О приближениях равномерных почти-периодических функций целыми функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2010, том 53, №11___________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.512

М.Ф.Тиман, Ю.Х.Хасанов*

О ПРИБЛИЖЕНИЯХ РАВНОМЕРНЫХ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЦЕЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Днепропетровский аграрный университет, Украина Российско-Таджикский (Славянский) университет

(Представлено членом-корреспондентом Академии наук Республики Таджикистан И.Курбановым 22.09.2010 г.)

В работе приводится новое доказательство одной теоремы С.Н.Бернштейна о том, что среди целых функций степени не выше Г найдется тригонометрический полином степени не выше Г. Устанавливается аналог этого результата С.Н.Бернштейна и аналог теоремы Джексона для равномерных почти-периодических функций с произвольным спектром.

Ключевые слова: почти-периодическая функция - тригонометрический полином - показатели Фурье - равномерное приближение - целая функция конечной степени - модуль непрерывности.

Через В(г) обозначим класс целых функций степени < г , ограниченных на всей действительной оси. С.Н.Бернштейн [1] (см. стр. 374) доказал, что среди функций из класса В(г), которые на (—да, да) осуществляют наилучшее равномерное приближение порядка Г периодической функции f (х), найдется тригонометрический полином степени не выше Г.

В работе приводится новое доказательство теоремы С.Н.Бернштейна, которое позволяет получить следующие результаты для равномерных почти-периодических функций.

Теорема 1. Пусть f (х) равномерная почти-периодическая функция со спектром Л{Лк} и

A(r; f) (г > 0) - наилучшее равномерное приближение порядка Г функции f (х) из класса В(г) .

Тогда для любого varepsilon > 0 найдется конечная тригонометрическая сумма

N

Р( х; N ,г) = ■£ bkexp(i\xX (і)

k=1

где ^єЛ, \\\ <г (k = 1,2,..., N) такая, что равномерно по х

\f (х) — Р(х;N,r) \< A(<j;f) + є. (2)

Теорема 2. Пусть f (х) равномерная почти-периодическая функция, спектр которой Л(Лк) на каждом конечном отрезке действительной оси имеет конечное число предельных точек. Тогда среди функций g^r) є В(г) и удовлетворяющих соотношению

sup \ f (х) — g(х; г) \= A(r;f) (—да < х < да) (3)

х

Адрес для корреспонденции: Хасанов Юсуфали Хасанович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Мирзо Турсунзода, 30, Российско-Таджикский (Славянский) университет. E-mail: [email protected]

найдется тригонометрический полином степени < а вида (1) такой, что

| f (x) - Р(х; N,0) |< А(а; f).

Наряду с этими утверждениями справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Пусть /(я) равномерная почти-периодическая функция с произвольным спектром Л(Ак ). Тогда можно указать полином вида (1) степени <а такой, что

1 f (х)-р(х;Ы,а) |< С(к)Пк(/;—), (4)

а

где Ск не зависит от /, N, и а, а «к (f ;0) - означает модуль гладкости порядка к функции /(х) с шагом ■— в равномерной метрике.

В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма. Для принадлежности равномерной почти-периодической функции к классу В(а) необходимо и достаточно, чтобы ее показатели Фурье Л(Ак) удовлетворяли неравенству | Як |< а для всех к.

Достаточность условия леммы приводится в работе [2] (см. [2], стр.88). Доказательство необходимости условия проводится аналогично тому, как это выполнено для случая \ = к в [1] (см. [1], стр. 375).

