CC BY
25
МАТЕМАТИКА
УДК 517.51
Л-СУММИРУЕМОСТЬ И МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ КЛАССОВ ГЕЛЬДЕРА РЯДОВ ФУРЬЕ ПО СИСТЕМАМ ХАРАКТЕРОВ
Н.Ю. Агафонова
Саратовский государственный университет,
кафедра теории вероятностей, математической статистики и управления стохастическими процессами
E-mail: AgafonovaNU@info.sgu.ru
Пусть G -- группа Виленкина ограниченного типа. В данной работе получены необходимые и достаточные условия равномерной Л-суммируемости всех рядов Фурье f е C (G) и критерий Л-суммируемости в L1 (G) всех рядов Фурье f е L1 (G). Также получено обобщение некоторых результатов Т. Квека и Л. Япа на случай общего модуля непрерывности.
Ключевые слова: равномерная Л-суммируемость, Л-суммируемость в L1 (G), ряд Фурье, равномерная сходимость, мультипликаторы.
Л-Summability and Multiplicators of Holder Classes of Fourierseries with Respect to Character Systems
N.Yu. Agafonova
Saratov State University,
Chair of Theory of Probability, Mathematical Statistics and Manage Stochastics Processes E-mail: AgafonovaNU@info.sgu.ru
Let G be a Vilenkin group of bounded type. We obtain nessesary and sufficient conditions of uniform Л-summability for all Fourier series of f е C(G) and one of Л-summability in L1 (G) for all Fourier series of f е L1 (G). Also we extend some T. Quek and L. Yap results to the case of general modulus of continuity.
Keywords: uniform Л-summability, Л-summability in L1 (G), Fourier-Vilenkin series, uniform convergence, multipliers.
Пусть P = {pi}?=1 — последовательность натуральных чисел, такая что 2 < pi < N, i e N. Пусть группа G(P) состоит из элементов x = (x1 , x2,...), где xi e Z(pi) = {0,1, 2,... ,pi — 1}, i e N, и снабжена операцией x 0 y = x, где x = (z1 ,z2,...) e G(P) и zi = xi + yi (mod pi), i e N. Аналогично вводится x © y. Пусть m0 = 1,mi = p1 i, при i e N. Тогда каждое k e Z+ единственным образом представимо в виде
k =y. ki mi-1, k
).
(1)
i=1
По k e Z+ вида (1) и x e G(P) определим
Xk (^expfWjT^)).
Система {х(Х)}д*=0 является ортонормированной и полной относительно меры Хаара на С(Р)[1, гл. 3, §2] (последняя обозначается через йх и однозначно определяется равенством га(С) = Г 1йХ = 1).
e
Будем рассматривать пространство Б (С) борелевских мер на С, пространство С (С) непрерывных функций на С и пространство В(С) ограниченных измеримых функций на С с нормой = вир |/(ж)|, а также пространства интегрируемых в р-й степени на С функций с нормой
I ^
осео
П |f (xt)|pdt)1/p, 1 < p< те.
Известно [2, гл.6, §7], что каждый линейный непрерывный функционал на С (К), где К — компакт, имеет вид ^ (/) = / /йр, где р — борелевская мера на К. Поэтому в пространстве Б (С) введем норму
к
м = sup
fdp : f e C(G),
о
Для / е или р е Б(С) можно определить коэффициенты Фурье формулами:
f (n) = у f(xc)Xn(xc)dxc, p(n) = у хп(x)dp(x), n e Z+.
G G
Частная сумма ряда Фурье функции / определяется равенством
n — 1
Sn(f)(с)^ /(k)Xn(с), n e N, k=0
аналогично частная сумма определяется для р. Для свёрток h1 (с) = f * g(C) = / f (t 0 t)g(t)d t и
~ G
h2(xt) = f * p(t) = J f (xt 0 c)dp(c), где f, g e L1(G) справедливы равенства h1(tt) = f (tt^tt), (tt) =
G
= f (t)p(t). При этом, если f e Lp (G), 1 < p< те, то f * g e Lp(G) и f * p e Lp(G) [3, гл. 1, §1.3].
Пусть Gk = {xt e G : с1 = x2 = ... = xk = 0}. Тогда для f e Lp(G), 1 < p < те, или f e C(G) (при p = те) вводится дискретный модуль непрерывности:
wk(f)p = sup{||f (t 0 h) - f (xt)||p : h e Gk}, k e Z+,
и пространство H^ (G) = {f e Lp(G) : wk(f )p < Cwk, k e Z+}, где последовательность w = {wk}^=0 положительна и убывает к нулю, а C зависит от f, но не от k.
