Обобщенные производные и интегралы типа Чезаро-Перрона. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.518.126

ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ ТИПА ЧЕЗАРО-ПЕРРОНА. II

А. В. Дергачёв1

Рассматривается ряд эквивалентных определений чезаровской Ck-производиой и Ck P-интеграла, обладающих более удобными свойствами, чем классические определения Бер-киля. В частности, устанавливается теорема типа Марцинкевича для модифицированного определения Ck P-интеграла.

Ключевые слова: чезаровские производные, интеграл Чезаро-Перрона, свойство Марцинкевича.

Several equivalent definitions of Ck-derivative and CkP-integral of Burkill are shown to behave better than the original definitions in certain cases. In particular, a Marcinkiewicz-type theorem is established for a modified definition of Ck P-integral.

Key words: Cesaro derivatives, Cesaro-Perron integral, Marcinkiewicz property.

В первой части [1] настоящей работы мы для всех k,m Е N ввели в рассмотрение ядро усреднения

tm— 1 (1 f)k-1

= B\nJ ■

где В(т,к) = есть бета-функция Эйлера, играющая роль нормировочной константы. Затем

были рассмотрены Cm-cpefaiue и Cm -разности, определенные формулами

1 fx+h,m — , CmF(x; x + h) — F(x)

CTF(x; x + h) = I / ^ (¥) F(t) dt, C}?AF(x; x + h) =

am h

где a™ = fc"m, интеграл понимается как Сд^Р-интеграл Беркиля, а функция F предполагается Ck-1P-nHTerpnpveMoft. При этом мы считаем, что CoP-интеграл есть классический интеграл Перрона (см. [2]).

Функция F называется Ck-непрерывной, если C\F(x; x + h) ^ F(x) при h ^ 0; согласно лемме 3 из работы [1] это эквивалентно стремлению CmF (x; x + h) к F (x) при люб ом m Е N.

Были также введены понятия Cm-производной функции F в точке x, обозначаемой Ck^DF(x), как предела выражения Cm^-F(x; x + h) при h ^ 0 и верхних, нижних, правых и т.п. Cm-производных, определяемых как верхние, нижние, правые и т.п. пределы того же выражения и обозначаемых символами Cm~DF(x), CmHF(x), q?D+F(x) и т.д.

Наконец, был определен CmP-интеград функции f на отрезке [a, b] следующим образом, функция Ф : [a, b] ^ R назван а CmP-^жо^нтой для функции f : [a, b] ^ R, есл и Ф являет ся Cfc-непрерывной и ^ f(x) ПРИ всех х Е (а,Ь). Соответственно функция ф — С™Р-миноранта для функции /,

если — ф есть CmP-мажоранта для — f. Функция f называется CmP-интегрируемой на [a, b] со значением интеграла I, если для любого е > 0 существуют такие CmP-мажоранта Ф и CmP-миноранта ф для f на

[a, b], что I — е ^ ф(Ь) — ф(a) ^ Ф(Ь) — Ф(a) ^ I + е.

Ck1P CkP

интеграла Беркиля [3].

Ckm

OmF(a; b)= sup \CTF(a; x) — F(a)\, OmF(a; b) = sup \CTF(b; x) — F(b)\.

a<x<b a<x<b

Ясно, что d™F(a; b) = 0™F(a; b), где F(x) = F - x).

2m

рядков fl, леммы 8, 9 и теорема 4].

mna; b) = omi V-, w , w - , v—

Ckm Ckm

1 Дергачёв Артём Владимирович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: artemQdxdy.ru.

Лемма 1. Если функция Р является С к_1Р-интегрируемой ик,ш € N то О^Р(а; Ъ) < 0™+1Р(а; Ъ), С^О+Р{х) > С™+1Р+Р(ж); О^Р(а; Ъ) > ОГ+1Р(а; Ъ), С7Д+Р(Ж) < СГ+1Д+Р(Ж),

а также для некоторой константы М > 0 выполнено 0\Р(а; Ь) ^ О^Р(а; Ь) ^ М ■ 0\Р(а; Ь).

