О сходимости и локализации кратных рядов Фурье для классов функций ограниченной Л-вариации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518

О СХОДИМОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИИ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ ДЛЯ КЛАССОВ

ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ Л-ВАРИАЦИИ

А. Н. Бахвалов

Введем вначале необходимые обозначения. Положим T = [—п; п). Для промежутка I на прямой через Q(/) обозначим множество всех конечных систем попарно непересекающихся интервалов {In}, таких, что 1п С I. Пусть 1к = (ак,Ък). Рассмотрим функцию /(х) на Rm. При т = 1 положим /(I1) = /(Ь1) — /(а1); если для любой функции m — 1 переменной уже определено выражение f (11 х ... х Im-1), то для функции m переменных положим

f (11 х ... х Im) = f (11 х ... х Im-1, bm) — f (11 х ... х Im-1, am).

Величину f (11 х ... х Im) назовем смешанным приращением функции f на I. Мы будем пользоваться тем, что смешанное приращение симметрично относительно перестановок переменных. Через osc (f, I) будем обозначать колебание функции f на I.

Пусть множество {1,... , m} разбито на два непересекающихся множества а и ß, состоящие из p и m — p элементов соответственно. Если x = (ж1,... , жт), то жа — элемент Rp, состоящий из компонент ,

m

j € а. Для параллелепипеда I = Ij обозначим Ia = Ij. Через f (Iа, жв) будем обозначать смешанное

j=1 je«

приращение f как функции аргументов , j € а, на Ia при фиксированных значениях жк, k € ß. Для каждого k € {1,... , m} определим также множество к = {1,... , m} \ {k}.

Определение 1. Неубывающая последовательность положительных чисел Л = {Ап} задает класс

те

функций ограниченной Л-вариации (класс Ватермана), если ^ j- = оо. Множество последовательностей,

n=1

удовлетворяющих перечисленным условиям, будем обозначать через L. Положим также H = {n}. Ясно, что H € L.

Определение 2. Пусть даны Л1,..., Лт — последовательности из L. Тогда (Л1,..., Лт)-вариацией функции f (ж1,..., жт) относительно переменных ж1,..., жт по параллелепипеду А = А1 х ... х Ат называется величина

Т/Х ^ lf(I11 х ... х Imm)1

УЛ;;^! (f; А) = УД...^ (f; А) = sup £

__\1 \m

{/j }en(Aj) fcb...,fcm Afcx •••Afcm

Пусть непустое множество а С {1,... , m} состоит из элементов ji < ... < jp и в = {1, • • • , m} \ а. Через

(f ;(Да,жв)) = vj ,...,а;р (f ))

обозначим (Лл, • • •, ЛЛр )-вариацию f как функции переменных жл, • • •, xjp по р-мерному параллелепипеду д« = дл х ... х д^-р при фиксированных значениях жв остальных переменных (если в не пусто).

Далее, (Лл, •.., ЛЛр)-вариацией функции f (ж1, • •. , жт) относительно переменных жа по параллелепипеду Д = Д1 х ... х Дт называется величина

(f;Д)= Vj Ajp(f;Д)= sup V^l j(f;(Да,жв)).

Определение 3. Величина

Vai,...,a! (f ;А)= £ vxa (f; А)

аС(1,...,т}

а=0

называется (полной) (Л1,..., Лт)-вариацией функции /(ж1,..., жт) по параллелепипеду А = А1 х... х Ат. Множество функций, для которых она конечна, называется классом (Л1,..., Лт)-ограниченной вариации

на А и обозначается через (Л1,..., Лт)ВУ(А). Если все последовательности Л-7 совпадают и равны Л, то для краткости будем обозначать , Va и ЛВУ(А) соответственно. Величину VH называют гармонической вариацией.

Каждой последовательности возрастающих чисел Л € L сопоставим также возрастающую последовательность чисел А(п) = ^fc=i и набор последовательностей Ап = {Лп_|-k}kLi-

Определение 4. Функция f € (Л1,..., Лт)ВУ(А) называется непрерывной по (Л1,..., Лт)-вариации, если для любого непустого множества а = {ji,..., jp} С {1,..., m} и для любого j € а выполнено

lim Vх" (f • А) = 0

Множество таких функций будем обозначать через C(Л1,..., Лт)У(А).

В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые функции измеримы.

