О приближении почти-периодических функций Степанова средними Марцинкевича Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

DOI: https://doi.oгg/10.15688/jvolsu1.2016.6.6

УДК 517.512 ББК 22.161.5

О ПРИБЛИЖЕНИИ ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СТЕПАНОВА СРЕДНИМИ МАРЦИНКЕВИЧА

Юсуфали Хасанович Хасанов

Доктор физико-математических наук, ВНС отдела теории функций, Институт математики АН Республики Таджикистан [email protected]

ул. Айни, 299/1, 734063 г. Душанбе, Республика Таджикистан

Эшмат Сафарзода

Аспирант кафедры математического анализа, Таджикский государственный педагогический университет [email protected]

просп. Рудаки, 121, 734003 г. Душанбе, Республика Таджикистан

о

сч

т

а га

Аннотация. В работе изучаются некоторые вопросы приближения почти-периодических функций Степанова от частичных сумм ряда Фурье и средними Марцинкевича, когда показатели Фурье рассматриваемых функций имеют предельную точку в бесконечности. Исследуется вопрос об отклонении заданной функции f (х) от еe частичных сумм ряда Фурье, в зависимости от скорости стремления к нулю величины наилучшего приближения тригонометрическим полиномом ограниченной степени. Здесь, при определении коэффициентов Фурье вместо рассматрываемой функции принимается некоторая произвольная, вещественная, непрерывная функция Фа(£) (^ > 0), которая в заданном интервале равна единице, а в остальных случаях — равна нулю. Далее аналогично устанавливается оценка сверху величины отклонения почти-периодической в смысле Степанова функции средними Марцинкевича.

Ключевые слова: почти-периодические функции Степанова, ряды Фурье, показатели Фурье, предельная точка в бесконечности, средние Марцин-кевича, тригонометрический полином, наилучшее приближение.

и

х Введение

ё

§ Как известно [1], величина

к га о

( 1 гх+1 5

Озр {/(я)} = вир И (х) - д(х)1Р х|

X ( 1 гх+1

е {/(Ж)} = вир ^ -

называется S — расстоянием порядка р (р > 1), соответствующим длинам почти-пери-одов I. Под ¿^-пространством, или пространством почти-периодических функций Степанова, понимается совокупность функций, для которых можно указать последовательность тригонометрических сумм [Рп(%)}

га

Рп(х) = ^ СкexP(i^kX) к= 1

таких, что

lim DSp[f (х) — Рп(х)} = 0.

га^-те

Пусть f (ж) е Sp с рядом Фурье вида

оо

f (х) - ^ А„егЛ"ж, (1)

га=—те

где [Лга} — показатели Фурье, которые имеют единственную предельную точку в бесконечности, то есть

Л0 = 0, Л-га = — Лга, lim Лга = то, Лга < Лга+1 (п = 1, 2,...).

п^те

Так как (см. [1, теорема 5.2.5]) при всяком Лга функция f (х)е-гЛ"х есть б^-почти-перио-дическая функция, то существует средние значения

1 Гт л

Ага = lim — f (x)e—ldx — Т^те 2T j-Tj v '

коэффициенты Фурье функции f (х). Через

S.(f; х)= ^ (а > 0)

|Л„|<а

обозначим частичную сумма ряда (1).

Пусть Фа(£) — произвольная, вещественная непрерывная четная функция, и такая,

что

1) Фа(0) = 1; 2) фа(г) = 0, при |í| < а; 3) Фа(*) Е Д—то; то), (2)

где

1те

Фа(и) = 71 §a(t)e-lUidt.

2п j —те

Тогда положим

ВД; ф; х)= ^ Атфа(Лт)егЛ™х.

|Лт|<а

В дальнейшем нам понадобиться следующее вспомогательное предложение.

Лемма 1. Если /(х) е Бр (р > 1), то

Хоо

f (X + ф„(г)<и.

-оо

Доказательство. Положим

Хоо

¡(х + фа(1)(1I.

