Оценки смешанных норм функций, представимых рядами по произведениям косинусов и синусов с кратно-монотонными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Шеметков Л.А. О р-длипе произвольных конечных групп // Докл. АН БССР. 1969. XIII, № 5. 394-395.

4. Huppert В. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Walter de Gruyter, 1967.

5. Анищенко А.Г., Монахов B.C. Центральные пересечения и рдлина ^-разрешимых групп // Докл. АН БССР. 1977. XXI, № 11. 968-971.

6. Мазуров В.Д. О рдлине разрешимых групп //VI Всесоюз. симп. по теории групп. Киев, 1980. 50-60.

7. Журтов А.Х., Сыскин С.А. О группах Шмидта // Сиб. матем. журн. 1987. XXVIII, № 2. 74-78.

8. Шпырко O.A. О производной п-длине конечной п-разрешимой группы // Таврпч. вестн. Матем. и Информ. 2005. № 1. 49-54.

9. Монахов B.C., Шпырко O.A. О максимальных подгруппах в конечных п-разрешимых группах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Мехап. 2009. № 6. 3-8.

10. Кazarin L.S. Soluble product of groups // Infinite groups 94. Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter, 1995. 111-123.

Поступила в редакцию 15.09.2011 После доработки 11.03.2014

УДК 517.5

ОЦЕНКИ СМЕШАННЫХ НОРМ ФУНКЦИЙ, ПРЕДСТАВИМЫХ РЯДАМИ ПО ПРОИЗВЕДЕНИЯМ КОСИНУСОВ И СИНУСОВ С КРАТНО-МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Т. М. Вуколова1

В работе доказываются оценки снизу и сверху для смешанных норм функций — сумм рядов по произведениям косинусов и синусов.

Ключевые слова: смешанная норма, ряды по произведениям косинусов и синусов, монотонные коэффициенты.

In this paper we prove lower and upper bounds for norms of mixed functions being sums of series in products of cosine and sine functions.

Key words: mixed norm, series in cosine and sine products, monotone coefficients.

1. Введение. Будем рассматривать ряды вида

те те

У^ ат«2 cos niXi sin П2Х2, (1)

«2 = 1 «1=0

где cos 0 • Х\ = коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям:

аП1,п2 ^ 0 при n1 ^ж и любом n2, anin2 ^ 0 при n2 ^ж и любом n1. (2)

Для целых неотрицательных чисел ki и обозначим

k2 ki

Akk a«i ,п2 = ^ (— 1)j (—1)iCk1 a«i+i ,«2+j .

j=0 i=0

Теорема A [1]. Если последовательность {anin2} удовлетворяет условиям (2) и Ak1k2ani,п2 ^ 0 для любых целых неотрицательных n1, любых натуральных n2 и некоторых натура,льных к1 и к2, то ряд (1) сходится, по Прингсхейму всюду, кроме, может быть, множества плоской меры нуль, т.е. существует функция ^(x1 ,x2) — сумма, ряда, (1).

Вуколова Татьяна Михайловна — канд. физ.-мат. наук, доцент Ин-та русского языка и культуры МГУ, e-mail: tmvukolovaQmail .ru.

Будем писать, что сумма ряда (1) — функция ф(х1,х2) € ^,Р1Р2, где 0 <рг < ж, г = 1, 2, если

/ 2п / 2п

Р1Р2

Р2 р 1

\ Р2

|ф(хьх2)|Р1 йх\ I йх2

< ж.

/

Рассмотрим оценки нормы функции ф(х1,х2) в зависимости от порядка монотонности коэффициентов

л'П1,П2 ■

Теорема Б [2]. Пусть последовательность {ап1,п2} удовлетворяет, условиям (2) и Д21ап

1 ,П2

> 0

для любых целых неотрицательных п1 и любых натуральных п2. Тогда, если рг € (0; ж), г = 1, 2, то справедливы неравенства

те

С | £ пГ2

I П2 = 1

(П1 + 1)2Р1-2 (Д10а„1;„2)

_га1=0

Р1

Р2

<

Р1Р2

<

< С2

п

(П1 + 1)2Р1-2 (Д10а„1;„2)Р1

^Ч Р2 Р1 Х

П2 = 1 Ш1=0

где положительные постоянные С1 и С2 не зависят, от, последовательности {ап1,п2} .

Отметим, что эти неравенства и все нижеследующие понимаются таким образом: из конечности правой части неравенства следует конечность левой части.

Цель нашей работы — получить, где это возможно, аналоги теоремы Б для случаев, когда последовательность коэффициентов {ап1,п2} вместо условия Д21ап1,п2 ^ 0 удовлетворяет условиям Д^1 к2 ап1,п2 ^ 0 для любых заданных кг ^ 1.