Определение 5. Точка xo называется регулярной точкой функции f (x), если существуют и конечны 2m пределов

f (x1 ± 0,..., ± 0)= lim f (x1 ± i1,...,^ ± tm)

для всевозможных комбинаций знаков. Для такой точки хо обозначим /*(хо) = X] /(ж^ ± 0,..., ж™±0).

т

Пусть S € (0, , а а € { — 1; 1}m. Обозначим через (x, x + aS) параллелепипед Р, где Jj =

j=i

(xj+ ) при aj = 1 и = (xj — ) при aj = -1. В качестве нормы в Rm возьмем ||S|| = max

Классы ABV были определены в одномерном случае Д. Ватерманом [1], в двумерном А. А. Саа-кяном [2], а для случая более высоких размерностей — А. И. Саблиным [3, 4]. В этих работах, а также в работах автора [5, 6] был получен ряд результатов о сходимости тригонометрических рядов Фурье для функции из классов Ватермана. Приведем результат автора из работы [6].

Теорема A. Пусть f € HBV(Tm) — 2п-периодическая по каждому аргументу функция. Тогда в каждой регулярной точке x € Tm функции f, для которой

0 Е (/;(х, X + ^))=0, (1)

ее ряд Фурье сходится по Прингсхейму к величине /*(х). Если функция / к тому же принадлежит классу СНУ(Тт), то условие (1) выполнено в каждой регулярной точке функции.

Понятие непрерывности по Л-вариации было введено для одномерного случая Ватерманом [7], а для многомерного случая — автором [5]. В [5, теорема 1] описан класс функций, непрерывных по Л-вариации.

Теорема В. Для любых последовательностей Л1,..., Лт из Ь и т-мерного промежутка А класс С (Л1,..., Лт)У (А) равен объединению классов (М 1,...,Мт)ВУ (А) по всем таким наборам последовала

телъностей М-7 = {/'£п} € Ъ, что —| 0 при п —>■ сю.

Ап

Наряду с вопросами сходимости Гоффман, Ватерман [8] и Саблин [3, 4] рассматривали проблему локализации для кратных тригонометрических рядов в классах типа ЛВУ. При этом ограниченность Л-вариации понималась в следующем ослабленном смысле.

Определение 6. Для к = 1,..., т обозначим через УЛ Лк_1 лк+1 Лт (/; , Ак)) полную (Л1,...,

Лк-1, Лк+1,..., Лт)-вариацию / как функции т — 1 переменной на (т — 1)-мерном параллелепипеде А'0 при фиксированном значении = . Скажем, что / € (Л1,..., Лт)ВV(Тт), если она интегрируема по Лебегу на Тт и при к = 1, 2,... , т выполнены условия

/ ^1>...>лк-1>лк+1>...,лт (/;(хк,Тт-1)) <

Т

в частности подынтегральные функции в последнем выражении п.в. конечны и измеримы.

Теорема С (Гофман и Ватерман [8]). Пусть функция / € £(Т2) равна нулю в окрестности нуля (—¿)2 и существует функция д € НВV(Т2), совпадающая с / п.в. Тогда двойной тригонометрический ряд Фурье функции / равномерно сходится к нулю по прямоугольникам на любом компакте

к с (—М)2.

Саблин [3] распространил этот результат на случай т > 3, но лишь для непрерывных функций, а при т > 4 еще и наложив дополнительное условие на локальное поведение вариации. Сформулируем его результат.

Теорема Ю. Пусть непрерывная функция / равна нулю на открытом множестве С С Тт и принадлежит классу НВ V(Тт), а также выполнено условие

11т /VI(/;(жк, А*)) ^ = 0. (2)

Шат J

Т

Тогда кратный тригонометрический ряд Фурье этой функции равномерно сходится к нулю по прямоугольникам на любом замкнутом множестве К С С. При этом для т = 3 условие (2) следует из остальных условий теоремы.

Автором [9] было показано, что при т = 4, а тем более при т > 4 условие (2) нельзя отбросить. Теорема Е. Существует непрерывная на Т4, равная нулю при |ж11 < п/2 функция Г, для которой

¡П(Г^,Т»)) < «

Т

при к = 1, 2, 3, 4, но 4-кратный тригонометрический ряд Фурье которой не сходится к нулю по кубам в точке 0.

