CC BY
14
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №11-12_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.512
Ю.Х.Хасанов, Э.Х.Сафарзода О ПРИБЛИЖЕНИИ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СТЕПАНОВА
СРЕДНИМИ МАРЦИНКЕВИЧА
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 19.09.2016 г.)
В работе исследуется вопрос об отклонении заданной функции от её частичных сумм ряда Фурье и оценка сверху величины отклонения почти-периодической в смысле Степанова функции средними Марцинкевича, в зависимости от скорости стремления к нулю величины наилучшего приближения тригонометрическим полиномом ограниченной степени. Полученные результаты устанавливают в терминах наилучшего приближения точный порядок стремления к нулю рассматриваемых отклонений.
Ключевые слова: ряды Фурье, почти-периодические функции Степанова, показатели Фурье, средние Марцинкевича, тригонометрический полином, наилучшее приближение.
Определение 1. Величина
I 1 xVl
у Ц f (x)- g(x)\P dx
1
r+7
sup IIxV, . . I p
-да < X < да
называется Б -расстоянием порядка р (р > 1), соответствующим длине I. Пространство суммируемых в каждом конечном интервале функций с так определённым расстоянием называется пространством Степанова или Бр - пространством.
Пусть /(х) е Б и её ряд Фурье имеет вид
/ (х) ~ ^ Л^, (1)
п=-да
где \Лп | - показатели Фурье, имеющие единственную предельную точку в бесконечности, то есть
Л = 0, Л- =-Хп, Шп^ =да, Лп <Лп+1 (п = 0Д2,...).
п^да
Так как [1] (см.[1], теорема 5.2.5) при всяком Лп функция /(х)е ,Л"Х является Б -почти-периодической, то существуют средние значения
Адрес для корреспонденции: Хасанов Юсуфали. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН Республики Таджикистан. E-mail: [email protected]
1 Т
A = lim— f f ( x)e-À"xdx П lm 2T J/ ( )
- коэффициенты Фурье функции f (x) . Через
S A f ; x ) = Z A„e'^x (a> 0)
Iя» <a
обозначим частичную сумму ряда (1).
Пусть Фет ( t ) - произвольная вещественная, непрерывная, чётная функция и такая, что
1) фДО) = i,
2) ФД0 = о,
при |t| < а;
3) t)е L(-œ; œ) , (2)
где
- œ
U)=2^ f°ff(t)e-Utdt-
—œ
Тогда положим
Ua( f Ж X ) = ^ A Фа(Л„ )е'ЛпХ.
Iя»\<а
В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное утверждение. Лемма. Если f (x)е S (p > l), то
œ
Ua ( f ж x ) = J f ( x + t )Off(t ) dt.
—œ
Доказательство. Положим
œ
fa ( x )= J f ( x + t )Off(t )dt.
—œ
Если x - произвольное действительное число и l = l, то в силу (2), используя неравенству Гельдера, имеем
1
I р
| |/Дх + г)-/Дх)|Лх <] | |/Дх + г)-/Дх)|рЛх| <
<
хо+1Г® \р I
|1 ||/(х + г + г)-/(х + г)|-|Фет(г)|Лг\ лЛ <
Хо У )
х+1
I Р
<
¡вир | \/(х + г)-/{х)\рахI Л ЦфДг)Гаг'
т х0 ) 1-Ш )
Отсюда вытекает £ -почти-периодичность функции /а (х) .
Пусть Вт - коэффициент Фурье функции /а (х), соответствующий показателям Лт. Тогда
имеем
1 т т Г®
— | их) е-- = — | | /(х + г)Фет(г) Лг
е-ах =
® Г 1 Т
К(г) ^ I /(х + г)е-'^Лх
1_ - т _
® Г . Т+г
К(г) -1 I /(х)е ^(х+г)Лх
Лг =
Лг =
® 1 Т+г
К(г) е '^ | /(х)е-^хЛх
|_ -Т+г
Лг.
Внутренний интеграл по переменному х является допредельным выражением для коэффициентов Фурье функции /(х) е £ , а по формуле обращения Фурье
Значит,
Следовательно,
® г) е-'^Лг = Фет(Д„).
Д» = АтФа(Лт ) .