Теорема 1. (а) Пусть последовательность {ап1,п2} удовлетворяет условиям (2) и Дк1 к2 ап1,п2 ^ 0 для любых целых неотрицательных п1, любых натуральных п2 и некоторых натуральных к^ и к2. Тогда, в каждом, из следующих случаев:

1) к1 = 1, к2 ^ 1, Р1 € (1; ж), Р2 € (0; ж);

2) к1 ^ 2, к2 ^ 1, Р1 € (0; ж), Р2 € (0; ж), справедливо неравенство

АР1Р2 (к1, к2) = 1 ^

п

к2 Р2 - 2 2

I п2 = 1

те

Е

п1=0

(щ + 1)к1Р1-2 (Дк1-1 к2-1апъп2)

Р1

1

Р2

< Сз

Р1 Р2

(3)

где постоянная С3 не зависит от последовательности {ап1 ,п2} .

(б) В случае

3) к1 = 1, к2 ^ 1, Р1 € (0; 1], Р2 € (0; ж) не существует такой единой постоянной С3, зависящей только от, к1, к2, р1 и р2, что для, любой последовательности {ап1 ,п2} , которая удовлетворяет условиям (2) и для которой Дк1 к2ап1 ,п2 ^ 0 при указанных выше кг и рг, и для соответствующей функции ф (х1 ,х2) было бы справедливо неравенство (3).

Теорема 2. (а) Пусть последовательность {ап1,п2} удовлетворяет условиям (2) и Дк1 к2 ап1,п2 ^ 0 для любых целых неотрицательных п1, любых натуральных п2 и некоторых натуральных к^ и к2. Тогда, в каждом, из следующих случаев:

1) к1 = 1, к2 = 1, Р1 € (0; ж), Р2 € (0; ж);

2) к1 = 1, к2 ^ 2, Р1 € (0; ж), Р2 € (1; ж);

3) к1 = 2, к2 = 1, Р1 € (0; ж), Р2 € (0; ж);

4) к1 = 2, к2 ^ 2, Р1 € (0; ж), Р2 € (1; ж);

5) кг ^ 3, к2 = 1, рг е ж), р2 е (0; ж);

6) кг ^ 3, к2 ^ 2, рг € ж), р2 е (1; ж), справедливо неравенство

Р1 Р2

<

С4 |Е

п

к2Р2-2 2

I п2 = 1

(п1 + 1)к1 Р1-2 (Дк1-1 к2-1ап1,п2)

п1 =0

Р1

Р2

Р1 Х г

(4)

где постоянная С4 не зависит, от, последовательности {ап1,п2} .

(б) В каждом из следующих случаев:

7) к1 = 1, к2 ^ 2, р1 € (0; ж),р2 € (0; 1]

8) к1 =2, к2 ^ 2, р1 € (0; ж), Р2 € (0; 1]

9) к\ ^ 3, к2 = 1, 2?! е (0; Ра е (0;оо)

10) к\ ^ 3, Л2^2,р1е(0;|],р2е(0;1],

не существует такой единой постоянной С4, зависящей только от, р1, р2, к1 м к2, что для любой последовательности {ап1 ,п2} , которая удовлетворяет условиям (2) и для которой Дк1 к2ап1 ,п2 ^ 0 при указанных выше кг и рг, и для соответствующей функции ф(х1 ,х2) было бы справедливо неравенство (4).

Отметим, что аналоги теорем 1 и 2 в одномерном случае для рядов по синусам содержатся в работе [3], а для рядов по косинусам — в работе [4].

Отметим также, что в формулировке пп. (а) и (б) теорем 1 и 2 рассмотрены все возможные случаи.

2. Вспомогательные утверждения. Для доказательства теорем 1, 2 приведем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Пусть последовательность {Ьп} такова, что Ьп — 0 щи п — ж и ДкЬп ^ 0 для любого целого неотрицательного п и некоторого натурального к, тогда для каждого I = 0,1,...,к — 1 и любого

п

а) АгЪп > Дг&п+ъ б) Афп > 0, в) Аг+162(га+1) < ^±1, г) А 1+1Ъп < АгЪп,

пп

д) £ (т + 1) Д^т ^ Е Ьт, где ДоЬп = Ьп, Д1Ьп = Ьп — Ьп+1, Дк Ьп = Д1(Дк-1Ьп), к ^ 2.

т=0 т=0

Доказательство леммы 1 опускается ввиду его простоты.

Лемма 2 [5]. Пусть последовательность {Ьп} такова, что Ьп — 0 щи п — ж и Д1Ьп ^ 0 для любого целого неотрицательного п; пусть числа, а ир таковы, что а < —1, р € (0; ж). Тогда, справедливо неравенство

те ( п \ Р те

Е(п + 1Г Е ьЛ < СБ£ (п + 1)а+РЬп,

п=0

\v=0

п=0

где постоянная С5 зависит, лишь от р и а.

Лемма 3. Пусть последовательность {Ьп} такова, что Ьп — 0 щи п — целого неотрицательного п; пусть числа, а и р таковы, что а > —1, р € неравенство

Е(п+1ПЁьА <с6£(п+1)а+Рьп,

п=0

п=0

ж и Д1Ьп ^ 0 для любого (0; ж).