Последовательность w = {wkпринадлежит классу Бари B, если для всех n e Z+ имеет
те n —1
место соотношение wk = O(wn). Далее будут использоваться ядра Дирихле Dn(xt) = xk(xt) и
k=n k=0
пространство UC(G) = {f e C(G) : lim ||f - Sn(f)||те = 0}.
п^те
Пусть A, B — два класса функций, заданных на G. Будем писать {Ak}те=0 e (A,B), если из того,
те
что ряд akxk (t) есть ряд Фурье (по системе {xk (t}^=0) функции или меры из A следует, что ряд
k=0
те
Akakxk(t) является рядом Фурье функции или меры из B.
k=0
те
Пусть {Akn}теп=0 — бесконечная матрица. Если для каждого n e Z+ ряд Aknf(k)xk(t) схо-
k=0
дится равномерно к функции gn(f )(с), а последовательность {gn(f)(x)}^=0, в свою очередь, сходится равномерно к функции g(f)(xt), то будем говорить, что ряд Фурье функции f(xt) равномерно Л-сум-
те
мируем к g(f)(t). Если же для каждого n e Z+ ряд Akf(k)xk(t) сходится равномерно к функ-
k=0
ции gn (f )(xt), а последовательность {gn (f )(xt)}^=0 сходится в L1 (G) к функции g(f )(xt), то ряд Фурье функции f (t) Л-суммируем в L1 (G) к функции g(f )(xt).
В данной работе получены критерии равномерной Л-суммируемости для всех f e C(G) и Л-сум-мируемости в L1(G) для всех f e L1 (G). В тригонометрическом случае такие критерии принадлежат
p
G
те ^ 1
—а n '
соответственно Й. Карамате, М. Томичу [4] и Ф.И. Харшиладзе [5]. Некоторые близкие результаты для мультипликативных систем на [0,1) представлены в работе [6]. Кроме того, даны критерии принадлежности последовательности {Akклассам ^И^, и , Ир^. В случае Sn = m = m—в подобные результаты можно найти в работе [7].
Лемма 1 [8, §1.5 и §10.5]. Dmn (X) = mn при x е Gn и Dmn (X) = 0 при x е G \ Gn, n е Z+. Для f е Lp(G) или f е C(G) (при p = го) справедливо неравенство А.В. Ефимова
2 ^n (f )p < ||f - Sm„ (f ^p < ^n (f )p.
n —1
Лемма 2 [9]. Пусть для Л = (An}^=0 по определению Лп := Ak%k, n е N. Тогда
k=о
1) включение {Ak}£=0 е (C, UC) равносильно ограниченности ||Лп||ь
2) включение {Ak}£=0 е (L1,UC) равносильно ограниченности ||Лп||с
||S
||S
Лемма 3 [10]. 1) ряд ^ акХк является рядом Фурье д е £(С) тогда и только тогда, когда к=0
тп — 1
111 := £ акХк ограничены; к=0 1
те
2) ряд ак хк является рядом Фурье функции / е В (С) тогда и только тогда, когда
к=0 тп — 1
mn те
Е ak%k ограничены.
k=0 те
Теорема 1. Для того чтобы ряды Фурье всех функций f е C(G) были равномерно Л-суммиру-емы, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) предел lim Akn существует для всех к е Z+;
n^те
i — 1
2) при каждом n e Z+ нормы ||А.
in y 1 •
E AjnXj (x) j=о
ограничены Mn, где Mn не зависит
от г;
3) существуют борелевские меры е £(С), п е , такие, что Дп(г) = Агп для всех г,п е и IIДп\\м = 0(1).
Доказательство. Необходимость. Пусть ряды Фурье всех функций / е С (С) равномерно Л-сум-
те л
мируемы. В частности, ряды ^ Акп/(^)Хк(X) при каждом п е сходятся равномерно к дп(/).
к=0
Следовательно, по лемме 2 имеет место условие 2). Отсюда по лемме 3 получаем существование мер , п е , для которых Дп(г) = Агп при г е Так как (/ * )(г) = /(г)Дп(г) при всех г е то по теореме единственности дп(/) = / * дп. Рассмотрим функционалы
In(f) = f * Mn(0)= / f (0 e t) Ф0О-
Так как lim ||Smfc (f) - f ||œ = 0, то
к—те
mfc —1
f (0 e t) ф(*) = lim Xinf (г) = ^ Ain/(г).
