Сильная аппроксимация функций по мультипликативным системам в равномерной и гельдеровых метриках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Как видим, в данном примере образ гП представляет счётное множество точек (Хх; Х2; Х3) на поверхность 3-го порядка (36), причем, при значениях (п — 1 )М(31)3, IIN получаются рациональные решения (36).

Таким образом, показано, что всякое линейное рекуррентное уравнение вида (1) порождает класс вполне определенных алгебраических многообразий и, кроме того, определяет топологию рациональных точек на этих многообразиях.

Библиографический список

1. Фирстов В. Е. Рекуррентные последовательности при обобщенных пифагоровых построениях и их общая связь с коническими сечениями. Деп. в ВИНИТИ 10.05.2000, № 1351-В00.

2. Фирстов В. Е. Рекуррентные последовательности, фрактальные иерархические структуры и конические сечения при конструктивных обобщениях теоремы Пифагора. Саратов : Научная книга, 2005.

3. Гелфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М. : Наука, 1967.

4. Фирстов В. Е. Рекуррентные последовательности и их пространственные алгебраические образы. Деп. в ВИНИТИ 10.05.2000, № 1352-В00.

УДК 517.51

С. С. ВОЛОСИВЕЦ, Т. В. ИОФИНА

Сильная аппроксимация функций по мультипликативным системам в равномерной и гельдеровых метриках

Введение

Пусть {рп]п=1 ~ последовательность натуральных чисел, такая что 2 < Р'ь < N, % Е N. Положим по определению т0 = 1, тп = рхр2...рп при п Е N.

Каждое x £ [0,1) имеет разложение

00

xn

x = У^ —n, 0 < xn < pn, xn £ Z, n £ N. (1)

Z—/ rn

nn

! mn

n=l

Для x = k/m, 0 < k < Ш/, k, l £ N берем разложение с конечным чис-

00

лом xn = 0. Для x, y такого вида x 0 y = z = Е zn/mn, где 0 < zn <pn,

n=l

zn £ Z, zn = xn — yn( mod pn). Сумма x 0 y определяется аналогично. Каждое k £ Z+ = {0,1, 2,... } представимо в виде

00

k = ^^ knmn—1, kn £ Z, 0 < kn < pn, n £ N. (2)

n=1

ж---

По определению, функции (ж) = ехр ( 2П Е -р-1 ), к £ образуют систему Виленкина Х{Р„}- Эта система ортонормирована и полна в Ь[0,1), причем

Xk(x 0 y) = Xk (x)Xk (y); Xk(x 0 y) = Xk (x)Xk (y)

для почти всех y при фиксированном x £ [0,1) (см. [1]).

Коэффициенты Фурье и частичная сумма Фурье для f £ L[0,1) по системе Виленкина задаются формулами f(k) = /0 f (x)Xk(x) dx, k £ Z+,

sn(f)(x) = en —о f(k)Xk(x) n £ N. Для f,g £ L[0,1) свертка f * g

задается формулой f * g(x) = /0 f (x 0 t)g(t) dt = /0 f (t)g(x 0 t) dt. Да-

l

лее важную роль имеет представление Sn(f )(x) = / f (x 0 t)Dn(t) dt, где

Dn(t) = En—0 Xk(t), n £ N. 0

Будем рассматривать пространства L [0,1), 1 < p < то измеримых интегрируемых в p-й степени функций с нормой ||f ||p = ^f0 |f (t)|pdt^ , 1 < p < то, и C*[0,1), снабженное нормой ||f||то = sup |f(x)|

ж€[0,1)

и состоящее из ограниченных функций, для которых справедливо lim ||f (x) — f (x 0 h)|то=0.