где постоянная С в зависит лиш ь от р и а.

Доказательство леммы 3 аналогично доказательству леммы 2 и поэтому опускается. Лемма 4 [6]. Пусть последовательность {ап1 ,п2} удовлетворяет условиям (2) и Д0 1ап1 ,п2 ^ 0 для любых целых неотрицательных п1 и любых натуральных п2; пусть числа, а, р1 м р2 таковы, что а > —1, р1 € (0; ж), р2 € (0; ж). Тогда, справедливо неравенство

Е

п2 = 1

п

те

Е

те Е

Р1

Мп1 , V2

п1 =0 \V2 =п2

< С7

те

Е

п2 = 1

п

а+Р2 2

те

Е(]Р1

п1 п2

п1=0

Р 2 Р1

где постоянная С7 зависит, лишь от, а, р1 м р2.

Лемма 5. Пусть последовательность {ап1 ,п21 уииим^иьииу^и,, иш» ^ и, Д01ап1 ,п2

любых целых неотрицательных п1 и любых натурал ьных п2; пусть числа, а, р1 и р2 таковы, ч то а < —1, р1 € (0; ж), р2 € (0; ж). Тогда, справедливо неравенство

} удовлетворяет условиям (2) и Д01ап1 ,п2 ^ 0 для

те

^ па

п2 =1

п2

Р1

ЕЕ'

_п1=0 ^2 = 1

т1, V2

Р1 те

< с8£

п

а+Р2 2

п2 = 1

Е<

п1=0

Р1

п1 п2

Р2_

Р1

где постоянная С8 зависит лишь от а, р1 и р2.

Доказательство леммы 5 аналогично доказательству леммы 4 и поэтому опускается. 3. Доказательство теоремы 1. Сначала докажем утверждение (а). 1. Пусть к1 = 1, к2 = 1, р1 € (1; ж), р2 € (0; ж), и пусть ф(х1,х2) € ЬР1Р2.

Р

v=n

2п

Рассмотрим функцию tpi(x2) = ^ / tp(x\,x2)dx\. Тогда

о

i

2тг \ ^ / 2тг 2тг

J\tpi(x2)\P2 dx2 J =МУ J <p(xi,x2)dx

ч0 / \о о

Р2

dx2

Применяя к внутреннему интегралу неравенство Гельдера с показателем pi, получим

/ 2п г 2п

'1 Wp2 < С9

о

|^(Ж1 ,Ж2 )|pi dx

о

dx2

= C9

/

P1P2

Так как (x2) = a0,п2 sinn2x2, то, пользуясь теоремой из работы [5], для p > 1 имеем «2 = 1

Ii = Е ПРГ2<П2 < C10 \Ы «2 = 1

\Р2 \P2

Применяя оценку для \\^1 Wp2 , получим I1 ^ Сц

Р2 Р1 Р2

Рассмотрим теперь функцию ^2(x1,x2) = p(x1 ,x2) — ^1(ж2). Тогда

\\f2\\pi Р2 < \M\pi Р2 + Wfúpi Р2 = \M\pi Р2 + С12 \\^1\\р2 < С13 11^ llpi Р2

те те

^2(Ж1,Ж2) = Е a«i «2 cos П1Ж1 sin П2Ж2.

«2 = 1 ni = 1

Применяя результаты работы [2] для k1 = 1, k2 = 1, Р1 G (0; то), Р2 G (0; то), получим, что существует функция (x1,x2) G ¿pip2, такая, что

те те

^3 (Ж1,Ж2)= Е Eo«i «2 Sin П1Ж1 Sin П2Ж2.

«2 = 1 «i = 1

Рассматривая функции ^>2(Ж1,Ж2) и ^3(Ж1,Ж2) как функции одного переменного Ж1, заключаем, что по теореме М. Рисса [7, с. 566] ^3(Ж1,Ж2) есть функция, сопряженная функции ^2(Ж1,Ж2), и для почти всех ж2 ж p1 G (1; то) справедливо неравенство

2п

1 р 1

2п

J |^3(X1,X2)|pi dx1 I ^ Api ¡J |^2(Ж1 ,X2)lpi dX1

1 p 1

Но тогда для p1 g (1; то) и P2 G (0; то) имеет место неравенство / 2п г 2п

Vе

(^3(Ж1 ,Ж2))pi dx

£ \ « /2.

dx2

£ A

pi

/

Vе

2п

(^2(Ж1,Ж2))pi dx

Lo

dx2

/

где постоянная зависит только от р\.

