О ДВУСТОРОННИХ ОЦЕНКАХ СУММ МОДУЛЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ИЗ Hω (TM) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3

19

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Некоторые свойства чебышевских множеств // Докл. АН СССР. 1958. 118, № 1. 17-19.

2. Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Успехи матем. наук. 1973. 28, вып. 6. 3-66.

3. Балаганский В.С., Власов Л.П. Проблема выпуклости чебышевских множеств // Успехи матем. наук. 1996. 51, вып. 6. 125-188.

4. Алимов А.Р. Всякое ли чебышевское множество выпукло? // Матем. просвещение. Сер. 3. 1998. Вып. 2. 155-172.

5. Власов Л.П. О чебышевских и аппроксимативно выпуклых множествах // Матем. заметки. 1967. 2, вып. 2. 191-200.

Поступила в редакцию 14.11.2007

УДК 517.52

О ДВУСТОРОННИХ ОЦЕНКАХ СУММ МОДУЛЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ

ФУНКЦИЙ ИЗ Нш (Тт)

Д. М. Дьяченко

1. Введение. Пусть m > 2, w(ti,...,tm) — неотрицательная, монотонная по каждой переменной, непрерывная на [0, oo)m функция, такая, что для любых фиксированных ti,..., tj—i, tj+i,..., tm и любого j = 1,..., m имеем

w(ti, . . . , tj-i, 0, tj+i, . . . , tm) = 0

и для любых положительных íj, tj

W(tb . . . , tj — i, tj + j, j+b . . . , tm) < < W(tb . . . , tj — ь tj, j+b . . . , tm) + W(tb . . . , tj—i,tj, j+b . . . , tm).

Определение 1. Пусть {an}ngzm — m-кратная числовая последовательность, k € Zm и 1 < j < m. Тогда обозначим

△j(ak) = ak — ak1,..,kj-1,kj+i,fcj+i,...,fcm , A(ak) = Д (Д2 . . . (Am(ak))) .

Скажем, что неотрицательная, монотонно неубывающая по каждой переменной, непрерывная на [0,1]m функция Lü(t\,... ,tm) обладает свойством (А), если для любого вектора п € Z™ имеем Д ^^L,...,

— I I > 0, иными словами, если последовательность (ш (—,..., — I ) монотонна в смысле Харди. nm)) \ \ni nmJJ n^zjp

Теперь пусть Иш = {f : w(/; t) < w(t), 0 < tj < п}, где w(/; t) — смешанный модуль гладкости

2п-периодической по каждой переменной Xi, непрерывной функции /(xi,... ,xm), т.е.

u u

w(/;íi,...,ím) = sup |Д(/;ж--;ж + -)| =

\uj2 2

= sup | £ (-^h+'"+lmf^i-^ + hu1,...,xm-^ + lmum)\. \u\<jMJ^m lje{0,i} 2 2

Определение 2. Скажем, что функция w(ti,..., tm), монотонная в смысле Харди, обладает свойством (C), если для любого множества B С {1,..., m} имеем

П* / /

3</B П [0,j] П V¡jj&B j/B

je в j/в

20

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2008. №3

при 5i,...,5m € (0,1), где положительная константа зависит только от множества B. Будем пользоваться также следующим обозначением: B = B(u) = supCb.

B

Замечание. Свойство (C) является многомерным обобщением условий (B) и (В') (см. [1]). Если

m

u(ti,... ,tm) = Л Uj(tj), где для любого j Uj(tj) — модуль непрерывности, удовлетворяющий условиям j=1

(B) и (В'), то очевидным образом u(ti,...,tm) обладает свойством (C). (Подробнее об этих и других свойствах см. [2, 3].)

Кроме того, ниже при доказательстве леммы 5 будет установлено, что если u(t) обладает свойством

(C), то при любых фиксированных (j,..., j) € (0,n]|B|, где B = {j,..., j }, функция u(t), рассматриваемая по остальным переменным, также обладает свойством (С).

Пусть ряд Фурье функции f (ж) имеет вид

те те

£•••£ c„einx, (1)

П1 = 1 nm = 1

а

1 Г f(t)e~itndt.