к—те z—' z—'
i=0
i=0
Последний ряд по условию сходится к дп(/)(0). Также по условию {1п(/)}те=0 = {дп(0)}те=0 сходится к д(/)(0) для всех / е С (С). По теореме Банаха - Штейнгауза получаем, что \\дп\\м = 0(1). Наконец, 1п(Хг) = Агп тоже сходятся по условию, откуда вытекает 1).
Достаточность. Пусть выполнены условия 1)-3). По лемме 2 для любой / е С (С) ряд
тете
И А^п/(?' )Х (X) сходится равномерно к некоторой дп(/) е С (С). Поэтому ряд 1п(/) = Е Агп/(г)
j=0
i=0
сходится при всех f е C(G) и n е Z+. Но ln(f) = lim I Лin(i)f (0 ö f)
Am(t)f (0 e t) < ||A.
»■in П 1 ■
1
G
G
те
те
г—>те
G
G
Поэтому ln(f) есть ограниченный функционал и ln(f) = f * pn(0). В самом деле, для полиномов по системе {Xk}те=0 последнее равенство верно и, учитывая их плотность в C(G), получим, что ln(f) = f * pn(0) для всех f e C(G). Далее, в силу 1) последовательность {ln(f)}те=0 сходится для всех f — полиномов по системе {Xk}те=0, а благодаря условию 3) нормы ||ln|| ограничены. По теореме 3 [11, гл. 7, §1] функционалы ln(f) сходятся для всех f e C(G).
Пусть Tjf(i) = f(c0 tt), тогда ln(Taf) =: gn©. Так как ||TJf - f ||те ^ 0 при а ^ 0, то для любого е > 0 найдется k e N, такое что для всех h e Gk верно ||Т^f — f ||те < е. Группа G является объединением различных смежных классов t © Gk, i = 0,1,... ,mk — 1. Пусть tt e t © Gk, т. е. tt 0 t e Gk. Тогда имеем
|ln(Taf) - lm(Taf)l < |ln(Taf) - ln(T,f)| + |ln(Ta4f) - lm(T2if)l + MTjf) - UTif)| = /1 + /2 + /3.
Так как ||ln|| = ||pn||M < M, то /1 + /3 < 2M||T~.f - Tjf || < 2Me. Если k фиксировано, то, поскольку ln(Tjf) сходятся при любом tt e G и f e C(G), получаем: найдётся n0(e), такое что для всех n,m > n0 и всех i = 0,1, ...,mk - 1 имеем |ln(Ta.f) - lm(Tj.f)| < е. В итоге при n, m > n0 имеем |gn(tt) - gm(tt)| < (2M + 1)е для всех tt e Gk. Отсюда вытекает равномерная сходимость gn. Теорема доказана.
Теорема 2. Для того, чтобы ряды Фурье всех функций f e L1(G) были Л-суммируемы в L1 (G) к f, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) для всех k e Z+ верно lim Akn = 1;
2) при каждом n e Z+ нормы |Л
i—1 _ _ Е AjnXj(x) j=0
< Mn, где Mn не зависит от i;
3) существуют Kn e B(G), n e Z+, такие что Kn(i) = Ain для всех i e Z+ и нормы ||Kn ||1 ограничены.
те
Доказательство. Необходимость. По условию ряды Ainf (i)Xi сходятся равномерно к функ-
i=0
ции gn(f) e C(G) и по лемме 2 условие 2) выполнено, откуда по лемме 3 следует существование Kn e B(G) со свойством Kn (i) = Ain, i e Z+.
Так как (f * Kn)(i) = f(i)Kn(i), то gn(f) = f * Kn. Далее, по условию gn(Xi) = Xi * Kn = AinXi сходятся к ti в L1 (G) при n ^ те, откуда вытекает условие 1). Аналогично из того, что lim ||gn(f) - f ||1 = 0 для любой f e L1(G) по теореме Банаха - Штейнгауза следует, что
n^те
||gn||Li^Li = ||Kn|1 ограничены, т.е. 3) имеет место.