Во всех указанных пространствах можно ввести модуль непрерывности: u*(f,S)p = sup ||f(x © h) — f(x)||p. Пусть Pn = {f e L1[0,1) :

0<h<S

f (k) = 0,k > n}. Тогда En(f)p = inf{||f - tnllp,tn e Pn}. Пусть w(6) — функция типа модуля непрерывности (w(6) e П), т.е. w(6) непрерывна и возрастает на [0,1), причем w(0) = 0. Тогда пространство Hpp [0,1) состоит из f e Lp[0,1) (1 < p < ж) или f e C*[0,1) (p = ж), таких что w*(f,6)p < Cw(6), где C зависит только от f. Через hp обозначим Hpp, такое что для f e hp limh^0 w*(f, h)p/w(h) = 0. Пространства hp[0,1) и

Hpp[0,1) с нормой If ||p,w = ||f||p + sup w*(f,h)p/w(h) являются бана-

0<h<1

ховыми. В hp [0,1) можно ввести En(f )p,p = inf {||f — tn|p,p ,tn e Pn}. Пусть A = {ank}Жк=0 — нижнетреугольная матрица, такая что

n

an,k > 0, n,k e N; ^anik = 1. (3)

k=i

Матрица А определяет метод суммирования формулой Тп(/)(х) = = П= 1 ап,к&к(/)(х). В случае тригонометрической системы и монотонной по к последовательности {апк}^°к=0 оценки ||/ — Тп(/)||то были получены Чандрой [2] в терминах модуля непрерывности. Позже Лейндлер [3] обобщил эти результаты на случай, когда справедливы оценки

п—1

ап,к — ап,к+1| < Сащт, 1 < т < п — 1,п е М; (4)

k=m m— l

1ап,к — ап,к+1| < Сап,т, 1 < т < п,п е N. (5)

к=1

Здесь С не зависит от т,п. Для системы {\к}^=0 оценки ||/ — Тп(/)||р, 1 < Р < получены в работе [4]. Там же изучено уклонение ||/ — Тп(!)||р^, где у^) = ^, для / е Нрр, где = в < а. Рассмотрим теперь

п \ 1/г

Rn(f,r)(x) = (J2 an,k ISk (f )(x) — f (x)|r

k=l

Оценки величин ||ЯП(/, г)||то в случае монотонной по к последовательности {апк}ТОк=0 с дополнительными ограничениями на их колебания были получены Саном и Кси [5]. Для матриц, удовлетворяющих условиям (4) и (5), подобные результаты установил Сзал [6]. Он же получил ряд оценок ||ЯП(/, г)||то, близких к доказанным Чандрой [2] и Лейндлером [3] (см. [7]).

В настоящей работе изучается порядок величин ||ЛП(/, г)||р, 1 < р < то, а матрица А удовлетворяет одному из следующих условий:

2т—1

У^ — йп,л+1| < Кап,т, 1 < т < (п — 1)/2; (6)

к=т

т—1

У^ — 1 < Кап,т, 2 < т < п. (7)

к=[т/2]

В обоих случаях будем считать, что К не зависит от п,т.

Ранее класс СМ последовательностей с нормой {а^}°=0, удовлетворяющих неравенству Ек™—1 — ак+1| < Сат, изучались Тихоновым [8]. В частности, им было показано, что квазимонотонные последовательности {а^}°=0 (такие, что апп—т ^ 0 для некоторых т > 0 и п £ М) содержаться в СМ.

Далее будем считать, что и(£) £ О удовлетворяет Д2-условию, т.е. и(£) < Си(£/2), I £ [0,1). Кроме того, для и(£),д(£) £ О существует а £ (0,1), такое что иа(£)/д(£) ограничена на [0,1).

Поскольку важную роль в доказательствах играют сильные средние Валле—Пуссена, проведено также их специальное исследование (см. теоремы 4 и 5)

Вспомогательные утверждения

Лемма 1. Для / £ 1), 1 < р < то верно неравенство

||5П(/, х) ||р < С||/||р, п £ М, где С не зависит от / и п. Как следствие, ||ЗД,ж) — /(х)|р < (С + 1)Еп(/,х)р, где п £ N.

Для произвольных (в том числе и неограниченных) последовательностей {рп}ТО=1 лемма установлена Шиппом [9] и Шимоном [10].

Пусть g = (д1? ..., д,...), где д — измеримые на [0,1) функции. Положим по определению

I g||LP(Zr)

Е igj!'

1/r

j=1

I g М (LP)

Е iigji

1/r

j=1

Лемма 2. Если 1 < г < р < то, то < 1^11^(Ьр).