(2n)m J

T m

Рядом авторов изучался вопрос о связи гладкости функции со сходимостью рядов, составленных из суммы модулей коэффициентов Фурье этой функции в некоторых степенях. История этого вопроса частично освещена в статье [1], где был установлен одномерный результат для двусторонних оценок таких рядов.

Введем следующее обозначение:

ч ^

K(q) = I (l±lY~q

2 V l-q J ' 3 < У ^ 5'

3 5

22-iq(3-q)-l(l-q)l-i, f < q < 1.

Теорема. Пусть р € (0, 2), а обладает свойством (С) и монотонна в смысле Харди, тогда для функций / € Иш с рядом, Фурье вида (1) справедливы неравенства

те те 7Г \ \ Р тете тете /,,(Л_ 7Г \ \ Р

'¿Ни2) '

где = , А2 = иВ = ВМ = йиРБ Св.

2. Оценка сверху. Лемма 1. Если т > 2, 0 < р < 1, {ип}^=(п1 п )=1 _ неотрицательная последовательность, то

(\ p

1 те те \ тете

йГ^Е-Е - ХВДГЕ-Е

ki=ni km=nm J n 1 = 1 nm = 1

Далее будем пользоваться следующими обозначениями. Пусть

un.

/ u u

w(/;ii,...,im)2= / sup \\A(f]x---,x + -)\\l U |uj | ,1<j<m 2 2

— смешанный модуль гладкости в m), а

Eni,...,nm (f )2 = _ inf ||f (ж) - Tni,...,nm II2

Tni ,...,nm

— приближение "углом" функции f.

Доказательство следующей леммы является модифицированным доказательством теоремы Н. И. Чер-ныха (см. [4, с. 237, теорема 9.3.1]).

Лемма 2. Если и(/; — смешанный модуль непрерывности функции / (ж) € ¿2(Тт) в

£2(тт); ряд Фурье которой имеет вид (1), а ЕП1,...,Пт(/)2 — ее приближение "углом" (см. [5]), то

Лемма 3. Пусть р € (0, 2), а функция / € Нш(Тт) и имеет ряд Фурье вида £ • • • £ Скегкж. Тогда

оо оо Т^т оо оо (,.)(Л_ _И_'

у ■■■ у \ск\р^-%.у ... у

k 1 — 1 km — 1

p

где Кр = {К (I))"1.

Доказательство. Применяя леммы 1 и 2, получаем

E-Ei^Hi)) Е-Е h^E - Е

kl — 1 km — 1 kl — 1 km — 1 \ П1 — kl Пт — km

Km °° °° / 1 \ 2

jfe ¿¿Л**-"*"»

: к? V V M/^.-.^V^ у у

3. Обратное неравенство. При рассмотрении обратного неравенства нам потребуется состоящая из 1 и —1 последовательность, для которой справедлива лемма Рудина-Шапиро (см. [6, с. 150]).

. N

Лемма Л. Существует такая последовательность {еп}, что еп € {1, —1} при всех п и

5\/N + 1 при N = 0,1,2,... ute [0,2тг]. Рассмотрим функцию

£ 8ивШ n—0

<

fcm = l

где сходимость ряда понимается в смысле Прингсхейма, а функция и обладает свойством (С). Проверим, что ряд (2) сходится по Прингсхейму и что имеют место утверждения и(/; ¿1,..., 5т) < Сш($1,..., 5т) при 6ъ...,6т € (0,п]т.

Лемма 4. Пусть {ак}£=1 и {Ък}^=1 — две т-кратные положительные последовательности, монотонные в смысле Харди, такие, что

lim ak = lim bk = 0.

max kj max kj

l^j^m l^j^m

Тогда и последовательность {акЪкявляется монотонной в смысле Харди.

Следствие. Если последовательность (ш (—, ■ ■ ■, —11 монотонна в смысле Харди, то и

I \П1 Пт)) пЛ...пт = 1

П1...пт = 1

7Г 7Г \ |

последовательность ^ ^ "т' > монотонна в смысле Харди.