Доказательство теоремы 2 (для случая 1к = к). Пусть /(х) - непрерывная периодическая, периода 2л функция и

1 л

ф(х; п) = — | /(х + і')¥(і; гіуіі,

/7Г *

2л _п

. „ т-у. ч ът2(Ш / 2)

ее суммы Феиера, где г (г; п) =---------------. Очевидно, что в силу периодичности функции т (х) ,

п эт (г / 2)

л лЫ

Фх, п) = т^ Г /(х + г')¥(г, п)Л. (5)

Хорошо известно, что равномерно по х

Нш Ф( х; п) = Т (х). (6)

Пусть теперь функция д(х;&) е В(&) и удовлетворяет соотношению (3). Для каждого натурального N рассмотрим функцию

лЫ

2лЫ

В силу свойств ядра ¥(Р,н) и (5) равномерно по х е (—да, да), Ы, п

|Ф(х;п) — д(х; а, Ы, п) |< Л(/; а). (7)

Кроме того, из равенства

^ ГN п+2 п - N п+2 п Л

, n) - Q(x; а, N, n) = -— j j - j g(x +j ajF(jnjjt.

2nN N Nn -Nn \

Q( x + 2л; а, N, n) — Q( x; а

вытекает, что для x е (—да, да)

\im{Q( x + 2л;а, N, n) — Q(x;a, N, n)} = 0. (8)

N —да

Легко проверить, что в силу свойств функции g(x; а), при всяком фиксированном n совокупность

функций {Q(x;a,N,n)} (N = 1,2,...) равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на

(—да, да). Следовательно, из нее можно выбрать последовательность {Q(x;a, Nl,n)} , равномерно

сходящуюся на любом конечном отрезке. Пусть

lim Q(x; а, Nl, n) = G(x; а, n). (9)

Ni —>да

Как известно (см. [1]), функция Q^x^, N1,n) принадлежат классу В(а), а из (9) следует, что и G(x; а, n) е В(а) . Кроме того, из (8) и (9) вытекает, что функция G(x; а, n) имеет период 2л . В силу приведенной выше леммы, G{x; а, n) является тригонометрическим полиномом степени не выше n . Рассмотрим теперь совокупность полиномов {G(х;а,n)} (n = 1,2,...) . Выберем из нее сходящуюся подпоследовательность {G(x;а, nk)} . Пусть

lim G(x; а, nk) = P(x; а), (10)

nk—да

где P{x;а) полином степени < а . Тогда при каждом x е (—да, да), благодаря (7), имеем неравенство

Iф( x; nk)—Q( x;а, Ni, nk) l< A(f ;а) (11)

из которого при N —да , а затем при nk — да, благодаря (6), (7), (10) и (11), получаем утверждение С.Н.Бернштейна.

Доказательство теоремы 1. Пусть множество чисел ß{ßk} является базисом для спектра } равномерной почти-периодической функции f (x) и ß{ß }еК{\} (см. [2], стр. 67). Рассмотрим суммы Бохнера-Фейера, соответствующие функции f (x)

1 Т

P( f; x; n, m) = Mt {f (x +1 )K (t; n, m)} = lim— j f (x +1 )K (t; n, m)dt,

T 2T JT

где (см. [2], стр. 70)

sin2(nßit / (2ml))

К(t; n, m) = n r П----------------------

Af sin2(ßl t / (2ml))

-=

составное ядро Фейера и M{K (t ; n, m)} = 1.

Пусть теперь g (x ;а) е В (а) и удовлетворяет соотношению (3). Рассмотрим функцию

1 T

F (x; n,T) =— I f (x +1 )K (t; n, m)dt,

21 JT

для которой равномерно по x е (—да, да)

lim F (x; n, T) = P( f; x; n, m),

T —да

и функцию

i T

Q(x;а,n,T) = — I g(x + Ца)К(t;n,m)dt.

2T JT

В силу теоремы Бохнера-Фейера, для любого s > 0 выберем n и m такими, чтобы

I f(x) — P(f;x;n,m) I<s. (12)

Далее, очевидно, что

1 T

IF(x;n,T)—Q(x;а,n,T) |< А(^а)— | К(t;n,m)dt (13)

и при T — да правая часть в (13) стремится к числу A( f ;а) . Следовательно, совокупность функций

{Q(x; а, n, T)} при фиксированных n и m равномерно ограничена. Можно также убедиться в том,

что она и равностепенно непрерывна. Поэтому, при фиксированных n и m, укажем последовательность чисел {T } , для которой

lim Q(x; а, n, T ) = G( x; а, n)

T —да

равномерно на всяком конечном отрезке действительной оси. При этом, функция G(x; а, n) е В(а) и в силу (13)

I P(f; x;n, m) — G(x; а, n) |< A(f ; а) (14)

равномерно по x, n и m .

