Быстрота суммируемости методом Чезаро кратных рядов Фурье функций, принадлежащих классу Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2008, том 51, №2_________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.512.214+517.521.8

М.Аминов

БЫСТРОТА СУММИРУЕМОСТИ МЕТОДОМ ЧЕЗАРО КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ КЛАССУ Мж

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 4.01.2008 г.)

Будем говорить, что 2ж — периодическая по каждой из переменных функция /(х, у) принадлежит классу Мш , если выполнены равномерно по х, у следующие условия

н

/ [/(х + г, у)—/ (х—г, у)]А = 0(| н-Ш |1)(| н)), н ^ о,

о

I

/ [/(х, у + в) — / (х, у -в)№ = 0(| н-Ш т(|ф,^ 0,

о

н V

\\[/(х + г, у + в) — / (х—г, у + в)—/ (х + г, у—в) + / (х — г, у — в)]Жёв =

0 0

= 0(|Н -1 - Ш(3) (|Н\ -|)), Н ^ 0, | ^ 0,

где функции Ш (1)(и), Ш (», Ш (3)(и, V) - знакоположительные, непрерывные, монотонно возрастающие по каждой из переменных, такие что

Ш(1) (0) = Ш(2) (0), Ш(3) (0,0) = 0

и отношения

не возрастают. Пусть

Ж (1)(и) Ж(2)(у) Ж(3)(и, V) Ж(3)(и, V)

и

и

к:, (и - х)=^т- х а: -а (и - х),

да

АМ 0<к <М

1.

где Бк (и - х) =

зіп(4 + 2)(„- х) а (а + 1)(а+ 2)-(а + п) ,

--------2-----------ядро Дирихле, Ап =-------------------------------, а>-1

2б1п

и-х

2

п!

пря-

мое ядро Чезаро. Через

V

V

Omn(a,p, f) = \||f (u, v) Km (u - x) •Kp (v - y)dudv

Ж R

обозначим чезаровские средние порядков а,Р>-\ кратного ряда Фурье. Пусть далее

а p, х у)=А- Ц У (u, V) ра (r, u - x) • Pp (p, v - у

ж к

где

д -

Pa (r, и - х) = P(r, и - х) - (1 -а)(1 - r)—P(r, и - x),

ди

д -

Pp (Л v - y) = P(P, v - y) - (1 - p)(1 - P)—P(P, v - y),

dv

P(r,и - x) и P(p, v- y) - прямое и сопряженное ядра Пуассона (см. напр. [1]).

Целью работы является изучение быстроты суммируемости методом Чезаро порядка а,Р>-1 кратных рядов Фурье функций, принадлежащих классу Mw .

Имеют место следующие теоремы:

Теорема 1. Пусть функция f (х, у), 2ж -периодическая относительно по каждой из

переменных, принадлежит классу Mw.

Тогда при любых а,Р>-1 равномерно по r,p,х,у имеет место оценка:

&MN (а, p, f) = fp (r, p, х у) + yap (M, NX M ^ да N ^ да;

где y„p(M, N) = O(X(M, a)W<1)^-1)) + 0(Л(N, P)W,2)(-i)+0(Д(М, а) ■ Л(N, Р) • W«(т1-, -1)),

p M N M N

1 _ 1 r = eM, p = eN,M ^да, N ^да,

1, при b > 0,

A(a, b) = <{ ln a, при b = 0,

a-, при -1 < b < 0.

Теорема 2. Если функция f (x, у) - 2n- периодическая относительно по каждой из переменных принадлежит классу Mw, тогда при любых а,Р>-1 равномерно по r,p,х,у имеет место оценка:

где

(а,P, У) = У (х у) + -а’\[У (х+и, у)+У (х - «, у)- 2 У (х у)]_+ 41М | ^ и

М 2

+7^ 1 [У (^ у + у) + У (X. у - у) - 2У (X. у)]-^ +

1 1 яп2 V

N 2

+ —Т— [ [ ( . . Лпёу + у (М, N), М ^ъ, N ^ъ,

16* Ш 11яп2 и в1п2 V * ( )

м N 9 9

В(х, и, у, V) = X, и, у, V) + \у(х,—и, у, V) + у(х, и, у,-V) + \у(х,-и, у,-V),

щ( X ^ y, в) = У (х +1, у + в) - У (х +1, у) - У (х у + в) + У (x, у).

