CC BY
31
www.volsu.ru
001: https://doi.Org/10.15688/jvolsu1.2016.6.7
УДК 514.752.44:514.772:517.548 ББК 22.15
ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ НА СКЛЕЙКАХ
Александр Николаевич Кондрашов
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерных наук
и экспериментальной математики,
Волгоградский государственный университет
ankondr@mail.ru, alexander.kondrashov@volsu.ru, kiem@volsu.ru
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Аннотация. В статье мы исследуем вопрос о существовании и единственности изотермических координат на склеенной поверхности в Мт. Такие поверхности являются специальным случаем нерегулярных поверхностей. В работе мы установили для такого рода поверхностей аналог известной теоремы В.М. Миклюкова (2004).
Ключевые слова: изотермические координаты, склейки, склеивающие функции, квазисимметрическая функция, Ж^р-мажорируемая функция, квазипрямая.
1. Теорема В.М. Миклюкова об изотермических координатах на негладкой поверхности
Вопрос о существовании изотермических координат на гладких поверхностях хорошо изучен, а возможность их введения оказывается чрезвычайно полезной во многих случаях. В то же время вопрос о введении изотермических координат на негладких поверхностях оказывается весьма тонким. В основном конформные отображения негладких поверхностей изучались лишь в специальных случаях [5-7; 13; 16; 17]. Один из наиболее общих результатов в этом направлении был получен в работе В.М. Миклюкова [12], ю которая будет для нас отправной точкой. Следуя этой работе, введем терминологию и 01обозначения.
см
, Пусть И С М2 — область и X — двумерная поверхность в Мт, (т > 3), заданная
^ посредством непрерывной вектор-функции
т
1 У = / (х) = (Ь(Х1,Х2),..., /т(х!,х2)) : Б ^ Мт (1)
а ч к
^ реализующей гомеоморфное отображение области И на множество $ (И) с метрикой (и @ тем самым топологией!), индуцированной из Мт.
Далее всегда предполагаем, что отображение f имеет полный дифференциал df п.в. в D, причем п.в. в D выполнено
rank (df) = 2. (2)
Символами fxi (х), fX2 (х) будем обозначать частные производные вектор-функции f:
fxi (Х) = (flxi (X),...,fmxi (X)), fx2 (flx2 , . . . , fmx2 (ж)).
Пользуясь стандартными обозначениями Е = \fxi |2, F = (fxi, fX2), G = \fX212, определяем в D метрику (первую квадратичную форму)
ds2 = Edx2 + 2Fdxldx2 + Gdx\ (3)
с измеримыми коэффициентами E,F,G.
Определение 1. Пусть X — поверхность, заданная над областью D С R2 посредством вектор-функции (1), подчиненной условию (2). Переменные х1,х2 называются изотермическими координатами на поверхности X, если
Е (х) = G(x), F (х) = 0 (4)
п.в. в D.
В случае когда х1,х2 — изотермические координаты на поверхности X, мы имеем
ds2 = X2(x)(dx21 + dx2), где \2(х) = Е(х) = G(x).
Первое из условий (4) означает, что растяжения f вдоль линий = const (i = 1, 2) совпадают в точках, где df существует. Второе условие влечет взаимную ортогональность образов этих линий в соответствующих точках у = f (х). Так что в каждой точке х G D, где существует полный дифференциал df и одновременно выполняются соотношения (2) и (4), отображение f : D ^ X конформно (сохраняет углы между кривыми).
Нам потребуется также понятие W 1'2-мажорируемой функции. Определение 2. Пусть D С R2 — область. Будем говорить, что функция Р : D ^ R является W1'2-мажорируемой в D, если найдется функция К G Wl'2(D) такая, что
Р(х) < К(х) для п.в. х G D. (5)
Простейшие примеры W 1'2-мажорируемых функций доставляют ограниченные функции. Пусть Р : D ^ R — произвольная ограниченная функция, определенная в области D конечной площади. Здесь мы можем положить К = ess sup xeD Р(х). Ясно, что К G Wl'2(D) и соотношение (5) выполнено п.в. в D.