-оо

Пусть х0 — произвольное действительное число и I = 1. Тогда в силу (2), используя неравенство Гельдера, имеем

гхо+1 Г гхо+1 1

|и(х + т) - и(х)№ < |и(х + т) - Ш1Чх

хо хо

{гхо+1 / г<х \р

!0 0 —1;(жт) -

< { 8ир Г+1 и (х + т) - !(х)1Чх] /Р ■ {Г

I х ^хо I и—те )

1/р

<

1/р <1х\ <

1/

Отсюда следует, что функция ¡а(х) является ¿^-почти-периодической.

Пусть Вт — коэффициент Фурье функций ¡а(х), соответствующий показателям Лт. Имеем

- \Т 2Т ) —

гТ

} _т и(х)е

1 сТ —гЛтхйх = —

2Т J— т

Хоо

¡(х + г)фи(г)(и

-оо

е—гХтх(1х =

1 ст

Ф^ У1т >{х+>)е — Лх

Хгх

Ф (г)

-оо

1 \ Т+

—г лтЬ

1 \ Т+

— ¡(х)е—%Лпх(1х 2 Т — Т+

Внутренний интеграл является допредельным выражением для коэффициентов Фурье функции ¡(х) е Бр, а по формуле обращения Фурье

Г

Отсюда получим, что Таким образом,

Фа(1)е — =Фа(Лт).

Вт Ат ' Фа(Лт,).

1а(х) = Атфа(Лт)е

г лтх

|Лт|<а

Так как ¡а(х) является ¿^-почти-периодической функцией, то лемма доказана.

Основные результаты

Пусть 8Р(К) — пространство всех ограниченных функций /(ж) € Бр (р > 1) с нормой

1

{1 гх+1 1 р

- I \f (х)\рdxj

— оо<х<оо

Рассмотрим величину

Д(/; х) = Циа(/; Ф; ж) - !(я)^ , (3)

в которой

Хоо

f (х + (4)

-оо

/ ч 1 Г 00 / ч / ч , / ч п8гп(иЬ)

Фа(^) = — Ф.(и)Ки(г)с1и, Ки(1) = 2—^, 2п ^ о г

Фа(^) — некоторая четная функция, абсолютно интегрируемая на интервале (0; то) при каждом фиксированном а > 0 и такая, что

Хоо

|фа< то,

-оо

JOO

ba(t)dt = 1. (5)

-оо

Исследуется вопрос о поведении величины (3) в зависимости от скорости стремления к нулю (f ) (при а ^ 0) для случаев, когда в качестве фа(и) выбраны функции

{1, \и\ < а(0 < а < а);

, а < \и\ < а; (6)

0, \и\ > а.

В силу [2, теоремa 1] существует оценка

J°° а + а

\Фа,«(*)\ dt < M . (7)

-оо а — а

Теорема 1. Если f (х) G SP(R) и функция фа(м) = фа,а(«) определена равенством (6), то при любом Л (0 < Л < а < а) справедлива оценка

R(f ; фа,а) < M — EA(f)Sp (8)

а — а

где M — абсолютная константа и

EA(f )Sp = inf

An

f (х) —

ЕЛ p^rnX

|Am|<A

наилучшее приближение функций /(х) € вр тригонометрическими полиномами степени не выше Л.

s

р

Доказательство. В силу (5) имеем

поо

2j0 $„,a(t)dt =1.

Умножив обе части последнего на f (х) и вычтя полученное равенство из (4) при Фс = Фаа, получим

JOO

f (х + Фа,а(1)(й

-оо

JOO foo

f (x)$v,a(t)dt = [f (х +1) + f (x — г)]ф„,а(г)<и-

-оо J 0

где

» Ч / - Ч / . L» Ч / »4 / J

'-оо J 0

JOO roo

f (x№„>a(t)dt = [f (x + t) + f (x - t) - 2f (x)] §a,a(t)dt 0

noo

= qx(f ; t)<ba>a(t)dt, 0

qx(f ; t) = f (x + t) + f (x - t) - 2f (x).