/т( х )= Е А Фет(Д„ )е'^"х.
Отсюда, так как /а (х) является - почти-периодической функцией, то лемма доказана.
1
1
Пусть Sp ( R ) - пространство всех ограниченных функций f (x) е Sp (p > 1) с нормой
у
[ i xVl I P
If(x)|S, = sup J|f(x)|Pdx| .
Рассмотрим величину
R(f;x) = Ua(fЖx)-f(x) , (3)
в которой
иа(/Ж х)= I/(х + ')Ф<(')Л', (4)
—да
фЛ') = т- К (и) К (') ки (') = 2 ^,
2п 0 '
<ра(и) - чётная функция, абсолютно интегрируемая на интервале (0; да) при каждом фиксированном < > 0 и удовлетворяет условиям
да
ФД0| ж < да,
а
—да
} Фа( t) dt = 1. (5)
Рассмотрим вопрос о поведении величины (3) в зависимости от скорости стремления к нулю (/) (при < ^ 0) для случаев, когда в качестве ( (и) выбраны функции
МU ) = Уаа (u ) =
1, |u| < а (0 < а < а);
а — lul
а < u < а; (6)
а—а 0, IU > а.
В дальнейшем пользуемся оценкой, которая доказана в работе [2] (см. теорему 1)
да
\ф„ (') Л < М . (7)
Теорема 1. Пусть /(х) е Б (Я) и функция ( (и) = (аа (и) определена равенством (6). Тогда при любом Л(0 < Л < а <<) справедлива оценка
я(/;;)<м<±£ек(/)б , у 7 < — а Б
(8)
где М - константа и
Ел (/)* = ^
р Л
/ (х )- Е V
Лтх
,<Л
- величина наилучшего приближения функций /(х) е Б тригонометрическими полиномами степени не выше Л.
Доказательство. В силу (5) имеем
да
2]Ч,а (') Л' = 1.
0
Умножив обе части последнего на /(х) и вычтя полученное равенство из (4) при Фет = Фаа, полу-
чим
А<а (/; х) = и< (/; (; х ) - / (х) = { / (х +') Ф< (') Л'
| /(х)Ф< (')Л' = { [/ (х +') + / (х -')] Ф< (') Л -
-2 ]/ (х ) Ф< ( ') Л' = ] [ / (х + ') + / (х - ') - 2/(х)] Ф< (' ) Л:
о о
да
= {о х (/;' )Ф<а (') Л',
где
Ц (/;' )=/(х+')+/(х -')-2/ (х)
Пусть теперь
Тл (х )= Е лу
■'лтх
,<Л
тригонометрический полином и 0 < Л < а < < Тогда (см. [3], лемма 3) справедливо равенство
да
тл (х )= | тл (х + ') Ф<,а (' ) Л'.
-да
Покажем, что для полинома ^ (х) имеет место соотношение
Б
0
0
® о х (ТЛ; /; г) Фет, в (г) Лг = 0.
Действительно,
{ох (Тл;г)Фет,а (г)Лг = {[Тл (х + г) + Тк (х - г) - 2ТК (х)]Фет,а (г)Лг
о о
ад СО
= \Тл (х + г)Ф^ (г)Лг - {Тк (х)Ф^ (г)Лг =
Тл (х)- Тл (х ){Фет,а (г) Лг = о.
есть
Поэтому
Лет,а (/; х) = I Ох [(/ - Тл); г] Ф^ (г)Лг. (9)
о
Пусть теперь ТА (х) - полином, осуществляющий наилучшее приближение порядка Л, то
\\/(х)-ТЛ (х)Ц = Ел (/\.
Тогда
|°х [/-Тл];4 < 4Ел (Л.
(10)
Из соотношений (7), (10) и (9) следует оценка (8). Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Если / (х) е £ (р > 1) и показатели Фурье не имеют предельных точек на конечном расстоянии, то есть , то справедлива следующая оценка
1
/ (х)-—(/; х)
п + 1 к= 0
М п
<М ЕЕ (/) £р'
£ п +1 ^ р
где М - константа, а величина ЕЛ (/)5 была определена в формулировке теоремы 1.