Основным результатом работы [4] является дескриптивное определение СкР-интеграла Беркиля, т.е. введение "узкого интеграла Чезаро-Данжуа", или СкО»-интеграла, и доказательство его эквивалентности CkР-интегралу того же порядка. В [4] содержится ошибка в доказательстве эквивалентности в одну сторону, исправленная в работе [5]. Приведем здесь формулировку этого результата.

Функция Р называется С к-АС»-$ункцмей та множестве Е, если она Ск_ 1Р-интегрируема на некотором интервале, содержащем Е, и для любого е > 0 найдется 5 > 0, такое, что

п п

^ 0kРа; Ьз) < е, ^ 0кР(а,; Ь,) < е.

3=1 з=1

Следующие три леммы — это теоремы I, II и III статьи [4] соответственно.

Лемма 2. Если Ск-непрерывная, функция Р является С к-АС*-фу нкцей на некотором множестве Е, то она является С к- АС* и на замыкании Е множества Е.

Лемма 3. Ск-непрерывная функция Р является Ск-АС»-функцией на зам,кнут,ом, ограниченном множестве ( со смежными интервалам,и {(ап,Ьп)} тогда и только тогда, когда, Р абсолютно непрерывна на, ^ и Ск_]_Р-интегрируема на каждом, смежном интервале (ап,Ьп) и

0кР(а ; Ьп) < ж, ОкР(ап; Ьп) < ж.

пп

Лемма 4. Если Ск-непрерывная фун кция, Р является С к-АС»-функцей на ограниченном измеримом множестве Е, то СкБР существует и конечна почти всюду на, Е. При этом СкБР почти всюду на, Е равна аппроксимативной производной, Р^р и суммируем а на Е.

Ск-непрерывная на отрезке, содержащем множество Е, функция Р называется С к- АСС »-функцией ЕЕ Р Ск АС»

Лемма 5. Если функция Р есть Ск-АСС» на отрез ке [а, Ь] и С к БР (х) ^ 0 для почти в сех х € [а, Ь], то Р является монотонно неубывающей, на, [а, Ь].

Функция f : [а,Ь] ^ К называется Ск О »-интегрируемо й на [а, Ь] и функция Р называется неопределенным, СкБ»-иптегралом функции ^ на [а, Ь], если Р € Ск-АСС»[а, Ь] и СкБР(х) = (х) для почти всех х € [а,Ь]. Это определение корректно благодаря лемме 5. Следующие утверждения в [4] называются свойствами С и Б СкО»-интеграла.

Лемма 6. Функция f С к Р-инте грируема тогда и только тогда, когда она С к О »-интегрируема, причем в случае интегрируемости (С к Р) f (х) (х = Р (Ь) — Р (а), где Р — неопределенный, Ск О »-интеграл функции

Лемма 7. Если I € N функция Р абсолютно непрерывна на зам,кнут,ом, множестве ( с концами а и Ь и смежными интервалам,и {(ап,Ьп)} С О »-интегрируема на каждом, из отрезков [ап,Ьп] и

0г+1Р(ап; Ьп) < ж, ^ 0г+1 Р(ап; Ьп) < ж,

пп

то Р О »-интегрируема на [а, Ь] и для любого к € N

гЬ г гЬ„

(С б») (Ь — г)к-1Р (г) (И = (Ь — г)к-1Р (г) (г + ^(СБ») (Ь — г)к-1Р (г) йг.

'а ^ п ' ап

Согласно лемме 6 лемма 7 в равной степени относится и к С\ Р-интегралу.

Установим теперь два важных свойства С^Р-интеграла, обобщающие соответствующие свойства СкР-интеграда. Приращение Р(Ь) — Р(а) функции Р на отрезке I = [а, Ь] будем для краткости обозначать через Р(I) или Р[а,Ь].

