CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №1-2_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.512
Ю.Х.Хасанов, Ф.М.Талбаков*
АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ С.Н.БЕРНШТЕЙНА О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Российско-Таджикский (славянский) университет, Институт математики им. А Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 15.12.2015 г.)
В работе исследуется вопрос о приближении почти периодических функций целыми функциями конечной степени с приводимым спектром в равномерной метрике. Также устанавливаются необходимые и достаточные условия принадлежности равномерных почти периодических функций к классу целых функций.
Ключевые слова: почти периодические функции, ряды Фурье, спектр функции, целые функции конечной степени, тригонометрические полиномы, наилучшее равномерное приближение.
Через B (с > 0) обозначим класс ограниченных на всей действительной оси целых функций степени не выше с . С.Н.Бернштейн [1] установил, что среди функций из класса Ba, осуществляющих на всей действительной оси наилучшее равномерное приближение 2ж -периодической функции f(x), найдется тригонометрический полином степени не выше о .
Настоящая статья продолжает результаты Е.А.Бредихиной [2,3], где установлено, что если f (x) - равномерная почти-периодическая функция и имеет ряд Фурье
f (x ) ~ exP (irk ßx) >
k
здесь r - рациональные числа, ß - действительное число, то среди функций ga (x) е Ба, для которых имеет место равенство
lim \f(x)-ga(x)\ = Aa(f), (1)
где Aa (f) - наилучшее равномерное приближение порядка с , найдется тригонометрический полином степени < с.
Пространство равномерных почти периодических функций [4], его обозначим через B, есть замыкание множества тригонометрических полиномов
n
T (x )='EAkexp(i\xX
k=1
Адрес для корреспонденции: Хасанов Юсуфали. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Мирзо Тур-сун-заде, 30,Российско-Таджикский (славянский) университет. E-mail: [email protected]
где A - коэффициенты Фурье, Як - спектр функции f (x) е B, с нормой
f(x)B = sup \f(x)\.
-ад< x<w
Пусть класс функций f (x) е B с произвольным спектром } , имеет ряд Фурье
Z AexP(iKx)> (2)
k=-ад
где
1 Т
Ak = M {f ( x ) exP {-i\x )}= Jim — j f ( x ) exp (-i\x ) dx.
Т
Вначале рассмотрим следующий важный вопрос: пусть дана функция f (x) е B . Спрашивается, каковы необходимые и достаточные условия для принадлежности этой функции к классу Вст.
Для решения этого вопроса докажем утверждение, которое ранее без доказательства приведено автором в работе [5].
Теорема 1. Для того чтобы равномерная почти периодическая функция f (x) принадлежала
классу Во, необходимо и достаточно, чтобы её показатели Фурье Л удовлетворяли неравенству
Доказательство. Достаточность. Рассмотрим функцию
ад
fa,b (Х )= jf (X + U)Va,b (U ) dU
где
_ . b — a . b + a 2sin—-—u • sin—-—u
( ) ж(Ь — a)u2
Покажем, что функция fa b (X) является непрерывной и почти периодической функцией. Действительно, так как [6] (см. [6], с. 76)
ад fy
j К,ъ (u)| du < A + Bln a±-,
—ад
где A и В - абсолютные константы, то
\fa,b (* + Т) - fa>b (*)| < J | f (* + U + О - f (* + U)\ ■ \<paj¡> (u)|du <
< sup f (* + u + r) — f (* + u)| | A + Bln a + b |.
—w<*<w y b a J
Отсюда и следует непрерывность и почти периодичность функции fa b (x). Полагая a = A, b = 2A, имеем
(t - *)A 3A( t - x)
J w sin ---— sin---- w
fab (x) — J f (t)-,2 2-dt ~ ^A,exp(iAA*).
A;r —W (t *) k=—W
Поэтому в силу теоремы единственности [4] (см. [4], с. 73)
fa> ( * f ( * ).
Необходимость. Пусть теперь равномерная почти периодическая функция f (*) принадлежит классу Ba и имеет ряд Фурье вида (2). Тогда при любом натуральном r
К r),
f(r)(*) ~ ^ (iA)rA exp(iA**).