Определение 3. Пусть D С R2 — область. В случае когда функция Р : D ^ R является
Wl'2-мажорируемой во всякой подобласти D' < D, будем говорить, что функция Р
l'2
является W-lo'c -мажорируемой в D.
Wl'2-мажорируемость (см. [12, замечание § 6]) означает, что равенство
lim Р(Q =
может выполняться на очень редком множестве. Можно утверждать, например, что при любом а > 0 его а-емкость равна нулю. Из этого, в свою очередь, вытекает, что линейная мера такого множества равна нулю.
Всюду далее будем использовать обозначения: О = (0,0), Е = (1,0) € М2, В (О, Я) — открытый круг радиуса Я> 0 в М2 с центром в начале координат О.
В работе [12] была установлена теорема о существовании и единственности изотермических координат на односвязной негладкой поверхности, которую приведем в следующей формулировке, необходимой для последующего применения. Теорема 1. Пусть X — двумерная поверхность, заданная вектор-функцией (1) над односвязной ограниченной областью В С М2 и удовлетворяющая условию (2). Предположим, что функция В, определяемая соотношением
В (х) = (6)
1 ; VЕ(х)в(х) - В2(х)'
является ^¿С2-мажорируемой в области В.
Тогда существует гомеоморфизм х = Ф(£) : В(0,Я) ^ В, где Я> 1, Ф(£) € € ^ 1'С2(В(О, Я)), вводящий на X изотермические координаты £1, £2.
Гомеоморфизм х = Ф(£) определяется единственным образом заданием пары точек а,Ь € В таких, что а = Ф(О), Ь = Ф(Е).
Целью настоящей работы является вопрос о справедливости аналогов теоремы 1 для поверхностей, склеенных из двух кусков.
Замечание. В дальнейшем поверхности X = (В,/), заданные над односвязной областью В С М2, у которых отображение / : В ^ /(В) взаимно однозначно, дифференцируемо п.в. и выполняется условие (2), будем называть элементарными. Так как при доказательстве теоремы 1 в [12] используется только квадратичная форма (3), заданная в области В, и только по этой форме строится подходящее отображение Ф(£), то теорема остается верной и для некоторых случаев неэлементарных поверхностей.
В частности, теорема будет верна и для неэлементарных поверхностей X = (В,/), если область В можно представить в виде конечного объединения В = иГ=1 ^г, где Вг — односвязные области, а замыкание берется относительно В, причем:
1) П Б у) = Вг П Б у = 0 для всяких г = ];
2) д'Вг П д'Бу = Вг П Б^ — состоит из конечного числа локально спрямляемых дуг (здесь д' означает границу множества относительно Б);
3) каждая поверхность Х^ = (Вг, /) является элементарной, причем продолженное отображение f : Вг ^ f (Вг) также взаимно однозначно.
2. Метрические и функциональные аспекты
Пусть Х1 = (С1, f1) и Х2 = (С2, /2) — две элементарные односвязные поверхности в Мт
Мы будем говорить, что задана склейка Х12 этих поверхностей, если:
1) заданы открытые жордановы дуги Г1 С дС1 и Г2 С дС2, причем отображения /1 и ¡2 продолжаются по непрерывности на них и эти продолжения ¡г : Г ^ 1г(Тг) С Мт (г = 1, 2) суть гомеоморфизмы;
2) определено гомеоморфное отображение
х(2) = Ф12(^(1)) : Г! - Г2 (7)
такое, что
/1 (ж(1)) = /2(ф12(ж(1))) для всякого ж(1) е Г1.
Данное отображение согласуется с выбранными ориентациями в С1 и С2 так, что при обходе ж(1) вдоль дуги Г1 в положительном направлении точка х(2) = ф12(ж(1)) будет двигаться в отрицательном направлении по дуге Г2.
Точки множеств С^ и Г (I = 1, 2), связанные склеивающим гомеоморфизмом (7), отождествляются.
Таким образом, в нашем случае склейка А'12 — это односвязная поверхность, для которой изначально не задано единое представление у = /(х) : В — Мт, а заданы параметрические представления двух ее частей Х1 = (С1; f1) и Х2 = (С2^'2), согласованных по краям.