Теорема 1. Если С^Р-интегрируема па всех подот,резках [а,Ь'] С [а,Ь) и неопределенный С™Р-интеграл Р продолжается на [а,Ь] до Ск-непрерывной фунцкии, то С™Р-интегрируема на [а,Ь] Р[а, Ь]

Доказательство. Возьмем последовательность точек {Ъп}пе^) начинающуюся с Ъ\ = а и монотонно возрастающую к Ъ при п ^ ж. Для всех п существует такая пара, состоящая из мажоранты Фп и миноранты фп функциИ ^ на 1п = [ЪП7 Ъп+г], что Фп{1п) ~ Р(1п) < и Р(^га) — Фп{1п) < уТ+з] мы можем также считать, что Фп(Ъп) = Фп-!(Ъп) и фп(Ъп) = фп-!(Ъп) для всех п > 1, Ф^^) = ф!(Ъ!) = 0.

Пусть Фо и фо — функции, равные Фп и фп соответственно на отрезке 1п. Тогда Фо — Р и Р — фо являются на [а, Ъ] непрерывными монотонно неубывающими функциями, ограниченными сверху числом = I • Поэтому их можно доопределить по непрерывности в точке Ъ. Но тогда и функции Фо и фо продолжаются до Ск-непрерывных на [а, Ъ] функций.

Тогда в соответствии с леммой 13 из [1] существуют такие непрерывные "поправочные" функции Ш и ад, что Ш является неубывающей и возрастает на [а, Ъ] не более чем на е/А, функция и> является невозрастающей и убывает на [а, Ъ] не более чем на — е/А, а функции Ф = Фо + Ш и ф = фо + и> являются С^-мажорантой и С^-минорантой соответственно для ^ на [а, Ъ]. Но тогда Ф[а, Ъ] — ф[а, Ъ] < е/А + е/А + е/А + е/А = е, что завершает доказательство.

Теорема 2. Пусть функция суммируема на замкнутом множестве фи С™Р-интегрируема на замыканиях [ап,Ъп] смежных интервалов множества ф, дополняющих его до отрезка [а,Ъ], с неопределенными интегралами Рп (где Рп(ап) = 0), причем

0™Рп(ап; Ъп) < ж, ^2 0™Рп(ап; Ъп) < ж. п ,-Ь п

Тогда f С™Р-интегрируема на [а, Ъ] и / f (Ь) ЛЬ = (Ь) ЛЬ + ^^ Рп(Ъп).

■ 'а J Q п

Доказательство. Из леммы 1 следует, что в условиях теоремы

^2 0рРп(ап; Ъп) < ж, ^2 0рРп(ап; Ъп) < ж

пп

при всех 1 ^ р ^ т. Также ясно, что f СкР-интегрируема на всех (ап,Ъп) и Рп — ее неопределенный

С Р

интеграла, доказанной в [4] (теорема X). Благодаря теореме 1 из [1] достаточно рассмотреть случай, когда f = 0 на ф. Заметим также, что по лемме 3 из [4] имеем ^ \Рп(Ъп)\ < ж.

п

Возьмем любое е > 0 и найдем такие СтР-мажоранты Фп для ^ на [ап,Ъп], что Фп(ап) = 0 и Фп{Ьп) ~ Ра(Ьп) < Тогда 52\Фп(Ьп)\ <Ж,И при р = 1,...,т имеем

п

^2 0ркФп(ап; Ъп) < ж, ^2 0рФп(ап; Ъп) < ж,

пп

а также при I = 1,...,к, р = 1,...,т (по лемме 3 из [4] в сочетании с предыдущей оценкой при р = 1 и леммой 6 из [1]) верна немного более слабая оценка

^2 СкФп(ап; Ъп)\ < ж, ^2 \СрФп(Ъп; ап) — Фп(Ъп) \ < ж.

пп

В соответствии с теоремой 6 из [1] для всех р = 1,...,т найдутся такие неубывающие функции ПРа е С [ап, Ъп], ЧТО ПРп(ап) = 0 Ср(Фп + иРп)(ап; х) ^ 0 при X е [ап, Ъп] и ПРп(Ъп) ^ КРп0Рк Фп(ап; Ъп), где кп =

2 к+р-Р' ■ Также при I = 1,... ,к, р = 1,... ,т возьмем линейные функции УпР(х) = Ъп) |,

а также функцию г>°(ж) = ъ~-ап №п(Ьп)\ ( в частности, уп(Ъп ) = \Фп(Ъп)\)- Ясно, что ЕМЪп) < ж,

Т,Упк(Ъп) < ж и 52 Vп(Ъп) < ж.

