CC BY
23
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2009, том 52, №12______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Ю.Х.Хасанов
ОБ АБСОЛЮТНОЙ СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ПРЕДЕЛЬНЫМИ ТОЧКАМИ
В БЕСКОНЕЧНОСТИ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 23.10.2009 г.)
Исследованию критериев абсолютной чезаровской суммируемости рядов занимались многие математики. В работах [1-5] исследованы ряды Фурье по тригонометрической системе функций. Для 2 Я - периодической функции f (x) е L, имеющей ряд Фурье
ад
^ (ап cos nx + bn sin nx) (1)
n=0
Л.Лейндлер [3], К.Тандори [4], М.Ф.Тиман [5], Л.В.Грепачевская [1], [2] установили необходимые и достаточные условия почти всюду |С ,а| - суммируемости ряда (1).
По аналогии с периодическим случаем в работе [6] для различных значений
а (-1 <а< 1 ) приведены некоторые достаточные условия |С,а| - суммируемости рядов
Фурье почти периодических функций Безиковича f (x) е B2. При этом в качестве структурной характеристики рассматриваемой функции используется модуль непрерывности порядка k функции f (x) е Bp (p > 1)
юк (f;h) в = SuP
P \¥h
k
Ё (-i)k-r (k )f (x+rt)
(h > 0, k е N).
Определение 1. Функцию /(х) называют Вр (р > 1) - почти периодической, или
почти периодической в смысле Безиковича, если \/(х)|р интегрируема на любом конечном отрезке,
ПВр {/(х)} = |} |/(х)|р ^| <“ >
и существует последовательность тригонометрических сумм {Рп (х)}
п
Рп(х) = 2 Ск ехР(Чх)>
к=1
0
n
B
для которой 1ітРв {/(х) - Ри (х)} = 0.
П^ы Р
Для отрицательных значения порядка суммирования а (-1 <а< 0 ) в работе [6] доказан следующий результат.
Теорема 1. Пусть функция /(х) є В2 и ее спектр Л{ЯИ}” удовлетворяют условиям
к=-л, —п| < —1. пт\\=ы пз=°{\}(п >° 5 >о).
у +1 — В у +1 — В 2 2
Если при 0 < В < 2, 0 <у < 1, к >----2, р =-------— выполнены
р5 5
ы і
£ П р1юЦ(/;-)в <ы
П=1 П 2
ы
то ряд ^\СП\В суммируем методом |С,—у\.
П=1
Там же в [6] для значений а (—1 <а< 1/2) доказано следующее утверждение, обеспечивающее С,а - суммируемость почти всюду ряда
ы
£Сп ехр(/—Пх). (2)
Теорема 2. Пусть спектр Л{—п }^^ функции /(х) є В2 удовлетворяет условиям
П—п =—Пп . —п| <|Пп+ 1. 1іт—п| = ы (П = 1,2,...) .
у^—а) — „+, ,
Тогда условие ^ 2 2 (——) „ )
у=0 П2У
< ы
влечет |С,а| - суммируемость почти всюду ряда (2).
В настоящей работе для различных значений а> 1 устанавливаются критерии абсолютной чезаровской суммируемости рядов Фурье почти периодической в смысле Безиковича функций, спектр которых имет единственную предельную точку в бесконечности.
В дальнейшем нам понадобиться следующие вспомогательные утверждения.
П=1
Лемма 1. (Б.Леви). Если последовательности функций {<рп(х)}е В (п = 1,2,...) и поч-
ад ад
ти всюду (рп (х) > 0 (п = 1,2,....), то из условия I M \рп (х )}<ад вытекает, что ряд 1@п (х)
п=1 п=1
___ _______________ ^ Т
почти всюду сходится. Здесь M {f (x)} = Нш-^-11 f (х)| dx.
ад
Лемма 2 (Дж. Соноути). Если ряд I \ип\ сходится, то ряд
п=0
ад
I (-^а)-'».
п=0
суммируем методом |С, а| (0 < а < 1).
При а = 1 для абсолютной чезаровской суммируемости рядов вида (2) имеет место
следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть спектр Л{—} функции /(х) є В2 удовлетворяет условиям
=—Пп .|П <|ПП++,1Іт —п| =ы,(П = 1,2,...) .
111 1 П^ы ' '
Тогда условия
ы П
2 2—у (П4Ч (/;П\<ы (3)
—у
у=° - "2'
влекут
С ,1 2
- суммируемость ряда (2).
Доказательство. В силу леммы 1 нам достаточно установить сходимости почти всюду ряда
ад ___
0(/;а) = 1М{ | <(х)-СТа-'(х) | }, (4)
п=1
где
(а + 1)(а + 2)...(а + п)
п
<=2 «)—1 , а: =
к=0 п!