Из вышеизложенного следует, что ||^>3\\П1 пп ^ С14 ||^>2\\п-, пп < то для р е (1; то), р2 € (0; то). В рабо-

р 1 р 2 р 1 р 2

те [2] доказано, что для р1 е (0; то), р2 е (0; то), к1 = 1, к2 = 1

I2 = Е

n

Р2-2

«2 =1

npi-2api

n1 a«i, «2

«i =1

Р 2 PI

< С15 ^3 Wppl Р2

Значит, I2 ^ С16 \Ы\Р1 Р2 дая P1 G (1; то), Р2 G (0; то).

i

1

1

1

2

Теперь рассмотрим АР1Р2(1,1). Ясно, что

АР2 Р2 (11) < С17 ( Е

п

Р2-2

\П2 = 1

пР1

.П1 = 1

пР1-2пР1

Р 2 Р1

+ Е пР2-2П02„2 I = С17(12 + 11).

П2 = 1

Применяя полученные выше оценки для Д и 12, получаем

Ар^2(1,1) < С18 М\р,Р2 ,

и утверждение (а) теоремы 1 доказано для к1 = 1, к2 = 1, р1 е (1; то), р2 е (0; то). 2. Пусть к1 = 1, к2 ^ 2, р1 е (1; то), р2 е (0; то). Рассмотрим

(5)

I = Ар (1,к2 )= Е

п

к2Р2-2 2

П2 = 1

£ (П1 + 1)Р 1-2 (До к2-1ПП1,П2 )

,п1=0

1

Р2 Р1

Ясно, что

I < Ё (2^2)

к2 2-2

V2 = 1

Е (П1 + 1)Р 1-2 (До к2-Шп1^2 )Р 1

п1 =0

Р2_ р 1

+

+ ^ (2^2 + 1) ^ = 1

к2Р2-2

Е (П1 + 1)Р1 2 (Доk2-lnnl,2v2+l)

п1 =0

Р1

Р1

+

Е (П1 + 1)Р1-2 (До к2-1 Пп1, 1)

п1 =0

Р1

Р2

Р1

В силу леммы 1, г имеем

I < С19 Ё

к2Р2-2 2

V2 = 1

Е (П1 + 1)Р1 2 (До к2-1Пщ, 2V2)

п1 =0

Р1

+

Е (П1 + 1)Р1-2 (До к2-1 Пп1, 1)

п1 =0

Р1

£2. Р1

На основании леммы 1, в, г заключаем, что

I < С2оЕ

(к2-1)р2-2 2

V2 = 1

Е (П1 + 1)Р1 2 (До к2-2Пщ^2 )

п1 =0

Р1

£2. Р1

Используя этот прием еще к2 — 2 раза, получаем

I < С21 Е

Р2-2

V2 = 1

Е (п1 +1)

п1 =0

,Р1-2 пР1

и'П1,П2

Р2 Р1

= С21 Ар1р2 (1,1).

Применяя теперь неравенство (5), получим, что I ^ С22 \М\р1Р2 , и утверждение (а) теоремы 1 дока-

зано для к1 = 1, к2 ^ 2, р1 е (1; то), р2 е (0; то).

3. Пусть к1 = 2, к2 = 1, р1 е (0; то), р2 е (0; то). Тогда справедливость утверждения (а) теоремы 1 следует из теоремы Б.

4. Пусть к1 ^ 2, к2 ^ 1, р1 е (0; то), р2 е (0; то). Рассмотрим

П = Е (П1 + 1)к1Р1 -2 (Дк1-1 к2-1Пт,П2 )

п1 =0

Р1

Если к1 ^ 3, к2 ^ 1, р1 е (0; то), р2 е (0; то), то, применяя лемму 1, г, получаем

Б =Е (2^1 )кР1-2 (Дк1-1 к2-^1,П2 )Р1 +

V1 = 1

2

2

+ £ (2^1 + 1)к1Р1 2 (Дк1-1 к2-1^1 + 1,п2)Р1 + (Дк1-1 к2-1а0,п2 )Р1 ^ v1=0

те

< С23 £ и!1Р1- (Дк 1-1 к2-1a2vl,n2 )Р1 + (Дк 1-1 к2-1а1,п2 )Р1 + (Дк1-1 к2-1а0,п2)

Vl = 1

В силу леммы 1, в, г имеем Б ^ С24 ^ + 1)(к1-1)Р1-2 (Дк1-2к2-1а^п2)Р1.

Vl=0

к1 — 3

те

Б < С2^ V + 1)2Р1-2 (Д1 к2-^1 ,п2)Р1.

Vl=0

Следовательно, для к1 ^ 2, к2 ^ 1, р1 € (0; ж), р2 € (0; ж) имеем

V 2

/ = Ар1Р2{кък2) < С26 £ пк2Р2"2 ( £ + 1)2Р1"2 (Д^-К^Г

п2 = 1 =0

Если к2 ^ 2, то

22_

I < С26 ( £ ( £ (г/1 + 1)2р1"2 (Д^^а^Г ) Р1 +

^2 = 1 \vl =0 )

оо / оо

Р2 Р1

+ £ (2^2 + 1)к2Р2-2 РТ V + 1)2Р1 -2(Д1 к2-1а^2+1 )Р1 +

V2 = 1 \vl=0 )

22'

\vl =0

В силу леммы 1, г имеем

/ / \ £2.