те
Достаточность. Пусть выполнены условия 1)-3) и f e L1 (G). Тогда по лемме 2 ряд Ainf (i)^i
i=0
сходится равномерно к некоторой функции gn(f) e C(G). Ясно, что gn(f) = f * Kn. Из условия 1) следует, что gn (Xi) = Kn * Xi = AinXi сходятся к Xi в L1 (G) и то же верно для любого полинома по системе {;ti}^=0. Поскольку ||gn||Li= ||Kn|1 < M, то по теореме 3 [11, гл. 7, §1] получаем, что gn(f) сходятся к f в L1 (G). Теорема доказана.
В оставшейся части работы полагаем, что w = {wk}^=0 и S = {Sk}^=0 — убывающие к нулю положительные последовательности, такие что y = {7k}те=0, где Yk = Wk/Sk, тоже убывает к нулю. Далее, пусть 1/p + 1/q = 1, т. е. при p =1 верно q = те, и наоборот.
Лемма 4. Пусть последовательности w и S положительны и убывают к нулю. Если последовательность y тоже убывает к нулю и w e B, то y e B. Доказательство. По условию
те те те
E Yk = EI < E ^ < c. ^ = C1 Yn,
Sk Sn Sn
k=n k=n k=n
так как w e B. Лемма доказана.
Теорема 3. Пусть 1 < p < те, w e B. Тогда последовательность {Akпринадлежит
те
классу (#Р ,Нте) тогда и только тогда, когда ряд AkXk является рядом Фурье функции
k=0
f e HY.
00
Доказательство. Для / е д е Ь9(С) справедливо неравенство
II/*д\\те< II/ЦР-уду,,
причем / * д е С (С). Используя равенство
/ * д * - / * д * = (/ * - / * ) * (д * - д * ),
для / е Яр, д е Н^ получаем в силу леммы 1
Ц£тп+1(/ * д) - (/ * д)\те < У^шп+1(/) - (/)\р ■ ^„+1 (д) - (д)У, <
< 2^п (/)р ■ 2^п (д)д < С1 ¿п7п = С1^п-Используя условие и е В, находим, что
оо оо
\/* д - (/ * д)\\те < ^ + 1 (/ * д) - (/ * д)\те < С1 ^ < С2ип,
к=п к=п
р
ОО •
откуда по лемме 1 / * д е Н
Пусть теперь {Ак}^=0 е (Н^, Н^). Сопоставим {Ак}^=0 оператор Т\, отображающий / е Н^
оо
с рядом Фурье
оо
Р 5 ОО
в /л e Я^ с рядом Фурье £ Лк/(k)Xfc . Легко видеть, что TA(f *h) = Тл/*h при f e Яр, h e L1(G).
k=0
Известно, что относительно нормы
llf ||р,р = yf lip + suP ^k(f)p/^k
kez+
пространство Яр является банаховым. Из того, что ТЛ действует из Я^ в Я^ следует, что он ограничен [12, гл. 6, лемма 6.5.2]. Значит, для любой f e Яр имеем по лемме 1
||/ * ТлDm„+! — / * Тл^т„ loo = ||Тлf * Dm„+! — Тл/ * Dm„ ||oo < (Тлf)o <
< 2^||Тл/||яш,oo < 2^п||Тл|Я|-я- ■ ||/||р,р = Сз(ЛН(||f ||p + sup ^k(f)p/5k). (2)
p v kez+ J
1 л Рассмотрим Тл£Шта = £ ЛkXk = ЛШта. Пусть РШта = {/ e L1 (G) : f(i) = 0 при i > mn}, а
k=0
оо
P = U Pmn. Тогда в силу плотности P в Lp(G), 1 ^ p < го, и в С(G) находим, что
n=1
||АШп — Amn+! ||q = sup{ J(Amn+! — Am„)(xx)h((5 © x) dx : h eP, ||h||p < 1} <
G
< sup{|(Amn+1 — Am„) * h||oo : h e P, ||h||p < 1} =
= sup{ |(Ат„+1 — Am„ ) * h|o : h e Pm„+1 , ||h||p < ^.
