CC BY
5
Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 4, С. о I!)
УДК 517.53/57
DOI 10.23671/VNC.2018.4.23383
СВОЙСТВА ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В СООТНОШЕНИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВА ХАРДИ»
X. X. Бурчаев1, Г. Ю. Рябых2
1 Чеченский государственный университет, Россия, 364024, Грозный, ул. А. Шерипова, 32; 2 Донской государственный технический университет, Россия, 344010, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1 E-mail: bekhan.burchaev@gspetroleum.com, ryabich@aaanet.ru
Аннотация. Рассмотрим пространство Харди Hp в единичном круге D,p ^ 1. Пусть — линейный функционал на Hp, определяемый функцией ш £ Lq (T), где T = dD и 1/p + 1/q = 1, a F — экстремальная функция для 1ш. На X £ Hq ре^тзуется наплучшее приближение ш в Lq (T) элементами из H° = {y £ Hq : y(0) = 0} Функции F и X называем экстремальшш элементами (э.э.) для 1Ш. Э.э. связаны соответствующим соотношением двойственности. Рассматривается задача о том, как ш
0 < p < 1. В статье Л. Карлесона и С. Кобса (1972) была изучена задача о свойствах элементов, на которых достигается нижняя грань ||ш — ) для заданного ш £ Lq(T) по x £ H^. Гипотеза авторов
ш Hq
статье В. Г. Рябых (2006). Свойства э. э. для 1ш, когда ш — полипом, изучены в статье X. X. Вурчаева,
B. Г. Рябых и Г. Ю. Рябых (2017). В данной статье, опираясь на основной результат последней статьи и пользуясь методом последовательных приближений, доказано: если ш £ Lq* (T), q sS q* < то, то F £ H(p-1)q*, X £ Hq *; когда производная ш(п-1) £ Lip(a,T ), 0 < a < 1, то F = Bf, где B — произведение Бляшке, f — внешняя функция, при этом
(If (t)|p)(n-1) £ Lip(a, T). Если же функция
ш
таты уточняют и дополняют подобные результаты, полученные в упомянутой работе В. Г. Рябых (2006). Доказано также, что экстремальная функция для 1Ш £ (Hq)*, вде 1/(n + 1) < S < 1/n, ш £ П Lip(e,T), в = 1/5 — n + v < 1 и v > 0, существует и обладает той же гладкостью, что ш
Ключевые слова: линейный функционал, экстремальный элемент, метод приближения, производная.
Mathematical Subject Classification (2000): 47А60.
Образец цитирования: Вурчаев X. X., Рябых Г. Ю. Свойства экстремальных элементов в соотношении двойственности для пространства Харди // Владикавк. мат. журн.—2018.—Т. 20, вып. 4.—
C. 5-19. DOI: 10.23671/VNC.2018.4.23383.
1. Введение
Пусть D = {z € C : |z| < 1} T = dD, t = e%e; 1 S p < ж, q : 1/p + 1/q = 1. Рассмотрим линейный (ограниченный) функционал над пространством Харди Hp, образованный u € Hq т.е. (/02п(■) dd = fT(■) dd)
1(a) = — / a(t)ui(t) dO, a € Hp. (1.1)
2n J
T
" Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 18-01-00017.
© 2018 Вурчаев X. X., Рябых Г. Ю.
Пусть Н0 = {х € Ия : х(0) = 0}. Согласно [1, гл. IV] имеет место
Теорема А (о двойственности). Если в функционале (1.1) 1 < р < оо и ш € Ид, то
' \\ьр(Т) = II ■ \\р)
sup liai p<i
1 г
— / аш dO 2п J
T
= inf ||w — x||q = Л. (1.2)
xenq
Существуют единственные функции F € Hp, ||F||р = 1 и X € H0, для которых
\ = — ( FujdO = ||w - XL. (1.3)
2п J
T
Равенство (1.3) равносильно выполнению п. в. соотношения
ww = m x(t)
F(t) Л Л '
(1.4)
Будем говорить, что функция F € Hp экстремальна (э. ф.) для функционала l, если
l(F) = ||l|| и ||F||р = 1. X
наилучшего приближения (э.н.п.) для ш.
l
1.1. В предлагаемой работе исследуются качественные свойства э.э. для функционала (1.1). Подобная задача изучена относительно э.ф. для линейного функционала над Hp, 0 < p < 1.
1.2. В [2] (2006 г.) установлено, что свойства э.э. зависят от принадлежности функции ш в функционале (1-1) тому или иному классу. Впервые подобная задача при p = 1 изучена в [3] (1972 г.). Одной из последних по этому вопросу является статья [4] (2017 г.).
1.3. В данной работе, опираясь на основной результат из [4], уточняются и дополняются некоторые старые результаты. Получены новые результаты.
Кратко изложим содержание работы. Ниже приводятся обозначения и сведения, используемые в дальнейшем. В §2 сформулированы основные результаты (теоремы 1, 2 и 3, 4). Доказательства даны в §§3,4 и §§5,6. Лемма 1 является вспомогательной для теоремы 2. Обсуждение старых и новых результатов вынесено в замечания 1 (§ 3) и 2 (§ 4). Теорема 3 '(§ 5) обобщает теорему 3 относительно линейного функционала над Hp, 0 < p < 1.