/ оо / оо \ Р1

I < С27 | £ 42Р2-2[^ V + 1)2Р1 -2 (Д1 k2-lavl)2v2 Г +

^2 = 1 ^1=0

£2Л

, . Р1

+ Е(^1 + 1)2Р1-2 (Д1 к2-а1,1)Р1

\V1 =0

Используя лемму 1, в, г, получаем

/ \ —

оо / ОО \ Р1

I < С28 Е ^2к2-1)Р2-^ V + 1)2Р1 -2 (Д1 к2-2^1^2 Г .

V2 = 1 \vl=0 /

Если к2 ^ 3, то применим этот прием еще к2 — 2 раза. В итоге для к2 ^ 2 имеем

ч £2.

оо / оо

I < С2^ V2 ( £ V + 1)2Р1-2 (Дlоavl)v2)Р1 ' Р1

V2 = 1 ^1=0

Если к2 = 1, то эта оценка установлена выше. Применяя теорему Б, получим справедливость утверждения (а) теоремы 1 для к1 ^ 2, к2 ^ 1, р1 € (0; ж), р2 € (0; ж). Теперь утверждение (а) теоремы 1 доказано полностью.

Докажем утверждение (б) теоремы 1. Для данного целого неотрицательного числа Ш1 рассмотрим

ряд вида (1), где ап1 «2 — bn1 cn2 ,

, f (m1 + 1 — n1) при 0 ^ n1 ^ m1, i ^

On, = < „ , 1 . Cn9 = — при 1 ^ П2 < oo.

ni [ 0 при m1 + 1 ^ n1 < ж, 2 «2

Справедливы следующие утверждения: bni ^ 0 при щ ^ ж, A1bni ^ 0 для всех т, cn2 ^ 0 при n2 ^ ж, Ak2 cn2 ^ 0 для всех n2 и любом к2 ^ 1,

Cao ^ £ nk2P2-2 (Ак2-1еП2)p2 < Caí, «2 = 1

(n +1)P1-2 Р > C /(m1 + 1)P1 ln(m1 +2) даЯ P1 = 1' ^(n1 + 1) ^ Ca2 \ (m1 + 1)P1 дЛЯ 0 < P1 < 1.

те

Для суммы ряда ^ bn1 cos П1Ж1 — функции /1(ж1) — справедливы оценки (см. [5, с. 31]) «1=0

2J ( (mi + l)2pi_1 для \ < pi ^ 1,

ll/i||^= /1/1ЫГ^1^Сзз^1п(т1 + 2) для Pl = o [l для 0 < pi <

те

Для суммы ряда ^ c«2 sin п2ж2 — функции (ж2) — и для p2 £ (0; то), k2 ^ 1 справедливы оценки «2=0

(см. [5, с. 25])

C34 < ЫР2 < C35,

i

/2тг ^ уз

где Ыр2 = Ц |g2(x2)|p2 dx2

Рассмотрим функцию ф (x1 ,ж2 ) = /1 (x1) g2 (x2) .Тогда для k1 = 1, k2 ^ 1, p2 G (0; то) имеем npip2 ^ С36 (Ш1 + 1), Apip2 (1, k2) ^ С37 (Ш1 + 1) ln (Ш1 + 2) для Р1 = 1,

Р1Р2 < С36 (Ш1 + _1) ) АР1Р2 (1, к2) ^ С37 (ш 1 + 1) для £ < р! < 1,

Р1Р2 ^ Сзб(1п (Ш1 + I))2, АР1Р2 (1, к2) ^ С37 (Ш1 + 1) для = пР1Р2 ^ Сзе, ^4Р1Р2 (1, к2) ^ С37 (Ш1 + 1) для 0 < рх < Из справедливости последних неравенств следует, что при к1 = 1, к2 ^ 1, р2 е (0; то), р1 е (0; 1] для рассматриваемой последовательности {пП1П2} и соответствующей ей функции ф (Ж1,Ж2) отношение

А^Р(1к2) зависит от т1 и стремится к бесконечности при т\ —>■ то. Следовательно, утверждение (б) теоремы 1 справедливо.

Теорема 1 доказана полностью.

4. Доказательство теоремы 2. Сначала докажем утверждение (а).

