Некоторые свойства чезаровских производных высших порядков Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.518.152

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЧЕЗАРОВСКИХ ПРОИЗВОДНЫХ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

А. В. Дергачев1

Показано, что функция, чезаровская ^-производная которой больше —то всюду на отрезке, не обязана принадлежать классу VBG. Построен пример непрерывной, имеющей почти всюду па отрезке конечную аппроксимативную производную функции, C2-производная которой равна +то почти всюду.

Ключевые слова: чезаровские производные, интеграл Чезаро-Перрона, аппроксимативные производные, VBG-функции, соотношения Данжуа.

It is shown that a function with Cesaro C2-derivative greater than —то everywhere on a segment is not necessarily VBG. We also construct a function having a finite approximate derivative almost everywhere on a segment, but its C2-derivative is equal to +то almost everywhere.

Key words: Cesaro derivatives, Cesaro-Perron integral, approximate derivatives, VBG functions, Denjoy relations.

Настоящая работа посвящена свойствам чезаровских производных различных порядков, сравнению их между собой и с аппроксимативной производной. Понятие чезаровской производной порядка k £ N (или для краткости С^-производной) наряду с понятием интеграла Чезаро-Перрона (СkP-интеграла) было введено в [1]. Как и SCP-интеграл Беркиля, CkP-интеграл имеет отношение к задаче восстановления коэффициентов всюду сходящихся или всюду суммируемых по Чезаро тригонометрических рядов. Хотя его использование и не приводит к решению этих задач в общем случае, он оказывается эффективным при некоторых дополнительных предположениях [2]. Статьи [3] и [4] содержат ряд теорем, в которых устанавливаются важные свойства Ci-производной. Мы покажем, что некоторые из этих свойств неверны для С2-производной и производных старших порядков.

Все рассматриваемые ниже функции предполагаются действительными. Их область определения будет ясна из контекста.

Определение 1. Ck-сре^нм^ функции F между двумя различными точками x и у называется

CkF(x,y) = — Г 'f^M.

У — x Jx \y — xj

Интеграл в этой формуле понимается как Ck-iP-интеграл, однако все встречающиеся в настоящей работе функции интегрируемы классическим интегралом Перрона, определение которого мы будем считать известным (см. [5, § VI.6]). Заметим также, что в этом определении не предполагается, что x < у.

Определение 2. Нижняя C k-производная функции F в точке x есть нижний предел

п ncv \ г CkF (x; x + h) — F(x) CkDF(x = lim-h/fi.,u-'

h-,o h/ (k + 1)

Верхняя С ¡^-производная C^DFix) определяется аналогично как верхний предел того же выражения. Если верхняя и нижняя Ck-производные функции F в точке x совпадают, то их общее значение CkDF(x) называется Ck-прошво^ной фун кции F в точке x. Под Co-производной мы будем понимать обыкновенную производную: C0DF(x) = F'(x).

Следующее утверждение доказано в [1].

Лемма 1. Для всякой интегрируемой функции F и для любых к, к1 £ No, тлких, что к1 ^ к, имеют место неравенства CV22F(x) ^ Cfc^F(x) и Ck>DF(x) ^ CkDF(x). В частности, из существования CkDF(x) следует существование Ck' DF (x).

Дергачев Артем Владимирович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: artemQdxdy.ru.

Введем следующие обозначения. Для любого невырожденного отрезка [а, Ь] положим

7[а,Ь](*) =

2

Очевидно, что 7[а>ь](£) € [-1,1] тогда и только тогда, когда £ € [а, Ь]. Далее обозначим

,, /1, М « 1; , , 1У —1, М « 1; 9(7) = Ь |7|> 1. ^ = {0, М> 1.

Следующая лемма легко проверяется непосредственным вычислением.

Лемма 2. Пусть невырожденные от,резки [ж, у] и [а, Ь] таковы, что а € [ж, у]. Обозначим Н = у — х, А = с = Тогда

С _8_А£

СгИтм)) (*;») = , лл(„_в)8

Тб >

убМ,

г(9е Р(7) = — + В частности, С2-средние таких функций с х < а всегда

неотрицательны.

Определение 3. Будем говорить, что функция / : [а, Ь] ^ М принадлежит классу УВС на [а, Ь], если существует такой не более чем счетный набор множеств Еп с [а, Ь], что Уп Еп = [а, Ь] и / имеет ограниченную вариацию на каждом из Еп.

