Класс и порядок насыщения метода суммирования Фейера кратных рядов Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2008, том 51, №3_____________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

А.Гафоров

КЛАСС И ПОРЯДОК НАСЫЩЕНИЯ МЕТОДА СУММИРОВАНИЯ ФЕЙЕРА

КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 11.01.2008 г.)

Класс насыщения и порядок насыщения являются характеристиками линейных методов суммирования. Они указывают наилучшую скорость, с которой этот линейный метод приближает функцию и ту совокупность функций, на которой эта скорость приближения реализуется.

Всюду Х будет означать любое из пространств С, Ьр(1< р < го), Ъ - множество целых, Я - множество вещественных, а N - множество натуральных чисел.

Пусть Х(и) - непрерывная функция, заданная на —оо < и < +оо и удовлетворяющая условию X (0) = 1.

Через

обозначим линейные средние ряда Фурье, порожденные сумматорной функцией X(u).

Будем говорить, что метод Un(/; X) является насыщенным, если для него существует такая положительная убывающая при п —» сс к нулю функция Ф, (п), что

а) из соотношения

1/(1) - и, (/, A)|L = 0(фд («)),/(!) в X

следует, что / (х) = const;

б) существуют функции / (х) е X, отличные от постоянных, для которых

||/(1)-;/„(/;Я)|| = 0(Ф/«))

Множество функций, удовлетворяющих условию «б», называют классом насыщения данного метода Un(/; X), а функции Фх (n) - его порядком насыщения.

Целью данной работы является обобщение результата Алексича [1] и Заманского [2] на случай кратных рядов Фурье метода суммирования Фейера.

Имеет место теорема [3; стр. 202]

К»у

Теорема. Для того чтобы

<Гп(Л-/ = 0

необходимо и достаточно, чтобы

1 еЫр\.

Здесь сгп(/) - средние Фейера порядка п ряда Фурье [1]

где /у = —!— \/{х)-е^"’хёх - коэффициенты Фурье, Ъ - множество целых чисел, Т=[- п; ж].

2 л -

Рассмотрим функцию .Дх;у) - периодическую периода 2п относительно переменного х

и у.

Пусть

/и:.г|г[ гди 1 = \п,п_

ряд Фурье функции ,/(х;у), а

г2

коэффициенты Фурье функции ,/(х;у).

Через

í 171Л г |,1Ч

■ “'к!

1.И1.Г1.И

■V т,

"/

°,Л)= ЕЕ 1-У • 1-^ •%(/)•«”<“■” (2)

\к\<1тЩ<п\

обозначим среднюю Фейера ряда (1).

Определение. Будем говорить, что ряд (1) суммируется методом Фейера или (С. 1) суммируется, если существует конечный предел частичной суммы (3)

к™ ^„(/)=£

т—>сс>

при т—>сс и У1 —^оо независимо друг от друга.

Через

/АХ,У) = 'сіЕ^и

2л- і 2

~ 1 V

~у (X у) = ГAvf■ctg-dv;

2Л І 2

где Авр = /(х + в\у)~/(х,у), обозначим сопряжение функции с функцией /(х;у) по переменному х, по переменному у.

Имеет место Теорема 1. Пусть

Г 1 1 4

\\/{х-,у)-атп{Л\\с(Т2)=^

уш п)

равномерно по ш и п. Тогда

Доказательство. Так как

я Р(*; у)-а „(Л ¡к“''“’’*«

<

Р 2]

то

Отсюда

(7)|

<

хл[

И Н И-И

п ш шп

Г і О

= 0 —ь —

уш п у

Поскольку

ил. м и

|у| \ц\ |У| |У| \и\ ¡л

т п т т п п

то, складывая, находим:

Откуда

М.И <1.

т п 2

гч+ и

у ТП п у

|у| Щ |у|//| 1

т п тп 2

2

Р

с

= 0

f\ P

— + — \m n у

Полагая m = n, находим

Значит

C^.v (f)=0 при любом p,v ^0,

т.е. функция У^у) - постоянная на Т. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Для того чтобы

||/(jc;^)-o- (/)|| 2 = 0

1 J \т п

необходимо и достаточно, чтобы

f е /jpx( \;(') равномерно noy,

/ е Lip у (1;С) равномерно по х. Доказательство. Если в (1) обозначить

тогда

Значит, формулу (2) можно написать в виде

°Áf)= EÍ1“—]-ск(у)-е

Ш<тя\ )

2ткх

Таким образом, будет иметь место равенство

°т,п (/) = От Ь (/) £ М-

Если зафиксировать т е N, тогда при п —> со будем иметь

^„СЯ^^С/Х™ есть

Отсюда

°т (/) ^.00 (Л (/) ^00.« (Л ^ ^ °°-

<х ( Г) —»<т Ь ( Г).

v/ / w,oo 1, со,и v/ / 1

с

0

Таким образом, задача сводится к одномерному случаю, то есть при и—>оо

\\/{х-у)-стт^/Щ1уО

при т^- оо

\mJ

\\Kx-,y)-{T^n(J)\\c^TlyO

ґ\'

\.п J

Применяя теорему Алексича-Заманского, получим:

и-^ЛЛ\\сиО

тогда и только тогда, когда /х е Ырх 1 равномерно по>\

и-^п(Л\\с[^о

\mj

\П/

тогда и только тогда, когда f е Lipl равномерно по х. Теорема 2 доказана.

Следствие. Порядок насыщения метода (3)

Ф(т;п) = — + —, т п

а класс насыщения, множество функций fx;y) для которого

/ е Lipx(l;C) равномерно по у,

/ е Lip (1; С) равномерно по х.

Институт экономики Таджикистана

Поступило 28.02.2008 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Alexits G.A. Math. Fith. Lapok, 1941, 48.

2. Zamansky M. Classes de saturation de precedes de summation des series de Fourier et applications des series trigonometriques.

3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Мир, 1965, ч.1, II.

4. Гафаров А. - Тезисы доклады Всесоюзной матем. школы-конференции «Современные проблемы теории функции» (19-29 мая 1989 г.), Баку, 1989, с. 31-32.

А.Гафоров

СИНФ ВА ТАРТИБИ ПУРШАВИИ МЕТОДИ СУММИРОНИИ ФЕЙЕРИ

ЦАТОР^ОИ КАРАТИИ ФУРЕ

Дар мак;ола теоремаи Алексич ва Заманский, ки барои к;аторх,ои яккаратаи Фей-ер маълум аст, барои к;аторх,ои каратии Фуре умумй карда шудааст.

A.Gaforov

THE SATURATION CLASS AND ORDER OF FEYER SUMMING METHOD OF

FOURIER MULTIPLE SERIES

In the article they are generalised of the result Alexits and Zamansky on event of the multiple rows Fourier method of the summation Feyer.