к=—W
Используя неравенство С.Н.Бернштейна, получим
f{r)(*)<ar ■ sup| f (*)| = ^ ■ C.
*
Поэтому
1 T
йг^ Jlf (''(* )l2 d* <ct2' ■C 2-
—T
Тогда с помощью неравенства Бесселя получим, что при любом г = 1,2,.
\к I2 "А I2 г • с2
или
( гг Л"
А£ с (и ]■
Из последнего неравенства следует, что при |р| > и справедливо А = 0 . Теорема 1 полностью доказана.
Справедливо следующее утверждение, являющееся аналогом результата С.Н. Бернштейна.
W
Теорема 2. Пусть f (x) е B и
Aa(f)= sup \f (x)-gf x)\(a> 0).
-w<x<w
Тогда для любого s> 0 найдётся конечная тригонометрическая сумма
n
р (x)=TPk exp O'V )(W < ,
k=1
такая, что равномерно по x
\f ( x )-Pa( x)| < Aa (f ) + e.
Доказательство теоремы 2 проводится аналогично тому, как это выполнено в работе [5] (см. [5], теорема 1).
Для случая, когда спектр Л J на любом конечном отрезке имеет конечное число предельных точек и более того, является проводимым множеством, имеет место
Теорема 3. Если f (x) е B с приводимым спектром J(k = 0, ±1, ±2,...), то среди функций
да (x)е BCT, для которых справедливо равенство (1), найдется функция Qa (f; x)е B с рядом Фурье
Z A exP (Яx).
Доказательство. В силу теоремы 2 совокупность полиномов |QCTiV (x)J, фигурирующих в неравенстве
P(m)( x )- QU ( x )|< Aa( f ),
является компактной. Следовательно, можно выбрать из неё подпоследовательность {<QCTiVi(x)J,
сходящуюся равномерно на любом конечном отрезке с соответствующей предельной функцией fN (x). Поэтому в силу [4] (см. [4]. с.48) fN (x) есть равномерная почти периодическая функция.
Поэтому при Nk ^ w функция fN (x) сходится к f (x) равномерно для всех x. Отсюда следует, что f (x) со спектром = 0, ±1, ±2,.) есть также равномерная почти периодическая функция,
что и требовалось доказать.
Теперь для f (x) е B попытаемся найти функцию р (x) е Bff, которая удовлетворяет условию
sup \f (x)-Р(x)| < Ca(f ;ст_1).
Теорема 4. Пусть /(х) е В со спектром = 0, ±1, ±2,.) и
А2 )= | / (1 -2) ¿и
где
vAz ) =
. 4 cz , sin — 1 4
3 3
лс z
Тогда <Рс( z )е Ба
suP \f (x)-^с(x)| < C®(f С-1)
(3)
C - абсолютная константа.
Доказательство. Оценим интеграл
J||( u - z)| du << | ||(u - z )| du + J |l(u - z )| du
\u-z <2
u-z >2
(4)
Так как
Sinz
ш |z|2k ш |z|2i (2k +1)! <§ (2k)! < e
то
i |lc(u - z)| du = ~7 i
лс3 J|
u-z <2
u-z <2
. 4 (u - z)c sin --—
c3( u - z )3
du =
f
лс , J
. 4 (u - z)с
Sin ---— f 4
4 (u - z )с
u - z
4 л 4
du < Cсе2с (Iz| + 2), л
(5)
где С - абсолютная константа.
Для оценки второго интеграла в правой части (4) воспользуемся известным неравенством
\sinz\ <1 (|e"y| + \ey\) < ^ = e|y| (z = x + iy). 2 k=0 k!
Тогда
z
| и - 2)| ёи = -1т I
-ко Т— I, „|.
\и-2 >2
\и-2 >2
. 4 (и - 2—
ьт --—
— (и - 2)3
Ли <
ТЮ
—
ёи г ёи
7 л I 4 (и - X) |И-Х|я у
у2 >3 J
< с-
Т—
(6)
Подставляя (5) и (6) в (4), получим
ш ( 1 |>ет(и - 2) ёи < с Iю е2- (12 + 2) + —
Из последнего следует, что (2) является целой функцией.