В [5, §УП.Ю] показано, что всякая функция, нижняя производная которой (в обычном смысле) больше —те всюду на некотором отрезке, принадлежит классу УВС на этом отрезке. В лемме 8 работы [4] доказано, в частности, что всякая функция Е, такая, что С\]ЭЕ(х) > —оо на некотором отрезке, также принадлежит классу УВС на этом отрезке. Покажем, что чезаровские производные более высоких порядков не обладают этим свойством.

Лемма 3. Если функция / непрерывна на [а, Ь] и принадлежит классу УВС на, [а, 6], то / имеет производную хотя бы в одной точке [а, Ь].

Еп /

Еп

множеств целиком содержит некоторый отрезок [а, в] С [а, Ь]. Функция / па таком отрезке имеет ограниченную вариацию и, следовательно, дифференцируема почти всюду па [а,в]- Лемма доказана.

Определение 4. Будем говорить, что функция / : [а, Ь] ^ М принадлежит классу Ыра на отрезке [а, Ь], если существует константа А > 0, такая, что для любых х, у € [а, Ь] имеет место оценка | /(у) — /(х) | ^ А | у — х |а.

Лемма 4. Для всякого а € (0,1) существует функция / класса, Ыра на, [0,1], не принадлежащая

[о, 1]

Доказательство. Согласно теореме 11.4.9 из [6, т. I] и теореме 1.31 статьи [7], в классе Ыра содержатся нигде не дифференцируемые на [0,1] функции. По лемме 3 они не могут принадлежать классу УВС. Лемма доказана.

Теорема 1. Для всякого натурального к ^ 2 существует функция Е : [0,1] ^ М; такая, что

1) Е непрерывна на [0,1];

2) СкЦЕ(х) > —оо для, всех х € (0,1);

3) Е не принадлежит классу УВС на, [0,1].

к=2

Пусть К — симметричное совершенное множество меры нуль на [0,1], у тоторого смежные интервалы п-то ранга I™ = [а™, Ь™], и е М, т = 1, 2,..., 2п~1, имеют длину = 2Ап = | (§) • Обозначим также

ппг _ 1(пт I г.т\ °гг — 2 V »г ип !■

Определим функцию

те 2П—1 1

= с1)

п=1 т= 1

которая равна нулю на К и имеет волну высотой 1/п на каждом из интервалов Ясно, что Ш непрерывна и принадлежит классу УЕЮ на [0,1].

Пусть Н — канторова лестница, соответствующая множеству К. Функция Н непрерывна и равна на также ясно, что Н принадлежит классу Пусть А\ — константа А из определения 4

Н

Пусть / — какая-нибудь функция, принадлежащая классу Ь1р0)8/10ё9/4 2> н0 не принадлежащая классу

УВв на [0,1]; такие функции существуют по лемме 4, так как 0,8/ ^9/4 2 < 1. Пусть А 2 — константа А

/

Положим

а'Г'"' -л2

Ясно, что функция О непрерывна и не принадлежит классу УВв на [0,1], так как вариация О на любом множестве Е С [0,1] совпадает с вариацией / на Н(Е) с точностью до постоянного множителя. Тогда при х, у е [0,1] имеем

|О(у) - О(х)| < |у - х|0,8. (2)

С другой стороны, при Ь / К, т-е- почти всюду на [0,1], имеет место формула

те 2п—1

о(*) = ЕЕ отаЫатжМ, (3)

п=1 т=1

где От есть постоянное значение О на

Наконец, рассмотрим функцию Е(Ь) = О(Ь) + Ш(Ь). Эта функция непрерывна, не принадлежит классу УВв на [0,1] и имеет конечную производную вне К. Докажем, что при х е К и достаточно малых Н = 0 выполняется оценка

ж + Ь) - Р{х) т-17 |0,12 1ф ^ ~т '

где Ь — некая положительная числовая константа. Из этой оценки будет следовать, что С2Д-Р(ж) ^ 0 при х е К. Мы рассмотрим лишь случай Н > 0 (это имеет смысл только при х = 1); случай Н < 0 рассматривается аналогично.