п

Аналогичным образом построим невозрастающие функции йп е С[ап,Ъп], такие, что йп(Ъп) = 0,

>,Р'Ъп) < ж И 52 Vп(ъп) пп

е С[ап,Ъп], такие, ЧТО иРп(ъп)

СР(Фп + йп)(Ъп; х) ^ Фп(Ъп) при х е [ап,Ъп] и 52йп(ап) < ж, а также возьмем линейные функции

п

^Р{х) = ^\СрФп(Ьп-ап)\. Положим

^п(х) = ^ иРп(х) + йРп(Ъп) — иРп(х) + ^ (V^(Х) + VIпр(Ъп) — ^(х)^ + vРР(х).

р=! V 1=! )

Тогда ад^ ^^^^^^^^ ^^^ерывными на [ап,Ъп] неубывающими функциями, равными нулю в ап, и будут иметь место следующие очевидные утверждения:

1) Т.Шп(Ь,п) < ж;

п

2) (^п + ^п)(Ъп) - (^п + ^п)(ап) > 0;

3) Ср(Фп + '^п)(ап; Ъп) ^ 0 при I = 1,...,к и р = 1,...,т,

4) Ск (Фп + wn)(an■, х) ^ 0 при р = 1,...,тшх е [а,п,Ъ,п};

5) Ср(Фп + ^п)(Ьп; ап) - (Фп + ^п)(Ъп) ^ 0 при I = 1,...,к и р = 1,...,т;

6) Ср (Фп + Wn)(Ъn; х) - (Фп + Wn)(Ъn) ^ 0 при р = 1,...,т и х е [ап, Ъп} •

За каждое из этих свойств "отвечает" одно из слагаемых в сумме, определяющей wn, при этом другие слагаемые "не портят" эти свойства.

Найдем теперь такое -/V, что ^ и)п(Ьп) < |, и определим функции Оп(х) при х £ [ап,Ьп], равные

п>М

Фп(х) при п ^ N и Фп(х) + wn(x) при п > N. Тогда Сп(ап) = 0 Оп(Ъп) ^ 0 при п > N и ^ Оп(Ъп) < ж.

п

Наконец, определим функцию

Ф(х) = £ Сп(Ъп)+ Сд(х),

в которой последнее слагаемое присутствует тогда и только тогда, когда х е (ад,Ъд). Поскольку ряд Оп(Ъп) сходится, функция Ф абсолютно непрерывна на множестве Я- По лемме 7 функция Ф является Ск_ ^-интегрируемой на [а, Ъ} и есл и х е Я Н > 0и х + Н ^ Ъ, то

г х+Н

СркФ(ж; х + К)- Ф(ж) = \\ ч?к ) (Ф(*) - Ф(ж)) М =

х

(с г Ьп г х+ь\

/ + £ / +/ к №)(*(*)-*и) я, а)

(ап ,Ьп)С.(х,х+Н) ап )

где Ян = Я П [х,х + Н} и последнее слагаемое присутствует тогда и толь ко тогда, когда х + Н е (ад, Ъд), а р е N может быть любым ввиду леммы 6 из [1].

Фп

£ ОкФ(ап; Ъп) < ж, £ ОкФ(ап; Ъп) < ж,

пп

Ф(ап; Ъп) - Ф(ап)\ < ж, ^\Сг Ф(Ъп; ап) - Фп(Ъп)\ < ж,

пп

где I = 1,...,к.

Покажем2, что Ф является Ск-непрерывной справа на Я- Пусть х е Я и точка х не изолирована справа от точек Я- Пусть ^ > 0 N' > N таково, что

Е \ОкФ(ап; Ъп) + Е Г11\С1Ф(ап,Ъп) - ФЫП <114,

п>№ \ 1=1 ^ ' )

и 5 > 0 настолько мало, что [х, х + 5} содержится в (а, Ъ) и не пересекается ни с одним из интервалов (а1 ,Ъ\),..., (аN ,Ъм'), а также \Ф(1) - Ф(х)\ < ^/4 при у е Яб- Возьмем Н е (0,5). Рассмотрим отдельно каждое из слагаемых в формуле (1) (при р = 1). Имеем