Доказательство леммы 2 аналогично рассуждениям, проведенными Фридли [11] в случае г = 2.

Лемма 3. Пусть {ап}ТО=1 £ С. Тогда для д £ (1, то) выполняется неравенство

k=1

< C(q)n1-1/q Е k!■

1/q

,k=1

Для q = то имеем

E ak Dk

k=1

< Cn sup |ak|.

1<k<n

В неявном виде для ограниченных последовательностей {pn}TO=1 неравенство (8) доказано в [12], в явном виде оно выписано Авдиспахичем и Пепичем в [13] (в более общем виде, включающем случай неограниченной последовательности {рп}ТО=ь

Лемма 4 (Неравенство А. В. Ефимова, см. [1]). Пусть f е L°[0,1), 1 < p < то или f е C*[0,1). Тогда

2"V(f, 1/mn)p < Em„(f)p < Mf - Sm„(f)Mp < w*(f, 1/mn)p, n е N.

Лемма 5. Пусть ¡х>(£) £ Л удовлетворяет А — 2 условию. Тогда из / £ ЯР следует, что Еп(/)р < С1ы(1/п), п £ N.

p

1

Доказательство Пусть ||/= С2 и п Е [тк, тк+1), к Е Z+. Тогда по лемме 4

Еи(1 )р < Етк(/)р < ш*(/, 1/тк)р < и(1/тк) <

< С2С[1од^+1ш(1/тк+1) < Сзш(1/п).

Лемма доказана.

Лемма 6. 1) Пусть матрица А удовлетворяет условиям (3) и (6). Тогда ап^ < (К + 1) ап,т при т < г < 2т < п, где К взято из (6).

2) Пусть матрица А удовлетворяет условиям (3) и (7). Тогда ап;1 < < (К + 1) ап,т при [т/2] < г < т, где К взято из (7).

Доказательство Часть 1) взята в [8]. Докажем 2). Рассуждая аналогично [8], находим при [т/2] < г <т, что

т—1

Кап,т > У ^ | ап,к — ап,к+11 >

к=[т/2]

т1

^ ^ (ап,к — ап,к+1)

к=[т/2]

^ ап.г а

п.г УЛп,т1

откуда (К + 1)ап,т > ап;1. При г = т утверждение очевидно. Лемма доказана.

Важную роль играют 2 следующие леммы. Тригонометрический аналог леммы 7 принадлежит Лейндлеру [14].

Лемма 7. Пусть / Е С*[0,1), 1 < г < то. Тогда

кп(/,г)|и :=

п

1

Ё ^ (/)(-)г

1 /г

к=1

< м||/||то,

00

где М не зависит от п Е N и /.

Доказательство Пусть г Е N таково, что п Е [т—1,т{). Тогда

пп

п-1 Ё №(/)(х)|г < ^т"1 Ё №(/)(х)|г = NЦНЦг,

к=1

к=1

где h(t) равна Sk(f)(x) на /к = [k/mi5 (k + 1 < k < n и h(t) = 0

1

на остальных . Ясно, что ||h||r = sup/ h(t)g(t) dt, где sup берется по

о

постоянным на Ц функциям g(t) со свойством ||g||r', 1/r + 1/r' = 1. Другими словами, если g(t) = ak на /к, 1 < k < n, то ' n \ 1/r'

V kГ < m1/r ( sup |flA| < 1, при r = 1). (10)

' 1< k<n

,k=1

Имеем p 1

1n

h(t)g(t) dt = m"^ akSk(f)(x) = m-1 / ^a^Dk(t)f (x © t) dt

<

k=1

k=1

< m-1||f

Используя (8) и (10), находим что

У^ак Dk

k=1

n \ 1/r'

1/r I \ ' \„_\r

Mf,r)|U < N1/rm-1||f ||тоС2Шг1/г [J2 k|

k=1

= C3||f Уто.

Лемма доказана.

Неравенство (12) леммы 8 при т = [п/2] сформулировано для некоторых общих систем Фридли и Шипппом [15] без доказательства. Им же принадлежит идея применения (8) к проблемам сильной сходимости.