1. Пусть к1 = 1, к2 = 1, т.е. пусть последовательность {пП1П2} удовлетворяет условиям (2) и неравенству ДцпП1,П2 ^ 0. Тогда, применяя теорему А, получим, что ряд (1) сходится к своей сумме — функции ф (Ж1,Ж2) — почти всюду. Функцию ф (Ж1,ж2) почти всюду можно представить в виде

те те

ф (x1, Ж2) ^ ЕД1

1a«i,«2 «2 (x2),

«2=1«i=0

где Во(х\) = ВП1(х\) = \ +со8Ж1 +... + cosn^i для п\ ^ 1, ВП2(х2) = втж2 + ... + sinп2х2 для п2 ^ 1. Тогда для p1 G (0; то) и p2 G (0; то) имеем

п Г п

I ^ (x1,x2)|pi dx1 dx2 =

J = \\ф\\Р1 Р2 = С38

где

7Г 1-2

С38 Е ^2 = 1

1-2 + 1

7Г

1-1 + 1

Е

1^1=0

оо оо

1-1+2

Д 1 1 ап1,п2 п2 (х2)

п2 =1 п1 =0

< С39 (71 + J2 + 73 + ^4) ,

Р1

(1хл

22. р 1

(х2 ^

7Г / 7Г

/ + 1

71 = Е

^2 = 1

1

1-2 + 1 \ 1-1+2 /

, Р2

Р1 \ й

£ £ Дцагаьга2 |БП1(ж1)| |БП2(ж2)|

п2 =1 п1 =0

(х1

(х2,

/

= Е

У2 = 1

7Г

1-1+1

1

1-2 + 1 \ 1-1+2

7Г / 7Г

1-2 „ 1-1 + 1

, Р2

Р1 \ й

73 = Е

1*2 = 1

Е

74 =Е 1*2 = 1

1-2 + 1 \ 1-1+2

7Г / 7Г

«о „,+1

те ^

1

V 1=0 X + 1 \ 1-1 + 2

те Vl

Е Е аиа™ъ™2 1^1 (жх)| |БП2(ж2)|

.n2=V2 + 1 п1 =0

V2 те

Д1 1ап1,п2 \ВпЛх1)\ IВ п2 (х2) I

_п2 = 1 п1 =V1 + 1

(х1

(х2,

Р1 \ п

(х1

(х2,

- р2 Р1 \ ?г

тете

Д1 1ап1,п2 ^щЫ! | В п2 (х2) I

.n2=V2 + 1 nl = V1 + 1

(х1

(х2.

/

Оценим 71, 72, 73 и 74, пользуясь при оценке конечных сумм не равенствами |5п1 (х1 )| ^ С40 (п1 + 1),

\ВП2(х2)\ ^ С40П2, а при оценке бесконечных сумм — неравенствами |БП1(ж1)| ^ \ВП2{х2)\ ^ где постоянная С40 не зависит ни от щ, ни от п2, ни от х1 € (0;п), ни от х2 € (0;п). Начнем с оценки 71 :

71 < С41 Ё

2

V2 = 1

V2 Vl

Р1

Е V + 1) 2 Е Е Д1 1(п1,П2 (п1 + 1) п2

=0 \п2 = 1 п1 =0 /

В силу леммы 1, д имеем

71 < С41 Ё

2

V2 = 1

V2 Vl

Р1

Е<"1 + 1)-2 ЕЕ

</П1,П2

Л=0

п2 =1 п1 =0

Применяя последовательно леммы 2 и 5, получим

71 < С42 Е

-2

V2

Р1

Е^ + 1)Р1-2 Е

^Vl,n2

V2 = 1 Ь"1=0

72 :

^п2 = 1

Р1

<

С43

Р2-2

V2 = 1

Е V +1) ^1=0

р1-2 аР1

22. р 1

72 ^ С44 Е

Р2-2

V2 = 1

Согласно лемме 1, д имеем

те V!

Р1

Е>1 + 1) 2 Е Е Д1 1(п1,П2 (п1 + 1)

=0 \n2=V2 + 1 п1=0 /

72 ^ С45 Е

Р2 -2

V2 = 1

те / Vl \РГ

Е V +1)-2 Е

ап1^2 I

=0 \щ=0 /

Р2 Р1

2

2

2

Применяя лемму 2, заключаем, что

72 ^ С46 Е

Р2-2

V2 = 1

Е V +1) ^1=0

Р1-2 аР1

22. р 1

Оценки 73 и 74 проводятся аналогично оценкам для 71 и 72. Итак, получим

7 < С47 Е

Р2-2

V2 = 1

Е V +1)

М1 =0

Р1 - 2 аР1

Р 2 Р1

и утверждение (а) теоремы 2 для к1 = 1, к2 = 1, р1 € (0; ж), р2 € (0; ж) доказано.

2. Пусть к1 = 1, к2 ^ 1. Тогда, как доказано только что, 7 ^ С47^2 Р2 (1,1) для р1 € (0; ж) и

те

р2 € (0; ж) .Поскольку ап1,п2 = 52 Д01 ап^, то

V2 =п2

7 < С47 Е

п

Р2-2

п2 = 1

тете

Р1

Е Е Д01ап1 (п1 + 1)Р1 -2

^1=0 \^2=п2 /

22. р 1

Применяя лемму 4, получим, что для р2 > 1 и р1 € (0; ж)

7 < С48 Е

п

2Р2-2 2

п2 =1

Е (Д01 ап1,п2 )Р1 (п1 + 1)Р1 -2

п1=0

Р2 Р1

к2 — 2 р2 > 1 р1 € (0; ж)

7 < С49 Е пк2Р2-^ (п1 + 1)Р1 -2 (Д0к2-1ап1,п2)Р1

22. р 1

п2 = 1

<ЧЩ=0

и утверждение (а) теоремы 2 для к1 = 1, к2 ^ 2, р1 € (0; ж), р2 € (1; ж) доказано.