Доказательство. Пусть 2т < п < 2т+1. Тогда
^ (У)* =
/ (х)—— (/; х) = — Е[/ (х)-^ (/; х)] П + 1 к=0 £ П + 1 ¿=1
0
п +1
т-12 -1
ЕЕ [/(х)-Б,(/;х)>/(х)-Б0(/■ х)-
"=0 к=2"
+
Е [ / (х)- Б (/; х)]
к=2т
<
п +1
АЛ/ -1 1 2 -1
Е 2^Е[/ (х )-Бк{/; х)]
"=0 к=2"
/ (х )- Б0(/; х)8 + п + Г К ' 0 Бр п +1
Е [ / ( х )-Бк (/; х)]
к =2т
В силу теоремы 1 имеем
-I
1 2 -1
-V Е[ / (х)-Бк (/; х)]
к=2"
< М • ЕТ-г (/ к ,
п
Е[ / (х)-Б, (/; х)]
к=2"
<
М (п- 2т )• Е2т - (/ ), .
Из соотношений (12), (13) и (11) получим
М т-1
я (/)б. <■
п +
-Е2" • Е^ (/X +--
1Е -1 р п +1
е0(Лб. +
п - 2т
М
п +1 21 р п +1 21 р
+ ^-М"Е2т/ ЕЕЕЕк С/)Бр +
п +1 р п +1 2 1 р п +1 р
+-
М
М
п +
^(у)б, <—^еек(/)б, <—vеек(/) 1 р п+1 ^ " п+1 ^
(11)
(12)
(13)
Теорема 2 доказана.
Теоремы 1 и 2 приведены авторами без доказательства в работе [4].
Заметим, что аналогичные результаты для периодических функций рассмотрены в работе [2], а для класса равномерных почти-периодических функций в [5].
Поступило 21.09.2016 г.
1
Б
Б
Б
т
1
ЛИТЕРАТУРА
1. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. - М.-Л.: Гостехиздат, 1953, 396 с.
2. Тиман М.Ф. О приближении периодических функций двух переменных суммами типа Марцинкевича. - Известия вузов. Математика, 1975, № 9, с. 59-67.
3. Пономаренко В.Г. О приближении функций, равномерно непрерывных на всей вещественной плоскости. - Сиб. мат. журнал, 1975, т.16, № 1, с. 86-97.
4. Хасанов Ю.Х., Сафарзода Э. Об отклонении почти-периодических функций Степанова от сумм типа Марцинкевича. - Мат-лы III междунар. школы-конференции «Геометрический анализ и его приложения». - Волгоград: ВолГУ, 2016, с. 210-213.
5. Хасанов Ю. Х. О приближении почти-периодических функций двух переменных. - Известия вузов. Математика, 2010, №12, с. 82-86.
ЮДДасанов, Э.Сафарзода ДАР БОРАИ НАЗДИКШАВИИ ФУНКСИЯХОИ ЦАРИБ ДАВРЙ БА
СУММАХРИ МАРСИНКЕВИЧ
Институти математикаи ба номи А. Чураев Академияи илм^ои Цумхурии Тоцикистон
Дар макола наздикшавии функсиядои кариб даврии Степанов, ки нишондиданададои Фуре якто нуктаи дудудй дар беохир доранд, ба суммадои хусусии Фуре ва миёнаи Марсинкевич тадкик карда шудааст. Натичадои овардашуда тавассути наздикшавии бедтарин тартиби аники ба нол наздикшавии майлкунии ин бузургиро аник мекунад
Калима^ои калиди: цаторуои Фуре, функсиядои цариб даврии Степанов, нишондиуандауои Фуре, миёнаи Марсинкевич, бисёраъзогиуои тригонометри, наздикшавии беутарини.
Yu.Kh.Khasanov, E.Safarzoda
ON APPROXIMATION OF STEPANOVS ALMOST PERIODIC FUNCTIONS BY
MEANS OF MARCINKIEWICZ
A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
In this paper we study some questions of approximation of Stepanovs almost periodic functions of partial Fourier sums and means of Marcinkiewich, when the Fourier exponents of functions under consideration have a limit point in infinity.
Key words: Fourier series, Stepanovs almost periodic functions, Fourier exponents, means of Marcinkievicz, trigonometric polynomial, best approximation.