Перлман и Ватерман [10] доказали в одномерном случае, что класс ЛBV(А) вложен в класс MBV(А) тогда и только тогда, когда при некотором С для всех N выполнена оценка

N 1 N 1

п=1 п=1

т

В настоящей работе мы обобщаем это утверждение на многомерный случай и продолжаем начатое в [5, 11] исследование локального поведения гармонической вариации для функций из классов Ватермана, вложенных в HBV. В качестве следствия удается усилить результаты о сходимости рядов Фурье из [11], а также получить теорему о локализации, не требующую условий типа (2). Сформулируем основные результаты.

Теорема 1. Класс (M 1,...Mm)BV(А) вложен в класс (Л1,...,Лт)ВУ(А) тогда и только тогда, когда при каждом p = 1,...,m найдется такое число Cp, что при всех натуральных N справедливо неравенство

N 1 N 1

APW = Е Тр < CPM*(N) = Ср £ -р- (3)

Ап рга

n=1 n=1

При этом если Cp = max{Cp, 1} для каждого p, то выполняется оценка

VAi>...,Am(f; А) < C... 1.....MmЛ^; А).

Теорема 2. Пусть последовательности Л-7 € L и Mj € L таковы, что для каждого j = 1,..., m выполнено условие

Л7 (n) Hm —V4 = 0.

п^те M7 (n)

Тогда для произвольного m-мерного промежутка А справедливо вложение

(M1,... Mm)BV(А) с C(Л1,..., Лт) V(А).

Отсюда с учетом теоремы А вытекает

Следствие. Пусть последовательности Л-7 € Ь таковы, что для каждого ] = 1,..., т выполнено условие

Н (п) п

lim

га^те Л7 (n)

Тогда для любой функции из класса (Л1,..., Лт)ВУ (Tm) ее тригонометрический ряд Фурье сходится по прямоугольникам в каждой регулярной точке xo к f *(xo).

Теорема 3. Пусть непрерывная функция f равна нулю на открытом множестве G С Tm и принадлежит классу (Л1,..., Лт)ВV(Tm), где для каждого j = 1,..., m выполнено условие

lim 0. (4)

Л-? (n)

Тогда кратный тригонометрический ряд Фурье этой функции равномерно сходится к нулю по прямоугольникам на любом замкнутом множестве K С G.

Замечание. Используя рассуждения из доказательства теоремы 3, можно также усилить утверждения теорем 1 и 2 из работы автора [11], а именно заменить там условие ЛП = o(n) при n ^ то условием (4).

Доказательство теоремы 1. Если при некотором p указанное в формулировке теоремы условие нарушено, то, как показано в [10], уже соответствующие одномерные классы не вложены.

Пусть теперь условие (3) выполнено. Достаточно рассмотреть случай, когда только одна из последовательностей Mk не совпадает с соответствующей последовательностью Лк; общий случай получится m-кратным применением указанного частного случая. Из соображений симметрии можно считать, что k = 1.

Пусть а С {1,... , m}. Если 1 / а, то по определению

VXa (f ;Д) = VMa (f ;Д). (5)

Если же 1 € а, то можно считать, что а = {1,... , s}. Рассмотрим произвольную вариационную сумму

fcl,...,fcs Лк1 Лк2 "^fc. fc1 = l Лк1

Переупорядочивая систему {/^}, можно считать, что $1 > $2 > ••• > ; вариационная сумма при этом может только увеличиться. Теперь, применяя преобразование Абеля, получаем оценку (здесь для удобства заменено на к)

N 1 N N-1

Е тт^ = Е(Л1 ® - л1 (л -= Е л1 - ^+1)+< "=1 " "=1 "=1

/N-1 \ N 1

< Е - ^+1) + М^ЮБм = С! ^ —Бк < СгУ^Г^ ЛД/; А).

\Л=1 ) к=1 ^

Переходя здесь к точной грани по системам {/—}, ] = 1,..., 5, и по точкам ж-7, ] = в + 1,..., т, получаем оценку

УЛхГ(/; А) = (/; Д) < (/; А) = с^(/; А). (6)

Суммируя оценки (5) и (6) по а, получаем искомую оценку для полной вариации. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Нам необходимо доказать стремление к нулю каждой компоненты вариации, когда один из начальных индексов стремится к бесконечности. Из соображений симметрии достаточно рассмотреть случай а = {1,... , в} и доказать, что

lim VX:A2 As (f; Д) = 0.