I у/П1...Пт [ 1

П1...пт = 1

7Г 7Г

Обозначим ап = ^^...п™1 ПРИ п ^ и ПУСТЬ Prix) = ^ егеггх — одномерные полиномы. Справед

1=1

ливо следующее утверждение.

Лемма 5. Определенная формулой (2) функция /(ж) существует в каждой точке, причем

f (*)= £ ••• £ Щ Pkj (Xj ),

fci = 1 km = 1 j = 1

(3)

и для любых N1,..., N

Ni Nm m

£ ••• £ акП % sin Xj kj ki = 1 km = 1 j=1

< C(m)Bw(1,..., 1),

(4)

где постоянная С(т) зависит лишь от размерности т.

Доказательство. Проведем индукцию по размерности пространства. При т = 1, применяя преобразование Абеля, получаем

N N-1

£ а,п£'п&1пх = £ △ апРп(ж) + аNРу(ж).

п=1 п=1

Заметим, что

откуда величина

\aNPNix)\ < 6\/îvTT—-»■ 0 при Ж -»■ оо,

N

N1

£araeraeinx - £ Да«Р«(х)

п=1 п=1

равномерно для всех ж стремится к нулю при N ^ то. Кроме того,

Поэтому

|ДагаРга(ж)| < 6\/и + 1Аап при всех п. N-1 TV—1

£ |ДагаРга(ж)| <6 £ Vn + 1 Дага =

n=1

n=1

N1

N1

6 £ (Vn + 1 - л/п)(ап - ам) + л/2(а1 - ajv) < Ю £ —^ Vn=2 / n=1 vn

""M") —^- < 10

10 E

j ^¡r-dx + 7г) ) < 10 (C{i} + 1) w(l).

n=1

n

(5)

Отсюда вытекает как справедливость представления (3) и существование /(ж) в каждой точке, так и оценка (4).

Предположим, что утверждение леммы 5 установлено для размерности т — 1. Докажем его для размерности т. Прежде всего отметим, что для каждого ] € [1,т] и для любого € (0,п] функция

. . . , tj-l,tj+l, . . . , ¿т) = . . . , ^^ — 1, ^^, ^7+1, • • • , ¿т)

удовлетворяет условию (С) как функция т — 1 переменной. Проверим это. Пусть для определенности ] = т и ¿т € (0, т^]. Тогда для любого А С {1,... , ш — 1} и любых ¿1,..., € (0,7г) имеем

П

5

tm dt 1 • • • dtm-1 ^

j€{1,...,m-1}\A

П j п

- - J 11 j

П [°><j] П [¿jjeA je{1>...,m-1}\A

jGA j'6{1,...,m-1}\A

n

П / / /

..'с Л т и\ 4 П П ¿7

< 4СаШ(^1, . . . , ¿т—1,^т) = 4С4(£т (¿1, . . . , ¿т— 1).

Если же ¿т € (§,7г], то

7€{1'-'т—1}\4 п ] П &,п] 7е{1>...,т—1}\4

j6A ¿6{1,...,т-1}\А

ц * / / пТ-'п «Л'*"*

jeAu{■m} уе{1,...,т-1}\л

< 4Са^(Й1, . . . , ¿т- 1,^т) = 4СА(£т (¿1, . . . , ¿т—1),

что и требовалось показать. Отметим, что аналогичное утверждение верно и для любых функций к переменных, получающихся из фиксацией т — к координат вектора ¿. Рассмотрим прямоугольную частичную сумму ряда функции /(ж):

N1 Nm

£ ^ ^ ^ £ . . .

