Об абсолютной чезаровской суммируемости рядов Фурье почти-периодических функций с предельными точками в нуле Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 4 (2016). С. 147-155.

УДК 512.518.66

ОБ АБСОЛЮТНОЙ ЧЕЗАРОВСКОЙ СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПРЕДЕЛЬНЫМИ ТОЧКАМИ В НУЛЕ

Ю.Х. ХАСАНОВ

Аннотация. В работе установлены некоторые признаки абсолютной чезаровской суммируемости рядов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций. Рассматривается случай, когда показатели Фурье имеют предельную точку в нуле, и в качестве структурной характеристики свойств исследуемой функции используется модуль усреднения высшего порядка.

Ключевые слова: абсолютная суммируемость, почти-периодические функции, ряды Фурье, показатели Фурье, предельная точка в нуле, модуль усреднения.

Mathematics Subject Classification: 42А24, 42А75

1. Введение

Числовой ряд

Е'

те

<1п

п=0

называется абсолютно суммируемым методом Чезаро порядка а (-1 < а < то) или \С, а\-суммируемым, если

оо

-<-i i <

п= 1

где

ага — ^ (^га) lA™-kdk (П — 1, 2, ••• ), А™ — ( — ( ).

к=0 ' Работы, исследующие абсолютную чезаровскую суммируемость произвольных ортогональных рядов и, в частности, тригонометрических рядов Фурье начали появляться в начале 60-х гг. прошлого века и принадлежали в основном советским и венгерским математикам [1]-[6]. Основные результаты этих исследований можно найти в работах [5] и [7].

По тригонометрической системе для периодической периода 2^ функции f(x) Е L2, имеющей ряд Фурье

те

ап cos nx + bn sin пх),

га=0

Л. Лейндлер [1] установил некоторые достаточные условия | С, а |-суммируемости рядов Фурье для различных значений а > -1. В этой же работе установлены аналогичные результаты и для рядов по произвольным ортонормированным системам функций |<^(х)},

Yu.Kh. Khasanov, On absolute CesAro summablity of Fourier series for almost-periodic functions with LIMITING POINTS AT ZERO. (g ХАСАнов Ю.Х. 2016. Поступила 16 октября 2015 г.

заданных на конечном отрезке [а,Ь]. Частный случай результата Лейндлера, соответствующий |С, 11-суммируемости почти всюду ряда Фурье, установлен в работе К. Тандори [2].

Аналоги результатов Лейндлера для функций / (х) Е Ьр (1 < р ^ 2) в общих конструктивных либо структурных терминах рассмотрены в работах М.Ф. Тимана [3] и Л.В. Грепа-чевской [5]. Авторами установлено, что в случае монотонности коэффициентов Фурье, рассматриваемые условия являются и необходимыми. При а = 0,р =2 результаты Л.В. Гре-пачевской [5] получены С.Б. Стечкиным [4]. Отметим также, что Л.В. Грепачевская [5] установила необходимость | С, а |-суммируемости рядов Фурье по системе Радемахера в случае монотонности их коэффициентов.

В этой работе приводим некоторые достаточные условия абсолютной чезаровской суммируемости рядов Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций.

Через Вр (1 ^ р < то) обозначим пространство почти-периодических функций Безико-вича, с нормой

т \ 1/р

т ^ 2Т

= {М [ \f (х)\р] }1/P = i lim-^ I \f (х)\р dx\ < то, 1 ^ р< то.

-т

Вр

Определения и основные свойства функций из пространства Вр (1 ^ р < то) можно найти в работах [9] или [10].

Пусть ряд Фурье почти-периодических в смысле Безиковича функций, имеет вид

те

/(х) - ^ *, (1)

п=0

где

Т

Ап = 11ш f (х)е-гХ"Чх -т

- коэффициенты Фурье функций f (х) Е Вр, а (Ага} (п = 1, 2,...) - показатели Фурье (или спектр функции).

