CC BY
29
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2012, том 55, №8_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.512.7
К.Ш.Тухлиев
УКЛОНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ОТ СРЕДНИХ ТИПА МАРЦИНКЕВИЧА
Худжандский государственный университет им. Б.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 16.04.2012 г.)
В работе даны оценки скорости сходимости средних типа Марцинкевича в случае рядов Фурье по периодическим мультипликативным ортонормированным системам для функций многих переменных.
Ключевые слова: периодическая мультипликативная система - средние типа Марцинкевича - средние Фейера - ядро Фейера.
Пусть система функций X{Рп} , заданных на отрезке [0, 1], является периодической мультипликативной ортонормированной системой, введённой Н.Я.Виленкиным (см. определения, например в [1] с.468).
Известно (см.[2] с.153), что систему X {Рп} естественно рассматривать не на отрезке [0,1], а на группе О точек
I ^ X I
Е —=X0 - X < Ру\
^=1 т \
отрезка [0,1] с групповой операцией X Ф у и X 0у. Кроме того, известно (см. [1], с. 472), что мера Лебега множества £[0,1] и мера множества Е+х точек X Ф у (а также множества Е~ точек X 0 у), где у е Е , а X фиксировано, одинаковы, благодаря чему для любой измеримой и интегрируемой по Лебегу на [0,1] функции / (X) справедливо равенство
1 1 1
I /^ Ф у^у = | /(у)Ф = | /(x 0 у^у. (1)
0 0 0
Ещё отметим, что (см. например [1], с.469) система X{Рп} является для групп О системой характе-
ров, то есть для любого натурального к
рк (x ® y)=Pk(x)Pk( у\ Pk(x е y)=Pk(x)Pk(y). (2)
Адрес для корреспонденции: Тухлиев Камаридин Шерматович. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, мкр. 20, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]
Через Сд обозначим класс непрерывных на кубе (0 — X — 1, , = 1, 2,..., к) функций / (х, X ?...? X ) с периодом 1 по каждой из переменных и ряд
ад ад ад
Е Е -Е сп ,...^ с/-к оо...^ (х) (3)
^=0 у2 —0 ^=0
является рядом Фурье функции / е С^ по кратной мультипликативной периодической системе, где
к
сп,...^ к)=| / (х1--? к )П ^(х ж (4)
бк
г=1
коэффициенты Фурье функции /(X ,. . . , х ) по системе X[Рп } (2 — Рп — С) .
Для тригонометрической системы Марцинкевич в работе [3] впервые рассмотрел суммы
1 N
(/; х у) = т^т Е 8к і (/;х у)
N +1 к=0 ’
и доказал, что если /(х, у) е С^ , то <гп(/; х, у) ^ /(х, у) при и равномерно.
В [4] даны оценки скорости сходимости средних такого типа в случае рядов Фурье по периодическим мультипликативным ортонормированным системам для функции двух переменных.
В этой работе рассматривается вопрос аналогичного характера для непрерывных функций многих переменных.
Обозначим частную сумму типа Марцинкевича ряда (3) через Бп п и(/; X,..., хк ). Тогда в силу (4), (1) и (2)
г,м,. . N'
8Ы,N, . . ,N (У; Х1 , • • • 5 Хк )
1 1 к
■■ {. • .{ у (^. • • , ік ^ (хЩ ЭД.
О О І=1
= |. . . I/ (Х1 Ф *1 - . . , Хк Ф 1к )П ^ 0,- )Шг. (5)
0 0 ,—1
Через <ты (/; х,. . . , X) обозначим средние Фейера сумм (5) по системе X{Рп} , то есть
1 Ы
аы (/; хР. . . , хк ) = — Е ^,. . . ,У (/; xl, х2 - . . , хк ) =
Ы V—
1 1
= |. . . I/(Х1 ® *1,. . . , Хк ® *к)(*1,. . . , *к)^1^*2. .к,
0 0
где
1 Ы
(' Ік ) = — Ё Dv(tl),..., А('к )■ (6)
^ у=1
Справедлива следующая
Теорема 1. Пусть X{Ри} (2 < Рп < С, и = 1,2,...) - периодическая мультипликативная система, тогда ядро Фейера (6) по этой системе удовлетворяет соотношению
1 1 к |...|| Рм(t1,...,ік) ІП^ <Мк,
— ±у±к!
1=1
где Мк не зависит от N.
С помощью этой теоремы доказываются скорости сходимости средних такого типа в случае рядов Фурье по периодическим мультипликативным системам для функций многих переменных. Доказательство теоремы 1 опирается на следующие леммы.