Покажем, что всякий s - почти-период Т функции f (x) будет также s - почти-периодом функции G(x; а, n) . Для этого рассмотрим разность

1 T

Q(x + т;а,n,T) — Q(x;а,n,T) =— I g(x +1 + т;а){К(t;n,m) —

2T JT

1 Г

—К(t + т;n,m)}dt +----I g(x +1 + т;а)К(t + т;n,m)dt-

2T Jr

1T

—— | g (x +1; а)К (t; n, m)dt = Щ) + I2(T)—I3(T). 2T

Очевидно, что разность

2 (T+Т —T+Т Л

I2(T)—I3(T)=—\ | — I [g(x+u;а)К(u;nm)dt]

I т —Т J

при Т ^ да и фиксированных т, п, т стремится к нулю. Оценим теперь 1г (Т) . Пусть | д(х;а) |< С . Тогда (см. [2])

С ...... т;п,т) — К(V;п,т)

I h(T) |< — j K(t + г;n,m) -K(t;n,m) \ dt \<

r

2T

-T

I - Im „_/-'Är,

< — П E (!-—)lextf-^)-1|<CSn,

k=1 -k\<n n m•

где

e o^i • і і ^ —kßk

Sn = 2E\sin~^1, Ä-=E- k

венства

2 ' ti ml

Так как Т есть s - почти-период функции f (x) и } ее спектр, то имеют место нера-

I^^T\<ö(mod2л) (k = 1,2,...,N),

где 5 < л и зависит от s . Выбрав 5 = ^^ , получим, что CSN < s , а значит и Ij (T) < s. Из оценок

для I, I2, I3 вытекает, что

lim | Q(x + т;а,n,T) — Q(x;&,n,T) |< s.

T—да

Следовательно, G(x'^, n) также равномерная почти-периодическая функция. Можно убедиться в том, что функция G{x;а, n) тригонометрический полином со спектром из } функции f (x) , у которого | Лк |< а . Это следует из того, что

G(x-а,n) = lim Q(x-а, n, T) = £ С]T f 1—exp(‘Vkßf),

T‘—да 1=1 ml \=1 ^ n ) ml

где

Из вышеприведенной леммы следует, что | Хк |< а . Так как

| /(х) — 0(х;а, п) |<| /(х) — Р(/; х; п, т) | +1 Р(/; х; п, т) — 0(х;а, п) |,

то в силу (12) и (14) получаем утверждение теоремы 1.

Доказательство теоремы 2. Аналогично, как и при доказательстве теоремы 1, получаем совокупность ^(х;а,п)} (п = 1,2,...) тригонометрических полиномов степени не выше а. Эта совокупность полиномов равномерно ограничена и равностепенно равномерно непрерывна. Выберем из нее последовательность [0(х;а,пк)} , сходящуюся равномерно на всяком конечном отрезке действительной оси. Пусть

Коэффициенты полиномов 0( х; а, пк ), как это видно из доказательства теоремы 1, имеют вид

и, следовательно, при пк ^ да удовлетворяют условиям леммы 3.5.2. из [2] (см. [2], стр. 168-169), из которой для спектров }, оговоренных в теореме 2, вытекает, что предельная функция в (15) является равномерной почти-периодической. Так как Я(х;а) к тому же целая степени <а, то она является полиномом степени <а . Переходя теперь к пределу при п = пк ^ да в неравенстве (14), получаем утверждение теоремы 2.

Отметим, что для случая, когда спектр } функции / (х) имеет базис, состоящий из одной точки, теорема 2 методом С.Н.Бернштейна установлена Е.А.Бредихиной в [3].