Настоящую работу можно рассматривать как продолжение работ [2] и [4].
1.4. Через A(A(R); A(C)) обозначим множество функций, аналитических в D(\z\ <R,R> 1;С); АС — совокупность функций из А, непрерывных на D — замыкании круга D.
Для 0 <а< 1, n ^ 1 обозначим Lip(n-1)(a, T) = Lip(n-1)a — класс функций w, непрерывных на T вместе с производными до порядка n — 1 включительно, причем w(n-1) принадлежит классу Липшица с показателем а:
|w(n-1)(ii) — w(n-1)(t2)\ = O(|ti — t2la).
Если n = 1, то обозначим Lip а = Lip(0)a.
Класс Ь*п 1) состоит го функций ш, принадлежащих Ыр(га)в, 0 < в < 1, таких, что ■ш(га-1) удовлетворяют условию Зигмунда:
|ад(п-1)(^) - 2ад(га-1)(¿) + ад(га-1)(¿е-^)| = О(М).
Соответственно, пусть
ЛГ1) А = ( д € А : \\д\\а>га = £ |д(^(0)| + 8пр(1 - И)1-" |д(п) (г) | < о!,
I £0 )
Л1П-1)А = (д € А : \\д\\П = £ |д(^(0)| + 8пр(1 - |г|)|д(п+1)(г)| < о!.
Теорема В [4]. Если в функционале (1.1) 1 <р< ж и ш — полином, то Г € А(С).
Теорема С [5]. Пусть Ф € (И)*, 0 < 5 < 1. Тогда существует единственная функция д € АС такая, что
Ф(а) = Ит — [ а(р£)д(£) (16, а € Яй. (1.5)
р^1 2п У
Т
Если при этом 1/(п + 1) < 5 < 1/п, п ^ 1, то д € л1""-1) А, где а = 1/5 — п.
Обратно, для д € л!"" 1)Д а = 1/5 — п, предел (1.5) существует для всех а € И<$ и определяет ограниченный функционал над
При 5 = 1/(п + 1) функция д € Ь*п 1). Соответственно, если д € Ь*п 1), то она образует над И1/(га+1) ограниченный функционал вида (1.5).
Отметим, что для 5 = 1/(п + а) имеет место оценка (см. [5])
с(5) \\д\Цп < \\Ф\\ < С(5) \\д\\а>га. (1.6)
Функцию Ф € И$ называем экстремальной для функционала (1.5), если
2п \ Vй
|Ф||г = Ит — [\ф(рем)\6 с1в) =1, Ф(Ф) = ||Ф|| =вир I р^1 2п ) / а=о
|Ф(а)|
а=0 \\а\\г
Говорим, что д € ЛаА, 0 < а < 1, если (1 — |г|)1-а|д'(г)| — 0 при |г| — 1. Множество полиномов плотно в ЛаА (см. [5]).
2. Формулировки основных результатов
Теорема 1. Э.ф. для функционала (1.1), в котором 1 <р< о и ш € Ид1, д ^ д1 < о, принадлежит И(р- 1)д1 тогда и только тогда, когда ш € Ид1. При этом э. н. п. X € ИЯ1.
Доказательство основано на использовании теоремы В, теоремы о форме элементов пространства (Ь7(Т))*, 1 < ^ < го, и теоремы о проектировании из Ь1 (Т) в И7.
Теорема 2. Если в функционале (1.1) 1 < р < ж и ш € л1""-1) Л, 0 < а < 1, п ^ 1, то р = В$,где и — внешняя функция, \и (Ь)\р € Ь1р(га-1)а, В — произведение Бляшке.
Соответственно, если ш € то Ц' (Ь)\р € Ь ).
Доказательство проводится с помощью теорем 1 и С, теоремы Арцела — Асколи о компактности и теоремы о граничных значениях интеграла Пуассона.
Теорема 3. Пусть в функционале (1.5) 1/2 < 5 < 1 и д € Ла+„Л, где а = 1/5 — 1, V > 0 0 < а + V < 1. Тогда э. ф. этого функционала существует (может быть, не единственная) и принадлежит Ла+иЛ.
Теорема 3 доказывается сведением ее к аналогичной теореме 4 из [2] относительно функционала (1.1): если в (1.1) 1 ^ р < 2 и ш € ЛаЛ, то э.ф. обладает такой же гладкостью.
Теорема 4. Если в равенстве (1.3) ш € Л(Я), то э.н. п. X € Л(Я).
Доказательство проводится методом вложения, примененным в [4].
3. Доказательство теоремы 1
Если в условии теоремы ц = ^1, то доказательство сразу вытекает из теоремы А. Пусть в функционале (1.1) ц < и ш := шм — частичная сумма разложения ш в ряд Тейлора, 1м — линейный функцион ал над Ир, образованный поли номом ш^ Рм и Хм — соответствующие э.э., Ам = ||1м||. Тогда согласно соотошению (1.4) п.в.