Доказательство теорем. Действительно, пусть

X

Р(x,у) = |у(u,у^и . (!)

0

Тогда

х+к х-к

Р(х + к, у) + Р(х - к, у) - 2Р(х, у) = | /(и, у)ёи + | У(и, у)йи -

0 0

х х+к х к

-2| / (и, у^и = | / (и, у)йи - | У (и, у )йи = | [/(х + и, у) - У (х - и, у )\йи = (2)

= 0(|к\ • Ж щ(к)).

Так как

Р (х + к, у + в) - Р (х - к, у + в) = | У (и, у + в)du,

х-к

будем иметь

X

| [Р (х + к, у + в) - Р (х - к, у + в) - Р (х + к, у -в) + Р (х - к, у - в)^в =

0

X х+к х+к X

= | | [У (и, у + в) - У (и, у - вУ\йийв = | | [У (и, у + в) - У (и, у -в)~\йийв

0 х-к х-к 0

= 0(| Ц Л\ж (2)(|х|))-

Пусть

Т(х, к, у, Р) = Р(х + к, у) + Р(х - к, у) - 2Р(х, у) .

Тогда получим

| [Г(х, И, у + в, ¥) - Т(х, И, у -в, ¥)]ёв =

0

V

| [¥ (х + И, у + в) - ¥ (х - И, у + в) - 2 ¥ (х, у + в) - ¥ (х + И, у -в) + ¥ (х - И, у - в)] +

0

V х+И х-И х

+2¥(х, у - в)]ёв = I [! /(и, у + в)^Ы + ! /(и, у + в')(іи - 2 •!/(и, у + в')(іи -

0 0 0 0

х+И х-И х

-! / (и, у -в^и - ! / (и, у -в)(іи + 2І / (и, у -в)^и]^в =

0 0 0

V И

= II / (х + и, у + в) - / (х - и, у + в) - / (х + и, у -в) + / (х - и, у - в)]ёиёв =

(3)

=о( к • л| ж (з)( и , х|).

Из (2) и (3) видно, что все условия теоремы 1 и 2 работы [2] выполнены, а поэтому имеют место их утверждения. Учитывая теперь непрерывность функции У(х, у), равенство (1) и то, что

д

—Р ( х у) = У (х у),

дх

получим утверждения теорем 1 и 2.

Итак, теоремы 1 и 2 доказаны.

Худжандское отделение Поступило 4.01.2008 г.

Института экономики Таджикистана

ЛИТЕРАТУРА

1. Израилова М.М., Гафоров А. - ДАН ТаджССР, 1985, т.ХХУШ, №5, с. 254-258.

2. Гафоров А. - ДАН ТаджССР, 1977, т.ХХ, № 8, с. 6-11.

М.Аминов

ЗУДДИИ СУММИРОНЙ БО МЕТОДИ ЧЕЗАРО БАРОИ ЦАТОР^ОИ КАРАТИИ ФУРЕИ ФУНКСИЯХ,ОЕ, КИ БА СИНФИ Mw МАНСУБАНД

Дар мак;ола зуддии суммиронй бо методи Чезаро тартиби а,Р>-\ кдторх,ои ка-ратии Фуреи функсиях,оие, ки ба синфи М-^ мансубанд, омухта мешавад.

М.Aminov

SPEED SUMABILITY METHOD CHEZARO MULTIPLE ROWS FOURIER FUNCTION, BELONGING TO CLASS MW

In article is studied speed sumability method Chezaro order a,P>—\ multiple series Fourier function belonging to class Mw.