О мультипликаторах рядов борелевских мер Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 511

Н.Ю. Агафонова

О МУЛЬТИПЛИКАТОРАХ РЯДОВ БОРЕЛЕВСКИХ МЕР

Пусть P = {pi}i=i — последовательность натуральных чисел, таких что 2 ^ pi ^ N, i E N. Группа G(P) состоит из элементов x = (x\,x2,...), где xi E Z+, xi < pi, i E N, и снабжена операцией сложения x 0 y = ¿, где z = (z\, z2,...) E G(P) и zi = xi + yi (mod pi),i E N. Аналогично вводится x 0 y. Пусть m0 = 1, mi = pi.. .pi, при i E N. Тогда каждое k E Z+ единственным образом представимо в виде

то

k = ^2 km-1, ki E Z+, ki <pi. (1)

i=1

По k E Z+ вида (1) и x E G(P) определяем

то

Xk(x) = exp(2ni(Y^ xjkj/pj)). j=1

Система {хк(x)}TO=0 является ортонормированной и полной относительно системы Хаара на G(P) [1, гл. 3, §2]. Каждому x можно сопоставить элемент x E [0,1) по формуле

то

x = A(x) = ^^ xi/mi. i=1

Обратное к Л отображение др ставит в соответствие числам к/тп € [0,1) элементы х € О(Р), такие что х = 0 при % ^ ¿о, для остальных чисел из [0,1) значение дР(х) определяется однозначно.

00

Полагаем для х € [0,1) (х) = Хк(дР(х)) = ехр(2п%(Х} хз-кз-/р)),

з=1

где к € Ъ+.

Аналогично для х, у € [0,1) х 0у = Л(дР(х) 0дР(у)). Пусть Е — множество точек из О(Р), не входящих в др([0,1)). Функции /(х), заданной на [0,1), соответствует функция /(х), равная / (Л(х)) при х € С\Е и равная верхнему пределу /(у ) при условии, что у стремится к х в топологии, заданной окрестностями нуля Оп = {х € О(Р) : х1 = • • • = хп = 0} и

у € О\Е. Каждой борелевской мере на О(Р) или [0,1) соответствуют ко_ 1_

эффициенты Фурье ((т)(к) = / хк(т или ((т)Л(к) = / хк(t)dm(t), к €

о о

€ Ъ+. Если у т и т одни и те же коэффициенты Фурье, а / опре-

1

деляется по / как выше, то / / (т = / / ^)(тПусть / € Ь[0,1),

о о

(/ € Ь(О)). Тогда /(к) = /о1 /(1)ХкМ dt, а (/ )(к) определяется аналогично. Ряд Е /(к)хк(х) называется рядом Фурье функции /(х) по к=о

п—1 Л

системе {хк(х)}^=о, а Бп(/)(х) = ^ /(к)хк(х) — частичной суммой

к=о

ряда Фурье. Аналогично вводится ряд Фурье и его частичные суммы

1

для / ,(т и (т. Функция ^1(х) = / /(х 0 t)g(t)dt называется сверткой

о

1

/ * д(х), где /, д € Ь[0,1), а функция к2(х) = / /(х 0 ^(т^) назы-

о

вается сверткой / * (т(х), где т — мера на [0,1) и /(х) € МС[0,1),

т.е. Нш ||/(х 0 к) — /(х)||то = 0, ||/||то = вир |/(х)|. Легко видеть, что

Х€[о,1)

п— 1

5Ц/)(х) = / * ^п(х), а Бп((т) = Лп * (т, где Щх) = Хк(х),

к=о

п— 1

ЯЦ/) = / * Лп(х) и Бп((т) = Лп * (т, где Лп(х) = X] Хк(х).

к=о

Известно [3, гл. 6, §7], что каждый функционал С (К), где К — ком-

пакт, имеет вид ^>(/) = J /d^, где д — борелевская мера на K. Поэтому

к

функционал ^0(/) = /(0) тоже имеет такой вид и существует борелевская мера m на G(P), такая что (dm)"(k) = 1 для всех k E Z+.

Будем рассматривать классы S(S) — борелевских мер на [0,1) (G(P)) C(С)-непрерывных на G(P) функций и B[0,1) (B(G)) — ограниченных

на [0,1) (на G(P) ) функций с нормой ||/||то. Кроме того, пусть ||/||р =

/1 \ 1/р _ = ( 11/(t)|P dt I и аналогично для ||/||р. По определению для убывающей к нулю последовательности un

Ир;[0,1) := {/ E Lp[0,1) : )р := sup ||/(x 0 h) - /(x)||p ^ C^n},

0<h<1/mn

где C не зависит от n. Класс И;(G) определяется аналогично. Пусть A, B — два класса функций или мер на [0,1) или G(P). Будем писать

то

{Ak} E (A, B), если из того, что ряд ^ акхк(x) есть ряд Фурье функции

к=0

то

или меры из A, следует, что ^ Akакхк (x) есть ряд Фурье функции или

к=0

меры из B. В нашей работе даны критерии {Ak} E (S, C), (S, B), (S, И;) в обоих случаях (для [0,1) и G(P)).