Пусть теперь

TA(x) = ^

|Л„|<Л

произвольный тригонометрический полином и 0 < л < а < а. Тогда (см. [3, лемма 3]) справедливо равенство

JOO

тлf (Х + t)§v>a(t)dt.

-оо

Покажем, что для полинома Тл(х) имеет место соотношение

поо

пх(Тл; t)$ata(t)dt = 0.

•J 0

Действительно,

поо foo

Jo О,(Тл; t)^a,a(t)dt = Jo [Тл(х + t)+ Тл(х - t) - 2Тл(х)]ф„,а(*№ =

JOO fOO

тл(х + t^^dt - Тл(х)фа,а(1^ =

-оо J — оо

Joo

&a,a(t)dt = 0.

-оо

Поэтому

^оо

роо

avM; х)= ЗД/ - ТА); t]<b^a(t)dt (9)

•J 0

Пусть теперь ТА(х) — полином, осуществляющий наилучшее приближение порядка л, то есть

||/(х) - TA(x)\\Sp = EA(f)Sp.

Тогда

ЦП* [(f - ТА); i]||Sp < 4EA(f )Sp. (10)

Из (7), (10) и (9) получаем оценку (8). Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть ¡(х) е Бр (р > 1), показатели Фурье которой не имеют предельных точек на конечном расстоянии, то есть Лт ^ <х>. Тогда справедлива оценка

1

¡(х) - п+уЕ^(?-х)

к=0

—уек а)3

— п + 1 ^ ки )ьр к=0

где М — абсолютная константа, а величина еа(/)яр определена в формулировке теоремы 1.

Доказательство. Пусть 2т — п — 2т+1. Тогда

1

к=0

1

п + 1

Е №) -¿к(/\х)]

к=1

п + 1

т—12"+1 — 1 п

£ Е М(Х) -¿к №*)]+№) -Ш;Х)+ £ [¡(X) -вк (КХ)]

"=0 к=2г' к=2т

<

<

1

п + 1

т—1 1 2'ю+1 — 1

Е 2"1 Е [ №) -¿к и-;*)]

"=0 к=2г'

+

IIк*) -вои--х)\\в + 1

п + 1

Согласно теореме 1 имеем

п + 1

Е и\х) -вк и-х)]

к=2"

(11)

2^+1 — 1

Е №) -¿ка-х)]

к=2ь

— М -Е2. — 1(/)С

Е №) -¿к и--*)]

к=2^

— М(п - 2т) -Е^—^в

(12)

(13)

Из соотношения (12), (13) и (11) получим

М

т 1

1

— -^Е2" ■ Е2"—1(/ьр + п^Еои)вР+

"=0

^ п +1

т 1

п 2 т М

+ М-— Е2^—1(1')3р — 3м Е 2" ■ Е2^—1(/Ьр +

п + 1

п + 1

"=0

+ ^Е0(1)3р + ^Е2^—М)8р — ^ ЕЕк(1)яр +

п + 1

п + 1

п + 1

к=1

1

п + 1 Теорема 2 доказана

+—Е0(1)3р — ЕЕк ии — п+гТ,* и)

к=0

М1 - п + 1

к (,/ )ЯР

к=0

Заметим, что аналогичные результаты для периодических функций рассмотрены в работе [2], а для класса равномерных почти-периодических функций в [4].

в

в

V

Р

1

в

Р

в

Р

в

V

V

в

р

в

р

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левитан, Б. М. Почти-периодические функции / Б. М. Левитан. — М. ; Л. : Гостехиздат, 1953. — 396 с.

2. Тиман, М. Ф. О приближении периодических функций двух переменных суммами типа Марцинкевича / М. Ф. Тиман, В. Г. Пономаренко // Изв. вузов. Математика. — 1975. — № 9. — С. 59-67.

3. Пономаренко, В. Г. О приближении функций, равномерно непрерывных на всей вещественной плоскости / В. Г. Пономаренко // Сиб. мат. журнал. — 1975. — Т. 16, № 1. — С. 86-97.