Далее, пользуясь тем, что \Ф(1) - Ф(х)\ ^ \Ф^) - Ф(ап)\ + \Ф(ап) - Ф(х)\ ^ \Ф^) - Ф(ап)\ + ^/4, получаем

Ьп

{/ <Рк №) - ад) м

ап

(■Ьп

П-х^ 4 I V К

ап

<2/ МтгЬЙ +

¡■Ьп

& (х + }г-1)к-1{Ч>(1)-Щап))си

ап

<

2 В работе [4] в этом месте (в теореме X), по-видимому, содержится еще одна ошибка. Там доказательство этого факта неявно опирается на теорему II (лемма 3 настоящей работы), но на с. 247 содержится пояснение, что в теореме II необходимо заранее потребовать ^^-непрерывность рассматриваемой функции. Однако рассуждение, приводимое в настоящей работе, применимо и к доказательству теоремы X статьи [4].

<2/

1=1

1-1) тк~1

Ь (bn-t)l-l{Ъ(t)-Ч>(an))dt

<

^2 / ^ + Е , )\аЪ(ап]Ьп)-Ч>(ап)\.

1=1

Аналогично

/х+Н

/х+Н

<И + ОкЩад-,Ъд).

И окончательно получаем

\СкЩх-,х + к)-Щх)\ < £ [Ь\к{^) ^ + £С^|СгФ(ага;&ге)-Ф(ага)|] +

(ап,Ьп)С(х,х+нД ^ап 1=1 ^ ^ /

+2 Г^ 4>к + м < 2 + £ Ъп) + £ |СгФ(ага, Ьп) - Ф(ага) А <

^ап п>№ \ 1=1 ^ ' /

32 4 •

Итак, мы доказали, что \СкФ(х; х + Н) - Ф(х)\ < 7 при Н е (0,5), что означает Ск-непрерывность справа

ФЯ Ск

в точках, не изолированных слева; Ск-непрерывность Ф на отрезках [ап,Ъп] очевидна. Таким образом, Ф Ск [а, Ъ}

Теперь покажем, что 0^11+ Ф(ж) 0 при х £ Я, х ф а\, а,2, ■ ■ • • Из свойства 2 функций ъип при I = 0 получаем, что Ф является неубывающей и ограничена на Ян- Таким образом, Ф(Ь) - Ф(х) ^ 0 при Ь е Ян-, а поскольку у™ тоже неотрицательна, то и все первое слагав мое в формуле (1) неотрицательно:

Далее, если у нас есть интервал (ап,Ъп) С (х,х + Н), то в силу монотонности функции Ф имеем Ф(ап) ^ Ф(х). Поэтому

гЬп ГЬп

I / ^ №) (Ф(*) - ф(®)) и <Рк (¥) (ф(^) - фК)) & =

ап

ап

Нк+т-1В(т,к)

(Ь - х)т-1 (х + Н - Ь)к-1(Ф(Ь) - Ф(ап)) йЬ =

™ Л, (7Г11)(^:11) К - хГ~р(х + Ъп)к~1 [-ьп

р=11=1

Нк+т-1В(т, к)

(Ь - ап)р-1(Ъп - Ь)1-1 (Ф(Ь) - Ф(ап)) йЬ =

т к

= £ £ к1>р СФ(ап; Ъп) - ФЫ) ^ 0, р=11=1

где — некоторые положительные коэффициенты и последнее неравенство следует из свойства 3 функций wn.

Наконец, если х ^ ад < х + Н < Ъд, то снова Ф(ад) ^ Ф(х), и поэтому

гх+Н гх+Н

Ь / (¥) (ф(^) - *(*)) я = Ъ № (¥) №" фЮ) ^ =

л ап л аП

1

Нк+т-1в(т, к)

г х+Н

/ (Ь - х)т-1 (х + Н - Ь)к-1(Ф(Ь) - Ф(ад)) йЬ =

аП

Ь

п

п

п

Ь

п

П

П

Ь

1

п

п

п

т (т-!) (а — х)т-Р ГХ+Ь т , ,

р=! ( , ) ■>ад р=!