3. Пусть к1 = 2, к2 = 1, р1 € (0; ж), р2 € (0; ж). Тогда утверждение (а) теоремы 2 следует из теоремы Б.

4. Пусть к1 = 2, к2 ^ 2. Тогда, применяя теорему Б, имеем 7 ^ С2Р2 АР1Р2 (2; 1) для р1 € (0; ж) и р2 € (0; ж) .

те

Так как Дюат,п2 = 52 Дцап1^2, то

V2=n2

7 < СР2Е

п

Р2-2

п2 =1

оо / оо

Р1

Е Е Диап

_п1=0 \v2 =п2

1^2

(щ + 1)2Р1 -2

Р2 Р1

Применяя лемму 4, для р2 > 1 и р1 € (0; ж) будем иметь

7 < С50 Е

п

2Р2-2 2

п2 =1

Е (п1 + 1)2Р1-2 (Диащп)

п1=0

Р1

22.

Р1

к2 — 2 р2 > 1 р1 € (0; ж)

7 < С51 Е

п

к2Р2-2 2

п2 = 1

Е (п1 + 1)2Р1 -2 (Д1 к2-1ап1,п2)

п1=0

Р1

Р2 Р1

и утверждение (а) теоремы 2 для к1 = 2, к2 ^ 2, р1 € (0; ж), р2 € (1; ж) доказано.

2

2

2

2

5. Пусть к1 ^ 3, к2 = 1. Тогда, применяя теорему Б, имеем 3 ^ С2Ар[ Р2 (2; 1) для р1 е (0; то)

те

р2 е (0; то). Так как ДюПпщ = 52 Д2о^ъп2, т0

Vl=nl

3 < СР2^

п

Р2-2

п2 = 1

Е (П1 + 1)2Р1-2 (Д1оПпът )Р1

п1=о

С2Р2

п

Р2-2

п2 = 1

Р 2 Р1

Р1

Е(П1 + 1)2Р1-^^ Д20пv:

1 ,п2

п1=о

^1=п1

22.

Применяя к внутренней сумме лемму 3, получим, что для р\ > 4 и р2 £ (0; оо)

3 < С52 Е

п

Р2-2

п2 = 1

Е (П1 + 1)3Р1-2 (Д2оПщ ,п2 )

п1=о

Р1

Р 2 Р1

Повторяя этот прием еще к\ — 3 раза, заключаем, что для р\ > ^ и р2 е (0; оо)

3 < С53 Е

п

Р2-2

п2 = 1

Е (П1 + 1)к1Р1-2 (Дк1-1оПп1,п2)

п1=о

Р1

£2. Р1

и утверждение (а) теоремы 2 доказано для к\ ^ 3, к2 = 1, е оо) , р2 € (0; оо). 3, к2 ^ 2. Применяя только что доказанное не]

р2 е (0; то) ,

6. Пусть к\ ^ 3, к2 ^ 2. Применяя только что доказанное неравенство для к\ ^ 3, к2 = 1, € оо)

3 < С53 Е

п

Р2-2

п2 = 1

Е (п1 +1)

.п1=о

к1 Р1 - 2

Е Дк1 — 11пп

Р1

1^2

В силу леммы 4 для р\ > ^ и р2 > 1

3 < С54 Е

п

2Р2-2 2

п2 = 1

Е (П1 + 1)к1 Р1-2 (Дк1-11Пп1,п2)

п1 =о

Р1

Р2 Р1

Повторяя этот прием еще к2 — 2 раза, заключаем, что для р\ > | и р2 > 1

3 < С55 Е

п

к2 Р2 - 2 2

п2 =1

Е (П1 + 1)к1Р1 2 (Дк1-1 к2-1Пп1 ,п2 ) п1=о

Р1

Р2 Р1

и утверждение (а) теоремы 2 доказано для ^ 3, к2 ^ 2, е оо) , р2 € (1; оо). Утверждение (а) теоремы 2 доказано полностью.

Теперь докажем утверждение (б) теоремы 2. Для данных целых неотрицательных чисел тг, г = 1, 2, рассмотрим ряды вида (1), где пп1 ,п2 = dnl Сп2 , или Пп1 ,п2 = Сп1 Лп2 , МИ пп1,п2 = &п1 Лп2. Здесь _ / (тг + 1 — при 0 ^ Щ ^ Ш»,

\ 0 при тг + 1 ^ п < то, Справедливы следующие утверждения: сп- — 0 при п — то, Дк-Сп- ^ 0 для всех п и любого кг ^ 1, — 0 при п — то, Дк-йщ ^ 0 для всех пг,

Сп-

п о ^ Пг < оо, г = 1,2.