(3.1)
\Рм (Ь)\р шм (*) Хм (*)
Рм (*)
Ам
Ам
где Хм € И0. Умножим обе части (3.1) на РмЛ(^) где Н — полином, и проинтегрируем по в. Получим
(3.2)
т \ т
Пусть р1 = (р — 1)ц1; р2 = р1/(р1 — р) Тогда р1 > р > 1, р2 > 1- При этом
р1 р2 Ц1 \ р — 1 р — 1 )
Правую часть (3.2) оценим с помощью неравенства Гёльдера. С учетом Рм € Л(С) по теореме В, шм € ИЯ1, Н € ИР2, получим
^ I\FN\Phd9 т
Тогда, тем более, будет выполняться неравенство
2п
\Рм\р Ке(Н) йв
т
Воспользовавшись оценкой
1Н|Р2 < |ИЬ)||Р2 + ||1ш(Л)Ур2 < (1 + С^ЦИе^)^,
где С1 = 0(р2/(Р2 — 1)) (см. [6, гл. 9]), предыдущее неравенство сводим к неравенству
^ У \FN\PReih) (Ш
т
< ||Р1 ||Ве(Ь)||
||Р2 !
(3.3)
при
где С2(Х, 51,Р1) ограничены в совокупности в силу — ш в ИЯ1, Лм = N — то (см. [7, замечание]).
Множество тригонометрических полиномов плотно в ЬР2 (Т), р2 > 1- Поэтому линейный функционал из левой части (3.3) можно с сохранением нормы продолжить на все пространство ЬР2 (Т), т. е.
^ I\FN\Pyd0
т
< С(51,Р1)||^||
Р1 ||У ||Р2
для всех у € ЬР2 (Т). Из предыдущего по теореме об общем виде линейного функционала над ЬР2(Т) (см. [8, гл. VI, §2]) следует неравенство (1/р2 + 1/р2 = 1)
2п
т
1 1
Отсюда, имея ввиду рр2 = Ръ 1/р2 = Р/Рь после сокращения получим
2п
|Р1 (0
у-1 р1
< С.
(3.4)
т
Так как шм — ш в 5 ^ 51, при N — оо, пространство НР, р > 1, — равномерно выпуклое, то — ^ в НР (см. [7]), значит, (г) — ^(г) равномерно внутри В. Из (3.4) следует
2тг
(р£)|Р1 (0
1
т
В последнем неравенстве перейдем к пределу при N — то. Получим
— /
1
^ с~.
т
т. е. ^ € #Р1, Р1 = (р — 1)51.
Обратно, пусть э.ф. ^ € Н(Р-1)д1. Тогда функция |Р/^ € ЬЯ1 (Т) и на основании разложения Ь7 (Т) = Н7 ® Н0, 7 > 1 (теорема о проектировании из Ь7 (Т) в Н7 (см. [6, гл. 9])), она единственным образом пред ставима в виде
\т\*
т
где <1 € Hqi, <0 € Отсюда и из (1.4) следует, что п. в.
w(t) X(t)
<i(t) + <o(t) =
Л Л
Следовательно, по единственности ш = Л(^о + ¥>1(0)) € ИЯ1, X = — Л(<р1 — ^1(0)) € ИЯ1. Теорема 1 доказана.
Замечание 1. Теорема 1 уточняет теорему 2 из [2]: в последней установлено, что в условиях теоремы 1 э.н.п. X € П И7 (в теореме 1 э.н.п. X € ИЯ1).
т<91
2п 2п
о о
4. Доказательство теоремы 2
Лемма 1. Если в функционале (1.1) 1 < p < ж и ш € ЛаД 0 < a < 1, то \Fn (t)\p ^ G(t) в C (T) где G € Lip а.
< Умножим обе части равенств а (3.1) на Fn (t)/(1 — tz) и проинтегрируе м по 9. Получим
— [¡М.*, = f (J-
2W 1 — tz Л^ 2п
т
т
1 tz
■ ptz
c<)n(t) d9 ). (4.1)
Пусть 0 < в < а. Тогда шм — ш в Л^А (см. [5]). Поэтому последовательность [шм} ограничена в Следовательно, по теореме 1 последовательность [Рм} ограничена в И7 для каждого 0 < ^ < го. По теореме С предел в правой части (4.1) воспринимаем как значение линейного функционала Фм над ^/(1+^) на Рм (^/(1 — tz). Тогда
1
2тт
1 -tz
d9
т
<
|ф
n |
ЛN
Fn (t)
1 tz
i/(i+e)
где ||ФмII ограничены в совокупности в силу оценки (1.6) и ограниченности [шм} в Л/в А. Норму в правой части предыдущего неравенства оценим с помощью неравенства Гёльдера, ^ > 1, 17' + 1/7 = 1. Получим
1
2тг
\FnI
1 -tz
d9
т
< C\\Fn
|1+в
d9
7'/(l+/3)l 2тг J |1 -iz|7/(l+/3) )
1+ P 7
Число 7 подберем так, чтобы выполнялось условие 7/(1+ в) < 1- Тогда интеграл в правой части последнего неравенства сходится. Следовательно, последовательность из левой части ограничена в V. Поэтому последовательности
1
2тг
т
1 -tz"
d9
1
2тг
т
\Fn\Hz 1 -tz
d9
ограничены в V. С учетом этого, воспользовавшись представлением ядра Пуассона (г = гег^)
1 — г2 1 Р(г,д-<р) =-Ч-г-г-+ (4.2)
1 ^ 1 - 2 г еов(0 - <р) + г2 1 - ^ 1 - ¿г
и неравенством треугольника, заключаем, что последовательность
2п
ограничена в V. Откуда, |р € С(Т) в силу ^^ € А(С) по теореме В, переходя к пределу при г — 1, пользуясь теоремой о граничных значениях интеграла Пуассона [6, гл. 3], заключаем, что последовательность (г)} ограничен а в V. Поэтому ^ (г) ограничена в V в силу ^(г) — ^(г) в V.
