Необходимые и достаточные условия принадлежности обобщенным классам Бесова Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Кузнецова Т. А., Баев К. А., Чумакова С. В. Спектральный критерий локальной потери устойчивости тонких оболочечных конструкций произвольной конфигурации // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 3. С. 58-66.

3. Кузнецов В. Н. Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций : дис. .. .д-ра техн. наук. Саратов, 2000.

4. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1977.

УДК 517.51

Р. Н. ФАДЕЕВ

Необходимые и достаточные условия принадлежности обобщенным классам Бесова

Введение

Пусть P = {pn}'TO=1 С N, причем 2 < pn < N для всех n £ N. Положим по определению m0 = 1,mn = pn * mn-1. Каждое x £ [0,1) представимо в виде

то

x = ^^ Xi/mi, Xi £ Z, 0 < Xi < pi. (1)

i=1

Если x = k/mi, k,i £ N, то мы рассматриваем разложение с конечным

то

числом xn = 0. Если x, y представлены в виде (1), то xQy = z = ^ zi/mi,

i=1

где zi = xi — yi (mod pi). Аналогично определяется x0y. Каждое k £ Z+ единственным образом представимо в виде

то

k = ^^ kimi—1, ki £ Z, 0 < ki < pi. (2)

i=1

Для х и к, представленных в виде (1) и (2) соответственно, определим

/ «, \

Хк(х) формулой Хк(х) = ехр к^/р . Система {хкорто-

V ^ )

нормированна и полна в Ь1[0,1) (см [1, §1.5]). Положим по определению

n—1

f (n) = / f (t)Xn(t) dt, n G Z+, Sn(f )(x) = ^fk)Xk(x), n G N.

k=0

Как обычно, L^fO, 1), 1 < p < то, есть пространство интегрируемых по

( 1 \ 1/p

Лебегу в p-й степени функций с нормой ||f ||p = ( f0 |f(t)|pdt) . Максимальную функцию для f G L1 [0,1) определим равенством M(f )(x) = = sup |Smn(f)(х)|.Если M(f)(x) G L1 [0,1),то f принадлежит P-ичному

пространству Харди H(P, [0,1)) с нормой ||f ||H = ||M(f)|1.

Пусть Pn = {f G L1 [0,1) : f (k) = 0,k > n}. Тогда для f G LP[0,1) по определению En(f)p = inf ||f — tn||p, n G N, и u*(f,t)p =

tn Gpn

= sup ||f (• 0 h) — f(0||p, t G [0,1]. Для f G Lp[0,1) справедливо нера-0 <h<t

венство Ефимова (см. [1, §10.5])

Emn(f)p < ||f — Smn(f)|p < w*(f, 1/mn)p < 2Emn(f)p, n G N. (3)

Аналогичным образом можно ввести En(f)#,ui*(f,t)u и для них будет справедлив аналог неравенства (3).

Пусть p > 1, в G (0, то), a(t) — положительная на [0,1) и интегрируемая на всех [5, 1), 5 > 0, функция, для которой выполнено 52-условие

£ a(t)dt < C £ a(t)dt < C £ a(t)dt, 5 G ^0, 0 .

Введем следующие обозначения:

Г 1/i Г 1/mj-i

A(i) = / a(t) dt, y(i) = a(t) dt, i G N.

J1/(i+1) J1/mi

Легко видеть, что из 52-условия вытекает неравенство n(i + 1) < C^(i), i N.

Если величина I(р,в,а) = /0 а(Ь) (ш*(f,t))в 6Ь конечна, то / принадлежит классу Бесова В(р,в,а). Аналогично определяются I(И, в, а) и В (И,в,а). Классы В (р,в,а) являются аналогами классов, введенных М. К. Потаповым [2].

Будем говорить, что последовательность почти возрастает

(почти убывает), если ап < Сап+г (ап > Сап+г) при всех 1 < г < п.

"п < ^ УЛп+г улп

ТО 00

Если бк = ^2 \Даг\ = ^2 \аг — а^+11 и справедливо неравенство

г=к г=к

то

^ брккр—2 < то, 1 < р < то, то {ап}ТО=0 принадлежит классу к=1

AWp, названному в честь работы Р. Аски и Р. Вейнгера [3]. Если же

то

^2 |Дак11п(к + 1) < то, то {ап}ТО=0 принадлежит классу AW1. к=1 п=0

Целью данной работы является получение достаточных и необходимых условий принадлежности функций классам В (р,в,а) и В (И,в, а). Некоторые близкие результаты в тригонометрическом случае были получены Х. А. Красники [4].

