(£) - 31п п)

сходится почти всюду. В частности, (дМП(£) — 31п п) ^ 0 при почти всех £ и достаточно больших п. Из этого неравенства следует Мп = 0(1п1/2 п). Для доказательства п. 2 достаточно и этой оценки, однако заметим, что полагая а1 = .... = а^ = 0, мы уменьшаем 72, тем самым позволяя увеличиваться д. Таким образом, при п > п(д) имеем МП ^ 31п п/д и д можно сделать сколь угодно большим. Утверждение 1 доказано. 2. Рассмотрим

п

Рм(х) = £ / (V(хК(£)(1п(^ + 1))1/2+е/2.

V=1

Согласно условию теоремы и доказанному в п. 1 р^(х) = о (1п1/2 V) при почти всех £ Е [0,1) равномерно по х. Для фиксированного £ Е [0,1) с таким свойством имеем согласно преобразованию Абеля

п—1

£/ ^ (х)^(£) = V =1

п—2

= £(х) ((1n(v + 1))—1/2-/2 — (1п^ + 2))—1/2—е/2) +

V =1

+Рп—м(х)(1п п)—1/2—£/2. (5)

Так как при а > 0 и к ^ 2

(1п к)-а — (1п (к + 1))—а < а(1п к)-а—11/к

по теореме Лагранжа, то общий член суммы в правой части (5) имеет порядок о(^ + 1)—1(1n(v + 1))—1—е/2), а

рп—М(х)(1п п)—1/2—£/2 = о(1п—£/2 п).

По признаку Вейерштрасса ряд

то

£/(V ^ (х)<^ (£) V=0

сходится равномерно на [0,1) при данном £. Теорема доказана.

Следствие 4. Существует последовательность {AV}ТО=0, сходящаяся к нулю и не принадлежащая классу (иС, иС).

Доказательство По теореме 4 существует }ТО=1, такая что = ±1 и ряд

Xk(x)/k

k=i

сходится равномерно. С другой стороны, для Ak = £k/ ln (k + 1) имеем

lim Ak = 0

k

и

00 00

EAk£kXk(x)/k = E Xk(x)(k ln(k +1)) 1. k=1 k=1

Последний ряд, очевидно, расходится в x = 0 и не может сходиться равномерно.

Для формулировки и доказательства следующих теорем введем новые обозначения. Пусть

Pn = {f G L[0,1): f (k)=0, k ^ n},

En(t)p = inf{||t — tn| : tn G Pn}, Wn(t)p = sup ||f (x 0 h) — f (x)||p.

0<h<1/mn

Для убывающей к нулю последовательности £n рассмотрим пространство

MEp(e) = {f G Lp[0,1) : En(f)p ^ C^}.

Здесь C не зависит от n и при p = то везде далее LTO[0,1) заменяется на MC[0,1). Далее, пусть

n

*n(f )(x) = n-1 Е Sk (f )(x). k=1

Тогда ^n(f) = f * Kn, где

n

Kn = E Dn(x)/n.

nn k=1

Известно, что

lim ||f — ^n(f)||p = 0

n—то

для f Е Lp[0,1) и что |Kn|1 ограничены [8]. Приводимая ниже теорема дает достаточные условия

{Ak}то=0 Е (MEp(e),UC).

Положим

n— 1

Лп(х) = £ Ak Xk (x). k=0

Теорема 5. Пусть {ek— убывающая к нулю последовательность, удовлетворяющая А2-условию: ek ^ CeNk, k Е N, 1 ^ p ^ то. Тогда из соотношений

£n|^n(t)||q = o(1), П — то, (6)

n

£ |Л/n|q = O(1), (7)

v=1

Иш Лп(х — 0)/п = 0,^ = 1, (8)

п—^то

для всех х с конечным разложением (1), следует, что

{Ак}ТО=о Е (МЕр(£),иС).