Итак, пусть х е К У е (х, 1) Н = у — х. В случае у / К положим г = тах([х, у] П К) = а^, где V, ^ таковы, что у е IV, а если у е К, т0 положим г = у. Пусть также число Н настолько мало, что

1оё9/4 ^ < 1/А0'1 (4)

при всех А е (0, Н). Тогда по формулам (1) и (3) и лемме 2 будем иметь

/

(х; у) — Е (х) 3

Н/3 Н

е ( {сп - С(Х))С2[9Ь[а^;ь^]))(х]у) + -с2 (ь) .ад) ) (х; у) ) +

. п,т: \ /

\

_3_ ¥

\

53 ^4

51

ДЗ \ ' 15

где слагаемые S3 и S4 присутствуют только тогда, когда у / K. Понятно, что слагаемые S2 и S4 всегда неотрицательны, а вот слагаемые Si и S3 могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от колебаний функции G.

Для простоты в нижеследующих оценках символом L будет обозначаться некоторая абсолютная числовая константа, возможно разная в разных формулах.

Рассмотрим два случая.

Первый случай: существуют такие N и М, что Iм С [ж, у] и Д° ^ 4Л,1'3. Тогда, заменяя сумму S2 лишь па одно слагаемое и пользуясь (4), получаем

8

8 с > 8 Ь2,6 _

TbS^Nk Iog9/4

h2'6 ^ 8Д№'6 ^ 8h2'73,

8Ajv

в то время как, согласно (2), и ввиду очевидных оценок у — cm ^ h и у — z ^ h

(

|4Si + S3I < 4h

1'8

\

^ Дп + (у — z)

. n,m:

\imc[x,y]

= 4h

2'8

/

так что с учетом S4 ^ 0 получаем, что в этом случае разность С2Е(ж; у) — Е(ж) всегда неотрицательна.

Второй случай: для всех п, т, таких, что /т С [ж, у], имеем Дп < 4Л1'3. Заметим, что всякий отрезок с концами на К обязан содержать в тебе смежный интервал К, длина которого составляет не менее 1/9 длины этого отрезка. Поэтому в данном случае

Y^ Дп = Z — ж < Lh1'3,

n,m:

im c[x,y]

(2)

Gm — G(x) < (z — ж)0'8 < Lh

_ 1,04

(5)

Отсюда сразу получаем, что

IS1I < Y1 Дп(у — cm)Gm — G(x)

imc[x,yi

< Lh2'04 ^ Дп < Lh3'34.

n,m:

im c[x,y]

Теперь оценим снизу 83 + 84. Если СЧ, — С{ж) + -¡^-(у — <г) ^ 0, где <р=1^ константа из леммы 2, то Sз + S4 ^ 0. В противном случае с учетом очевидной оценки VД^ < 1 и формулы (5) имеем

У — z <

v Дь

Р

— G(x)

< Lh

1'04

(5)

^31 < ЕЛ1'04(Л1'04)2 = ЕЛ3'12.

Объединяя оценки для разных случаев, получаем

45! + + + ^ —ЕЛ,3'34 - ЕЛ,3'12 ^ -

откуда

15

C2E (ж; у) — E (ж) 3

3 '

h/3

= ^ (4Si + ^S2 + S3 + S4) ^ -Lh0'12.

Проделав аналогичную оценку для к < 0, получаем, что С2ЕЕ(ж) ^ 0 при ж € К, откуда с учетом дифференцируемости Е вне К следует, что С212Е(ж) > — оо всюду на [0,1]. Теорема доказана.

1

Отметим также, что построенная при доказательстве этой теоремы функция W принадлежит классу ACG [5, гл. VII] и дифференцируема почти всюду, ее производная интегрируема, таким образом, в смысле Данжуа-Хинчина [5, гл. VIII]. Но эта производная не интегрируема С^Р-иптегралом, так как ряд из С2-осцилляций функции W на смежных интервалах K расходится на любом интервале, содержащем точки K, и, таким образом, неопределенный С2Е-иптеграл, разность между которым и функцией W обязана

K не может являться ACG*- С2

Определение 5. Точка x называется точкой внешней плотности множества E, если

u*(E П [x - h, x + h])

lim---= 1.

h^ü 2h

Если множество E измеримо, то точки внешней плотности называют просто точками плотности. Аппроксимативной производной функции F в точке x называется число

I , , ,. F (y) - F(x) F'Jx) = lim —^-

ap еэу^ж y - x

Ex

E

Следующее утверждение доказывается, например, в [5, § IV.10].

Лемма 5. Почти все точки измеримого множества являются его т очкам и плотности.

Следующая теорема фактически доказана в леммах I и II работы [3], но, поскольку она не следует непосредственно из формулировок этих утверждений, мы приведем доказательство здесь.