Некоторые достаточные условия абсолютной чезаровской суммируемости рядов Фурье функций f (х) Е Вр (р > 1) изучены в работах [7], [11], [12]. В отличие от периодических, в случае почти-периодических функций, требуемые условия накладываются не только на гладкости функций, но и на поведение спектра рассматрываемой функции |Ага} (п = 1, 2,...). Поэтому рассматриваются два случая: когда спектр функции (показатели Фурье) имеет единственную предельную точку в бесконечности или в нуле. В работе [7] установлены некоторые признаки абсолютной чезаровской суммируемости рядов Фурье функций £(х) Е В2, когда ее спектр имеет единственную предельную точку в бесконечности:

А_„ = -Хп, \А„\ < \An+i\ (п =1, 2, ■ ■ ■); lim \А„\ = то.

га^-те

Настоящая заметка является продолжением работы [7] для рядов вида (1), когда показатели Фурье стремятся к нулю, точнее

Х_п = -Хп, \А„\ < \A„_i\ (п =1, 2, ■■■); lim \А„\ = 0. (2)

га—> оо

При этом в качестве структурной характеристики свойств функций используем величину Шк(/; Н)в2 - модуль усреднения порядка к функции /(х) € В2, на (-то, то)

Шк (/;Н)в2 =8ПР || ¡тк (х)||Бз , (3)

т >н

где Н > 0, к € N

Х+Т Ь+Т +т

¡тк(х) = (2Т)-к J . . I У /(4.

Ж-Т ¿1 -Т Ък-1-Т

Можно проверить, что при к =1 величина Шк (/; Н) обладает всеми свойствами аналогичными свойствам модуля непрерывности ш1(/; Л,):

1. Ш(/; Н) монотонно убывает при Н ^ +то.

2. Если и натуральное число, то

Ш(/;пН) 5пШ(/; Н), а если Л - любое положительное число, то

Ш(/; ЛН) 5 (Л + 1)Ш(/; Н).

3. Функция Ш(/; Н) полуаддитивна, т.е для любых Т1 > 0, Т2 > 0

Ш(/; Т1 + Т2) 5 Ш(/; Т1) + Ш(/; Т2).

4. Функция Ш(/; Н) непрерывна на интервале 0 < Н < то.

Заметим, что величина Шк(/; Н)вр, ранее нами использована при исследовании признаков абсолютной сходимости рядов Фурье функций /(х) € Вр, (1 5 р < то) (см., например

[13]).

Нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения, которые использованы в работе [7].

Лемма 1. Если ряд

сходится, то при 0 < а < 1, ряд

суммируем методом \С, а\.

те

' \ип\

п=0

п=1

Лемма 2. Пусть равномерно сходящаяся последовательность измеримых, интегрируемых на каждом конечном отрезке функций {/га(х)| такова, что:

A) {/га(х)}€В2, п =1, 2,...;

Б) 05 ¡\(х) 5 f 2 (х) 5 ... 5 Ш 5 ...;

B) М{/га(х)} 5 К (К - некоторая постоянная, не зависящая от п, тогда существует, функция /(х) € В1 такая, что почти всюду

Ит ¡п(х) = f(х),

п^те

11т М{/га(х)} = М{/(х)}.

Доказательство. Пусть е > 0 произвольное число и N(е) выбрано таким, что

sup 1 f{x) - fN(ж)| <-.

-те<х<те 3

Если т есть |-почти-период функции f^ (x), то имеем

|f(x + т) - f(x)l ^ |f(x + т) - fN(x + r)| + |fN(x + r) - fN(x)| + |fN(x) - f(x)l < £ .

Так как множество |-почти-периодов функции f^ (x) относительно плотно и в силу последнего неравенства каждый |-почти-период функции f^ (x) является е-почти-периодом функции f(x), то отсюда вытекает

Urn f n(x) = f(x).