В работе [6] установлена оценка
ы
^ 1
У+1 1 -,'+1 1 '■чУ+1
у(а+1) | ^у^—11 2;+^—12;+^—1 п2с2 I 2
- - 2)----------------п
п=1 к=2у п= 2у к =п (п — к + 1)
С (/;а) <2 2 ' 2 \ (2 2+22 ),_ ,,,п2(,—а)
у=0
Пусть а = —, тогда
2
ш -„(І+І) І 2--12у+1 -1 21'+1 -12у+‘ -1 п2с2 |2
в(/а)<Е2 (22)І(ЕЕ+Е Е)
-=0
п=1 к=2- п=2- к=п
п - і + 1
1
2*+1 -1 І 2 ш | у 2*+1 -1
Еп2с| = Е
-=0 І п=1 І -=0 І к=0 п=2к
=Е2-уІЕп2сЧ =Е2-у^Е Еп2сП<
1
ш у Г 2к+* -1 І 2
<Е 2-у]т 2і *■ Г хс,4
-=0 к=0 І п=21 І
Переставляя порядок суммирования, получаем
ш Г24+1 -
0(/;а) <]Г 2-'. Т\ £ С;|- ^ С
у=0
Применяя неравенство (см. [8], стр. 308)
2 -1 I 2 ш | 2 -1 І 2
2 I
у—0 I п= 2-
ш I ш
Е<//<с,еп-"ІЕ. ■ 0<"< 1, < *0■
п=1
п=1 \у=п
получим
І ш ( 2-+ -1 ^ 1/2'
О(/;а) = О^Е 2-- ес
I -=0 V п=2- У і
Так как [7]
2к+і -1 і 2
^2 I
Е С2
<
п=2к
то после применения этой оценки будем иметь
ОС I ;а) = О^Е 2-
кК-У
щ(/;К)Вг
(6)
(7)
ш
Отсюда из неравенства (7) с учетом оценки (3) следует сходимость почти всюду ряда
(4). Поэтому в силу леммы 2 следует суммируемость ряда (2) методом
С ,1
2
. Теорема 3 дока-
зана.
Для |С,а| - суммируемости ряда при а > 1 можно установить аналогичные результаты. Для этого нам понадобится следующее утверждение.
Лемма 3. Для произвольной последовательности выполняется неравенство
2 ад
а,.
чк =п
ч 1/2 •
п=1 I к=2п +1
=2 п (1§ п )
Доказательство леммы можно найти в работе [1].
Теорема 4. Если спектр функции /(х) е В2 удовлетворяет условиям
*п =-А> |Л| <|А+1|ЛЧ Л| = ад,(п=1,2,-) и
ад _1/о 2
I 2-'( іпгрм^Ч (/.2;'),
у=0 2
< ад,
(8)
то ряд (2) почти всюду |С,а| - суммируем при всяком а > 1. Доказательство. Известно, что [6]
ад __
С(/;а) = ^М { К (х) -<ч(х) | }<
п=1
<12 ' ;) \ (11+11 )
у=0
п=1 к= 2; п = 2;
к=п (п - к +1)
2(1-а)
Пусть а > —. Тогда 2 - 2а < 1. Следовательно, после перестановки порядка суммиро-
вания, в силу того, что
1
(п - V + 1)
2(1-а)
= О
1
т(а+—)
2 2
V У
получим
|/=2
^ 1 да Г2"+1 -1 1 2 да Г2"+1 -1 1 2
-n(a+1/2) ґ^п(a+1/2) J X"™' /^2 | X"™' I X"™' /^2
G(f ;a) <I2-n(a+1/2) • 2n
I C \ =I|Z cv
v=2 "
n=0 J v=2 ”
После применения леммы 3 будем иметь
ш Г 2”+1 -1
G(f,a) <£ и-1(1пи)-1/2 J £с;
n=2
Отсюда после применения оценки (6) получаем, что
G(f;a) <ї 2-v(ln2')-
1/2
v=1
of (f;—-) г
В силу (8) и леммы 2 получаем доказательство теоремы 4.
Российско-Таджикский (Славянский) университет Поступило 30.10.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Грепачевская Л.В. - Математ. сб., 1964, т.65(107), № 3, с. 370-389.
2. Грепачевская Л.В. - ДАН СССР, 1964, т.155, № 3, с. 173-179.
3. Leindler L. - Acta Scient. Math., (Szeged), 1961, 22, s. 243-268.
4. Tandori K. - Acta scient. Math., 1960, s. 292-299.
5. Тиман М.Ф. - Сообщение АН ГрузССР, 1961, т.26, № 6, с. 641-646.
6. Тиман М.Ф., Хасанов Ю.Х. - Украинский математический журнал, 2009, т.61, №9, с. 1267-1276.
7. Хасанов Ю.Х. - ДАН РТ, 1996, том 39, № 9-10, с. 42-47.
8. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Гос. изд. иностр. лит., 1948.
Ю.Х.Хасанов
ДАР БОРАИ МУТЛАК СУММИРОНИИ ЦАТОР^ОИ ФУРЁ АЗ ФУНКСИЯ^ОИ ЦАРИБ ДАВРИИ БЕЗИКОВИЧ, КИ НУЦТА^ОИ
ХУДУДИАШОН БЕОХИРАНД
Хангоми а > 1/2 будан, |С,а| - суммиронии каторх,ои Фурёи функсиях,ои кариб
даврии Безикович тадкик карда мешавад. Барои ин функсия холати беохир будани нуктах,ои худуди дида шудааст.
Yu.Kh.Khasanov
ON THE ABSOLUTE SUMABILITY FOURIER SERIES AMOST PERIODIC FUNCTIONS, THE SPECTRUM OF WHICH HAS A LIMIT POINT ONLY AT
INFINITY
For the almost periodic functions, the spectrum of which has a limit point only at infinity, criteria of absolute Chezarovs sumability of order a > 1/2 of their Fourier series are established.