Теорема 2. Пусть функция F имеет конечную аппроксимативную производную F^p всюду на, ограниченном множестве Е и интегрируема по Перрону на отрезке [а, Ъ], содержащем Е. Тогда C\DF(x) ^ ^ C\D_F{x) для, почти всех ж £ Е.

Доказательство. Ясно, что достаточно доказать лишь одно из неравенств.

Сначала рассмотрим следующий упрощенный случай: пусть Fa'p = 0 всюду на E.

Для краткости введем обозначение: C\AF(x]y) = ПРИ Х,У е [а>4> х Ф У-

Пусть Е+ = {х £ Е : C\D+F(x) > 0} и Е~ = Е \ Е+. Ясно, что множества Е+ и Е~ измеримы (ведь функция C\D+F измерима как предел последовательности измеримых функций) и C\DF(x) ^ 0 при х £ Е+. Возьмем любое е > 0, и пусть Е~ = {х £ Е~ : C\AF(x~,x + h) ^ § при 0 < h ^ при n £ N. Эти множества также измеримы, так как в силу непрерывности и ограниченности сверху выражения CiAF(x; x + h) как функции h при фиксированном x множество E— представляется в виде счетного пересечения множеств {x £ E- : C1AF(x; x + h) ^ e/2} по h £ (0,1/n] П Q. Возьмем любую точку плотности xo множест ва E—. Посколь kv Fa'p (xo) = 0 т0 Для люб ого ö > 0 можно найти такую

точку £ £ (жо — min{£, ^},Жо) П Е~, что ^glf^0'1 > — f • Поэтому

С1АЕ(ж0;е) = 2m~F{Xo) - QAFfcxo) > -е.

4 - xo

Ввиду произвольности ö имеем C\D_F(xo) ^ —е. Из произвольности жо заключаем, что это происходит почти всюду на E—, а из произвольности n — почти всюду на E-. Наконец, ввиду произвольности е неравенство C\D_F(xo) ^ 0 справедливо почти всюду на Е~. Таким образом, на Е~ тоже имеем C\DF(x) ^ 0 для почти всех ж.

Теперь рассмотрим общий случай. Согласно известной теореме Лузина, существует такая непрерывная функция Fi, что те обыкновенная производная Fi(x) = Fa'p(x)%e(x) для почти всех x £ R. Тогда (F — Fi)ap(x) = 0 всюду на некотором множестве Ei С E, таком, что ^Ei = ^E. Как мы уже видели, из этого следует, что C\D(F — Ei)(ж) 0 при почти всех ж £ Ei, т.е. при почти всех ж £ Е. Но почти всюду на Е имеем C\D(F — Ei)(ж) = C\DF(x) — F' {х). Теорема доказана.

Покажем теперь, что теорема 2 тоже не переносится на С^-ироизводные при k ^ 2. Следующая теорема также показывает, что для С2-производной не имеют места теоремы типа соотношений Данжуа (никакая функция не может иметь обыкновенную производную, равную на множестве положительной меры [5, § IX.4]).

Теорема 3. Для любого а £ (0,1) и любого натурального k ^ 2 существует функция F : [0,1] ^ R такая, что

1) Е принадлежит классу Ыра на, [0,1];

2) С к (х) = почти всюду на, [0,1];

3) (х) существует и конечна, почти всюду на, [0,1].

Доказательство. Ввиду леммы 1 достаточно доказать теорему лишь для к = 2.

2

Пусть К — симметричное совершенное множество меры е = 1 — > 0 на [0,1], у которого смежные интервалы п-го ранга = [а^, ЬТЬ п е N т = 1, 2,... , 2п-1, имеют длину

|С|=2Ага =--—^ (6)

I п I П 10 2Пп2 V !

К

Лемма 6. Пусть число Н > 0 настолько мало, что при всех п, таких, что 2-п < Н, имеет место неравенство ^^ > 2~°'1п. Тогда каждый отрезок длины не менее ¡1 с концами на К содержит, в себе смежный интервал множества К, длина которого составляет не менее Н1'1.

Доказательство. Длина отрезков, из которых состоит множество

п 2^

Кп = [0,1] \у и 1т,

ь>=1 т=1

очевидно, не превосходит 2-п; если 2-п+1 ^ Н > 2-п, то никакой отрезок длины Н не может целиком содержаться в Кп, и, так как его концы принадлежат Кп, он содержит внутри себя один из интервалов п

1

10■2пп2

> 2-1'1п+2 > н1'1.