Как обычно, взаимно однозначные непрерывные образы в М2 промежутков вида (а,Ь), [а,Ь] будем называть соответственно открытой и замкнутой жордановыми дугами, а образы промежутков вида (а,Ь], [а,Ь) — полуоткрытыми жордановыми дугами. При этом а = — ж, Ь = в случаях открытых и полуоткрытых дуг допускается. Гомеоморфный образ единичной окружности Б1 будем называть замкнутой жордановой кривой.
Вместе с понятием склейки поверхностей введем понятие склейки пары областей (см., например, [3]).
Определение 4. Область С С М2 будем называть склейкой областей {Сг} в соответствии с заданными склеивающими граничными гомеоморфизмами (7), если существует пара гомеоморфизмов фi : Сг и Г» — ф» (Gí и Г») С М2 таких, что
1) ф1(ж(1)) = ф2(ф12(ж(1))) для всякого х(1) е Г1;
2) ф1(С1 и Г1) и ф2 (02 и Г2) = С;
3) ф1^1) П ф2(С2) = 0.
Гомеоморфизмы фг будем называть осуществляющими склейку или просто склеивающими (без добавления «граничные»).
Наличие склейки областей позволяет параметризовать склейку поверхностей Л'12, то есть представить ее с помощью вектор-функции f (х) : С — Мт. Эту вектор-функцию определим по правилу
/(х) = ¡г(ф-~1(х)), если х е фi(Gi и Гг).
Для дальнейшего дадим следующие определения. Определение 5. Монотонно возрастающая функция Н(х) : М — М, удовлетворяющая условию
1 Ых + г) — Ых)
— ^ -^ с
с ~ к(х) — к(х — Ь) ~ '
для любых х,Ь е М и некоторой постоянной с > 1 называется квазисимметрической.
Определение 6. Открытая дуга (замкнутая кривая) С С М2 с концами в бесконечно удаленной точке называется квазипрямой (квазиокружностью), если она квазиконформно эквивалентна прямой (окружности), то есть существует квазиконформный гомеоморфизм
ф(х) : М2 ^ М2 такой, что ф(С) есть прямая (окружность).
Определение 7. Если В С М2 — односвязная область, ограниченная квазиокружностью, то такая область называется квазидиском.
Следующие факты Л1-Л3 хорошо известны.
А1 Всякая монотонная функция может быть продолжена до квазиконформного отображения Н : М2 ^ М2 тогда и только тогда, когда она является квазисимметрической.
Л2 Свойство дуги (замкнутой кривой) быть квазипрямой (квазиокружностью) однозначно характеризуется условием Альфорса: для любых трех точек С1, С2, Сз € С, таких, что С3 лежит между С1 и С2, выполняется неравенство
< К (8)
|С2 - С1|
с некоторой постоянной К. При этом в случае замкнутой кривой имеется в виду тот из участков С с концами С1 и С2, который имеет меньший диаметр.
А3 Если В — квазидиск или односвязная область, граница которой представляет собой квазипрямую, то известно, что для любой функции f (х) € Ь1,2(В) существует ее продолжение на М2, такое, что продолжение /(х) € ¿12(М2).
Свойства А1, А2 представляют собой хорошо известные результаты Л. Альфорса [14], а А3 составляет содержание известного результата С.К. Водопьянова, В.М. Гольд-штейна, Т.Г. Латфуллина [1] (см. также [4; 15]).
