О связи между степенью суммируемости почти-периодических функций и коэффициентов Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 3, С. 47-54

УДК 517.512

О СВЯЗИ МЕЖДУ СТЕПЕНЬЮ СУММИРУЕМОСТИ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ

Ю. X. Хасанов

В работе получены результаты, которые обобщают теорему Пэли для почти-периодических в смысле Безиковича и Степанова функций по произвольной тригонометрической системе. Доказывается, что для произвольного тригонометрического ряда при некоторых условиях найдется почти-периодическая функция, для которой исходный ряд является ее рядом Фурье.

Ключевые слова: почти-периодические функции, ряд Фурье, коэффициенты Фурье, степень суммируемости, сходимость ряда.

Известно [1], что если {сп} — коэффициенты Фурье функции /(ж) £ Ь по любой ортонормированной системе {^>(ж)}, то имеет место неравенство

— ь

22

Е|сп|2 ^ |/ (ж)|2 бж.

п

п= 1

Если рассматриваемая система полна, то это неравенство превращается в равенство, т. е. если существует последовательность чисел {сп}, для которых ^ |сп|2 < то, то найдется функция /(ж) £ ¿2, для которой эти числа будут коэффициентами Фурье и

|/(ж)|2 бж = £ |Сп|2.

п=1

Если функция /(ж) £ Ьр (р > 1), то что можно сказать об ее коэффициентах Фурье? И наоборот, если ^ |сп|р < то, то существует ли функция, имеющая {сп} своими коэффициентами Фурье, и какова степень ее суммируемости?

Ответы на эти вопросы для случая тригонометрической системы даются теоремой Хаусдорфа — Юнга (см. [1, с. 211]), а для общей ортогональной системы — теоремой Рисса (см. [1, с. 211]).

Пэли [2] доказал, что если /(ж) £ Ьр, 1 < р ^ 2, {сп} — ее коэффициенты Фурье по ортонормированной системе {^п(ж)} на [а, Ь], |^>п(ж)| ^ М, п = 1,2,..., а ^ ж ^ Ь, то

г - 11/р ( ь 41/р р пр-2\ < р,

]Т|7п|р пр-2 < Ар I |/|р бж

кп=1

ь

© 2014 Хасанов Ю. X.

где Yi, Y2,..., ... — числa |ci|c21,..., |cn|,..., расположенные в порядке убывания и зависит только от p и M. Если же p ^ 2 и ci, С2,..., cn,... — последовательность чисел, для которой

те

J>n|pnp-2 <

n=1

то существует функция f (ж) G Lp (a, b), для которой числа cn являются коэффициентами Фурье по системе {^>n(ж)} и имеет место

( b ^ 1/р Г те ^ 1/р

|У |f(ж)|рdfcj < £p|n=1 lYn|pnp—2j ,

где Bp зависит только от pu M.

В этой работе получены результаты, которые являются аналогами теоремы Пэли для почти-периодических в смысле Безиковича и Степанова функций при p > 2 по произвольной тригонометрической системе {exp(iAfcx)}.

Определения и свойства почти-периодических в смысле Безиковича и Степанова функций можно найти в [3].

Определение 1. Функцию f (ж) называю т Вр-почти-периодиче ской, p ^ 1, или почти-периодической в смысле Безиковича, если |f (ж)|р интегрируем на любом конечном отрезке,

¿4 {/(я)} = j / <

и существует ряд вида

те

Pn(x) = ^ ck exp(iAfcж),

к=—те

для последовательности прямоугольных сумм {Рп(ж)} которого выполняется

lim Dßp {f (ж) - Рп(ж)} = 0.

п^те

Пространство функций, удовлетворяющих всем условиям определения 1, принято на-Bp

f (ж) G Вр (p ^ 1) принимается величина

Т Ï !/Р

I I п / \ trp

\\№\\вр= Ь^^ / Im\pdx\ <оо.

4 — т

Если f (ж) G Вр, то множество Л{Ак}, для которых

t

1

Ак= lim -j- f /(ж) ехр(—гА&ж) dx ф 0, Т^те 2T J

—t

счетно и принято их называть спектром (показателями Фурье) Вр-почти-периодической функции /(ж), а числа {А} — коэффициенты Фурье функции /(ж) С Вр. Таким образом, каждой функции /(ж) € Вр с помощью ее спектра Л{А&} и коэффициентов {А}

ставится в соответствие ряд

/(ж) Ак ехр(гАкж),

к

который называется рядом Фурье функции /(ж) £ Вр. Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть задан тригонометрический ряд

^Ак ехр(гАк ж), (1)

к=1

где Л{Ак} — произвольное счетное множество действительных чисел. Если при некото-р > 2

]Т|Ап|рпр-2 < то, (2)

п

п=1

то в пространстве Вр найдется функция /(ж), для которой ряд (1) будет ее рядом Фурье и имеет место