Дадим сначала необходимые вспомогательные утверждения.

Лемма 1 (2,§1.5). Для n E Z+ верны равенства Dmn(x) = mnX[0;1/mn), Dmn (x) = mnXGn (x), где XE — характеристическая функция множества E. Для x E (0,1) и n E N верно неравенство |Dn(x)| ^ C/x, а для x E G(P) \ Gn имеем |Dmn(x)| ^ Cmn.

00

Лемма 2. 1) Ряд ^ акХк (х) является рядом Фурье функции / Е В [0,1)

к=0

ш„-1

тогда и только тогда, когда ||то := || ^ акХк ||то ограничены.

" к=0

то

2)Ряд акХк(х) является рядом Фурье функции / Е МС[0,1) то-

к=0

гда и только тогда, когда Бтп равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, то есть для любого £ > 0 существует 6 такая, что для всех

|к| < 6 и всех п € N верно ||£тп(х 0 к) — 5тп(х)||то < £. Аналогичные утверждения верны для В (О) и С (О).

Доказательство Так как Ято„ (/)(х) = (Лто„ * /)(х), то для / € В[0,1)

(/^ |Лт„ Ц1 • ||/ Уто = ||/ Уто

и

|Ят„ (/)(х 0 к) — 5т„ (/)(х)||то ^ |Лт„ |1 • ||/(х 0 к) — / (х)

то ^ ||^т„ |1 • |/ (х 0 к) — / (х)|то,

откуда легко следует необходимость и в 1) и в 2). Пусть ||£тп (х)|то ^ С для всех п. Тогда в силу ортонормированности {хк}ТО=о получаем, что

тп—1 1 то

£ К|2 = / |Ятп(х)|2(х < С2, откуда следует сходимость ряда К|2 к=о о к=о

то

и Х^ акХк сходится к функции / € Ь2[0,1). Известно [2, § 2.8], что к=о

Ятп (/)(х) сходится к /(х) в каждой точке Лебега, откуда следует, что |/(х)| ^ С п.в. на [0,1), и значит, существует /о € В[0,1) такая, что

то

/ = /о п.в. на [0,1) и X] акХк(х) есть ряд Фурье /о(х).

к=о

Пусть теперь Ятп (х) равностепенно непрерывны. По теореме Арцела существует £тп, (х), сходящаяся по норме || • ||то к некоторой функции / € МС[0,1). Если в случае О(Р) теорема Арцела сразу дает нужный результат, то в случае [0,1) £тп (х) построенные по £тп(х) также равностепенно непрерывны, поэтому находим равномерно сходящуюся подпоследовательность £тп (х) и соответствующая £тп (х) также сходится

' 1 ' равномерно. Так как при к < тп4 / £тп. (х)Хк(х) (х = ак, то и /(к) = ак

о г

для всех к € Для С (О) и В (О) рассуждения аналогичны. Лемма доказана.

то

Лемма 3. Ряд X] акХк является рядом Фурье функции / € Яр, к=о

1 ^ р ^ то тогда и только тогда, когда

|Ятк Ятп |р ^ C^n, (2)

mk— 1

где k > n, C не зависит от k и n, Smk = ^ ak.

¿=0

Доказательство Необходимость следует из неравенства А.В.Ефимова [2, § 10.5]. Из условия (2) следует фундаментальность Smk в Lp[0,1) (или в MC[0,1)), т.е. Smk сходится к f G Lp[0,1) (или в MC[0,1)). Переходя в (2) к пределу при k — то, получаем ||f — Smn(f)||p ^ Cwn, откуда по неравенству А.В. Ефимова следует f G Hp.

Лемма 4. Пусть m — борелевская мера на G(P). Тогда Sn(dm)(x)/n —

— m({x}), где m(A) — мера множества A. Аналогичное утверждение верно для меры m на [0,1).

Доказательство

Как отмечено выше, Sn(dm)(x)/n = = JG Dn(x 0 ü)/ndm(u), причем

|Dn(x0u)/n| ^ 1 ив силу леммы 1 при x0u = 0 Dn(x0u)/n сходится к 0,

а в точке x = u равно 1. По теореме Лебега о мажорируемой сходимости,

левая часть стремится к J X{x}(u)dm(u) = m({x}), что и требовалось

G

доказать.

Основные результаты

то

Теорема 1. 1) Ряд ^ akявляется рядом Фурье борелевской меры m

k=0

на G(P) тогда и только тогда, когда f |Smn(x)|dx ограничены, где dx

g "

— мера Хаара на G(P).

то

2) Ряд X является рядом Фурье борелевской меры m на [0,1) k=0

1

тогда и только тогда, когда § |Smn (x)|dx ограничены и для любой

о

р = k/mn G [0,1) имеем lim Sn(р — 0)/n = 0.

n—>-то

Доказательство 1) Пусть m— мера на G(P).

Имеем в силу теоремы Фубини и леммы 1

I |Ятп ((т)(х)|(х ^ J |Лтп (х 0 м)(т(м)^ (х

^ |лтп(х 0 (т(и) = т(О).