п^-те

Доказательство второй части леммы следует непосредственно из оценки \М{f (x)}- М{fn(x)}l ^ М||/(x) - fn(x)l] ^ sup | f(x) - fn(x)\.

x

С помощью леммы 2 устанавливается следующее утверждение, доказательство которого приводится в работе [7].

Лемма 3. Если задана последовательность функций {pn(x)} Е В1 (п = 1, 2, •••) и почти всюду pn(x) > 0 (п = 1, 2, • • •), то из условия

Y^ М{pn(x)} < то

га=1

вытекает,, что ряд

почти всюду сходится.

те

Y1 Pra(x)

п=1

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Теперь приводим основные результаты статьи. С этой целью сначала устанавливаем достаточные условия | С, а | - суммируемости рядов Фурье функций £ (х) Е В2 для отрицательных значений а. А именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть спектр Л(Ага} (п = 1, 2, •••) функции ¡(х) Е В2 удовлетворяет, условиям (2) и \п = 0(п-ё) (5 > 0). Если при

о<р<2, о1,к>-< + '-3'2, Р = -' + 1 ;>3'2

ро о

выполнено

те

J2np-1W[!(f;n)B2 < то,

га=1

то ряд

те

Р

Т.\Ага \

суммируем методом \С, -7\.

га \

п=1

Доказательство. Пусть

Е*

п=0

А\п х

есть ряд Фурье функции /(х) € В2. Так как

х+Т ь+т *,к-2+Т Ьк-1+Т

& 1 &2 ... (йк-1

1

(2Т )к

е *Хп*к& к = е

г\„х

х-Т ^-Т

^'к-2-Т 1к- 1-Т

( в г п ЛпТ \ г ЛпТ

то ряд

^ 4 ргХпх\ 8тХпТ\

п=1 4 у

будет рядом Фурье функции /Тк (х).

Применяя равенство Парсеваля, получим

Е

П=1

Аг

( в г п ЛпТ \ г ЛпТ

2 ^ 2

II /тк (х)|Б2 .

Пусть Л{Лга} (п = 1, 2, •••)

К = {п : 5 Лп 5 2-(и-1)ж}

и т(К) - означает набор показателей {Лга}, которые попадают во множестве К при каждом фиксированном и. Тогда при и = 0, применяя неравенство Гельдера, имеем

£ \Ап\^ 5 {т(К)}1-2 ■ ]>] \Ап\

1-2 ■ (Е Ар}

КпСМ» )

По условие теоремы Лп = 0(п а) (а > 0), значит, имеет место

К1 ■ ^ 5 ± 5К ■ -1, или К1 5 па 5 К2-+1, где К1 > 0, К2 > 0 - некоторые постоянные. Следовательно, равномерно по и, получим, т(К) = 0{2^/а}. Так как справедливо 5 Лп 5 , то 5 ЛпТ 5 ^. Положив Т = 2й-1, получаем, что ЛпТ 5 §. Отсюда имеем

в % пЛпТ > —ЛпТ. ж

Поэтому из соотношения (5) следует, что выполняется оценка

(Е \А»\4 ^(/;2")Б2.

(7)

Так как т(К) = 0{2^/а}, то с помощью оценки (7) неравенство (6) запишем в следующем виде

^ 2г(1-2)ШЦ(/;2")В2.

к

Пусть > 0. Тогда применяя неравенство Гельдера, будем иметь

1_ Я Я

£ к\рт Л 2 • ( £ К|42

-<

± 2? • 2"-^ • Ш?(¡;2")В2 = 2%(7+1-2) • Ш?(¡;2")В2.

Суммируя по последнее неравенство, находим, что

ЕЕк^7 2

(7+1-2) . Ш?

2) •Ш? (/; 2)В2.

"=1 пем„ "=1

Отсюда, принимая во внимание монотонность величины Шк(/;Н)в2 (Н ^ то), будем иметь

те я

7+1-2

п а

Шк (¡;^)В2.

