CC BY
20
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2010, том 53, №1___________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Ю.Х.Хасанов
О СВЯЗИ СТЕПЕНИ СУММИРУЕМОСТИ И КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Российско-Таджикский (Славянский) университет
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан И.К.Курбановым 29.10.2009 г.)
В работе приводятся результаты, обобщающие теорему Пэли для почти-периодических в смысле Безиковича и Степанова функций при р > 2 по произвольной тригонометрической системе.
Ключевые слова: суммируемость - коэффициенты Фурье - почти-периодические функции.
Пэли [1] доказал, что если /(х) є Ь , 1 < р < 2, с,С>•••>С, ,•• - ее коэффициенты Фурье по ортонормированной системе (рп(х) на [а, Ь], | (рп(х) |<М, п = 1,2,_, а < х < Ь, то
г» I17 р ГЬ V7 р
|£М'п^2| < ар |Ь[1/ГЛ| ,
где у,у2,•••,/„,••• числа |с|, |с2|,••• |си|,•••, расположенные в порядке убывания и Ар зависит только от р и М. Если же р > 2 и с,С>•••>С, ,••• - последовательность чисел, для которой
»
<+»’
п=1
то существует функция /(х) є Ь (а, Ь), для которой числа сп являются коэффициентами Фурье по системе {фп (х)} и
Г ь р г» у/р
|{ І/(х)|р ^| < вр |Е\у« Г пр~21 >
где В р зависит только от р и М.
В работе получены результаты, которые обобщают теорему Пэли для почти-периодических в смысле Безиковича и Степанова функций при р > 2 по произвольной тригонометрической системе
|ехр(/^х)|, где л{^} - произвольное счетное множество действительных чисел.
Определение 1. Функцию і(х) называют Вр (р > 1) почти-периодической, или почти-
периодической в смысле Безиковича, если |/(х)|Р интегрируем на любом конечном отрезке,
Ввр {/(х)} = I\ \/(х)|р | < » ,
и существует последовательность тригонометрических сумм {Рп (х)}
п
Рп(х)=Е ск ехр(Чх)>
к=1
для которой
ШРВ {/(х) - рп (х)} = 0.
п^»
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть задан тригонометрический ряд
^ Л ехр(/Л^х), (1)
к=1
где Л{^} - произвольное счетное множество действительных чисел. Если при некотором р > 2
ад
ар=Ё1 АпГпР-2 <ад ’ (2)
п=1
то в пространстве Вр найдется функция /(х), для которой ряд (1) будет ее рядом Фурье и
О,, {/(х)}< Сга1рр. (3)
п ^
Заметим, что так как из условия (2) вытекает сходимость ряда Ак\ , то на основании ана-
к=1
лога теоремы Рисса-Фишера (см. [2], стр. 252) в пространстве ,2 найдется функция /(х) , для которой ряд (1) будет ее рядом Фурье.
Сначала нам необходимо доказать справедливость следующего неравенства
Б,' {Р„(х)}< п-2-1'РБ,, {Рп,(х)} (р > 2). (4)
Известно, что
pn(x)=Mt \ pn(x+oz exp(-i4kt I=n n [ pn(x+t nn exp(-i4kt )dt.
Следовательно,
T^ад ОТ -
k=! J 21 -T k
Адрес для корреспонденции: Хасанов Юсуфали Хасанович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Мирзо Турсун-заде, 30, Российско-Таджикский (Славянский) университет. E-mail: [email protected]
тах
ІР,(х)| < п” (М{ р(х)|2})‘,!.
Тогда
Т Т
| \Рп (х)р Лх < ^ IРп (х)р-2 ■ ^7 | \Рп (х)2 ^
<
< п(р-2)/2 (М
р-2 . Т
{ р (х)|2}) 2 • — І ІР, (х)|2
Лх.
После перехода к пределу по Т ^ ад получим неравенство (4). Доказательство теоремы 1. При всяком натуральном N рассмотрим сумму
2 N
^(х) = X Ак ехР(/Ах) = X А« ’
(5)
к=1
где Ап = Ап(х) = X А еХР(/Ах) .
Поступая таким же образом, как и в работе [3], (см. [3], стр. 81), при г = [ р] +1, Я =
г (г -1)
находим, что
ЕА
- Т Т
<
NN N ___ I 1 Т .
X X ---Е П Ца,а.
М. =1 1/- =1 1/ =1 1 1<1Т 2Т 'Г
Лх <
(6)
У1 =1 у2=1 уг =1 1<?<;<г
Применяя неравенство Гельдера с показателями а = (р + 2)/2 и а' = (р + 2)/ р, получим
2 р
2 р
1 Т | >р I 1 Ті 1^ I р“ 2 I 1 Т , ,рЦ I р+2 2
—(|аа|2Лх<|^{Ы2 Лх| {Ы2 ^
После перехода к пределу, при Т ^ » , будем иметь
х
У=2
2
1 г і
Ііт— АЛІ2 Лх
т 2Т ^ 1 и У'
2 р
1 т ра Г ра 2 Г і т р+2
^ІМ2 *[■ |К1:А
2 Лх <
< Ііт
Т ^ш
2 Р
2Т
2Т
—.р
Т ра I ра 2
2 Р
т р+2 І р+2 2
I 1 т , ,£а I ра 2 I 1 т р+2
Ііт 1— А„ 2 Лх І • Ііт 1— Л 2 Лх
тІ 2Т ^ и І тI от л 1 4
т ^ш 2т
или
Г р&Л ^ А. р ра 2 Г г ,р+2] ^
м 1 Л и 2 м 1 А^ 2 Г
V ) У 1 1
2 р
Применяя к правой части (7) неравенство (4), получим, что
МГ ІЛ Л 1р 1< 2(^+і)(і/2-і/“) /п • 2(у+1)(1/2-1/“')у1/2 =
м I ЛиЛИ(~ 2 у и 2 У V
(7)
_ 2(и+1)(Р/4
р_ р 1а) (м{|^|2})4 • 2™/4-1/а,) (м{ Л|2})7, (8)
где
_ 0^+1)(р/2-1)
Уv_ 2
(м {N’1)
р_
2 _ 2^+!)(Р/2-!)