Применяя оценку (2) при f = h e Pmn+1 и используя постоянство h на смежных классах a 0 Gn+1, получаем
||Am — ЛШта 11q < C3(Л)^п sup{ ||h|p + max ^k(h)p/4 : h e Pm„+i, ||h||p < 1} <
l O^k^n J
< C3(ЛК(1 + 2/5n) < С4(Л,5)^п/5П = C4Yn. (3)
Благодаря лемме 4 и (3) при k > n имеем
||ЛШк — ЛШта 11q < Сб7п, (4)
т.е. {Лтп}П=0 фундаментальна в Ь9(С) и, как следствие, Лтп сходятся в Ь9(С) к некоторой функции д. При этом (Лтп = Л^- при тп > ^, откуда следует, что д(^') = А^ ив силу теоремы единственности ТЛ/ = / * д. Переходя в (4) к пределу при к ^ те получаем, что
Уд - (д)||д = Уд - Лш„||9 < СбТп,
откуда д е Н^ и теорема доказана. Получим двойственный результат.
Теорема 4. Пусть 1 < р < те, и е В. Тогда последовательность {Ак }£=0 принадлежит
оо
(Н ) тогда и только тогда, когда ряд ^ Лкхк является рядом Фурье функции / е Н^.
k=0
p.
Доказательство. Пусть / е Нf, д е Ну. Тогда аналогично доказательству теоремы 3 имеем:
||Sm„ + 1(/ * g) - Sm„ (/ * g)yp < ||Sm„ + 1 (/) - Sm„ (/)у1 ■ ||Sm„ + 1 (g) - Sm„ (g^p < C1 ¿n Yn =
В силу условия и e B получаем / * g e H^. Если же {Лд;}^=0 e (Hf, H^), то снова рассмотрим
p
оператор Тл, который ограничен из Hf в Hp . Тогда в силу леммы 1
sup ||Тл/ * Dmn+l - Тл/* Dmn UpU-1 < 2||Тл||н?^н-(У/Ill + sup Uk(/)l/¿k) • (Б)
nez+ 1 p v kez+ J
В частности, в левую часть можно подставить ||/ * ТЛ— / * ТЛДТОта ||р.
Пусть / е +1, п = N. Тогда Тл= ЛШта. Ранее было отмечено, что ^+1 )1 = 0 при к ^ N +1. Поэтому из (5) следует, что
U-1 ||Лт„+1 - Лт№ ||p < 2|Тл |(|DmN+1 ||l + sup ^ ( ^+1 )l )•
v 0<k<N ¿k ;
откуда ||Лт«+1 - Лт« ||p < C2un(l + 2/¿n) < Сз(Л, ¿)yn•
Отсюда аналогично доказательству теоремы 3 с использованием леммы 4 получаем фундаментальность {Лтп}n=0 в Lp(G), сходимость Лтпк g в Lp(G) и то, что g e Hp• Теорема доказана.
Автор выражает глубокую благодарность С.С. Волосивцу за внимание к работе и обсуждение результатов.
Библиографический список
1. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубин- space to another II J. Math. Anal. Appl. 1982. Vol. 8B, штейн А.И. Мультипликативные системы функций и № 1. P. 69-73.
гармонический анализ на нуль-мерных группах. Баку: 8. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и
ЭЛМ, 1981. преобразования Уолша: Теория и применения. М.: На-
2. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. ука, 1987.
Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 9. Волосивец С.С., Агафонова Н.Ю. О мультиплика-
3. Rudin W. Fourier analysis on groups. N.Y.: John Wiley торах равномерной сходимости рядов по мультиплика-and Sons, 1967. тивным системам II Исследования по алгебре, теории
4. Karamata J., Tomich M. Sur la sommation des series чисел, функциональному анализу и смежным вопро-de Fourier des founctions continues II Publ. Inst. Math. сам: межвуз. c6. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1955. Vol. 8. P. 123-138. 2005. Вып. 3. С. 3-23.
5. Харшиладзе Ф. И. О множителях равномерной схо- 10. Агафонова Н.Ю. О мультипликаторах рядов боре-димости и прямоугольных матрицах суммирования ря- левских мер II Исследования по алгебре, теории чисел, дов Фурье II Труды Тбилисского госуниверситета. функциональному анализу и смежным вопросам: меж-1961. Т. 84. С. 127-141. вуз. сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007.
6. Агафонова Н. Ю. О равномерной сходимости пре- Вып.4. С. 3-10.
образованных рядов Фурье по мультипликативным си- 11. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный
стемам II Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009. Т. 9. Сер. анализ. М.: Наука, 1977.
Математика. Механика. Информатика, вып. 1. С. 3-8. 12. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных
7. Quek T.S., Yap L.Y.H. Multipliers from one Lipschitz рядов. М.: Физматгиз, 1958.