п=1

п=1

В силу условия (4)и на основании леммы 1, ряд

те

£ К\а

га=1

является \С, —7\ - суммируемым. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть спектр Л(Ага} (п = 1,2,...) функции ¡(х) Е В2 удовлетворяет, условиям (2) и \п = 0(п-ё) (5 > 0). Тогда при —1 < а < 2, из условия

£ 2 "(2-°>Шк(¡;Х-})в2 < то;

"=0

при а = 1, из условия

при а > 1, из условия

£ 2-"Шк(¡;\^)В2 < то;

"=0

0п2")-1/2Шк(¡;\-)в2 < то,

"=0

следует \С,а\ - суммируемость почти всюду ряда

те

у^ Апехр(гХпх)

п=0

Доказательство. Рассмотрим ряд

£ Ап-1к Аке хр ^ Хк х)

10)

'11)

'12)

£№) — <-1 (х)\ = ^2(пАп)-1

п=1 п=1 к=1

где а% (х) - п-ые чезаровские средние порядка а (а > —1) и Ак - коэффициенты Фурье функции ¡(х) Е В2.

Согласно лемме 3, для доказательства сходимости почти всюду ряда (12) достаточно установить сходимость ряда

ОД а) = ^М{\<(х) - <-1(х)\}. (13)

ип-1

п=1

Известно [7], что

1

те Г /2"-12"+1-1 21У+1-121У+1 -1\ 2 ,2 2

Ода) 5 £ 2-2) £ £ + £ £ (п - . (14)

и=0 К \ п=1 к=21' п=21У к=п / К ' )

1. Если -1 < а < 1, то 2а < 1 или 2(1 - а) > 1 Поэтому (см. например, [14], стр. 117),

¡-+1 -1

Е ( к -п + 1)2(а-1) <К, (15)

2

2 "+1 -1

- п

к=21/

где К - некоторая постоянная. Значит из соотношения (14) при -1 < а < 2, принимая во внимание неравенство (15), получим

те у (2 к+1-1 1 2

С(/;а) * £ 2-^+2) Е 2к+1 \ Е А2п

и=0 к=0 У п=2к

Переставляя порядок суммирования в последнем неравенстве, имеем

1

(21У+1-1 ^ 2 2)} V А2Л . (16)

те Г2и+1-1 ^

С(/;а) * Е 2-^-1) Е АЛ

V=0 I п=21' )

Из оценки (7) при любом V = 1, 2,... вытекает, что

2"+1-1

Е Ап 5Ш2ки;Л-2})В2

£ 5 Ш2к(

п=21/

или

1

!2"+1-1 ] 2

Е А2п\ 5Шк(/;Л-)Б2.

п=21' )

:17)

Отсюда, согласно неравенству (16) и в силу оценки (17), получим

1

'2^+1-1 } 2

те Г2"+1-1 Л 2 те

£2-"(«-1 и Е А2п\ * Е2^(2(/;Л-1)В2.

и=0 {, п=21/ ) и=0

Из оценки (9) следует, что ряд (13) сходится почти всюду. Это означает, что в силу леммы 3 и ряд (12) сходится почти всюду. Следовательно, при -1 < а < 1 ряд (11) суммируем методом \ С, а\ .

2. Пусть а = 2. Тогда из соотношения (14) получим

те ( -12-+1-1 2-+1-12-+1-А 2А2 Л 2

од;а) * £2--2+2) ЕЕ + Е Е п-Агг

и=0 К \ п=1 к=21' п=21У к=п / )

ч 1

V 2к+1-1 1 2

Е Е п'А* \ 5

к=0 п=2к I

П-° I >'4 1 , 0 < 6 < 1, ¿п> 0,

те V | 2к+1-1 1 2 те (2^+1 -1 ^ 2

« £ 2-" £ 2к+1 \ £ « £ £ И

"=0 к=0 [ ra=2fc J "П=2" )

Отсюда, применяя неравенство [15]

те те / те \

£4 ^ с? £ 4

п=1 п=1 \"=П /

будем иметь

те (2г'+1-1 ^ 2

С(!;а) 1 £ 2-Л £ ^

"=0 I га=2^ J Отсюда применяя оценку (17), получим

те

0(1; а) 1 £ 2-"Шк (¡;\-})в2

"=0

что в силу леммы 1 и условия (9) влечет \С; 2\суммируемости ряда (11).