где кр — некие положительные числа и последнее неравенство следует из свойства А функций и1п.

Таким образом, доказано, что С™Ф(ж; ж + К) — Ф(ж) ^ 0 при всех к € (0, 5), и поэтому С™Д+ Ф(ж) ^ 0 при всех х е ф, кроме, быть может, а!,...

Пользуясь свойствами 5 и 6 функций wn, можно аналогичным образом доказать, что левая нижняя производная С™12_Ф(ж) ^ 0 при всех ж € С,), кроме, быть может, Ь\,..., Ьдг.

Таким образом, С™]УФ(х) ^ 0 = /(ж) при всех ж € С,), кроме конечного числа точек, и потому С™ГУФ(ж) ^ /(ж) всюду на [а,Ь], кроме не более чем счетного множества точек. Более того, ясно, что

Ф(Ь) - Ща) (^n(bn) - Vn(an)) (wn(bn) - Wn(an)) <

n n>N

< " Fn+ + f = J2(Fn(bn) ~ Fn(an)) + e.

- п\"п) I 2П+1 I 1 2 — / ^пу^п) ±п\и,п)

По лемме 13 из [1] существует такая мажоранта Ф* для ^ на [а,Ъ], что

Ф*(Ъп) — Ф*(ап) <^2(Рп(Ъп) — Рп(ап)) + е-

п

Аналогично строится миноранта ф* для ^ на [а,Ъ], такая, что

Ъп) — ф*(ап) ^

Ф* (bn) - Ф* (an) > У^ (Fn(bn) - Fn (an)) - £■

Остается лишь заключить, что f СтР-интегрируема на [а, Ъ] и ее интеграл равен 52Рп(Ъп)•

п

Теорема 2 доказана.

Теперь уже легко доказать один из основных результатов.

Теорема 3. Если функция ¡'является С к Р-интегрируемой на о трезке [а,Ъ], то о на С™ Р-интегрируема на [а, Ъ] при всех т е N.

В сочетании с леммой 14 из [1] это означает, что все СтР-интегралы с одинаковым к эквивалентны.

Доказательство. Пусть Р есть неопределенный интеграл ^ на [а, Ъ]. Возьмем любое т, и пусть ф С [а, Ъ] есть множество точек, на любой окрести ости которых ^ не СтР-интегрируема. Тогда понятно, что ф замкнуто и f СтР-интегрируема на любом отрезке, не содержащем точек ф. Предположим, что ф непусто. Согласно теореме Бэра и леммам 2, 3 и 6, в ф найдется порция фо, на штор ой f суммируема и по смежным интервалом (ап,Ъп) которой имеет место сходимость:

0кР(а ; Ъп) < ж, 0кР(ап; Ъп) < ж.

пп

Поскольку функция Р Ск-непрерывна, то то теореме 1 функция f СтР-интегрируема на всех отрезках [ап, Ъп]. В то же время по лемме 1 имеем

^2 °TF(an; bn) < ж, Y. OmF(an; bn) < ж.

Но по теореме 2 это означает, что f С^Р-интегрируема на отрезке, определяющем Qo, что противоречит непустоте пересечения этого отрезка с Q.

Наконец, покажем, что Ср-интеграл, получающийся при m = k, обладает свойством Марцинкевича; этот результат обобщает одну из основных теорем [6]. Несмотря на только что установленную эквивалентность интегралов, из нее не будет следовать теорема Марцинкевича для классического СкР-интеграла, поскольку классы мажорант и минорант различаются. Таким образом, свойство Марцинкевича для СкР-интеграла при k ^ 2 остается открытой проблемой, и данная теорема дает лишь частичное решение.

Для этого установим следующие утверждения, дополняющие теорему 2 из [1]. Пусть р — ядро усреднения порядка к. Функцию Р назовем VB^-функцией на множестве Е, если существует такая константа K, что для любой системы непересекающихся интервалов {(aj,bj)Yj=\ с концами на E имеет место следующая оценка:

p

J2 inf C^F(aj; x) - F(aj)) > -K.

aj<x<bj

j=1

Естественным образом определяются понятия VB^-, VB~- и VB^-функций, УВ,„- и VB^-функций, а также соответствующие понятия VBG- и [VBG]-фупкций.