Лемма 8. Пусть / £ С*[0,1), 1 < г < то, ^п < т < п, где V £ (0,1). Тогда

|Un,m(f, г)||то • —

1/r

(m + 1)"1 £ |Sk(f)(•)!'

k=n m

< M(v)||f|

00

| ^п,т (f, r) 11 то • —

1/r

(m + 1)-1 £ |Sk(f)(■) - f (-)Г

k=n-m < (M(v) + 1)En-m(f

(11)

<

oo

где M(Л) не зависит от n,m G N и f.

1

oo

Доказательство

В силу (9)

(т + 1)1/г=

1/г

£ № тог

1/г

<

(Iхог

+

00

,к=п—т 'п—т—1

<

1/г

к=1

<

00

00 ;

< С1(п1/г + (и - т — 1)1/г)\\/\

откуда в силу неравенства ии < т вытекает (11).

Неравенство (12) получается из (11) подстановкой I — гп—т вместо I, где г п—т € Рп—т и \\/ гп—т \ \ то = Еп—т(IПри этом используется равенство Бк(гп—т) = гп—т при к > и и неравенство Минковского в Г следующим образом:

п \ 1/г

(т + 1)—М £ №(I — гп—т)(•)!'

к=п т

+

1/г

00

+ (т +1)—1 £ |(1 — гп—т )(■)!

к=п—т

\ип,т(1 tn—m, г) \\то + Еп—т(1

Лемма доказана.

Замечание 1. Аналоги (11) и (12) для нормы \\ ■ \\р легко следуют из леммы 1 и леммы 2.

Следующая лемма является аналогом теоремы Лейндлера—Мейера— Тотика [16].

Лемма 9. Пусть ш,^ € Л, так что А(г) = ш(г)/^(г) возрастает на (0,1). Тогда для Ап(1) = Кп * I, Кп € Ь1[0,1) и I € Ир^ справедливо неравенство

Ап(1) — I\\Р^ < С(^—1(и—1)\Ап(1) — I\\р + А(и—1)(1 + \\Ап\\ь^ы)).

1

оо

Доказательство аналогично доказательству теоремы 8 в [4]. Лемма 10. Пусть € Л, так что А(£) = ш(£)/д(£) возрастает на (0,1), ш удовлетворяет А — 2-условию и / € Нр. Тогда Еп(/)р>м <

< СА(1/п).

Доказательство

Пусть Кп = ЕЙ—П1 /п и Ап(/) = Кп * /. Тогда для любого £п € Рп имеем Кп * £п = £п, откуда стандартным способом выводится ||АП(/) — /< С1ЕП(/)р < С2ш(1/п). Кроме того, ||АП(/<

< ||КП|1 < С3 (см., например, [4]). По леммам 9 и 5 получаем

||АП(/) — /< С4(ш(п—1)/М(п—1) + А(п—1)) = 2С4А(п—1).

Значит Е2п(/)р>м < 2С4А(п—1), поэтому, используя монотонность наилучших приближений и А — 2-условие, получаем неравенство леммы.

Замечание 2. Удобное для приложений условие возрастания ш(£)/д(£) появилось в работе Престина и Прёсдорфа [17]. Основные результаты

Теорема 1. Пусть матрица А удовлетворяет условиям (3) и (7), f € С*[0,1), г > 1. Тогда

п] —1 ^ 1/г

||Яп(Лг)||то = О I Е 2к(f) тоЙп,2к+1 + Пйпп Е П+1 (f)

у к=0 2

Доказательство Пусть п € N и V = V(п) таково, что 2^ < п < 2^+1, т.е. V = [log2 п]. Тогда при ^ < V

п 3 2к — 1

|Яп(Лг)(х)Г = £ап,к(f)(х)—f(х)|г = £ £ о^^)(х)—f(х)|г+

к=1 к=1 ¿=2к-!

п

+ ^ ап>к(f)(х) — f (х)|г =: ^ + £2.