Доказательство Известно, что для / Е £р[0,1), д Е [0,1) / * д Е МС[0,1) (при р = то, как указывалось выше, рассматривается МС[0,1)) и при этом

* д||то < ЫЫ^. (9)

В 2п-периодическом случае доказательство аналогичного факта см. [9, с. 70]. При д = то согласно (7) получаем, что Ак есть коэффициенты Фурье функции Л Е В[0,1) (см. [10] при рп = 2), для д = 1 из (7) и (8) находим, что Ак есть коэффициенты Фурье—Стилтьеса борелевской

меры d^ на [0,1) (в случае pn = 2 см. [11]). При 1 < q < то аналогично [7, с. 234] доказывается, что A(t) £ Lq[0,1). Во всех случаях получаем, что fi = f * Л или f = f * d^ принадлежит MC[0,1). Докажем сходимость IW/i) - fiИто к нулю. Пусть mk < n < m^+i. Тогда Sn(fi) = f * Лп = = f * DTOfc * Лп + (f - f * DTOfc) * Лп, то есть

Sn(fi) = Smfc (fi) + (f - Smfc (f)) * Лп. (10)

Первое слагаемое правой части (10) стремится к fi. Что касается второго слагаемого, по неравенству А.В. Ефимова [1, § 10.5] и условию имеем

||f — Smfc (f) Ур < 2Emfc (f )p < 2^mfc < C^mfc+i <

и, используя (6) и (9), видим,что обе части (10) равномерно сходятся к fi. Теорема доказана.

Следствие 5. Пусть f £ Lp[0,1), 1 ^ p ^ то, такова, что wn(f)р ^ , где ¡x>n убывает,

lim = 0

n—>-то

и ¡x>n ^ Cwn+i при n £ N. Если для £n = wk при mk ^ n < mk+i верны соотношения (6) и (7) (и (8) при p =1)

{Ak}ТО=о £ (ВД,иС).

Доказательство Согласно неравенству А.В. Ефимова [1]

Emfc (f )р < ^k(f )р.

Поэтому для n £ [mk ,mk+i) имеем

En(f )р ^ Emk (f )р ^ = £n.

Значит, условия теоремы 5 выполнены и следствие доказано.

Пусть Ф(и) — выпуклая, непрерывная на [0, то) функция, такая что

Ф(0) = 0, lim Ф(и)/и =+то

u—УОО

и

Функция

Нш Ф(и)/и = 0.

и—> 0

Ф(-и) = — Ф(и))

и^0

называется дополнительной по Юнгу функцией для Ф(и) и обладает такими же свойствами. Введем пространство Еф[0,1), состоящее из измеримых функций /, для которых конечна норма

/ ||ф = вир

/(х)д(х) ¿х

Ф(|д(х)|) ¿х < 1} .

Пространства Ер[0,1), 1 < р < то являются частным случаем пространств Орлича Еф при Ф(и) = ир. Подробнее об этих пространствах см. [12].

Лемма 2. Пусть ип(/) = / *Лп, Лп Е Рп, рассматривается как оператор из Е[0,1) в Е, где Е = Еф[0,1), Е = Е[0,1) или Е = МС[0,1). Тогда при Е = Ер[0,1), 1 ^ р < то или Е = МС[0,1) имеет место равенство

а при Е = Еф в общем случае имеем

(1/2)||Лп||е < ||Цп| < ||Лп|е.

Доказательство Пусть далее Е* — пространство, сопряженное к Е для Е = МС[0,1). и Е* = Е[0,1) для Е = МС[0,1). Известно, что для

Е = Ер[0,1) 1 < р< то Е* = [0,1)

и при этом

вир

Ы1 я

/(х)д(х)^х

1

1

р

Кроме того, аналогично классическому случаю, если / £ МС[0,1), то

/•1

вир

ЫИ1

f(x)g(x)dx

llf 11^-

Для Е = Ьф[0,1) имеем Е* = Ьф[0,1). При этом [12, с. 91] имеет место неравенство Гельдера

р1

f(x)g(x)dx

Там же [12, с.89] отмечено, что если

< ||f Уф Уд Уф-

Ф(|д(ж)|)dx < 1,

(12)

то

д||ф ^ Ф(|д(x)|) dx + 1 ^ 2,

откуда получаем неравенство для / £ Ьф[0,1)

1Ы1ф ^ 2!> =

|f ||ф ^ sup = 2 sup <

f(x)g(x)dx f(x)g(x)dx

: ||д||Ф ^ U .