Лемма 8. Если функция F такова, что CvDF{x) > — оо при всех х G (a,b), то F G VBG,„(а, b).

Доказательство. Положим Еп = {x G (a, b) : \h\ < ^ => CipAF(x;x + h) > —n} и Яг° = Eln = En П • Тогда, взяв систему интервалов {(dj,bj)}p=1 с концами на 1*4) ПРИ (ij < % < bj < a,j + ^ имеем (ж — aj)C<pAF(aj; х) ^ —п(х — aj) ^ —n(bj — aj), и ввиду Y^=i(bj — dj) < \ можно на Щ взять Ki = ск. Таким образом, разбиение Щ подходит под определение класса VBG+(а, &); аналогично доказывается, что VBG~(a, 6). Лемма доказана.

Следующее утверждение снова использует симметрию Как показано в [7], при k > 1 непрерывная (даже в обычном смысле) функция F, нижняя С^-производная которой всюду больше —ж, не обязана быть VBG-функцией.

Лемма 9. Если <p(t) = <р( 1 — t), F С ¡.-непрерывна и CipD_F{x) > —оо, то F G [VBG] [a, b] и F G

[VBGLM-

Доказательство. Мы уже знаем из теоремы 2 работы [1], что F G [VBG][a, b]. Пусть множества H0 определены так же, как и в предыдущем доказательстве. Пусть Hi = H0 — их замыкания. Не ограничивая общности, мы можем считать, что множества Hi не имеют изолированных точек (не более чем счетному числу таких точек можно выделить по отдельному множеству). Пусть теперь дана система непересекающихся интервалов {(aj,bj)} с концами на Hi. Мы можем считать, что v них нет общих концов (иначе разобьем систему на две). Так как F С^-непрерывна, то по лемме 3 из [1] мы можем для j = 1,...,p найти такие ôj > 0, что \CipF{aj-,x) — F(a,j)\ < ^ при \х — a,j\ < ôj. Далее, если aj изолирована от других точек Hi слева (и, следовательно, не изолирована справа, так как изолированных точек нет), то положим A0 = aj, иначе возьмем A0 G H0 левее aj, но так, чтобы интервалы [A0,bj] не перекрывались. Наконец, для каждого x G [aj + ôj ,bj ) мы, пользуясь непрерывностью CVF (y; x) по y (лемма 4 из [1] в сочетании с симметрией ф), найдем в Н0 такую точку Aj(x) G (A0,aj + ôj), что \CipF(aj;x) — CipF(Aj(x);x)\ < К Имеем оценку

CVF (aj ; x) — F (aj ) = [C^F (Aj (x); x) — F (Aj (x))] + [C^F (aj ; x) — CVF (Aj (x); x)] + + [F (A0) — F (aj )] + [F (Aj (x)) — F (A0)] ^ —na(x — Aj (x)) — -i-\F(A0)-F(aj)\-n(Aj(x)-A0),

откуда

p

aj)C4>AF (aj, , .

• 1 Hi j = 1

— aj)CVAF(aj; x) ^ —n(b — a) — 1 — Var F — n(b — a),

р

а это есть константа. Значит, выражение - aj )С^ AF (aj; х) как при х е [aj ,aj + 5j}, так и при

3 = 1

х е (аз + 5з , Ъз} ограничено снизу константой, не зависящей от системы интервалов. Лемма доказана.

Теорема 4. Если у измеримой функции / :[а,Ъ] ^ М на [а, Ъ} есть хотя бы одна С ¡к-мажоранта Ф и С^-миноранта ф, то / С^-интегрируема на [а,Ъ}.

Здесь вместо С^Р-интегрируемости можно говорить о СтР-интегрируемости с любым т е N,6 частности о С к Р-интегрируемости.