Вспомогательные утверждения

Лемма 1. Пусть 1 < р < то, 0 < в < то, f £ Ьр[0,1) и а^)

удовлетворяет 62-условию, тогда

то р 1 Е^к)<и)р < а(t)(ш*(f,t)p)06Ь < к=1 ]о

< С (Е ф)Бвтк(и)р + ||Р) . (4)

р

к=1

Аналогичный результат верен для ш*(^,Ь)н и Б® (и)

н.

Доказательство В силу неравенства (3) и возрастания ш*(!',Ь)р имеем

Г 1/тк-1

Кк)Б°тк (и)р < а(1) (ш*(и, 1/тк)р)° 6Ь <

Л 1/тк г 1/тк-1

< а(t)(ш*(f,t)p)0 6Ь. (5)

Л 1/тк

Суммируя неравенства (5) по к > 1, получаем левую часть неравенства (4). Аналогично, используя неравенство С1^(г + 1) < д(г), г > 1, находим, что

то

16 /" £\ — 6 ^ . .(!„ | 1\ /, ,* / ^ 1 \ \ 6

Е^Х(f)p > 2-0+ 1) (uf 1/mk))" > k=i

Г 1/mfc

> CW a(t)(u*(f,t))° dt. (6)

./1/mfc+i

Так как a(t) e Щ1/ти 1), то J^ a(t) (u*(f,t))° dt < C(a)\\f\\вр. Суммируя неравенства (6) и добавляя последнее неравенство, получаем правую часть нервавенства (4). Лемма доказана.

Леммы 2 и 3 доказаны в работе [5].

Лемма 2. Пусть 1 < p < то, {ak}^=0 e AWp и lim ak = 0, тогда

k—>-то

то

ряд akXk(x) является рядом Фурье функции f e Lp[0,1) и k=0

i

/ то \ p

En(f )p < с np-1dn + ^ kp-2d! .

\ k=n J

то

Лемма 3. Пусть {ak}TO=0 e AW1 и lim ak = 0, тогда ряд Yh akXk(x)

k—TO k=0 является рядом Фурье функции f e H(P, [0,1)) и

то

En(f )h < C£ |Aat| log(i + 1).

i=n

Лемма 4 доказана Л. Лейндлером в [6] и является обобщением известных неравенств Харди и Литтвуда [7, теорема 346].

Лемма 4. Пусть an > 0 и An > 0 при всех n e N. 1) Если p > 1, то справедливо неравенство

00 /oo\p то / n \p

£An £ a, < „p£ A^ £ Ai

n=1 \i=n J n=1 \ i=1

2) Если 0 < р < 1, то справедливо неравенство

то / п \ р то /то \ р

Е Ап—М £ Ч < < 9 £ Хп( Е'

п=1 \ г=1 / п=1 \г=п

Лемма 5 также доказана Л. Лейндлером [8].

Лемма 5. 1) Пусть ап, Хп > 0 при п £ N и {ап}то=1 почти убывает, 0 < р < 1. Тогда

то /то \ р то / п—1

Е АЛ Е М < С Е <ПР—1{ п\п + Е Лг

п=1 \г=п / п=1 \ г=1

2) Пусть ап,Ап > 0 при п £ N и {ап}то=1 почти возрастает, р > 1. Тогда

то п то / то

Еарппр—1 Е Аг < СЕ Ц Е(

п=1 г=1 п=1 \{=п

Лемма 6 является частным случаем теоремы Пэли (см. [9, глава 6, теорема [6.3.2]]).

Лемма 6. Пусть f £ Ьр[0,1), 1 < р < 2, тогда

оо \ 1/р

р

Е |/«> ®р—2 < СУ|р.

г=1

Последняя лемма является аналогом неравенства Харди и распространяет результат леммы 6 на случай р =1 (см. [10, §6.1]).

Лемма 7. Пусть f £ И(Р, [0,1)), тогда

то | |

Е|/ (э )\/з < С ||У ||н.