Обратно, пусть Тп(/) = / Ятп(х)/(х)((х). Тогда нормы Тп(/) как функ-

оп

ционалов в С(О) ограничены и по теореме о слабой компактности ограниченного множества в сопряженном пространстве существует подпоследовательность Тп. и функционал Т, такой что для любой / € С (О)

Тпг (/) ^ Т(/) = у /((т).

о

При / = Хк и п > к левая часть равна ак, следовательно, (т)(к) = ак.

2) Борелевская мера т на О(Р) разлагается на 2 слагаемых: т1 обращающееся в 0 на любом подмножестве Е и т 2, обращающееся в ноль вне Е. Ясно, что мере т на [0,1) соответствует мера т1 первого вида с теми же коэффициентами Фурье по системе {Хк}то=о, что и у т по системе{Хк}то=о. По лемме 4 отсутствие слагаемого т2 у т равносильно соотношению Яп((т)(х) ^ 0 для всех х € Е .Но если х € Е, то Л(х) = = к/тп € (0,1) и х = (х1,..., х/,р1+1 — 1,Р/+2 — 1,...), причем у , близким к х в топологии О(Р), соответствуют у = Л(у ), такие что у < к/тп. Поэтому условие Яп((т)(х )/п ^ 0 на Е равносильно Яп((т)(х — о)/п ^ 0 для всех х вида к/тп, к,п € N, к ^ тп, где т — мера с теми же коэффициентами Фурье по системе {Хк}то=о, что и у т по системе {Хк}то=о.

1

Таким образом, условие / |Ятп(х)|(х = / |Ятп(х)|((х) ^ С равносильно

о о

существованию т на О(Р) с коэффициентами Фурье ак, а второе условие равносильно тому, что мера т не имеет слагаемого т2 и поэтому ей соответствует мера т на [0,1), такая что т(А) = т(Л(А)). Теорема доказана.

Замечание 1. Аналог теоремы 1, где вместо 5тп использовались средние Чезаро, доказан Файном [4] в случае рп = 2.

Теорема 2. Для того чтобы {Лк} € (Я, Яр), необходимо и достаточно, чтобы ряд

Хк(х) (3)

(х к=1

был рядом Фурье функции д(х) € Яр. Аналогичное утверждение верно для (£,Яр(О)).

Доказательство

то

Как уже отмечалось, ряд 1 + ^ Хк(х) является рядом Фурье некото-

к=1

рой меры то на О(Р). Но в силу леммы 1 |Лп(х—о)| < 2С/х, поэтому для

то

ряда 1 + Хк(х) имеем 5п(х — о)/п = Лп(х — о)/п ^ 0 при всех х = 0 и к=1

по теореме 1 существует мера то на [0,1), такая что (то(к) = 1, к € Z+.

то

Если Лк € (Я, Яр), то Ло • 1 + (Лк • 1)Хк(х) есть ряд Фурье функции

к=1

д € Яр, что и требовалось доказать. Пусть, напротив, существует д € € Яр, такая что д(к) = Лк, к € Рассмотрим (х) = 5тп(д) *(т(х). Так как 5тп € МС[0,1) при к € [0,1/тк)

|5тй (х) — 5т п (х)|р < |5тк (д) — 5т„ (д)|р ^ |(т(^ < С^п.

о

то

Снова по лемме 3 получаем, что X] Лк((т)Л(к)Хк(х) является рядом Фу-

к=о

1

рье функции из Яр . Имеем неравенство ||/ * (т||р ^ |/||р • / |dm(t)|

о

[5,гл. 12, п.12.7.2].

Теорема 3. Условие {Лк} € (5, В)({Лк} € (5, МС)) равносильно тому, что ряд (3) является рядом Фурье функции д € В [0,1) (д € МС[0,1)).

Доказательство Необходимость проверяется так же, как в теореме 2. Пусть д € МС[0,1). Тогда для т € 5 и к € Ъ+ Лк((т)Л(к) = (д * (т)Л(к) и при

1

10

h G [0,1/mi)

||Smn(g * dm)(x 0 h) - STOn(g * dm)(x)||TO <

1

< |Dm„||i • ||g(x 0 h 0 t) - g(x 0 t)||TO • J |dm(t)| < Cw/(g)TO

0

и последнее выражение стремится к 0. Для B [0,1) доказательство достаточности аналогично.

Замечание 2. Аналог теоремы 2 при p = то и ¡x>n = m-a и аналог теоремы 3 в тригонометрическом случае доказаны М.Г. Скворцовой[6].

Библиографический список

1. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М.,Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах. Баку: ЭЛМ, 1981.

2. Голубое Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.

3. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

4. Fine N.J. Fourier-Stielties series of Walsh functions //Trans. Amer. Math. Soc. 1957. V. 86, №1. P.246-255.

5. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. М.: Мир, 1985. Т.2.

6. Скворцова М.Г. Некоторые новые теоремы о преобразованиях рядов Фурье при помощи множителей // Учен. зап. ЛГПИ им. А.И. Герцена. 1956. Т. 125. C. 197-205.