Лемма доказана. Определим функцию

те 2п-1

Ш(*) = ЕЕ ДМ^мФ) , (7)

п=1 т=1

которая равна нулю иа К и имеет волну вы сотой Д^ на каждом из интер валов Ясно, ч то Ш принадлежит классу Ыра на [0,1] и дифференцируема вне К, а почти всюду на К (а именно во всех точках плотности К) имеет аппроксимативную производную, равную нулю. Покажем, что С2^Ш(х) = при почти всех х е К. Возьмем любую точку х е К, не являющуюся нулем, единицей или концом какого-либо смежного интервала, зафиксируем произвольное Ь > 0, возьмем 5 > 0 настолько малым, что

1) (х — 5, х + 5) С (0,1);

2) при всех п, таких, что 2~п < 5, справедливо неравенство ^^ > 2-0'1га;

3) для всех интервалов длина которых не превосходит 5, имеет место оценка ^ ^ Д^'1;

4) для всех интервалов пересекающихся с (х — 5, х + 5), имеет место оценка рп2п > Ь, где р —

2

5) 10-35-0'69 > Ь,

и покажем, что при \Ь\ <5 и /г / 0 выполняется оценка ^ £

Действительно, пусть, скажем, Н > 0 (случай Н < 0 рассматривается аналогично), у = х + Н, и в случае у / К положим г = тах([х,у] П К) = а^, где V, ^ таковы, что у е 1^; если у е К, то положим г = у. Тогда, как и в предыдущей теореме, по формуле (7) и лемме 2 имеем

( „ , ^ \

С2 Ш (х; у) — Ш (х) 3

Н/3 Н3

15 Ъ ^ (У-*)

\ 1ПгС[х,у] )

(8)

где последнее слагаемое присутствует тогда и только тогда, когда у / К. Заметим также, что все слагаемые в этой сумме неотрицательны. Рассмотрим два случая.

Первый случай: у/Киу — г ^ Н/2. Тогда ввиду (6) и п. 4

ст- и--(х) > гРЫхМь _ г), > ^ >

Н/ 3 Н

Второй случай: у £ X или у — г < Л/2. Тогда г — х > Л/2, и ввиду п. 2 и леммы 6 должны найтись такие N и М, что Iм С [х,у] и Д^ ^ (г — х)1'1 /2 ^ ^1'1/10; в то же время вспомним, что, согласно п.З, ^ Д1^1. Поэтому в формуле (8) можно сделать оценку

С2Ш{х;у)-Ш{х) > ^ Д| > 1д—з^—0,б9 ь к/3 " 5Л3 Ж "

где последнее неравенство опирается на п. 5.

Итак, ввиду произвольности Ь мы доказали, что С2(х) = почти всюду на К, хотя = 0 почти всюду на К.

Будем также в дальнейшем считать, что функция Ш доопределена нулем всюду вне отрезка [0,1]. Определим теперь по индукции последовательность замкнутых множеств Кг и непрерывных функций Ш следующим образом. Положим Ко = К и Шо = Ш. Пусть I £ N и Кг_1 и Шг_1 уже определены. Пусть |(иг,^г)}?=1 — последовательность смежных интервалов множества Кг_1 как подмножества [0,1] и Ъ(х) = х~щ . Положим

те те 1

Кг = Кг-г и у /г^К), \Уг{х) = £ ^(/г(х))

г=1 г=1

Функция Шг состоит из "уменьшенных" копий Ш, расставленных по от резкам [щ, V. Поскольку [0,1]\ Кг есть объединение всех смежных к [щг,^г] интервалов замкнутого множества /¿-1(К), множество Кг замкнуто и имеет меру 1 — (1 — е)г+1. Также очевидно, что функция Шг непрерывна и ограничена числом тах | Ш| ^ 1 на [0,1] и равна нулю всюду на Кг, а всюду вне Кг имеет конечную производную; в частности, Шг аппроксимативно дифференцируема по чти всюду на [0,1]. Наконец, С25Шг (х) = почти всюду на Кг \ Кг_1. Положим

тете

г=о г=о 2

Ясно, что множество Е имеет меру 1, а функция Е непрерывна на [0,1]. Поскольку при всех А ^ I

функция Шд равна нулю на Кг, заключаем, что

г_1 1

= Е ПРИ х е К-1,

л=о

и, следовательно, Е имеет конечную аппроксимативную производную почти всюду на Кг; ввиду произвольности ¿получаем, что Е аппроксимативно дифференцируема поч ти всюду на [0,1]. Наконец, при х £ Кг \ Кг_1 (где считается, что К_1 = 0) имеем оценку