Лемма 1. Пусть N = гап+1, тогда для ядра Фейера (6) имеет место представление
Рщ* (ч > ч >■■■> ч) =
и 1 Рн-1-1 к
■Рщ (*1, '2 ...■. ч )П— Ё №. ('.)
X=1 Рх+1 V=0 г=1
И-1 1 И Рг+1 -2
+Е—П ) Ё -1 (' в, (')-
г=1 Рг+1 і=1 О
и-1 1 к к Рг+1 - 2
+Е---------Ё П 0тг ('і ('е ) Ё (Рг+1 - 1 - У) Х
г=1 Рг+1 е=1 і=1 v=0
х ^ Рг+1 -1-^ ('.) < (' Вк (')+
п-1 л к к к
Е------------ Е Е П Вшг ('і )Ртг ('е )^тг ('М ) Х
Г=1 рг+1 е=1и„ ^=1 і=1
Рг+1-2
х Е (р,+1-1 -у) Х
у=0
хр( рг+1 -1-У)»г ('е, ^ а (')вг,к('-)+
п-1 і к к Рг+1-2
+-+^-^ ЕП ^тг ('і )Вт„ ('е ) Е (Рг+1 - 1 -^> Х
г=1 Рг+1 е=1 і=1еФІ V=0
Х^( Рг+2-1-у)тг 'е-^ te+1,..., 'к А (' )В,к ('і ) +
1 к Рп+1 2
- П ) Ё (Ри ИИ-1 И ИИ)
где
+-----II от ('.) > (р_„ -1 -,)А, (') +
Рп+1 і=1 ,=0
і к к + — ЕП А, ('і Ът. ('. ) Х
Ри+1 е=1 і=1
Рп+1 2
х Е (Рг+1-1 - Рг+1 -1-У)тп ('.)(')+
,=0
і к к к +-------ЕЕ П Втп ('і )Ът. ('е Жп ('р ) Х
п п п
Рп+1 .=1 Р=1е^р і=1і^р ,.
Рп+1 2
Х Е (Рг+1 - 1 - ^р(Рг+1 -1-,)т ('. , 'р ) Х
і к к
Х(') + ...^-— ЕП Ът_ ('і)А, ('. ) Х
Рп+1 е=1 і =1 Рп+1-2
х Е (Рг+1-1 -,)Х
,=0
Х-Р( рг+1-1-,)тп ('1,..., 'е-1, 'е+1,..., 'к )Атп (0,
Ат„(')=П<&)
і=1
п 1 р+1-1 к
К* ('і)=П—Е Ш, ('і).
s=г+1 ps+1 ,=1 і=1
Лемма 2. Пусть N = ти+1, тогда для ядра Фейера (6) имеет место соотношение
1 1
j-.fi ’■■■’ ) I ^ ’■■■’ -М^ ■
о о
Лемма 3. Пусть
ч
N = Е ^пДП > П2 >■■■> П ^ 0 0 - ^ - Рпу - 1)»
,=1
Ж. = Ж-Е а,тп (. = 1,2,..., Ч -1), N = 0 Ж = Ж0.
,=1
Тогда для ядра Фейера (6) имеет место представление
У=0
и
NFN (^1»■■■» Ч )
Ч к е-1
= Е (^1.................1к )П П (| ) +
у=1 1=1 „=0
д-1 к к е-1
+Е N. П в,,,а, )ПШ;„ (',)+
1=1 „=0
д-1 к к к
+Е N Е (/, )«,-. ('■) П °аЛ„ «< )П
У=1 5=1
1=1^
1=1
е-1
<П< (ч)+
„=0
д-1 к к
+Е ^ Е Е ^(|5»(ч Кт* (о >
У=1 5=1 У=1ул
к
к е-1
ХП ПаЛе (| )ПП<М (| ) + ■■■ +
7=1*5 ^ 7=1 „=0
д-1 к
+- + Е Ne Е (Ч ) Х
У=1 5=1
П Фагтп (1 )(|1»■■■» *5-1» Ч+1»■■■» *к )
к е-1
<ПП< (',)■
1=1 „=0
(7)
Для доказательства теоремы 1, кроме этих лемм, нам ещё понадобится следующее:
1. Для п=0,1,2,... (см. [1], с. 472)
(*) =
тп при 1 е(0’ т
0 при ио» т
(8)
1
f| Ватп (|) 1 Л < а
(9)
2. (см.[5])
1
j|^;(I) I л < с.
(10)
Х
Х
?=1
<
0
Доказательство теоремы 1. Для Ры (I »■■■» Ч) воспользуемся представлением (7). Затем оценим кратный интеграл от абсолютной величины каждого из выражений (7).