-+1

Рг

С56 < Е П + 1)Р-—2 С- < С57,

\п-=о

(Шг + 1))^ 1 для г" < Рг ^ 1,

Е (Пг + 1)к-Р-—2 (Дк- — 1&п-Г < С58 < 1П (тг + 2) ДОЯ рг

"¿=0 I 1 для 0 < Рг < Г".

2

2

2

к

те

Для суммы ряда 52 dni cosU\X\ — функции ф\(х\) — ири к\ ^ 3 справедливы оценки (см. [5, с. 25])

«4=0

271 ( ч

llalli- = Í \ФгЫ)Г dx1 > С59 + + 2)п ДЛЯ Рг = h

1 J [ (mi + l)Pl(- 1 для 0 <Pi<\.

те

Для суммы ряда 52 dn, sinU2X2 — функции ф2(х2) — при к2 ^ 2 справедливы оценки (см. [3, с. 63])

«2 = 1

2п ( к -1

412 =í \ф2 (X2)\P2 dX2 > C6o\ m + l)^^ + 2) 0 ^ P1 = P2J (m2 + l)(k2 l)P2 для 0 <p2 < 1.

0

те

Для суммы ряда 52 cni cos U1X1 — функции (xi) — и для суммы ряд а 52 « sin U2X2 — функции

ni =0 «2 = 1

ф4(х2) — при pi G (0, го) и p2 G (0, ж) справедливы оценки (см. [5, с. 25])

Cei < WHL < C62, c6i < 11^4Wp, < C62,

i

/2тг \ pi

гДе IP = у! \^i(xi)\Pi dxi

Рассмотрим для k1 ^ 3 и k2 = 1 функцию p (x1,x2) = ф1(xi) • ф4(х2). Тогда для p2 G (0, ж) имеем \\Р1Р2 > С63 (mi + l)fcl"2 (ln (mi + 2))2 , АР1Р2 (к\, к2) < С64 (mi + l)fcl"2 для Pl =

пР1Р2 > С63 (mi + l)fc1"2 , АР1Р2 (кък2) < С64 (гщ + i)^1"2)"^"2) ДЛя £ < Pl < пР1Р2 > Сба (mi + l)fcl"2 , АР1Р2 (кък2) < С64 (ln(mi + 2))fcl для = iipip2 ^ С63 (rrii + l)fcl"2 , АР1Р2 (fcb к2) < С64 для 0 < Pl < Из справедливости последних неравенств следует, что при ^ 3, к2 = 1, pi G (О; , £>2 G (0, 00) для рассматриваемой последовательности {ani,n2} и соответствующей ей функции p (xi,x2) отношение Il ^^ pi f

■д-(fci fc2) зависит от mi и стремится к бесконечности при mi —>■ 00.

Следовательно, утверждение (б) теоремы 2 для рассматриваемого случая справедливо. Для k1 = 1, k2 ^ 2, p1 G (0, ж), p2 G (0; 1] и для k1 = 2, k2 ^ 2, p1 G (0, <x>), p2 G (0; 1] рассмотрим функцию p (x1,x2) = фз(х1 ) • Ф2(x2). Рассуждая аналогично вышеизложенному, получим, что утверждение (б) теоремы 2 выполняется и в этом случае.

Для к\ ^ 3, к2 ^ 2, pi G (О; , р2 G (0; 1] рассмотрим функцию (р(х\,х2) = ф\(х\) ■ ф2(х2). Аналогичные рассуждения приводят к тому, что утверждение (б) теоремы 2 справедливо и в этом случае. Теорема 2 доказана полностью.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 13-01-00043.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hardy G.H. On double Fouries series and especially those which represent the double zeta functions with real and incommensurable parameters // Quart. J. Math. 1906. 37, N 1. 53-79.

2. Вуколова T.M., Дьяченко М.И. Оценки смешанных норм сумм двойных тригонометрических рядов с кратно-монотонными коэффициентами // Изв. вузов. Математика. 1997. № 7. 3-13.

3. Вуколова Т.М. О свойствах функций, представимых тригонометрическими рядами по синусам с кратно-монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 6. 61-63.

4. Вуколова Т.М. О свойствах сумм рядов по косинусам с кратно-монотонными коэффициентами // Мат-лы Между нар. конф. "Теория функций и вычислительные методы", поев. 60-летию со дня рождения профессора Н. Те-миргалиева. Астана, 5-9 июня 2007 г.: тез. докл. Астана, 2007. 73-74.

5. Вуколова Т.М., Дьяченко М.И. О свойствах сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 3. 22-32.

6. Вуколова Т.М. О свойствах функций, представимых двойными рядами по синусам с кратно-монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 6. 3-9.

7. Вари И.К. Тригонометрические ряды. М.: Наука, 1961.

Поступила в редакцию 21.05.2012