С2Е (х; х + Л) — Е (х) 1 С2Шл(х; х + Л) — Шд(х)

Е

Л/3 " л=0 2л Л/3

ведь все остальные Шд представляют собой комбинации функций вида и> (7[а ^) 5 где отрезки [а , в] не пересекаются и не содержат х, следовательно, слагаемые с номерами выше I неотрицательны. При Л ^ 0 все слагаемые в этой сумме, кроме последнего (с номером I), ограничены при Л ^ 0 (так как Шд дифференцируемы в обычном смысле вне Кд и, следовательно, С2-дифференцируемы), однако последнее слагаемое стремится к плюс бесконечности для почти всех х £ Кг\Кг_1, поскольку С2^Шг(х) = почти всюду на Кг \ Кг_1. Таким образом, С2(х) = почти всюду на Кг \ Кг_1. Ввиду произвольности I получаем, что С^^Е(х) = почти всюду на Е, т.е. почти всюду на [0,1]. Теорема доказана.

Отметим, что в этом примере имеющее меру нуль множество точек, в которых равенство С2^Е(х) = не доказано, несчетно и является множеством второй категории Бэра.

С2

С2Е(х; у) = С2Е(у; х)

С1

существенным использованием равенства С1Е(х; у) = С1Е(у; х). В следующих публикациях планируется более детальное рассмотрение этих вопросов.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 11-01-00321 и гранта программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-979.2012.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Burkill J.C. The Cesaro-Perron scale of integration // Proc. London Math. Soc. (2). 1935. 39, N 7. 541-552.

2. Cross G.E. The expression of trigonometrical series in Fourier Form // Can. J. Math. 1960. 12, N 4. 694-698.

3. Sargent W.L.C. On the Cesaro derivates of a function // Proc. London Math. Soc. (2). 1935. 40, N 3, 4. 235-254.

4. Скворцов В. А. Некоторые свойства CP-интеграла // Матем. сб. 1963. 60, № 3. 304-324.

5. Сакс С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. М.: Мир, 1965.

7. Hardy G.H. Weierstrass's nondifferentiable function // Trans. Amer. Math. Soc. 1916. 17, N 3. 301-325.

8. Sargent W.L.C. A descriptive definition of Cesaro-Perron integrals // Proc. London Math. Soc. (2). 1941. 47, N 3, 4. 212-247.

9. Verblunsky S. On a descriptive definition of Cesaro-Perron integrals //J. London Math. Soc. 1971. 7, N 3. 326-333.

Поступила в редакцию 02.11.2011

УДК 519.2

О ЗАДАЧЕ МАКСИМИЗАЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В СЛУЧАЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО СЛУЧАЙНОГО ВКЛАДА

Р. В. Хасанов1

Рассматривается задача максимизации ожидаемой полезности с неограниченным случайным вкладом в абстрактной модели финансового рынка в случае конечной на R+ функции полезности. Ставится двойственная задача, устанавливаются дуальные связи между ней и исходной, изучается вопрос необходимых условий существования решений в исходной задаче. Кроме того, двойственная задача приводится к форме, удобной для практических расчетов.

Ключевые слова: максимизация полезности, двойственная задача, случайный вклад, абстрактная модель рынка.

We consider a problem of maximizing expected utility with an utility function finite on R+ and with an unbounded random endowment in an abstract model of financial market. We formulate a dual problem to the primal one and prove duality relations between them. In addition, we study necessary conditions to the existence of solutions to the primal problem. Finally, we reduce the dual problem to a form more convenient for practice.

Key words: utility maximization, dual problem, random endowment, abstract model of market.

1. Введение. В данной работе задача максимизации ожидаемой полезности со случайным вкладом рассматривается в статической модели финансового рынка и понимается в смысле максимизации функционала

£ ^ E U(x + £ + B), £ е A, (1)

по множеству A случайных величин, заданных на вероятностном пространстве (Q, F, P), где x е R — действительное число, B — случайная величина на (Q, F, P), функция U определена на R и принимает значения в RU {—те}, а также вогнута и не убывает. Всюду в работе математическое ожидание E по мере р считается равным —те, если оно не определено, т.е. En = E(n Л n). Описанные объекты имеют

следующую финансовую интерпретацию:

1 Хасанов Руслан Ваизович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: rusl886Qmail.ru.