Доказательство. Пусть Я — множество точек, ни в какой окрестности которых / не С^Р-интег-Я / Я

Я

Пусть множество Я не пусто, пусть (а, в) — какой-нибудь смежный интервал множества Я) пусть F — первообразная / на (а, в), причем Р(^) = 0. Тогда разность Ф - F является неубывающей, а значит, существует предел Ф - ^ ^ точке в) причем он конечен, так как Ф(х) - F(х) ^ ф(у) - ф(х) + Ф(х) - F(у), как только а < у ^ х < в- Следовательно, существует Ск-предел ^ ^ точке в- Аналогично в точке а. И потому по теореме 1 получаем, что / С^Р-интегрируема на [а, в} - В частности, множество Я не содержит изолированных точек.

По лемме 9 и теореме Бэра найдем такую порцию Яо множества Я что ф и Ф имеют ограниченную вариацию на Яо и для любой системы непересекающихся интервалов {(ап,Ъп)} с концами на Яо справедливы оценки

V inf СккФ(ап; x) - Ф(ап)) > -K, V inf - CkkЩЪп; x)) > -K,

L—' an<x<bn L—' an<x<bn

пп

Y^ sup (Cfy(an; x) - ФЮ) <K и ^ sup (ф(Ъп) - Cfy(bn] x)) < K,

; x) - ф(а,п)) <K и Y sup {^(bn) - Cj:p(bn] x)

n ' a„<x<b„ n a„<x<b„

где К не зависит от системы интервалов. По теореме 3 из [1] получаем, что ф'а_р(х) ^ СкОф(х) ^ f(x) ^ Ск]УФ(х) ^ Для почти всех х G Qo, по функции ^иФ имеют ограниченную вариацию на Qo, и,

следовательно, ф'ар и Ф^, а вместе с ни ми и / суммируемы на Qo-

Пусть теперь {(cn,dn)}n есть смежные интервалы множества Qo и Fn(x) = f^ /(t) dt. Тогда при cn < x <dn имеем

откуда

rx rx

CkkF(cn]x)-F(cn) = ^rl = ^ / Vï{^{m-4cn))dt + 4>{cn)-

Jcn Jcn

J Cn

> (стщеп; x) - Щеп)) - - Ф){(1п) - (Щ - ф){0п)), V inf (cmF(еп; x) - F(еп)) > -K - [Щ(Ъ) - ф(Ъ)] > -ж.

L—' cn<x<dn\ J

Из этого и трех аналогичных соотношений уже легко получить, что

У] sup \ckkF (еп ; x) - F (еп) \ < ж, ^ sup \CjkpF (du ; x) - F (d^\ < ж,

cn<x<dn п cn<x<dn

и, следовательно, по теореме 2 функция / интегрируема на [inf Qo, sup Qo], что противоречит выбору Qo-Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00417) и программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-3682.2014.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дергачёв A.B. Обобщенные производные и интегралы типа Чезаро-Перрона. I // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 2. 14-25.

2. Соке С. Теория интеграла. М.: ИЛ, 1949.

3. Burkiii J. С. The Cesàro-Perron scale of integration // Proc. London Math. Soc. (2). 1935. 39, N 7. 541-552.

4. Sargent W.L.C. On the Cesàro derivates of a function // Proc. London Math. Soc. (2). 1935. 40, N 3, 4. 235-254.

5. Verblunsky S. On a descriptive definition of Cesàro-Perron integrals //J- London Math. Soc. 1971. 3. 326-333.

6. Скворцов В.А. Некоторые свойства CP-интеграла // Матем. сб. 1963. 5(47), № 3. 304-324.

7. Дергачёв A.B. Некоторые свойства чезаровских производных высших порядков // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 3. 3-10.

Поступила в редакцию 30.05.2012

УДК 519.6

К ЗАДАЧЕ О НАГРЕВЕ СТЕРЖНЯ Э. Ю. Ведерникова1, А. А. Корнев2

В работе рассматривается построение управляющих краевых условий для задачи нагрева одномерного стержня до заданной температуры. Представлены две модификации предложенного в работах A.B. Фурсикова метода, позволяющие учитывать ограничения

Ведерникова Эльвира Юрьевна — асп. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: elvira.vedernikovaQsocgen.com.

2 Корнев Андрей Алексеевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kornevQmech.math.msu.su.