Доказательство теоремы 3. Существование тригонометрического полинома Р{х; Ы,а) степени < а, для которого верно неравенство (4), вытекает из теоремы 1. Чтобы убедиться в этом, в неравенстве (2) необходимо положить уагврзИоп = &к (/; -1) и воспользоваться известным неравенством Л(/;а') < С (к )0^, (/; -1) (см., например, [4], стр. 183). Однако можно не только утверждать существование таких полиномов, но и указать конкретный вид такого рода полиномов. Действительно, пусть / (х) удовлетворяет условиям теоремы 3. Рассмотрим функцию

1гт 0(х; а, пк) = Я(х; а).

(15)

пк

где

К(г) = — |^п ^ |, | К(г)сИ = 1 (2г > к + 3).

Известно, что равномерно по х е (—<х>, <х>)

\/ (х) — д(х;а) \ < )Пк(/;—). (16)

а

Так как д (х;а) целая равномерная почти-периодическая функция степени < а , то для всяких п, т функция

д(х; п,а) = Мг {д (х + г;а) К (г; п, т)} будет полиномом степени < а , для которого

\ /(х) — 0(х;п,а) \< С(к№к (/; -). (17)

а

С этой целью выберем п настолько большим, чтобы суммы Бохнера-Фейера дали оценку

\/ (х)—Мг{/(х+г) К (г; п т)} \ < пк(/;—> (18)

а

где К (г; п, т) - составное ядро Фейера. Чтобы получить неравенство (17), надо при выбранном п , в

его левой части под знаком модуля прибавить и вычесть суммы Бохнера-Фейера для функции / (х) а

затем воспользоваться оценками (18) и (16).

Поступило 22.09.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений. М.: Из-во АН СССР, т.2, 1954.

2. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

3. Бредихина Е.А. К вопросу об аппроксимации почти-периодических функций. Сиб. мат. журнал, т.5, N 4, 1964, с.768-773.

4. Никольский С.М. Приближении функций многих переменных и теоремы вложения. М.:Наука, 1977.

М.Ф.Тиман, Ю.Х.Хасанов*

ДАР БОРАИ БА ФУНКСИЯ^ОИ БУТУН НАЗДИКШАВИ^ОИ ФУНКСИЯ^ОИ КАРИБ ДАВРИИ МУНТАЗАМ

Донишго^и аграрии Днепропетровск, Украина,

Донишго^и (Славянии) Россияю Тоцикистон

Дар макола исботи нави теоремаи С.Н.Бернштейн, ки мавчудияти бисёраъзогии тригонометрии дарачааш < а -ро миени функсиях,ои бутуни дарачааш < а тасдик мекунад, оварда

шудааст. Ин натичаи С.Н.Бернштейн ва теоремаи Ч,ексон барои функсиях,ои кариб даврии мун-тазам бо спектри дилхох, пах,н карда мешавад.

Калимахои калиди: функсияуои кариб даврй - бисераъзогии тригонометрії - нишондщандауои Фурйе - наздикшавии мунтазам - функсияи бутуни дарацааш охирнок - модули бефосилаги.

M.F.Timan, Yu.Kh.Khasanov

ABOUT APPROXIMATIONS OF UNIFORM ALMOST PERIODIC FUNCTIONS BY WHOLE FUNCTIONS

Dnepropetrovsk Agriculture University, Ukraina,

Russian-Tajik (Slavonic) University In this work given a new proof of well-known statement by S.N.Bemstein that among whole functions of power < a which give on (—œ, œ) the best uniform approximation of order a of periodic functions can be found trigonometricalpolynomial of power < a. Is proved analogue of this statement by Bernstein for uniform almost periodic functions which arbitrary spectrum. Also is given analogue of Jacksons theorem for almost periodic functions with arbitrary spectrum.

Keywords: almost-periodical function - trigonometrically polynomials - the factors of Fourier - uniform approximations - whole functions of finite power - module to continuity.