Тогда, в силу утверждения леммы 2, (8), (9) и (10), получим ,что
1 1
|...| 1 Рм(t1,...,'к)| П
<
0 0
1
Ч-1
Ч-1
< ^{М™ Е а.т. +Е N.4 +Е а.-1МС +
е=1
е=1
е=1
+Е м,а‘,-2с, +...+Е МаСк} <
е=1
<•
С
N
е=1
Ч-1 Ч-1
Ч-1
{М<1) Е т. + Е N. + Е N. +... + Е М,} <
в=1 в=1
в=1
в=1
к*
N
где Т = тах а ,М^ не зависит от N . Теорема 1 доказана.
1<е<ч
Отметим, что
1 2 N к
|р,.„('1,...,'к)і=і- Е По,('і)І=
N ,/=ЛГ+1 V-!
v=N+1 і=1
N к
і 2 N к і N к
^Е П А(0- Е П Ай)|
v=N+1 і=1
1 2Р2N ('1,..., 'к ) ('1,.", 'к ) 1 <
< 2 1 F2N ('1,..., 'к ) 1 + 1 р ('1,..., 'к ) 1 .
Тогда
1 1 к
^..._[ 1 FN ,2 N ('1,..., 'к ) 1 З'і < 3Мк.
і=1
При рассмотрении следующих полиномов
^ 2п
^п,2п СЛ *р..., Хк ) = - Е ^ (У; Х1; Х2)»
,=п+1
,С/; х,..., х)=-Е й,...,, С/; х,..., х),
п ,=1
/;г; xl,..., х) =
(11)
I =1
Ч
= (1 - r)E rVX.., (f; xk) (0 <r <!)
V=1
выявляются утверждения.
С помощью теоремы 1 и (11) доказываются следующие утверждения. Теорема 2. Если /(дхк) е—, ’ то
Rn (Лс& = \\f(X1.-. Xk )-°n,2n (f\X.-. Xk t <
< CEn, . .n (f )cQt .
где С - константа, не зависящая от f и n,
En,. ..,n(Лсл = min( max_ I f(x1,. • • ,xk) -
’ ’ Qk cn Vt 0< x <1 ,=1.k
n n
-E~E c,., П, (x,) в.
v,= 0 vfr= 0
^ - определяется, как в (4).
Далее приводим теоремы, которые доказываются, как в [4]. Теорема 3. Если /(д. . , хк) е—,, то
Рп (f )cQ HIf (xi.. . . . xk ) - °n (f\ xi.. . . . X
'k'\\C
IIе/
<
С' п
< - Е Е......■ (/)-, •
м ’ ’ °к
п у=0
где С - константа, не зависящая от / и п .
Теорема 4. Если /(д. . , хк) е —^, то
жг(/к ЧИх »■ ■ ■»хк)-а(/’г;х- ■ ■»хк)|к <
О Ок
ад
< -(1 -г)Е г'Е„ ,(/) , (0 < г < 1),
У=0
где С - константа, не зависящая от / и п.
ЛИТЕРАТУРА
1. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. - М.:ГИФМЛ, 1958.
2. "Итоги науки. Математический анализ. 1970". - М.: ВИНИТИ, 1971, 264 с.
3. Marcinkiewicz J. Collected papers. - Warszawa, 1964, pp. 527-539.
k
,=1
Поступило 16.04.2012 г.
4. Тухлиев К. - ДАН ТаджССР, 1985, №2.
5. Ефимов А.В. - Матем. сб., 1966, т.69, №3, с. 354-370.
К.Ш.Тухлиев
ДУРШАВИИ ФУНКСИЯ^ОИ ФОСИЛАИ БИСЁРТАРЙИРЁБАНДА БА НАМУДИ МИЁНАИ МАРСИНКЕВИЧ
Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи Б.Рафуров
Дар макола ба суръати наздикшавй ба намуди миёнаи Марсинкевич, барои кдторхои Фуреи системах,ои мултипликативии ортонормиронидашудаи даврии функсиях,ои бисёртагйирёбанда, бах,о дода шудааст.
Калима^ои калиди: системаи мултипликативии даврй - миёнаи намуди Марсинкевич - миёнаи Фейер - ядрои Фейер.
K.Sh.Tukhliev
AVOIDANCE OF CONTINUOUS FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES FROM THE AVERAGE TYPE OF MARCINKIEWICZ
B.Gafurov State University of Khujand
The present work gives the rate of convergence in the medium type Matsinkevicha case of Fourier series of periodic multiplicative orthonormal systems for functions of several variables.
Key words: periodic multiplicative system - Marcinkiewicz type medium - Fejer means - Fejer kernel.