3=1

Основные результаты

Теорема 1. Пусть 1 < р < то, 0 < в < то, У £ Ьр[0,1) и

к

{У(г)}то=0 £ . Если функция а(^) такова, что ^ А(г) < МкА(к),

г=1

00

к € N и сходится ряд ^ А(г)г где ^ = |Д/О' )1, то

¿=1 ^

/ € В(р, 0,а) и при этом

I(рДа) < С Е*?"?^? + ||/||Р

¿=1

Доказательство Согласно лемме 1 имеем

то

IМ,а) < СЛ Е^(к)Е^к(/)р + ||/||Р ) . (7)

В силу убывания Е(/)Р находим, что

тк -1 л 1/ тк-1

МкХ(/)р < Е / «(*) (/)р = £ А(г)Еб(/)р.

Подставляя в (7) последнее неравенство, а затем неравенство леммы 2, получаем:

I(р,а) < С^£ (/)р + ||/ИР^ <

ТО 00/00

< Сз I £ А(г)г6-6/^6 + £ ¿(0 £ кР-2< + И/116

6/р

+/

Р

¿=1 ¿=1 \ к=г

= Сз (11 + 12 + ||/||Р) . (8)

Пусть 0/р < 1. Поскольку }то=1 убывает, то {кР_2^|}ТО=1 почти убывает, поэтому можно применить часть 1) леммы 5. Имеем с учетом условия к

£А(г) < МкА(к)

¿=1

то / к

12 < С4 Е (кР"2^р)6/р к6/Р-М кА(к) + Е А(;)

к=1 \ ¿=1

то

< Св Е ¿(к)к6"6/Р4 = С511. к=1

Подставляя последнее неравенство в (8), получаем утверждение теоремы 1 при в/р < 1.

При в/р > 1 используем часть 1) леммы 4. Имеем

то / г \в/р то

12 < С6 £ А1-®^) £ Л < Ст£А^-9^ = С71и

г=1 \з=1 / г=1

к

также используя условие ^ А(г) < МкА(к). Подставляя последнее

¿=1

неравенство в (8), завершаем доказательство теоремы.

Теорема 2. Пусть 1 < р < 2, 0 <в< то, / £ В (р,в,а), где а(Ь) к

такова, что ^ А(г) > МкА(к), к £ N.

¿=1

1) Пусть в/р < 1, тогда

то

II/ 11Р + I(Р,в,а) > С £ А(;);р|/(;)|*. (9)

з=1

2) Пусть в/р > 1 и последовательность {/(г)|}то=1 почти возрастает. Тогда справедливо неравенство (9).

Доказательство

Согласно лемме 1 имеем

тото

I(р, в, а) > £ ^(к)Евтк (/)р > Е С1М(к + 1)Е°тк (/)р > к=1 к=1

то тй+1-1 1/г то

> С1 Е Е / . а(£) (НЕ®(/)р = С1 £ А(г)Е?(/)р.

к=1 г=тк •^1/(г+1) г=т1

т1 -1

С другой стороны, I/||Р > С2(а) £ А(г)Е?(/)р, откуда следует, что

¿=1

Р + I(р,в,а) > С3 £ А(г)Е?(/)р.

¿=1

При 1 < р < то справедливо неравенство ||/ — £п(/)||р < С4ЕП(/)р (см. [11] или [12]), откуда благодаря лемме 6 находим, что

|/||Р + I(р, а) > С5 £ Ж*) ( £ |/ (;) | ^

¿=1

k

Пусть 0/p < 1. Используя условий A(i) > MkA(k) и часть 2) леммы

¿=1

4, получаем:

- / j ,

|Р + /(p,0,a)- "-1 £ '£ ' * ------- /P

f ||P + /(рДа) > 9-1 £A1-0/p(j) £A(i) (|/ШРУ-2) ' >

j = 1 \i = 1

00

> С6£ А(;)|/ (;)|*; ^=1

Если же 0/р > 1 и {|/(¿)|}°=1 почти возрастает, то последовательность {|/2}ТО=1 тоже почти возрастает. Поэтому, используя часть 2) леммы 5, имеем:

— 0/ j

f ||0 + I (рДа) > C7 £ (f (j )|j-2) 0/p-1 £ A(i) >

0/p

j = 1 i=1

00

> C8£ f (j)|0j0-0/pA(j). j=1

Теорема доказана.