к 1 = 1 кт = 1

е^к1Х1 е^ктхт _

т * * *

N1 Мт-1 Nm —1

= £ ••• Е Е Дт(ак )£к1 ...ект-1 егк1Х1 ... е*кт-1Хт-1 Ркт (жкт)+

к 1 = 1 кт -1 = 1 кт =1

N1 Мт-1

(жт^ • • • £ а^,...,^—.. .е*т-1 егк1Х1 .. - егкт-1Хт-1 = ^ + (6)

к1 = 1 кт-1 = 1

По предположению индукции (см. также доказательство леммы 4 и (4))

И^бш 7Г,...,7Г, — -=-->0 (7)

\ Л'т/ ЛМ'т

при Nm ^ то. Выполняя преобразование Абеля и по другим переменным, устанавливаем (см. (6) и (7)), что

N1 Nm т N1 — 1 Мт —1 т

£••• £ а^ (^ е^ xj) — £•••£ Д(ак )Ц Рк] (ж, ) = о(1)

к1 = 1 кт = 1 7=1 к1 = 1 кт = 1 7=1

при N1,..., Nm ^ то равномерно по ж.

Далее, применяя т раз преобразование Абеля, получим аналогично формуле (5) оценку

N1 — 1 ^го —1

^ = £ ' 1=

к 1 — 1 кт — 1

Д(ак )Ц Pkj (ж,-)

7=1

N1-1 Мт-1

6т £ ••• £ Д(а*)П>Д7+1<

к1 = 1 кт = 1 7=1

,„,„ ^ Г ША))

к1 = 1 кт = 1 1 т АС{1,...,т}[0)П]т /е4 7 7=1 4С{1.....т}

где

¿7 при j € А,

(А) =1 - . л

7 1 п при j € А.

п

Учитывая, что для любого множества А

|ал| < 4т-|Л|САи(п,...,п) < 4т-|Л|Ви(п,...,п)

отсюда получаем утверждение леммы 5.

Лемма 6. Пусть функция и(Ь) обладает, свойством (С) и монотонна в смысле Харди. Тогда 2оотв

Нш, где / (ж) — введенная выше функция.

Доказательство. Будем использовать формулу для функции /(ж) из леммы 5. При ж € Тт = [0, 2п]т и Н = (Н,..., Нт) € (0, п]т имеем

|А(/,ж,Н)| =

А(ак) П {Рк] (ж,- + Н,) — Р(ж,-)) к1 = 1 кт = 1 ,=1

<

^ Е • • ^ А(ак)Ц .Рк](ж, + Н,) — Р(ж,). к1 = 1 кт = 1 ,=1

Пусть П, =

+ 1 при ] = 1,..., т. Тогда при к, > п,

|Рк.{Хз +Нз)~ Рф])\ 5' 10^- + 1,

а при 1 < к, < п,, используя неравенство Бернштейна, получаем

. . 3

\Pkjixj + кз) - Рк]{хз) | < 5кз{кз + 1)2. Тогда, применяя (10), (9) и (8), находим

п те

|А(/,ж,Н)| < 10т £ П^Е Е А(ак)х

ЛС{1,...,т} ,еЛ к;=1 к1=п1+1

г€Л 1е{1,...,т}\Л

хП(^^ТТ)3 п (У^ТТ)=10т £

г&Л ге{1,...,т}\Л ЛС{1.....т}

Все величины ал оценим по одной схеме. Проверим, что при любом А выполняется оценка

ста < 20т Ц Н,

^(¿ъ • • • , ¿то) ,,

П Ь п

(8)

(9)

(10)

3/А 3 ] 6 А 3

Оценку проведем индукцией по размерности пространства. При т = 1, выполняя преобразование Абеля, получаем

к=1

к=1

к=1

¿2

Далее, используя (5), оценим

1 ^

Е 1<2 Е к

к=п+1 к=п+1

г

п + 1

■ + + 2ага+1 < и®

-сМ < (2 +

и (г)

0 0 Таким образом, для т = 1 утверждение верно.

(11)

6

7Г

п

п

п

г

г

Пусть утверждение установлено для размерности т — 1. Пусть вначале |А| < т. Не ограничивая общности, рассмотрим случай, когда А = {1,..., г}, где г < т (включая случай А = 0). Тогда

п1 пг те те г 3 т

£•••£ Е ••• Е лыЩУ^п) П (лДГГт)-

к1 = 1 кг=1 кг+1=пг+1+1 кт=пт+1 7=1 7=г+1

Применяя преобразование Абеля, аналогично (11) получаем

те

А(ак)л/кт + 1 < у/пт + 2Д1(Д2(. • • Дт-1 (акъ..