¿4 {/(ж)} < СрСр/р. (3)

Заметим, что так как из условия (2) вытекает сходимость ряда 5^=1 |Ак|2) т0 на основании аналога теоремы Рисса — Фишера (см. [3, с. 252]) в пространстве Вр найдется /(ж) (1)

Сначала нам необходимо доказать справедливость следующего неравенства

Ввр {Рп(ж)} < п1/2-1/р^ {Рп(ж)} , р > 2. (4)

Известно, что

Рп(х) = мЛ Рп(х + Ь) ¿ехр(-гЛ^) 1 = Иш^ ^ / Рп(х + ¿) ¿ехр(-гА^) ей,

I к=1 ) -Т к=1

следовательно,

1/2

тах |Рп(ж)| < п1/2 |Рп(ж)|2}) . (5)

Тогда

Т Т

± I \Рп{х)\р йх^ш^\Рп{х)Г2^ I \Рп{х)\2йх

-Т -Т

Т

р-2 р—2 1 Г

^п— {М{\Рп(х)\2}) 2 — J \Рп{х)\2йх.

-Т

После перехода к пределу по Т ^ то получим неравенство (4).

< Доказательство теоремы 1. При всяком натуральном N рассмотрим сумму

2^+1 N

5*2N+1 (ж) = Е Ак ехр(гАкж) = ^Ап,

к=1 п=1

ар

где

2П+1 — 1

Д„ = Д„(ж) = Аехр(гА^ж).

В силу почти-периодичиости функции имеем

т

1 / „ , , , 1

П=1

—т —т

Отсюда при г = [р] + 1, Д = г(7'~1) и Ьу = (Д^/7-, получаем т т ЛГ т

1 / 1 — / = —

N р Т Г ^

^=1 % ^ ^=1 ^

^п ^п V — 1 т

1 Т Г М Г 1 М М т

—т v=1 у V1=1 vr=1—т

2Т .1 | ^ | 2Т

N М 1т = £•••£ П е-Ч7^-

V1=1 vr=1 —т

После применения неравенства Гёльдера получим

1 Г N N ( Т ,1

^ У < £ . . . £ П ^ у

—т VI=1 vr=1 I. —т ^

т 1

N N ( 1 } к

= Е--Е П •

V1=1 vr=1 I. —т ^

(6)

где г = [р] + 1, К = г(7'~1).

В правой части (6), применяя неравенство Гёльдера с показателями а = (р + 2)/2 и а' = (р + 2) /р, находим

Т Т — £ Т 2 р

1/> Г 1 /. I ра'2 [ , г 1 Р+2'2

У |ДМД,|2 ^ < | ^ у ^ I | ^ у |Д„|^ ^

-т -т

После перехода к пределу, при Т ^ то, будем иметь т

-т

Г 1 /- на I ' II/1 £+2

^ 2Т У |А-'2 ^ АШоо 2Т У 1Д"1 2 ^

Т Ч — £ ✓ Т ч 2 р

л с 1 ра'2 I р+2'2

1/ ра I

-т -т

или

2 £ 2 £ М{|А^|§} < ■ (М {\А„\Ф}У+>-\ (7)

Применяя к правой части (7) неравенство (4), получим, что

= 2(м+1)(р/4-1/а) (М {|АМ|2}) 4 . 2("+1)(р/4-1/а') (М {(Д^2})1 ,

где

р / _ »

12 Л 2 _ о(гу+1)(р/2—1) I 1Л.12

= 2^+1)(р/2"1) (М {|А,|2})5 = 2^+1)(р/2"1) £ |А*|2

к=2^

N N

м{|^+1(Жп^ Е ••• Е П {71/271/22-|--^К1/2-1/«)^ ^1=1 =1

Далее, поступая так же как и в работе [4], находим, что

М

N N / 2П+1 -1 \ р/2

р1 _ ^ _ ^ ^(р/2-1) V и,I2

Еп-(2-р/2) Е |Ак|2 < ^ |Ап|

п=1 \к=п / п=1

Следовательно, в силу условия (2)

р

М {|^+1 (ж)|р} < Ср Е |Ап|р пр-2 < то.

п=1

(8)

Так как = 1 — то из соотношения (8) вытекает, что

М {АА,|Р/2} < 2-|^-И(1/2-1/а)7^/27^2. (9)

Благодаря (6), (7) и (9) имеем

^+1(Ж) } < С^ 7п = С^ 2п(р/2-1) Е |АкМ . (Ю)

п=1 п=1 \ к=2п /

Покажем теперь, что из условия (2) вытекает сходимость ряда

— / 2п+1 -1 \р/2

Е2п(р/2-1) Е |Ак|Ч . (11)

п=1 \ к=2п )

Сходимость ряда (11) эквивалентна сходимости ряда

N / — \ р/2

Епр/2-2(Е |Ак |2 .