Применяя преобразование Абеля, (7) и лемму 6, получаем:

j / 2к — 2 i |Si|< El E lan,i — an,i+il E |Si (f )(x) — f (x)|r+

k=i \i=2k- Z=2fc-1

2k — 1 \ j 2k — 1

+an,2k—i E |Si(f)(x) — f (x)|r I < Ci Ean,2* E |Si(f)(x) — f (x)|r.

i=2k-1 } k=1 i=2k-1

Согласно (12) имеем

j—i

an,2k 2k—iE2t-,(f< C2£ an,2k+1 2k Щк (f) 00 •

k=i k=0

n

Ясно, что из (7) и леммы 6 следует, что ^ |ann,i — an,i+i| < C3an,n,

i=[n+1] ' ' '

а в силу (12)

n

E |Si(f)(x) — f (x)|r < CAnEr[B4!](f)TO. i=[n+i] 2

Снова применяя преобразование Абеля, получаем:

n— i k

p21< E — an,k+i| E |Si(f)(x) — f(x)|r+ k=[n±l] i=[n+i]

n

+an,n E |Si(f)(x) — f (x)|r < C5nan7nEr[n±i](f i=[n+i] 2

Из (14) и (15) вытекает утверждение теоремы.

Теорема 2. Пусть матрица A удовлетворяет условиям (3) и (7), f е Щ0,1), 1 <p< то, p > r > 1. Тогда

/ n \i/r

l|Rn(f,r)yp = о( EankEk(f)J . (16)

Доказательство С помощью леммы 2 имеем

над,г)||Р =

1/г

Е«п>к )(•) — f (•)

,к=1

<

п \ 1/г

< |£ап,к||«4(/)(•) — /(■)!

,к=1

|г |р

Поэтому по лемме 1 ||Яп(Лг)||р < ап,кЕ^)р, откуда следует

неравенство теоремы.

Теорема 3. Пусть матрица А удовлетворяет условиям (3) и (6), f € С*[0,1), г > 1. Тогда

\ 1/г

(/,г)|то = о(^>п,к Е (f

,к=1

Доказательство Пусть снова ] = ] (п) таково, что 23 < п < 23+1, т.е. ] = [log2 п]. Используя преобразование Абеля, получаем:

3 2к— 2

(Яп(Лг)(х)Г <£ I £ К* — ^+111 ^ |Я Ш(х) — Дх)|Г +

к=1 \г=2к-1 /=2к-1

2к 1

п1

+«п,2к—1 У )(х) — f(х)|г 1+^ |ап,к—(f)(х)—f(х)|г+ г=2к-1 у к=2^ 1=2^

п

+ап,п £ (f)(х) — f (х)|г. В силу (6), леммы 6 и (12) имеем

(Яп(Лг)(ж))г < С1 (2к—1ап,2к-1 ЕГк-1 а+ 2к—1ап,2к-1 ££-1 ^)«,)) +

+ С2ап>2^23(f < ап,2кЕ2к (f

к=0

г

Р

Учитывая, что по лемме 6 2к 1ап2ь < С ^2=2ь-1 ап^, находим что (Яп(/,г)(х))г < С6(ап,1Е[(/)ж + Е 2к^££(/)ж),

к=0

откуда следует неравенство теоремы. Аналогично теореме 2 доказывается

Теорема 3'. Пусть матрица А удовлетворяет условиям (3) и (6), / Е ^[0,1), 1 < р < ж, р > г > 1. Тогда справедливо (16).

Из теорем 3 и 3' вытекает

Следствие 1. Пусть / Е ^[0,1), 1 < р < ж, или / Е С*[0,1) (р = ж), 1 < г < ж. Тогда

п \ 1/г

— 1 ^ ^ I С ( £\ £\Г п 1 X I С / 4-М

£ |5к(/) - /1

, 1/г

о (Е Е(/),

п

к=1 р

к=1

В частности, при г = 1 и / Е Ыр*(а,р), т.е. при и*(/, к) = 0(ка) получаем

п

п —1Е № (/) — / Н1р к=1

Известно, что для / Е к^ и ап(/) = ^п=1 &к(/)/п справедливо равенство Ншп^ж ||/ — ап(/)||р,ш = 0 (см. [4] для и (к) = ка). В частности, для / Е имеем Ншп^жЕ(/)р,ш = 0.