Если л2 д: (/; А) = 0, то утверждение тривиально. В противном случае пусть задано е > 0. Так как Л1(п)/М1 (п) ^ 0, то найдется такое N, что

Л1(Ж)/M 1(N) = sup Л1(п)/М1 (n) = n <

VM1, Л2,..., As

VM1, A 2.....A s (f; Д)'

с

где знаменатель последней дроби конечен по теореме 1. Возьмем теперь для рассматриваемой компоненты произвольную вариационную сумму

Ъ -л1—л^-= ^ к1-

^=N+1 к2,...кв к1 " ' к ^=N+1

Эта сумма может лишь увеличиться, если мы перенумеруем систему {I^1}Ь=N+1 так, чтобы выполнялись неравенства +1 ^ +2 ^ • • • ^ Затем применим преобразование Абеля:

ь 1 ь Ь-1

5= -тБк= (Л1(/г) — А1(к — = - + А'ЩБь - Л1 <

¿=N+1 к ¿=N+1 ¿=N+1

< пм!(5к - 5к+1) + пМ 1(Ь)5ь - Л^)^+1 = п(М1(5к - £к+0 + М 1(Ь)^ь - М ЗД^+О =

ь 1 а

= Ч Е ^ <пУм\ь?,...,к*и'Л) < е.

k=N+1

Переходя здесь к точной грани по системам {7}, j = 1,..., и по точкам ж7, j = 8 +1,..., т, и учитывая

монотонность величины (/; А) по п, получаем, что ^ЛГд2 да (/; А) < е при п > N. Теорема

доказана.

Лемма. Если функция / непрерывна на Тт, то для любого промежутка Iк С Тт-1 функция Фк(жк) = ^к (/; (жк, I*)) измерима на Т.

Доказательство. Заметим, что если дп(х) — д(х) поточечно, то

< М Уа(9пЛ)-

п—>оо

Для произвольной последовательности ¿п — 0 применим эту оценку к функциям

дп (жк) = / (ж* ,жк + ¿„).

Получаем, что фк{%о) ^ 1™ Т-е- функция фк(хк) полунепрерывна снизу, а тогда она измерима.

Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3. Покажем вначале, что если непрерывная функция / принадлежит классу Ватермана (Л1,..., Лm)BV(Ао), то для любого е > 0 можно выбрать ¿о > 0, зависящее лишь от модуля непрерывности ш(/, ¿) функции / и от последовательностей Л7, такое, что для любого интервала А С Ао с ё1ат А < ¿о имеет место оценка

^н(/; А) < е (Ра.1 ,... ,л™ (/;Ао) + 1). (7)

Пусть задано е > 0. Пользуясь симметрией, мы видим, что достаточно доказать следующее утверждение: для любого фиксированного в = 1,..., т и множеств а = {1,..., 8} и в = {в + 1,..., т} выполнено условие

+ (8) Выберем числа N7, j = 1,..., в, следующим образом. Поскольку по условию

Нш «<21 = 0,

га^те Л7 (п)

то, во-первых, это отношение ограничено числом С- > 1, а во-вторых, найдется такое N7, что

Н (N7) Н (п)

™е = «язг-

Затем выберем ¿о > 0 столь малым, что при ё1ашА < ¿о выполняется условие

£

Число ¿о не зависит от А, а зависит лишь от модуля непрерывности функции / и от чисел N7, а последние в свою очередь определяются по числу е и последовательностям Л- .

Пусть теперь диаметр промежутка А меньше ¿о. Рассмотрим произвольные системы интервалов {/".} € 0(А7), ] € а, и вектор € Ав. Тогда справедлива оценка

_ ^ |/(4\ X ... х Цв,х8+1,...,хт)\ ^ ^ ^ \/(111х...х1*кв,х*+1,...,хт)\ ,

"1 к: д=1 kq>Nq кз ,7=д

^ ^ |/(/к1 X ... X /к ,х"+1,...,хга)| „

+ Е... Е —41—^-= Ег/» + г/»-

к1 = 1 к: = 1 д=1

Нетрудно видеть, что

*<Е...Е < (П ад) ■-(/■■«

к1 = 1 к: = 1 \7 = 1

Суммы С/к, к = 1,..., в, оцениваются одинаково. Оценим, например, первую. Положим

Ч X ... X

А(к)= £ к2,...,к:

|/(4 х...х/;: .,-'......г'";

к2...к3

Проводя рассуждения, аналогичные используемым при доказательстве теоремы 1, замечаем, что

I/ (/1 х х/5 ж™)| А(к)^С2...С8А(к), где А(к)= '' ^ " д2 ^ --.