Ґ 2"+1 -1 Л;
I ТI4 |!
V к_2V у
Так как — _ 1-----, то из соотношение (8) вытекает, что
а' а
М{|Ли\|р/2}<2-М(1/2-1/“Уи/2у"2.
Благодаря (6), (7) и (9), имеем
/ \ NN N ( її у
м{|}<Т Т •••£ П -^^1 (1'2-1'а)}-
' ' Vl _1 V2 _1 Vr _1 1<;< 1<Г^ '
Далее, поступая как и в работе [3], находим, что
{ч N N
х)|р }< Ср Ту, _ Ср Т 2'
^ П _1 П _1
п (р/2-1)
( 2п+1 -1 \
Т I А, \2
V к_2п У
(9)
Покажем теперь, что из условия (2) вытекает сходимость ряда
т
1
р
Т 2
п (р/2-1)
( 2п+1 -1 Л
[ Т КІ!
V к_2п У
Сходимость ряда (11), очевидно, эквивалентна сходимости ряда
(11)
Т пр/2-21 ТІ А,
Используя неравенство (см. [4], стр. 308),
ш Ґ ш \ ш
Тп с (Т ак ] < АТп с (мп )8>
п_1 V к _п у п_1
при с _ 2 - р < 1, 8 _ р > 1, ёп _ | Ап р, получаем
р
2
Т
п_1
п
-(2-р/2)
ТАкI I <АТК,
|р«р-2
чк _п
п_1
Следовательно, в силу условия (2)
м<
Б
\ ш
(х)|р }< ср Т\А.
' п_1
|р пр 2 < ш .
Из сходимости ряда Т 2
п( р/2-1)
( 2п
п_1
Т \а,
V к_2п у
вытекает, что для любых да, п (да > п)
{ 2к+1
Т 2к(р/2-1) Т А
к _п
2 -1
V ^=2 У
при да ^-да, и ^да, и так как неравенство (10) верно для любого полинома и, в частности, для <^1 (х) - <2„+1 (х), то при да ^ да, и ^ да
^ {<„+,(х) - +,(х)}^ 0 .
В силу полноты пространства В , найдется функция /(х) е Вр, для которой при и ^да
^В^ {(х) - <2п+1 (х)}^ 0 ’
и, следовательно, для нее будет верно неравенство (3).
Замечание. Как видно из доказательства теоремы 1 (см. неравенство (10)), условие (2) в ней можно заменить более слабым условием
р
п=1
п_1
да
12
n( p/2-1)
f 2n+1 -1 Л
I I A!
V k=2n
< ад.
Определение 2. Под S -пространством (пространство почти-периодических функций
f Х+1
Степанова) понимается совокупность функций, для которых Ds {f (х)} = Sup J |f (t)|P dt и можно указать последовательность тригонометрических сумм |Ри (х)}
V x
<ад,
Pn (x) = I Ck ЄХР(ЧХ)
(l2)
k=1
таких, что
Ііт {/(х) - Рп (х)}_ 0 .
п——ш р к '
Теорема 2. Пусть задан ряд (1), где Л{К} - последовательность чисел, удовлетворяющая К+1- к > а при некотором а > 0 для всех п.
Если выполнено условие (2), то в пространстве Б (р > 2) найдется функция /(х), для которой {А } будут ее коэффициентами Фурье и имеет место оценка
\ {/(х)}< Ср <'.
Схема доказательство теоремы 2. Можно показать, что для любого полинома (12) при выполнении условия Ки+1 - К > а имеет место
D {P, (x)} < A •" p |I |C
,k=1
Далее, используя тот же метод, что и при доказательстве теоремы 1, найдем
Д, {Р(х)}<Сг■а’;’.
В силу полноты пространства < получим утверждение теоремы 2.
Поступило 29.10.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т.1. - М.: Мир, 1965.
2. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. - М.: Гостехиздат, 1947.
3. Timan M.F. - Analysis Math., 1978, t.4, рр. 75-82.
4. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. - М.: Гос. изд. иностр. лит., 1948.
p
n=1
lS
Ю.Х.Хасанов
ВОБАСТАГИИ ДАРА^АИ СУММИРОНЙ ВА КОЭФФИСИЕНТ^ОИ ФУРЕИ ФУНКСИЯ^ОИ ЦАРИБ ДАВРЙ
Донишго^и (Славянии) Россияю Тоцикистон
Дар макола барои функсияи кариб даврии Безиковичу Степанов натичах,ои нисбатан умумикардашуда дар системами тригонометрии ихтиёри оварда шудаанд.
Калима^ои калиди: суммирони - коэффисиент^ои Фуре - функсияуои цариб - даврй.
Yu.Kh.Khasanov
ABOUT RELATIONSHIP SUMMABILITY AND FOURIERS COEFFICIENTS OF ALMOST PERIODIC FUNCTIONS
Russian-Tajik (Slavonic) University This work highlights the results, generalizing Paley theorem for almost periodic functions according to Bezicovitch and Stepanov under p>2 on arbitrary trigonometric systems.
Key words: summability - Fourier’s - coefficients - almost-periodic functions.