Докажем для метрики Гёльдера аналог оценки (12).

Теорема 4. Пусть / Е к^, 1 < р < ж, р > г > 1. Тогда для ип < т < п

11 Уп,ш (/> г) < С((У)Еп—т(/)р,ш. Доказательство

В силу неравенства Минковского и коммутативности сдвига и свертки имеем

||Цп,т(/,г)(- © к) — Цп,т(/,г)(0||р < цищт(/(• © к) — /(0,г)||р. (17)

Отсюда в силу оценки (11) и замечания 1 следует, что

|Un>m(f (•© h) - f (•),r)|

| Un,m(f j r) ||p,w < ||Un,m(f j r) ||p + SUp ^ ^ <

<h<1

) h) -0<h<1 w (h)

0<h<1 w (h) < Ci (||f||, + sup ||(f '•© h' - f 1 = Ci|fU

где для p = oo константа C1 равна M(v) из леммы 8. Пусть

tn-m G Pn^ таков что ||f ^n—En-m(f)p,w. Снова (tn-m)

= tn-m при k > n - m и аналогично (13) имеем

У ^n-m (f j r) | |p < У Un-m(f tn-mj r) | |p + 11 f tn-m | |p <

< C1||f tn-m^p + ||f tn-m^p < (C1 + 1)En-m(f)p,w. (13 )

С другой стороны, в силу (17) и (13') (используем обозначение Ahf = = f (•© h) - f (•))

sup |AhVn-m(f,r)|p/w(h) < sup ||Vn-m(Ahf,r)||pMh) < 0<h<1 0<h<1

< sup (||Un-m(Ahf,r)||p + ||Ah(f - tn-m)||p) /w(h) < 0<h<1

< (C1 + 1)||f - in-m^w = (C1 + 1)En-m(f)p,w. (18)

Объединяя оценки (13') и (18) завершаем доказательство теоремы.

Теорема 5. Пусть 1 < p < o, w, д G Q, причем w(t) удовлетворяет A'i-условию, а A(t) = w(t)/^(t) возрастает на (0,1) и limt^0 A(t) = 0. Если f G h^, p > r > 1, и числа n,m таковы, что vn < m < n, v G (0,1), то

||Vn >m(fj r)|p>^ < C(A((n m) ).

Доказательство

По теореме 4 ||K,m(f,r)||p,M < C(v)En-m(f)p>M, а по лемме 10 имеем En-m(f)p,M < CA(1/(n - m)). Подставляя второе неравенство в первое, доказываем теорему.

В последних двух теоремах, следуя Сзалу [6], будем считать, что существует а Е (0,1), такое что ua(t)/ß(t) возрастает на (0,1). Здесь u,ß Е Ü и ш удовлетворяет А2-условию.

Теорема 6. Пусть матрица A удовлетворяет условиям (3) и (7), f Е H£[0,1), r > 1. Тогда

flogM-l Y-a)/r

\\Rn(f,r)\\^<C(1+nanM Y?kan,2k+iшг(2-k)+ иащпшг(n-lj.

Доказательство В силу теоремы 1 и неравенства Минковского

sup \\AhRn(f,r)\TO/^(h) < sup \\Rn(Ahf,r)\TO/ц(Н) < 0<h<1 0<h<1

/[log2 n]-1 \1/r

< sup I CiV" 2k(Ahf+ nannEru±i (Ahfj/^h) :=

V k=0 2 J

= sup C1AlJr(h)/ß(h). 0<h<1 n

С одной стороны, по лемме 5 справедлива оценка

E2fc(Ahf)«,<2E2fc(f)TO<C2ш(2к); En+i(Ahf)то<Сзш((п+1)-1). (19)

С другой стороны,

Ek (Ah f )TO<\\Ah f \U< ш (h),

и, как следствие,

/[log2 n]-i \

An(h) < шг(h) ( ^ 2kan,2k+i + гшЩп j < W(h)(1 + nan,n). (20)

Записывая An(h) = An(h)aAn(h)1-a и применяя к первому сомножителю оценку (20), а ко второму — (19), получим нужную оценку для

sup0<h<1 ||AhRn(f,r)||TO/м(^). Для ||Rn(f, г)||то аналогичная оценка вытекает из теоремы 1 и второго неравенства (20).