В итоге

(1/2)|f |ф ^ sup

f(x)g(x)dx

^ llf Уф-

Пусть Un — оператор из условия леммы. Тогда

||Un|| = sup ||An * f ||e = У/lli<i

= sup sup

У/lli^i ЦдЦв*

= sup sup

ll/lli^i llslU*

>i p i g(t) / f (x)An(t 0 x)dxdt

/ f (xW g(t)An(x 0 t)dt dx 'о Л

<

^ sup sup llf ||i ll/lllO llglE a

g(t)An(x 0 t)dt

<

(13)

i

i

о

i

о

i

i

< вир ||д||я* ||Л„|Е = ||Л.

Е.

.<1

Здесь использованы теорема Фубини и (9), или заменяющее (9), неравенство

||/ * д|то < ||/||ф||д||*, (14)

легко следующее из неравенства Гельдера (12). С другой стороны, согласно (13),

||Лп||ф < 2вир|^ д(£)Лп(х © £) ^ : х Е [0,1), ||д||Ф < , (15) так как любую функцию д(£), ||д||ф < 1 можно представить в виде

д1(х © £),

Ык < 1.

В силу (11) и неравенства Гельдера имеем

|ЛП||Ф < 2 вир вир

|Ык<1 ||/

/ /(х) / д(£)Лп(х © 00

<

< 2 вир вир ||д||ф |Ык<1 ||/1|1<1

1

f (х)Лп(£ © х)^х

= 2 вир ||/* Лп11ф. ф ||/||1<1

Последнее выражение есть 2 ||ип||, где ип : Е[0,1) ^ Еф[0,1). Аналогично проводятся вычисления при Е = Ер[0,1), 1 < р< то,и Е = МС [0,1), с той разницей, что в (15) будет равенство с константой 1. Лемма доказана.

Теорема 6. Пусть Е = Еф[0,1), Е = Е[0,1) или Е = МС[0,1). Тогда {Ак} Е (Е, Е^) в том и только том случае, когда нормы ||ЛП||Е ограничены.

Доказательство Пусть {Ак} Е (Е,ЕЖ) и для и„(/) = / * Лп, / Е Е[0,1), и(/) Е Е мы имеем ||ип(/) — и(/)||Е ^ 0 при п ^ то. Тогда нормы ||ип(/) ||Е ограничены и по теореме Банаха—Штейнгауза ||ип(/тоже ограничены. По лемме 2 ||Лп||е ограничены.

Е

Обратно, пусть теперь нормы ||Лп||е ограничены. Поскольку для / £ £ Рт ип(/) = f при п > т, то в этом случае и(/) £ Е^. Плотность множества

то

Р = и Рт

m

m=1

в E = L$[0,1) доказывается с помощью формулы [8, с. 98]

р (k+l)/m„

Sm„(f)(x) = f (t) dt, x G [k/mn, (k + 1)/mn). (16)

J k/mn

По теореме Банаха—Штейнгауза о продолжении с плотного множества [13, с. 272] ||Un(f) - U(f)||e ^ 0 для всех f G L[0,1), то есть U(f) G En при всех f G L[0,1). Теорема доказана. Теперь несколько усилим теорему 6.

Теорема 7. Пусть E — те же, что в теореме 6. Тогда {Ak} G (LN, EN) в том и только том случае, когда нормы ||ЛП||Е ограничены.

Доказательство Поскольку Ln С L, имеем (L,En) С (Ln, En). Тем самым достаточность условия ||ЛП||e = O(1), n ^ то установлена. Пусть теперь {Ak} G (LN, En). Как показал Качмаж [14, с. 260], отсюда следует ограниченность оператора

Uf = (E) - lim Unf.

n0

n—7^00

Включение g G En влечет (g — Sn(g)) G En Поэтому для любого n G N имеем

sup |Sm(U(f)) — Sn(U(f))Уе ^ C sup |Sm(f — Sn(f))||i =

mGN mGN

= C sup ||Sm(f) — Sn(f )||i-

Правая часть неравенства стремится к нулю при n ^ то, так как f G Ln. Значит, левая часть тоже стремится к нулю, что дает фундаментальность Sm(Uf) и Uf G En . Теорема доказана.

Результат теоремы 7 сводится к равенству (LN, EN) = (L, EN). Докажем близкие равенства для равномерной сходимости. Сначала сформулируем близкие к лемме 2 и теореме 6 результаты.