Будем писать, что {ak=0 принадлежит классу RBVS, если Y |Aßk| < Can, n G Z+, и lim an = 0. Если же lim an = 0 и {nTan}—=0

k=n n^— n^—

возрастает при некотором т > 0, то {ak}—=0 G A-T. Классы RBVS и A-T были введены соответственно Л. Лейндлером [13] и Г. К. Лебедем [14]. Они используются в различных вопросах теории мультипликативных систем (см. [15]).

Следствие 1. Пусть 1 < p < 2, 0 < 0/p < 1, f G L[0,1). Если a(t)

такова, что

М\кА(к) <£ А(г) < М2кА(к), к е М, (10)

¿=1

и {^ (^) е ЯВУ Б, то / е В (р, в, а) в том и только в том случае, когда

то

сходится ряд Е 1/(1)1°А(г)гв-в/р.

¿=1

Следствие 2. Пусть 1 < р < 2, в/р > 1, / е Щ0,1). Если для а(Ь) выполнено условие (10) и {/(1)}°=0 е А-Т П ЯВУ Б при некотором т > 0,

то

то условия / е В(р,в,а) и ^ |/(г)|вА(г)гв-в/р равносильны.

¿=1

Замечание 1. Класс функций, для которых выполняется условие (10), достаточно широк. Например, а(Ь) = ,в > 1, удовлетворяют этому условию.

Докажем теперь аналоги теорем 1 и 2 для классов В(Н,в,а).

Теорема 3. Пусть 0 <в < то, / е Н (Р, [0,1)) , {/ (1)}то=0 е AW1.

к

Если функция а(Ь) такова, что ^ А(г) < МкА(к) и сходится ряд

то

этом

¿=1

£А(г)(в 1о§°(г + 1), где ( = £|Д/Ц)|, то / е В(Н,в,а) и при ¿=1 ^

то

I(Н, в, а) < С £ А(г)(1° 1ogв(г + 1).

¿=1

Если в > 1, то ( можно заменить на

Д / (г)

Доказательство

В силу леммы 1 и леммы 3 имеем аналогично доказательству теоремы 1

I(Н,в,а) < С^£ А(г)Е?( /)н + ||/||Н) <

/то /то \ в \

< С2 I £ А(г) Щ |д/(г)| 1п(Ц + + \\/||Н 1 .

При в > 1, используя часть 1) леммы 4, находим, что

00

00

£А«) £|Д/(г) 1П(Ц + 1) <

¿=1

.3=«

то ! з

л1-в/

< вв£ А1-в(Ц)(£ А(г)| Д/ (Ц) 1пв(Ц + 1) <

з=1

¿=1

< С3£ А(Ц) Д/ (Ц) 1пв(Ц + 1).

з=1

При в < 1 преобразуем неравенство леммы 3 с помощью преобразования Абеля. Имеем

00

00

т)н < С4£ |Д/ (Ц) 1п(ц + 1) = С^ (( - (+1) 1п(ц + 1)

3 = «

3=«

= сЛ ( 1п(г + 1) + £ (з 1п(1 + 1/Ц) < сЛ ( 1п(г + 1) + £ ( 3-1

V з=»+1 / V ¿=¿+1

Преобразование Абеля выполнено корректно, поскольку (п+11п(п + 1) <

00

< ^ Д/ (г) 1п(г + 1), и правая часть последнего неравенства стремит-

¿=п+1

ся к нулю.

Поскольку {(¿}то=0 убывает, то {(¿г-1 }то=1 тоже убывает. Поэтому согласно части 1) леммы 5 имеем

(то / то \ в \

I(Н, в, а) < С5 |£ А(г) ( 1п(г + 1)+ £ (3-М + II/ 1\Н ) <

¿=1

3=¿+1

< С5 ( £ А(г)(в 1пв(г + 1) + £ {(г-1)в гв-1 гА(г) + £ А(Ц Л + ||/||Н ) <

¿=1

¿=1

з=1

< С6 £ А(г)(в 1пв(г + 1) + £ А(г)(в + || /||Н .

.¿=1

¿=1

Теорема доказана.

в

00

Замечание 2. Если предположить, что d ln(i + 1) < C1 ^ j 1dj, то

—

j=

оценка теоремы 3 приобретет вид I (H, 0, а) < C2 A(i)d0 + ||f ||HJ . К

сожалению, даже для dj = j-в, ß > 0, такое предположение неверно. В результате даже при наложении условий типа RBVS получается зазор между оценками теорем 3 и 4.