Теперь покажем справедливость оценки (3). Пусть функция ща (и) имеет следующий вид
- ад
(и) = ^ 1—)
где
(( И ) =
, 6 И . . -
1+ ^ И <7, — — 2
( ыУ
1
V —
с I I
— < И < Ю, 2
И >—.
Тогда
4
3—2 г ёи „ 1
ю(и)ёи <, , з , 4 '
-ад 4Т 0 ТЮ 4 и Т
(7
|>-(и)ёи <—\ёи +-- | — <с• -, (7)
•> Л. 7Г •> ТГГТ •> 11 77"
^4
.2 -
Зо-2 ю 2 ёи 1
—и^ет(и)ёи <-|иёи л--- < С • —. (8)
0 4т д т— 4 и т
(7
В силу формулы обращения Фурье [6] (см. [6], с. 77), имеем
ад
(и) ехр(Ии)ёи = (ра (и). (9)
Полагая в этом равенстве ^ = 0 и замечая, что ( (0) = 1, получим
ад
|у(ы) йы = 1. (10)
—ад
Следовательно,
ад
/Дх)={ / (х)уа(ы) йы. (11)
—ад
Помножив обе части (10) на / (х) и вычитая полученное таким образом равенство из (11), будем иметь
ад
\/(х ) — /а (х )| < \ | / (х ) — /(х + ы) | Уа (ы ) йы <
—ад
ад
< Са( / )|(1 + )ует( ы ) йы.
0
В силу неравенств (7) и (8) из последнего неравенства следует оценка (3). Аналог теоремы 2 для классов обобщённых почти периодических функций Безиковича и Степанова получен ранее автором в работе [7].
Поступило 16.12.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений, т.II. - М.:Изд. АН СССР, 1954, с. 371-375.
2. Бредихина Е.А. К вопросу об аппроксимации почти периодических функций. - Сиб. матем. журн., 1964, т.5, № 4, с. 768-773.
3. Бредихина Е.А. К теореме С.Н. Бернштейна о наилучшем приближении непрерывных функций целыми функциями данной степени. - Изв. вузов. Математика, 1961, № 6, с. 3-7.
4. Бор Г. Почти периодические функции. - М.: ЛИБРОКОМ, 2009, 128 с.
5. Тиман М.Ф., Хасанов Ю.Х. О приближениях почти периодических функций целыми функциями. - Изв. вузов. Математика, 2011, № 12, с.64-70.
6. Левитан Б.М. Почти периодические функции. М.-Л.: Гостехиздат, 1953, 396 с.
7. Хасанов Ю.Х. О связи между степенью суммируемости почти периодических функций и коэффициентов Фурье. - Владикавказский матем. журн., 2014, т. 16, вып. 3, с. 47-54.
ЮДДасанов, Ф.М.Талбаков*
ТЕОРЕМАИ С.Н.БЕРНШТЕЙН ОИД БА НАЗДИКШАВИИ БЕ^ТАРИНИ
ФУНКСИЯДОИ кариб ДАВРЙ
Донишго^и (Славянии )Россияву Тоцикистон, *Институтиматематикаи ба номи А.Чураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола наздикшавии функсиядои кариб даврии мунтазам тавассути функсиядои бутуни дарачааш маддуд тадкик карда шудааст. Хдмчунин шартдои зарурй ва кифоягии ба синфи функсиядои бутун тааллук доштани функсиядои кариб даврии мунтазам нишон дода шудаанд.
Калима^ои калиди: функсиядои цариб даврй, цаторуои Фуре, спектри функсия, функсиядои бутуни дарацаашон маудуд, бисёраъзогиуои тригонометри, наздикшавии беутарини мунтазам.
Yu.Kh.Khasanov, F.M.Talbakov* ANALOGUE OF THE THEOREM S.N.BERNSHTEYN ABOUT THE BEST APPROXIMATION OF ALMOST PERIODIC FUNCTIONS
Russian-Tajik (Slavonic) University, Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
The paper is devoted to investigation of a problem of approximation of almost periodic functions by entire functions with given spectrum in uniform metric. Also necessary and sufficient conditions for belonging of uniformly almost periodic functions to the class of entire functions are installed. Key words: almost periodic functions, Fourier series, spectrum to function, entire functions of finite order, trigonometric polynomial, best uniform approximation.