Теорема 7. Пусть для матрицы A выполнены условия (3) и (6). f е L^[0, 1), 1 < p < то или f е C*[0,1) (при p = то), p > r > 1. Если f G Яр, то

/ n \ (1-a)/r

< C XX*(k-1) l . \k=0 /

Доказательство аналогично доказательству теоремы 6 с использованием теорем 3 и 3' вместо теоремы 1.

Замечание 3. В работе [6] в аналогиях теорем 1 и 6 вместо nan,n содержится ln2nan,n (по-видимому, стоило использовать 1 + ln+ nan,n), что часто дает лучший порядок по k (например, при an,n = 1, an,k =0, 1 < k < n). Было бы интересным улучшить таким образом оценки теорем 1 и 6.

Замечание 4. Было бы интересным изучить ||Rn(f, r)||p при p =1.

Библиографический список

1. Голубов Б. И., Ефимов А. В., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. М : Наука, 1987.

2. Chandra P. On the degree of approximation of class of functions by means of Fourier series // Acta Math. Hungar. 1988. Vol. 52. P. 199-205.

3. Leindler L. On the degree of approximation of continuous functions // Acta Math. Hungar. 2004. Vol. 104. P. 105-113.

4. Iofina T. V., Volosivets S. S. On the degree on approximation by means of Fourier-Vilenkin series in Holder and Lp norm // East J. on Approx. 2009. Vol. 15. P. 143—158.

5. Xie T., Sun X. On the problem of approximation by linear means //J. Math. Res. Exposition. 1985. Vol. 5. P. 319—322.

6. Szal B. On the strong approximation by matrix means in the generalized Holder metric // Rend. Circ. Mat. Palermo. 2007. Vol. 56, Ser. 2. P. 287—304.

7. Szal B. On the rate of strong summability by matrix means in the generalized Holder metric // J. Inequel. Pure Appl. Math. 2008. Vol. 9, iss. 1, art. 28. 13 p.

8. Tikhonov S. Trigonometric series with general monotone coefficients //J. Anal. Math. Appl. 2007. Vol. 326. P. 721-735.

9. Schipp F. On Lp-norm convergence of series with respect to product systems // Anal. Math. 1976. Vol. 2. P. 49--64.

10. Simon P. Verallgemeinerte Valsch-Fourierreihen // Acta Math. Hungar. 1976. Vol. 27. P.35-54.

11. Fridli S. On the rate of convergence of Cesaro means of Walsh-Fourier series //J. Approx. Theory. 1994. Vol. 76. P. 31-53.

12. Bloom W., Fournier J. J. F. Smoothness conditions and integrability theorems on bounded Vilenkin groups //J. Austral. Math. Soc. 1988. Soc. 45 (Ser. A). P. 46-61.

13. Avdispahic M., Pepic M. Summability and integrability of Vilenkin series // Collect. Math. 2000. Vol. 51, № 3. P. 237-254.

14. Leindler L. On summability of Fourier series // Acta Sci. Math.(Szeged). 1968. Vol. 29. P. 147-162.

15. Fridli S., Schipp F. Strong approximation via Sidon type inequalities //J. Approx. Theory. 1998. Vol. 94. P. 263-284.

16. Leindler L., Meir A., Totik V. On approximation of continuous functions in Lipshitz norms // Acta Math. Hungar. 1985. Vol. 45. P. 441-443.

17. Prestin J., Prossdorf S. Error estimates in generalized Holder-Zygmund norms // Zeit. Anal. Anwend. 1990. Vol. 9. P. 343-349.

УДК 511.3

А. Е. КОРОТКОВ

Приложение метода редукции к степенным рядам к некоторым задачам в теории чисел

Введение

Рассмотрим ряд Дирихле

ж

/ М = Е ^ ' = - + ^ (1)

n=1