Продифференцировав обе части (4.1) по получим
flM.de) =™-(1-
д^ \ 2п У 1 - ¿г
т
ЛИ 2п 3 (1 - ¿г)2 т
Как и выше, выражение в круглых скобках в правой части считаем значением функционала Фм над Я^д^+в) на функции ^(¿)^/(1 - ¿г)2. Соответственно имеем
2п 3 1 - ¿г
<
1Ф
N |
ЛМ
11^1|о°(27Г / |1-^|2/(1+/8)
т
1+в
^0
где последовательности {||Фм||} и {Лм} ограничены.
К интегралу в правой части применим оценку (г = гег^) [5]
^0
<
С,
2п 3 |1 - ¿г|1+^ (1 - г), т
, ^ > 0.
(4.3)
В результате получим
¡\_EnZ_
д(£\2ж 3 1 -
т
^0
<
С(/3)
(1 - г)1-в'
Отсюда, пользуясь представлением (4.2), = 1гф1(г) для ф е А, рассуждая как
в первой части доказательства, заключаем, что
д_(
2тг
2п
(е*) |рР(г, 0 - р) ^0
<
А(в)
(1 - г)1-в'
Воспользуемся теоремой С из [2]: «для того чтобы 2п-периодическая функция и> имела на Т производную порядка п - 1, удовлетворяющую условию Липшица с показателем 0 < а < 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
д"
2п
Ц0)Р(г, 0 - р) ^0
<
А* (а) (1 - г)1""
.
По процитированной теореме последовательность {| Fn (t)|p} ограничен а в Lip в- Поэтому найдется M(в) > 0 такое, что
||Fn(tx)|p -|Fn(t2)|p| < M(e)|ti - t2|e. (4.4)
Таким образом, ограниченная в C(T) последовательность {|Fn(t)|p} равностепенно непрерывна. Следовательно, по теореме Арцела — Асколи последовательность {|Fn(t)|p} компактна в C(T) (см. [8, гл. I, §5]). Из |Fn|p — |F|p в Li(T) следует, что предел (Pr * |Fn |p)(^) при N — го существует. Если {| Fn (t)|p} имеет в C(T) предельные точки Gi(t) и C2(t), то в силу единственности предела (Pr * Gi)(^>) = (Pr * G2)((p)- Откуда при r — 1 получим, что Gi(t) = G2(t). И в силу (4.4) |Fn(t)|p — G(t) € Lip в- Перейдем в равенстве (4.1) к пределу при N — го. Получим
J_ [ -9— d0 = — f^-udO,
2п J 1 - tz 2n J 1 - tz
T T
где F € Hж. Относительно этого равенства повторим рассуждения, проведенные выше. В результате заключаем, что |FN |p — G € Lip a в C(T). >
Перейдем к доказательству основной части теоремы 2. Из ограниченности {Fn(z)} и F(z) в D следуют представления Fn = Bn Jn и F = Bf, где Bn и B — произведения Бляшке, Jn и f — функции, ограниченные в D и без нулей [6, гл. 5]. Произведение Бляшке однозначно определяется нулями данной функции. Поэтому Bn — B, Jn — f в D. Поскольку последовательность {Fn (t)} ограничена в HM, то последовательность {log |Fn (t) |} ограничен а в Li(T) (см. [6, гл. 4]). Так как |FN (t)| — G(t) € Lip a по лемме 1, то | log(|FN(t)|p + ц)| — | log(G(t) + ц)| для любого 0 < ц < 1. Поэтому
2п 2п
¿/|log [С(егв) + ii)\d6 ^ sup ^ J \log(\FN(ew)\p + l)+p\log(\FN(ew)\)de.
0 0
Отсюда в силу произвольности ц, 0 < ц < 1, заключаем, что log G(t) суммируем. Тогда п.в. G(t) = |G *(t)|, где G* € Нж (см. [6, гл. 4]). Следовательно, п.в. G(t) > 0
Пусть to = G(to) > 0. Тогда по непрерывности G(t) > 0 в некоторой открытой окрестности точки во- Опираясь на оценку (4.4), получим
|Fn(t)|p = G(t) + (|Fn(t)|p - |FN(to)|pv) + (|Fn(to)|p - G(to)) ^ G(to) - (M|в - eo|e + ||Fn(to)|p - G(to)|).