Лемма 3. Пусть E такие как в теореме 6, и Un(f) = f * Лп рассматривается как оператор из E в MC[0,1). Тогда при E = Lp[0,1), 1 < p < то или E = MC[0,1) имеем равенство ||Un|| = ||ЛП||Е*, где E* = L[0,1) для E = MC[0,1) и является сопряженным к E в остальных случаях. При E = Ьф[0,1) имеем

(1/2)||Лп||я* < ||Un|| < ||Л nNE * •

Доказательство Согласно (8) или (14)

||Un|| = sup ||ЛП * f < sup ||ЛП||Е* ||f ||e = ||Лп|е*• ||/<1 ||/||l<1

Для E = L$[0,1) имеем [15]

||ЛП||Ф < 2 sup рВДЛ„(ж © t) dt : x e [0,1), ||д||ф < 1 j = 2||Un||.

Аналогично разбираются случаи других E. Лемма доказана.

Следующая теорема позволяет распространить следствие 1 на предельные случаи p =1 и p = то.

Теорема 8. Пусть E — одно из пространств L$[0,1), L[0,1) или MC[0,1). Включение

{Ak}e (E, UC)

справедливо тогда и только тогда, когда нормы ||ЛП||Е* ограничены (E* те же, что и в лемме 3).

Доказательство Пусть {Ak} e (E, UC) и f e E. Тогда

||f * Лп - U(f)|то^ 0

при п ^ то, откуда

||ип(/= II/ * ЛпIIто

ограничены и по теореме Банаха—Штейнгауза нормы ип : Е ^ МС[0,1) ограничены. По лемме 3 ||Лп||я* = 0(1),п ^ то. Если же ||Лп||я* ограничены, то нормы ип тоже ограничены по лемме 3, и для плотного в Е множества

то

р = и р»

т

т=1

ип(/) сходятся в МС[0,1) к и(/). По теореме Банаха—Штейнгауза [13, с. 272] это верно для всех / е Е. Теорема доказана.

Теорема 9. Имеет место равенство

(Ьр, иС) = (Ьр, МС) = (Ьр, В), 1 < р < то.

Доказательство По следствию 1 или теореме 8 {Ак} е (Ьр,иС) равносильно ||Лп||д = = 0(1), п ^ то. Поскольку иС[0,1) С МС[0,1) С В[0,1), то (Ьр, иС) С С (Ьр,МС) С (Ьр,В), и достаточно показать, что из {Ак} е (Ьр,В) следует, что ||Лп||д ограничены.

Пусть / е Ьр[0,1), и(/) е В[0,1). Тогда Ц^(и(/))||то ^ ||и(/)||то (легко выводится из формулы (16)). Тогда УП(/) = $тп(и(/)) ограничены по норме, как операторы из Ьр[0,1) в В[0,1) (или, что то же самое, в МС[0,1)). Но УП(/) = Лтп * / и по лемме 3 ||Лтп||д тоже ограничены. Ватари [5] доказал, что если д е , 1 < д < то, то для любого к е N

У^лЫ^ < С 1|дП^.

При тп-1 ^ к < тп получаем

||Лп||д У^к (Лтп ^ С У (Лтп С ||Лтп Уд,

то есть ||Лп||д ограничены. Теорема доказана.

Библиографический список

1. Голубое Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.

2. Goes G. Multiplikatoren fuer starke konvergenz von Fourier Reihen // Studia Math. 1958. V. 17. P. 299-311.

3. Karamata J. Suite de fonctionnelles lineares et facteurs de convergence des series de Fourier // Journal de Math. Pures et Appl. 1956. V. 35. P. 87-95.

4. Харшиладзе Ф.И. Множители равномерной сходимости // Труды Тбилисского матем.ин-та. 1960. Т. 27. С. 195-208.

5. Watari C. On generalized Walsh-Fourier series // Tohoku Math. J. 1958. V. 10. P. 211-241.

6. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.

7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.:Мир, 1965. Т.1.

8. Агаее Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М.,Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах. Баку: Изд-во ЭЛМ, 1981.

9. Эдеардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. М.:Мир, 1985. Т.1.

10. Morgenthaler G.W. On Walsh-Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1957. V. 84, № 2. P. 472-507.

11. Fine N. Fourier-Stieltjes series of Walsh functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1957. V. 86, № 1. P. 246-257.

12. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958.

13. Канторович Л.В, Акилое Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

14. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958.