п=1 \к=п /

Используя неравенство (см. [5, с. 308]),

— / — \ ^ — Еп-С Е бн < (пбп)5,

п=1 \к=п / п=1

при с = 2 — р/2 < 1, 5 = р/2 > 1, бп = |Ап|2, получаем

——

р/2

—

Из сходимости ряда

— / 2П+1 -1 \р/2 Е2п(р/2-1) Е |Ак|2

п=1 \ к=2п )

вытекает, что для любых ш, п (ш > п)

т (2к+1 -1 \р/2

>р2к(р/2-1^ Е А|2 ^ 0

к=п \ ^=2к /

при ш ^ то п ^ то, и так как неравенство (10) верно для любого полинома и, в частности, для 52т+1 (ж) — 52п+1 (ж), то при т ^ то п ^ то

{52т+1 (ж) — 52п+1 (ж)} ^ 0.

В силу полноты пространства найдется функция /(ж) £ Вр, для которой при п ^ то

{/(ж) — 52П+1 (ж)} ^ 0

и, следовательно, для нее будет верно неравенство (3). >

Замечание. В теореме 1 условие (2) можно заменить более слабым условием

/2-+1-1 \ р/2 Е2п(р/2-1) ( Е |Ак|21 < то.

п= у к=2п

Определение 2. Под Бр-пространством, или пространством, почти-периодических фунщгш Степанова, понимается совокупность функций, для которых

' ж+1

1/p

Dp {f (x)} = sup ^ J |f (i)|pdij < то,

и можно указать последовательность тригонометрических сумм {Pn(x)}

n

Pn(x) = Е Ck ехР(^ЛкX) (12)

k=1

таких, что

lim Dsp {f (x) - Pn(x)} = 0.

n—^^o

Теорема 2. Пусть задан ряд (1), где Л {А&} — последовательность чисел, удовлетворяющая при некотором а > 0 для всех n

An+i - An > а. (13)

Если выполнено условие

ж

= Е |An|pnp-2 < то,

n=1

то в пространстве 5р (р > 2) найдется функция /(ж), для которой {А&} будут ее коэффициентами Фурье и имеет место оценка

{/(ж)} < Срар/р.

< Доказательство теоремы 2. Покажем вначале, что для любого полинома вида (12) при выполнении условия (13) и р > 2 справедливо неравенство

/ п \ 1/2

П3р{Рп(х)}^Ап^ Г£\ск\2\ . (14)

Действительно, так как

и+1

^ I \Рп(х)\рс1х^ I (1-\х-и\)\Рп(х)\р йх

^ max |Pn(x)|p-2 I (1 - |x - u|) |Рп(ж)|2 dX,

x J

u-\

то на основании неравенства (5) получим, что

р—2

Dsp{pn(x)} (м{|Р„(ж)|2}) 2 J (l-\x-u\)\Pn(x)\2 dx.

и-\

В работе [3] установлено, что

/2 п

(1 - |x - u|) |Pn(x)|2 dxr < A J] |cfc|2 = AM j|Pn(x)|2} .

1 k=1

u~2

Следовательно,

An2^ (м{|рга(ж)|2})р/2,

что дает неравенство (14).

Используя тот же метод, что и при доказательстве теоремы 1, найдем Dsp {Pn(x)} ^

В силу полноты пространства получим утверждение теоремы 2. >

Литература

1. Вари Н. К. Тригонометрические ряды.—М.: Физматгиз, 1961.—936 с.

2. Paley R. Some theorems on orthogonal functions // Studia Math.—1932,—№ 3.—P. 205-208.

3. Левитан В. M. Почти-периодические функции.—M.: Гостехиздат, 1947.—396 с.

4. Tim an M. F. Orthonormal systems satisfying an inequality of S. M. Nikolskii // Analysis Math.—1978.— Vol. 4.—P. 75-82.

5. Харди Г. Г., Литтлъвуд Д. Е., Полна Г. Неравенства.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1948.—456 с.

Статья поступила 20 сентября 2013 г.

Хасанов Юсуфали Хасанович

Российско-Таджикский (славянский) университет, доцент кафедры информатики и информационных систем ТАДЖИКИСТАН, 734025, Душанбе, ул. М. Турсунзода, 30 E-mail: [email protected]

ABOUT RELATIONSHIP BETWEEN SUMMABILITY OF ALMOST PERIODIC FUNCTIONS AND FOURIERS COEFFICIENTS

Khasanov Yu. Kh.

We generalize Paley's theorem for Bezicovich and Stepanov almost periodic functions on arbitrary trigonometric system. It is proved that for any trigonometric series under some conditions there exists an almost-periodic function which the given series is its Fourier series.

Key words: almost periodic functions, Fourier series, Fourier coefficients, relationship summability, series convergence.