Отсюда, |Fn (to)|p — G(to), заключаем, что найдутся So, 0 < So < ж, и номер No = N (So) такие, что при в € lo = {в : |в - eo| < So} значения G(t) > 0 и |FN(t)|p > 0. Тогда log |Fn(t)| и log G(t) непрерывны при в € l^nо e > 0 можно выбрать S, 0 < S < So, такое, что при в € li = {в : |в - eo| < S} будет
| logG(t) - logG(to)| = p lim | log |Fn(t)| - log |Fn(to)|| <e. (4.5)
1 1 N^ж1 1
Так как Fn € A(C), то Jn — внешняя функция функции Jn (см. [6, гл. 5]). Тогда |Jn(t)| = |Fn(t)| п.в., причем
2п
| ' | - вo) dв.
| Jn (peie°) I = f log\FN(ew)\P(p,e-e0)<
Отсюда, с учетом
п п
1 = ¿/W-<M<» = Í^7
1 - р2 f dö
1 - 2р cos(ö - öo) + р2'
—п —п
|FN(t0)|p — G(t0), следует, что
п
log|/(pí0)| - - logG(ío) = lim í {log\FN(ete) \ - log\FN(eteo)\)P(p,9 - 9o) d9. (4.6)
p N^те J
—п
Пусть l = {ö : |ö — öo| < ¿/2}. Интеграл в правой части (4.6) представим как сумму интегралов I^n(р) и ^n(р) соответственно по l и l* = [-п,п] \ l. Относительно первого слагаемого, имея ввиду оценку (4.5), получим
1i,n(р) < е, N > No. (4.7)
На l* имеем, что |ö — ö0| < ¿/2, где 0 < ö < п, тогда cos(ö — ö0) ^ cos(ö/2) < 1. Следовательно, для второго слагаемого имеем
п —п
Откуда вытекает, что supN |12,N(р)| — 0 при р — 1 в силу ограниченности {log |Fn (¿)|} в Li(T) и |Fn(¿0)| — G1/p(¿0) > 0. Вследствие последнего, (4.6) и (4.7) получим
lim | log |f (р^0)|р - log G(Í0)| < pe, p^i1 1
как только G(Í0) > 0. Следовательно, |f (t)|p = G(t) п. в. в силу произвольности е > 0. Если G(t0) = 0, то из неравенства (формула Пуассона)
0 < |f (р^0)|р < (Pp * G)(Ö0)
при р — 1 вытекает, что f (¿0) = 0. Это вместе с предыдущим устанавливает, что |f (t)|p = G(t) € Lipа, когда в функционале (1.1) ш € ЛаА
Пусть в функционале (1.1) ш € ЛО" 1)Д n ^ 2. Тогда, тем более, ш € ЛаА, и по доказанному выше |Fn(t)|p — |f(t)|p € C(T). Перейдем в равенстве (4.1) к пределу при N — сю, в новом равенстве от обеих частей возьмем производную порядка n. Получим
\2тг J l-tz J |/| [277 J (1 -iz)»+' J
Как и ранее, по теореме С выражение в круглых скобках в правой части воспринимаем как значение линейного функционала Ф над Hi/(n+a) на функции F(t)tn/(1 - íz)n+1. Тогда
i У'"
2п J 1 - tz /
(\ n+a
J_ í de \
2тг J |l J
К интегралу правой части применим оценку (4.3). В левой части перейдем к производной по у. После простых промежуточных оценок получим оценку (г = гег1р)
<
С (а)
(1 - г)
1 —а ;
которую, воспользовавшись представлением (4.2), сводим к оценке
дп
дуп
(-Рг *!/|р)(у)
<
А(а)
(1 - г)
1—а '
Отсюда по процитированной выше теореме С из [2] заключаем, что |/|р € Ыр(га 1)а.
Пусть теперь в функционале (1.1) ш € Л*п 11 А, п ^ 1- Тогда ш € Л? 11 А, гДе V, такое, что 0 < V < 1. По доказанному выше соответствующий |/|р € Lip(n-1)v. Умножим обе части (1.4) на Р(Ь)Н(рЬ), где Н — полином, и проинтегрируем по в. С учетом !F(Ь)|р = |/(Ь)^ п.в., Р(рЬ) — Р(Ь) в Н1, получим
Ит — 2п
КР1) \№\*м = ш —
н(рь)Р (рг)ш(г) йв.
(4.8)
т
т
Множество полиномов плотно в Н1/(п+1), НР € Н1/(га+1) в силу Р € По теореме С линейный функционал над Н1/(п+1) из правой части (4.8) можно продолжить с сохранением нормы на все пространство Н1дп+1). Значит, такое же продолжение допускает функционал из левой части (4.8). Далее, пользуясь разложением Ь1 (Т) = Н7 ф Н0, имея
ввиду |/|р € С(Т), то теореме С, 6 = 1/(п + 1) заключаем, что |/|р € ь1п-1). Теорема 2 доказана.
Так как функция Рм € А(С), то в ее факторизации сингулярная часть равна единице. Поэтому в представлении Рм = Вм /м функция
/м (г) = ехр
1
2тт
е)в - г
^ |/м(<
лв\
йв
(4.9)
1
ставлении к пределу при N — го. Следуя первой части доказательства теоремы 2 и (4.9), заключаем, что
^ } е*0 + г 27Г I
/ (г) = ехр
егв - г
1
Соответственно, э. ф.