4. Хасанов, Ю. Х. О приближении почти-периодических функций двух переменных / Ю. Х. Хасанов // Изв. вузов. Математика. — 2010. — № 12. — С. 82-86.

REFERENCES

1. Levitan B.M. Pochti-pеriodichеskiе funktsii [Almost-Periodic Functions]. Moscow; Leningrad, Gostekhizdat Publ., 1953. 396 p.

2. Timan M.F., Ponomarenko V.G. O priblizhenii periodicheskikh funktsiy dvukh peremennykh summami tipa Martsinkevicha [On Approximation of Periodic Functions of Two Variables by Sums of Marcinkiewicz Type]. Izv. vuzov. Matеmatika [Russian Mathematics], 1975, no. 9, pp. 59-67.

3. Ponomarenko V.G. O priblizhenii funktsiy, ravnomerno nepreryvnykh na vsey veshchestvennoy ploskosti [On Approximation of Functions of Two Uniformly Continuous on the Whole Real Plane]. Sib. mat. zhurnal [Siberian Mathematical Journal], 1975, vol. 16, no. 1, pp. 86-97.

4. Khasanov Yu.Kh. O priblizhenii pochti-periodicheskikh funktsiy dvukh peremennykh [Approximation of Almost Periodic Functions of Two Variables]. Izv. vuzov. Matеmatika [Russian Mathematics], 2010, no. 12, pp. 82-86.

ON APPROXIMATION OF STEPANOV'S ALMOST PERIODIC FUNCTIONS

BY MEANS OF MARCINKIEWICZ

Yusufali Khasanovich Khasanov

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Lead Researcher, Department of Function Theory,

Mathematical Institute of Academy of Science Republic of Tajikistan [email protected]

Ainy St., 299/1, 734063 Dushanbe, Republic of Tajikistan

Eshmat Safarzoda

Postgraduate Student, Department of Mathematical Analysis,

Tajik State Pedagogical University

[email protected]

Prosp. Rudaki, 121, 734003 Dushanbe, Republic of Tajikistan

Abstract. We study some questions of approximation of Stepanov's almost-periodic functions of partial Fourier sums and means of Marcinkiewicz, when the Fourier exponents of functions under consideration have a limit point in infinity.

Let Sp (p > 1 denote the class of Stepanov's almost-periodic functions, whose Fourier exponents take the following form:

A0 = 0, A_n = — An, lim An = to, An < An+1 (n = 1, 2,...).

n—oo

Consider the Fourier series for a function f (x) e Sp

oo

f (x) - ^ Anea"x,

n=_oo

where

1 rt

An = lim — f(x)e_ nXdx t—^oo 2T j_t

are Fourier coefficients of the function f (x) e Sp and

S*(f; x)= ^ A,ne^X (a > 0) |An|<a

is a partial sum of Fourier series.

Let &a(t) is an arbitrary real continuous even function such that

1)$a(0) = 1; 2)$a(t) = 0 (\t\ < a).

We set

Ua(f; ф; x) = Am$aQ\m)e

|Am|<a

Let SP(R) stand for the space of bounded functions f (x) e Sp (p > 1) with the norm

i

{1 fx+l ^ p

- | if(х)Гdx\ .

í Jx J

Consider the value

R(f; X) = \\Ua(f; ф; x) — f (®)|Sp,

where

JOO

f (x + t)§a(t)dt,

-oo

= 2п Г Ф°(иЖи№щ Ku(t) = ,

Фа(и) is some even function absolutely integrable on the interval (0; то) with each fixed a > 0.

Theorem. If f (x) e Sp, where Fourier exponents have no limit points at a finite distance, i.e. Ara ^ то, then the following bound is valid

R(f; Ф.,а) < M—EA(f )Sp,

a — a

and

№) -

n + 1to

Sk (f;x)

m n S ^M+T (Л*,

k=0

where M — constant and

1

s

V

An

f(x) -

/ y Ame

|Am|<A

Key words: Stepanov's almost periodic functions, Fourier series, Fourier exponents, limiting point in infinity, means of Marcinkievicz, trigonometric polynomial, best approximation.

s

V