Теорема 4. Пусть 0 <0 < 1, f G B(H, 0,а), где a(t) такова, что

k

A(i) > MkA(k), k G N. Тогда

¿=1

I(H,0,a) + ||f||H > C^Aj) f(j)

j=1

Доказательство В силу неравенства (3) для H(P, [0,1)) и леммы 7 имеем

Em„ (f )я > 2-1|f - Sm„ (f )||Я > C^ j-1 f(j )

j=mn

Из леммы 1 и £2-условия следует, что

— "1/mfc k=1 17 1/mfc+i

— Г 1/mfc

I(H,а) > C2 £ / a(t) dtEmfc(f)я >

, 1 J 1/mi+i

— mfc+i-1

> C£ £ ¿(i)l£ j-1 /(i)

k=1 ¿=mk

■ J=»

oo

00

C3 £ A(i) £ jЛ)

i=mi

. j=a

откуда аналогично доказательству теоремы 2

I(H,0,а) + ||f ||Р > C4£ A(i) £ j-1 f (i)

¿=1

. j=

0

0

Согласно части 2) леммы 4 находим, что

в

00

I(ЯДа) + II/IIH > C5£ A1-e(j) £ A(i)

j=i

> C6£ A(j) /(j) .

в

j=i

Теорема доказана.

Библиографический список

1. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. М. : Наука, 1987.

2. Потапов М. К. О взаимосвязи некоторых классов функций // Мат. заметки. 1967. Т. 2, № 4. С. 361-372.

3. Askey R., Wainger S. Integrability theorems for Fourier series // Duke Math. J. 1966. Vol. 33, № 2. P. 223-228.

4. Krasniqi Xh. Z. On a generalization of Lipschitz classes //J. Inequal. Pure Appl. Math. 2008. Vol. 9, iss. 3, art. 73. 7 p.

5. Volosivets S. S., Fadeev R. N. Estimates of best approximations in integral metrics and Fourier coefficients with respect to multiplicative systems // Analysis Math. 2011. Vol. 37, №3. P. 215-238.

6. Leindler L. Generalization of inequalities of Hardy and Littlewood // Acta Sci. Math. (Szeged) 1970. Vol. 31, № 1-2. P. 249-285.

7. Харди Г. Литтлвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. М. : Изд-во иностр. лит., 1948.

8. Leindler L. Inequalities of Hardy-Littlewood type // Analysis Math. 1976. Vol. 2, № 2. P. 117-123.

9. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М. : Физматгиз, 1958.

10. Weisz F. Martingale Hardy spaces and their applications in Fourier analysis // Lecture Notes in Math. Berlin ; Heidelberg ; New York : Springer. 1994. Vol. 1568. P 95-109.

11. Young W.-S. Mean convergence of generalized Walsh-Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 218. P. 311-320.

12. Schipp F. On Lp-convergence of series with respect to product systems // Analysis Math. 1976. Vol. 2. P. 49-63.

13. Leindler L. On the uniform convergence and boundedness of a certain class of sine series // Analysis Math. 2001. Vol. 27, № 4. P. 279-285.

14. Лебедь Г. К. О тригонометрических рядах с коэффициентами, удовлетворяющими некоторым условиям // Мат. сб. 1967. Т. 74, № 1. С. 100—118.

15. Волосивец С. С. О некоторых условиях в теории рядов по мультипликативным системам // Analysis Math. 2007. Vol. 33, № 3. С. 227—246.

УДК 511.216; 514.753.32; 511.512 В. Е. ФИРСТОВ

Класс и рациональные точки алгебраических многообразий, порожденных линейными рекуррентными уравнениями

В работах [1,2] установлена связь между линейными рекуррентными уравнениями 2-го порядка с коническими сечениями и их рациональными точками. Проведенное исследование показало, что данный результат обобщается на алгебраические многообразия произвольного порядка.

1. Принцип построения алгебраических многообразий

на основе линейных рекуррентных уравнений

Общая схема построения алгебраических многообразий на основе линейных рекуррентных уравнений реализуется следующим образом. Рассмотрим рекуррентное уравнение к-го порядка общего вида

ип+к = й1Мп+к-1 + й2ип+к-2 + ... + акип, п, к е N (1)

с характеристическим уравнением

гк - «а/-1 - а2гк-2 - ... - ак = 0, (2)

где а1,... ,ак е Я,ак = 0. Дискриминант Б характеристического уравнения (2) определяется квадратом определителя Вандермонда