Р (г) = Ит Вм (г)/м (г) = В (г)/(г),
N
(4.10)
/Р
Замечание 2. Теорема 2 дополняет [2, теорема 3]. Именно, в одинаковых усло-
Р
/
Р
5. Доказательство теоремы 3
Лемма 2. Если в функционале (1.5) 1/2 < 5 < 1 и д € ЛаД а = 1/5 - 1, то э.ф. ()
< С помощью тейлоровых рядов функций а и д получим (аД£) = а(р£))
1
2тг
apg d9 = — jаР((д' +д) da = — Jap(g'da + — jард da = М\{а, р) + M2{a, р). (5.1)
TD DD
Первое слагаемое в правой части этого равенства представим как сумму интегралов /1(а, р) и 12(а, р) соответственно, по ^(г) = {|£ | < г < 1} и К (г) = V \ ^(г). С учетом того, что (1 - |)1-а|д'(( )| ^ С (а) 1 - а = 2 - 1/5, будет
1^2(а, r) I =
^ J a(g'da
K(r)
< C(a)
П
K(r)
J (1 - |Z|)1/г-2|а(0|((1 -|Zl)1-a|g'(Z)l) Ar. (5.2)
Так как д € ЛаА в силу д € А т0 п0 е > 0 найдется 0 < г£ < 1 такое, что (1 - 1С 1)1-а|д'(С)1 < £1 как только £ € К(ге). Это позволяет свести (5.2) к оценке
I2(a,re)\^£C(a)U j {l-\(\)1/S-2\a\da).
D
Воспользуемся оценкой: если b € И7, 1/2 < 7 < 1, то [1, гл. IV, упражнение 5(d)]
1
(l-\(\)l/S-2\b\da^C\mbh. п j
D
||
|/2(а,ге)| < еС2(5)||а||г. (5.3)
По определению нормы функционала Ф существует последовательность {ат} € И^, ||ат||г ^ 1, такая, что Ф(ат) — ||Ф|| при m — оо. № ограниченности {ат} в И следует ее компактность относительно равномерной сходимости внутри D (это вытекает из оценки роста функций из Hp, 0 < p < оо, и принципа компактности аналитических функций). Пусть сама последовательность ат — Ф внутри D. Тогда ||Ф||г ^ 1- Из оценки (5.3) и произвольности е > 0 заключаем, что
lim lim Mi(am,p) = - / ФСд'йа. (5-4)
m^<xi р^1 П У
D
Пространства И вложены в пространства Бергмана 25 > 1. Функция g € AC, поэтому ограничена в D, пусть |g(Z)| ^ М. Применяя неравенство Гёльдера, 1/25 + 1/5' = 1, имеем, что
^M\\am\\A2Sl^ j da) -+0 ^ K(r) '
при r — 1 равномерно относительно ат. Соответственно,
^ J amg da
K (r)
lim lim M2(am, p) = — [ ^gda. та^те p^1 П J
D
Отсюда, из (5.1) и (5.4) вытекает равенство
т
где, как отмечалось, ||Ф||г ^ 1. Последнее вместе с предыдущим возможно только в случае ||Ф||г = 1. Следовательно, функция Ф экстремальная для функционала (1.5) (может быть, не единственная [9, теорема 7]). >
Пусть Ф = ЬН, где Ь — произведение Бляшке, функция Н € Н$ и без нулей в И. На основании Ь3(Т) = Н3 ф Н®, в > 1, для 7, 0 < 7 < 1, имеем, что Ьр(Ь)Нр(Ь)д(Ь) = р, 7) + ш0(Ь,р,ч), ш € Н3, ш0 € Н0 (р и 7 являются параметрами). При этом функция (т = ег
,„( , 1 (5.5)
2п ) 1 — тг
т
На основании теоремы С, д € Л^А, правую часть (5.5) рассматриваем как значение линейного функционала Ф* над Нм, ц = 1/(1 + а + V) на НрЬр/(1 — тг). С учетом |Ь(т)| = 1 п.в., ||Н||г = 1, получим (неравенство Гёльдера: 6 = 1/(1 + а) > ц, р1 = 6/^Ц, 91 = 6/(6 — щ))
Так как ц < 6, то 7 можно выбрать так, чтобы выполнял ось условие 1 — 6 < 7 < 6/ц — 6. Тогда ц6/(6 — 7ц) < 1 и интеграл в правой части (5.6) ограничен. Соответственно, имея ввиду ^ < 6, НрЬр — Н7Ь в Н1 при р — 1, заключаем, что
<ф,р,7) ->■ ги*(2) = (5.7)
2п ,} 1 — тг
т
причем ш* € Нж. Следовательно, ш(Ь,р,^) — ш*(Ь) слабо в Н5, 1 < в < го. Из предыдущих рассуждений равенства
||Ф|| = Ит [ Фрдйв = Ит — [ ^^(тЪрд) йв (5.8)
р^1 У р^1 2п ) > >
тт
и Н1-7 € Нр+, р* = 6/(1 — 7) > 1, следует, что
ЦФЦ = — [ (5.9)
2п 7
т
Причем функция Н1-7 является экстремальной для функционала ^ над Нр<<, заданного формулой
= — [ а(£)«;*(?) йв, а € Яр<!. 2п у т
Действительно, пусть функция (экстремальна для L. Поскольку равенства (5.8) и (5.9) равносильны, то
ЦФЦ < Ит^ f {VphJbp)gM = ||J§?||. (5.10)
T
С помощью неравенства Гёльдера, ||(||pt = ||h||^ = 1, определяем, что
\\v(h"<b)\\s =1ф/\vWd0j < MUH]-1 = 1.