3. Пусть теперь а > 1. Тогда 2 — 2а < 1. Следовательно, после перестановки порядка суммирования и применения оценки

2т+1_1

V _1_= о (2т(а+1Л

^ (п — и+1)2(1-а) 0\ )

из (14) получим

1 ^

те (2п+1-1 ^ 2 те (2п+1-1 ^ 2

Си; а) 1 £ 2-™(«+1 ^2^ £ АЦ = £ £ АЦ

п=0 {, "=2п ) п=0 {, "=2п )

После применения неравенства [5]

2"+1 N 2 те ^те л 2) 2

те / 2П+1 \ 2 те

£ Е Ак) < 4• £ (^к=-"к)

п=0 \к=2п + 1 / п=2

' п(\пгп)1/2

\к=2п^1 ! п=2 '

будем иметь

те /2п+1-1 \ 2 те

С(^а) 1 £п-1(1пп)-2 £ А2\ ^ £ 2-" (1п2")-2Шк (I;\-)в2 .

п=2 \ и=2п / V=1

Отсюда, из условия (10) вытекает сходимость почти всюду ряда (13), что в силу леммы 1, при а = 2 влечет \ С, а \ -суммируемость ряда (11). Теорема 2 полностью доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. L. Leindler Uber die absolute summierbarkeit der Оrthogonalreihen // Acta Sci. Math. V.22. 1961. P. 243-268.

2. K. Tandori Uber die orthogonalen funktionen IX. (Absolute summation) // Acta Sci. Math. V.21. 1960. P. 292-299.

3. Тиман М.Ф. Об абсолютной сходимости и суммируемости рядов Фурье // Сообщ. АН Груз. ССР. 26, №6. 1961. С. 641-646.

4. Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. Т.102, № 2. 1955. С. 37-40.

5. Грепачевская Л.В. Абсолютная суммируемость ортогональных рядов // Матем. сб. Т.65(107), № 3. 1964. С. 370-389.

6. G. Sunouchi On the absolute summability of Fourier series // Journ.of the Math.Soc. of Japan. V.1, № 2. 1949. P. 57-65.

7. Хасанов Ю.Х. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти-периодических функций // Anal.Math. V.39. 2013. P. 259-270.

8. Барон С.А. Введение в теорию суммируемости рядов. Таллинн: Валгус. 1977. 280 с.

9. A. Besicovitch Almost periodic functions. Cembridge. 1932. 180 p.

10. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: ГИТТЛ. 1953. 396 с.

11. Тиман М.Ф., Хасанов Ю.Х. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти-периодических функций Безиковича // Укр.мат.журн. Т.61, № 9. 2009. С. 1267-1276.

12. Хасанов Ю.Х. Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти-периодических функций //Укр.мат.журн. Т.65, № 12. 2013. С. 1716-1722.

13. Хасанов Ю.Х. Об абсолютной сходимости рядов Фурье почти-периодических функций // Мат.заметки. Т.94, № 5. 2013. С. 745-756.

14. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: Изд-во иностр. лит. 1963. 360 с.

15. Харди Г., Литтлвуд Д., Полиа Г. Неравенства. М.: ГИИЛ. 1948. 456 с.

Юсуфали Хасанович Хасанов,

Российско-Таджикский (славянский) университет, ул. М. Турсунзода, 30,

734025, г. Душанбе, Республика Таджикистан E-mail: yukhas60@mail.ru