))) +

кт =пт +1

1 у^ А1(А2(...Ат-1(а^)))

2 к

2 к = п +1 кт кт — пт +1

Тогда по предположению индукции (см. также (11))

п1 пг те те

(ТА < у/пт + 2 Е ■ ■ ■ Е Е ■■■ Е Л1(Д2(... Ат_1(аЛ1>...>Лт_1>гат+1)))х

к1 = 1 кг=1 кг+1=пг+1+1 кт=пт+1

г д т— 1

X

П + 1 п м^1 +

те пг те г д т— 1

+ 2 Е ^Е'" Е А1(...Дт_1(а^)П(7¥+1) п

кт=пт + 1 к1 = 1 кт-1=пт-1+1 7 = 1 7= г + 1

20-' П* / / +

¿Л У У I ^ТТ

j/Aj=m j j6A 7

Ч п П л с

кт —пт +1 / . . / д ¿=1

. . . , ¿т)

у У

^ П [0,^] П [фт] ^

j /л j j ел 1

Если же А = {1,..., т}, то

пт

£ А(ак)(кт + 1)2 <2 (к т + I)2 Д1О • • Ат_г(ак)).

кт =1 кт =1

Затем, используя предположение индукции, получим

пт т—1 п1 пт-1 т—1

(та ^ (Лт + 1)з П ^ ^ .... ^ Д1(... Ат_1(аЛ)) + 1)§ <

кт = 1 7=1 к1 = 1 кт-1 = 1 7 = 1

.....1 "рг1

Л/1- I т-1 11

7 = 1 т-1 \ кт = 1 Укт / ^=1

, Тг1 Г ( ^ ^ ± _

/ КЁ^1)*—-я- ^Ы-П^^

П [М /=1 '

j=1 7

7 = 1 7=Г + 1

т— 1

< 4тгУ2 • 20"1-1 П ^

3=1

( п \

т1

т1

1

V А- / П

=1 '1

т

->"1-1 11^. / ■■■^т)

3=1 ^ П

7 = 1

1 = 1 1

Теперь нам осталось заметить, что из вышеизложенного следует

|Д(/,ж,Ь)| < 10т ^ ста < 400тБш(^1,...,^„),

АС{1,...,т}

что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы. Так как для нашей функции из леммы 6 верно равенство

ОО ОО , ^ ч р ОО ОО / ^л. 7Г ^ \ Р

то утверждение теоремы вытекает из лемм 3 и 6.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 05-01-00052).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дьяченко Д.М. О свойствах коэффициентов Фурье для функций класса Нш // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 4. 18-25.

2. Ульянов П.Л. О модулях непрерывности и коэффициентах Фурье // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 4.

3. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. матем. о-ва. 1956. 5. 485-522.

4. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976.

5. Потапов М.К. О приближении "углом" // Тр. конф. по конструктивной теории функций. Венгрия, Будапешт, 1972. 371-399.

6. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998.

Поступила в редакцию 14.03.2007

УДК 517.52

ПОВОРОТ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ И ДВУМЕРНЫЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ М. И. Дьяченко

1. Введение. В статье рассматриваются вопросы зависимости классов функций двух переменных ограниченной вариации и обобщенной ограниченной вариации от выбора системы координат. Чтобы сформулировать основные результаты, приведем определение классов Ватермана ЛВУ. Вначале определим соответствующий одномерный класс [1].

Определение 1. Пусть заданы отрезок I = [а, Ь] и последовательность Л = {Л3-€ Ф, т.е. Л

является монотонно неубывающей последовательностью положительных чисел, такой, что £Л-1 = то, а функция /(ж) определена на I. Тогда говорят, что /(ж) принадлежит классу Ватермана ЛВУ(I), если

Г к=1 к Г к=1 к где Г — система неперекрывающихся интервалов {1к = (ак,вк)}П=1 из I.