Откуда и из (5.10) следует, что ||Ф|| = ||L||. Но L(h1-7) = ||L||, стало быть, ( = h1-7 по единственности э. ф. в HPt. Тогда по теореме 1 э. ф. для функционала L, w* € принадлежит Hi<s Hs, значит, h € Пi<s Hs. Отсюда и (5.7) по сложившейся схеме выводим, что w* € ЛвA, в = а + V.
Повторим последние рассуждения относительно равенства
ЦФЦ = Um^ f hlJ2(hlJ2bpg) d6 = lim i- J hlJ2bp(hl/2g) dB.
TT В результате заключаем, что
h1/2 экстремальна для функционала
— [ a(t)w*(t)de 2п J
T
над H2s, где, с учетом h € P|1<siis, функция w*(z) = ^ fT dtp € Л^А. Тогда на основании теоремы 4 из [2], 1 < 25 < 2, функция h1/2 € ЛвА. Аналогично определяем, что h1/2b € Лв А Следовател ьно, Ф = h1/2(h1/2 b) € Лв А. Теорема 3 доказана. Обобщением теоремы 3 является
Теорема 3'. Если в функционале (1.5) 1/n < 5 < 1/(n + 1)
ид € Aa+VА, где
а = 1/5 — n, v > 0 а + v< 1, то э. ф. сугцуствуют и обладают той же гладкостью. Доказательство не приводим по технической причине.
6. Доказательство теоремы 4
Для 1 < q < 2 доказательство дано в [4, следствие 3.1]. В общем случае 1 < q < то и ш € A(R) доказательство основано на идее доказательства теоремы 3.2 из [4].
Ограничимся доказательством теоремы 4 для случая, когда в равенстве (1.3) 1 <q< той ш — полином, т. е. докажем, что при указанных условиях X € A(C).
Пусть fN (t) = Co + ■ ■ ■ + CntN — произвольный полином порядка не выше N Wn(t) = tNfN(t) = Cn + ••• + CotN En = {Q € Hp : Q(z) = +1 qj, qj — тейлоровы коэффициенты}. Следуя ходу доказательства теоремы 3.1 из [4], заключаем, что
^N = min llfN + Q|| = llfN + QNII , (6.1)
QeE^ 11 "p 11 "p
где Qn € En- По упомянутой теореме 3.1 функция fN + QN € A(C), значит, QN € A(C). С учетом iNQ(t) = J2'j=N+1 qjtj-N, |iN | = 1, (6.1) равносильно
^N = min ||tNfN + tNQ|| = ||fN + Qn|| = min ||w + y|| = ||wn + Yn|| , где по единственности э.н.п. YN = tNQN € HO. При этом Yn € A(C) в силу QN € A(C).
Пусть ш(г) = а0 + ■ ■ ■ + аnzN. Относительно gN(t) = — (а^ + ■ ■ ■ + a0tN) повторим рассуждения, проведенные выше. Для p такого, что 1 < p < го получим
min llw — x\\ = llw — XII = min ||tNöN + Q\\ ,
где X e A(C). Теорема 4 доказана.
Литература
1. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции.—М.: Мир, 1984.—469 с.
2. Carleson L.; Jacobs S. Best uniform approximation by analytic functions // Arc. Mat.^l972.^Vol. 10, № 2.—P. 219-229.
3. Рябых В. Г. Приближение неаналитических функций аналитическими // Мат. сб.—2006.—Т. 197, № 2.—С. 87-94. DOI: 10.4213/sml513.
4. Вурчаев X. X., Рябых В. Г., Рябых Г. Ю. Об одной экстремальной задаче в пространстве Харди Hp, 0 < p < то // Сиб. мат. журн.—2017.—Т. 58, № З.-С. 510-525. DOI: 10.17377/smzh.2017.58.303.
5. Duren P. L. Romberg В. W., Shields A. L. Linear functionals on Hp with 0 < p < 1 // J. Reine Angew. Math—1969 —Vol. 238.^P. 32-60.
6. Гофман M. Банаховы пространства аналитических функций.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1963.— 311 с.
7. Рябых В. Г. Экстремальные задачи для суммируемых аналитических функций // Сиб. мат. ЖурН>—1986.—Т. 27, № З.-С. 212-217.
8. Канторович Л. В., Акндов Г. П. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1984.—750 с.
9. Вурчаев X. X., Рябых В. Г., Рябых Г. Ю. Некоторые свойства экстремальных функций линейных функционалов над пространствами Харди и Бергмана // Мат. форум. Т. 9. Исслед. по мат. анализу, дифференц. уравнениям и мат. моделированию.—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2015.— С. 125-139.—(Итоги науки. Юг России).
Статья поступила 29 ноября 2017 г.