к2,...,к: к2 к:

Тогда

к=^1+1 к2,...,к: 2 5 к=^+1 Переставляя интервалы {/к}, мы добьемся того, что

А(М + 1) > ^(N2 + 2) > ... > А(£); при этом сумма С/1 может только увеличиться. Теперь применим преобразование Абеля и получим

ь 1 ь

Е Ът= ^ (Н(к)-Н(к-1))А(к) =

k=Nl+1 k=Nl+1

Ь-1

= ^ Н(к)(А(к) - А(к + 1))+ Н(Ь)А(Ь) - Н(N^(N1 + 1).

k=N1+1

Поскольку А(к) - А(к + 1) > 0, Н(к) < П1Л1(к) при к > N1 и Н= ^Л1^), то справедлива оценка

^ ^ А1(к)(А(к)-А(к + 1))+А1(Ь)А(Ь)-А1(М1)А(М1 + 1)

к=^+1 \к=^+1

Преобразуя обратно, получаем

L 1 L 1 L 1

fc=Ni+l fc=Ni+l k fc=Ni+l k

^...С, £ .....А.(/;Д).

Лк1 ...Дка в ""'

Складывая, приходим к оценке

9=1

Переходя к верхним граням по системам интервалов {1"к.} € 0(А7), j € а, и векторам жв € Ав, получаем неравенство (8). Суммируя по а, получаем оценку (7) для полной вариации.

Перейдем теперь непосредственно к доказательству утверждения теоремы. В силу теоремы 1 имеет место вложение (Л1,..., Лт)ВV(Тт) С НВV(Тт). Таким образом, достаточно проверить, что для любой функции /, принадлежащей классу (Л1,..., Лт)ВV(Тт), выполнено условие (2).

Мы проверим условие (2) для к = т, в силу симметрии этого достаточно. Пусть задано е > 0. Применяя оценку (7) к функции /(¿т, жт) с фиксированным значением жт, мы видим, что существует ¿о > 0, для которого при ё1атА < ¿о равномерно по жт выполнено неравенство

Ун(/; Ат-1, жт) < е^1;...;лт-1 (/; Ат-1, жт) + е.

По лемме выражение в левой части измеримо как функция от жт. Интегрируя по жт € Т, получаем, что при ё1ат А < ¿о справедлива оценка

У ^т(/;(жт, Ат)) ¿жт < е^ ^Л1>...>лт-1 (/;(жп, Ат)) ^жт + 2пе < е^ 7Л1.....Лт-1 (/;(жт, Тт-1)) ¿жт + 2пе.

Т Т Т

Таким образом, условие (2) выполнено, и теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00302) и программ государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты НШ-2787.2008.1, МК-6085.2006.01).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation // Stud. math. 1972. 44, N 1. 107-117.

2. Саакян А.А. О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации // Изв. АН АрмССР. 1986. 21, № 6. 517-529.

3. Саблин А.И. Функции ограниченной Л-вариации и ряды Фурье: Канд. дис. М., 1987.

4. Саблин А.И. Л-вариация и ряды Фурье // Изв. вузов. Математика. 1987. № 10. 66-68.

5. Бахвалов А.Н. Непрерывность по Л-вариации функций многих переменных и сходимость кратных рядов Фурье // Матем. сб. 2002. 193, № 12. 3-20.

6. Бахвалов А.Н. Представление непериодических функций ограниченной Л-вариации интегралом Фурье в многомерном случае // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. 67, № 6. 3-22.

7. Waterman D. On the summability of Fourier series of functions of Л-bounded variation // Stud. math. 1976. 55, N 1. 87-95.

8. Goffman C., Waterman D. The localization principle for Fourier series // Stud. math. 1980. 99, N 1. 41-57.

9. Бахвалов А.Н. О локализации для кратных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 1. 13-18.

10. Perlman S., Waterman D. Some remarks on functions of Л-bounded variation // Proc. AMS. 1979. 74, N 1. 113-118.

11. Бахвалов А.Н. О локальном поведении многомерной гармонической вариации // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. 70, № 4. 3-20.

Поступила в редакцию 15.10.2007