Вурчаев Хайдар Хасанович Чеченский государственный университет, доцент РОССИЯ, 364024, Грозный, ул. А. Шерипова, 32 E-mail: bekhan. bur chae v@gspet г о leum. с от Рябых Галина Юрьевна
Донской государственный технический университет, профессор РОССИЯ, 344010, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1 E-mail: ryabich@aaanet.ru
Vladikavkaz Mathematical Journal 2018, Volume 20, Issue 4, P. 5 19
PROPERTIES OF EXTREMAL ELEMENTS IN THE DUALITY RELATION FOR HARDY SPACES
Burchaev, Kh. Kh.1 and Rvabvkh, G. Yu.2
1 Chechen State University, 32 A. Sheripov St., Grozny, 364024, Russia;
2 Don State Technical University, 1 PI. Gagarina, Rostov-on-Don, 344010, Russia E-mail: bekhan.burchaev@gspetroleum.com, ryabich@aaanet.ru
Abstract. Consider a Hardy space Hp in the unit disk Dp > 1. Let be a linear functio nal on Hp determined by w e Lq (T = 3D, 1/p + 1/q = 1) and let F be an extremal function for Let X e Hq implements the best approximation of w in Lq (T) by functions from H0 = {y e Hq : y(0) = 0} The functions F and X we called extremal elements (e. e.) for lw. E. e. are related by the corresponding duality relation.
We consider the problem of how certain properties of w will affect e. e. A similar problem is investigated in the case of 0 < p < 1. An article by L. Carleson and S. Jacobs (1972), investigated the problem of the properties of elements on which the infimum inf{||w — x||l^(t) : x e H0} for a given w e Lq(T) is attained. The hypothesis
w
projection onto Hq is partially confirmed in a paper by V. G. Ryabykh (2006). Some properties of e. e. for w
In this paper, relying on the main result of the last article and using the method of successive approximations, the following is proved: if w e Lq* (T) and q < q* < to, then F e H(p-1)q* and X e Hq»; if the derivative w(n-1) e Lip(a,T) with 0 < a < 1, then F = Bf where B is the Blaschke product, f is an external function, with (|f (t)|p)(n-1) e Lip(a, T). If the function w
same circle. The listed results clarify and complement similar results obtained in an above mentioned paper by V. G. Ryabykh. It is also proved that the extremal function for lw e (Hq)* exists and has the same smoothness as the generator function w, whenever 1/(n + 1) <5 < 1/n, w e f] Lip(,0,T), ¿3 = 1/5 — n + v < 1, and v > 0.
Key words: linear functional, extremal element, approximation method, derivative. Mathematical Subject Classification (2000): 47A60.
For citation: Burchaev, Kh. Kh. and Ryabykh, G. Yu. Properties of Extremal Elements in the Duality Relation for Hardy Spaces, Vladikavkaz Math. J., 2018, vol. 20, no. 3, pp. 5-19 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2018.4.23383.
References
1. Garnett, J. Oyranichennye Analiticheskie Funktsii, Moscow, Mir, 1984, 469 p. (in Russian).
2. Carleson, L. and Jacobs, S. Best Uniform Approximation by Analytic Functions, Arc. Mat., 1972, vol. 10, no. 2, pp. 219-229.
3. Ryabykh, V. G. Approximation of Non-Analytic Functions by Analytic Functions, Sbornik: Mathematics, 2006, vol. 197, no. 2, pp. 225-233. DOI: 10.1070/SM2006vl97n02ABEH003755.
4. Burchaev, Kh. H., Ryabykh, V. G., and Ryabykh, G. Yu. On an Extremal Problem in Hardy Space Hp, 0 < p < to, Siberian Mathematical Journal, 2017, vol. 58, no. 3, pp. 392-404. DOI: 10.1134/ S003744661703003X.
5. Düren, P. L. Romberg, B. W. and Shields, A. L. Linear Functionals on Hp Space with 0 < p < 1, J. Reine Angew. Math,., 1969, vol. 238, pp. 32-60.
6. Gofman, M. Banach Spaces of Analytic Functions, Moscow, Foreign Languages Publishing House, 1963, 311 p. (in Russian).
7. Ryabykh, V. G. Extremal Problems for Summable Analytic Functions, Sib. Mat. Zh., 1986, vol. 27, no. 3, pp. 212-217 (in Russian).
8. Kantorovich, L. V. and Akilov, G. P. Functional Analysis, Moscow, Nauka, 1984, 750 p. (in Russian).
9. Burchaev, Kh. Kh., Ryabykh, V. G. and Ryabykh, G. Yu. Some Properties of the Extremal Functions of Linear Functionals on Hardy and Bergman Spaces, Math. Forum. Vol. 9. Studies in Mathematical Analysis, Differential Equations, and Mathematical Modeling (Review of Science: The South of Russia), Vladikavkaz, SMI VSC RAS, 2015, pp. 125-139 (in Russian).
Received November 29, 2017
Khaidar Kh. Burchaev Chechen State University, 32 A. Sheripov Str., Grozny, 364024, Russia, Associate Professor
E-mail: bekhan. burchaev@gspetro leum.com
Galina Yu. Ryabykh
Don State Technical University,
1 PI. Gagarina, Rostov-on-Don, 344010, Russia,
Professor
E-mail: ryabich@aaanet.ru