Лемма 1. Пусть имеется поверхность X = (В,/) в Мт, заданная над односвязной областью В С М2 непрерывной, п.в. дифференцируемой вектор-функцией у = / (х) : : В ^ Мт, для которой п.в. выполнено (2). Предположим,
х = ф(и) : С ^ В, и = (и1,и2), (9)
квазиконформное отображение и д(и) = /(ф(и)) : С ^ Мт - эквивалентное представление поверхности X, вводящее на ней новые координаты и1,и2. Рассмотрим величины В(х) и Р(и), определенные в координатах х = (х1,х2) и и = (и1,и2) по формуле (6). Тогда для некоторой постоянной Я > 0 для п.в. и € С выполнено неравенство
В(и) < ЯВ(ф(и)). (10)
Доказательство. Пусть ф(и) = (ф1(м), ф2(и)), тогда условие квазиконформности этого отображения может быть записано в виде
|Уф1(«)|2 + |Уф2(«)|2 < яз,
где Я > 0 — некоторая постоянная, а 3 = ф1ад1 ф2адз — ф1ад2 ф2ад1 — якобиан отображения (9). Пусть Е = Е(х), В = В(х), С = С(х) — коэффициенты первой квадратичной
формы X в координатах х = (х1,х2), а Е = Е(и), Е = Ё(и), С = С(и) — в координатах и = (и1,и2). Между собой эти величины п.в. связаны формулами
Е = Е (фЫ1)2 + 2^ ф1И1 ф2И1 + С( ф2„0 2, (11)
Е = Е ф1„1 ф1„2 + Е (ф1„1 ф2„2 + ф1„2 ф2«0 + Сф2„1 ф2«2, (12)
С = £(ф^)2 + 2^ф1„2 ф2«2 + ф2«^ 2. (13)
Здесь в правой части и всюду ниже Е = Е(х), Е = Е(х), С = С(х) вычисляются при х = ф(и). В силу известного неравенства для положительно определенных квадратичных форм
ап^2 + 2й12^Л + «22Л2 < Л(^2 + п2), где Л = а11 + а22 > 0 — след квадратичной формы а11^2 + 2а12^п + а22ц2, имеем
Е + = (ф1„1 )2 + (ф1„2 + 2^ ф1„1 ф2„1 + ф1„2 ф2«^ +
+ (ф2„1 )2 + (ф2«2)2) < (Е + С)(|Уф1|2 + |Уф2|2) <
< QJ(Е + С). (14)
Кроме того, из (11)—(13), п.в. следует соотношение
ЕС - Р = .12(ЕС - Е2). (15)
Сопоставляя (14), (15) с выражением (6) для вычисления величин Р(х), Р(и), получаем (10). Лемма доказана.
3. Основной результат
Предварительно дадим несколько определений. Определение 8. Пусть О С М2 — область и Г С дИ - открытая дуга. Пусть Е С И подмножество. Будем говорить, что Е компактно примыкает к Г, если Е П дИ < Г. Здесь Е замыкание Е в М2, а отношение «<» берется в смысле топологии Г.
Будем факт компактного примыкания для краткости записывать в виде «Б < Г|Д». Для учета поведения поверхности А\2 вблизи места склейки нам необходимо дать несколько измененный вариант определения 3.
Определение 9. Пусть И — область в М2, граница которой дИ содержит открытую
1 2
дугу Г. Будем говорить, что функция Р : И ^ М является Ж1оС г-мажорируемой, если для всякой подобласти И' С И, предкомпактной в М2, и такой, что или И' < И, или Е' < Г^, найдется функция К е Ш1,2(Б') такая, что
Р(х) < К(х) для п.в. х е О. (16)
Определение 10. Пусть X.\ = (0^,/^), (I = 1, 2) — две элементарные поверхности, причем Г = дСг — квазипрямые. Пусть ф12 : Г1 ^ Г2 — склеивающее отображение, для которого определена склейка областей С1 и С2. Будем говорить, что отображение ф12 является квазисимметрическим, если оно квазиконформно эквивалентно квазисимметрической функции ^ф12, понимаемой в обычном смысле.
Под квазиконформной эквивалентностью здесь понимается существование пары квазиконформных гомеоморфизмов д^ : М2 ^ М2 таких, что ^(Г») = М С М2, для которых диаграмма
Г1 > Г2
91 92
Т> ^12 , 1Г
М 12 М £
коммутативна.
Лемма 2. Если отображение ф!2 : Г! ^ Г2 является квазисимметрическим, то его можно квазиконформно продолжить до гомеоморфизма ф12 : М2 ^ М2, причем так, что
ф 12(0!) = М2 \ (С2 и Г2).
Замечание. Очевидно, что упомянутое в лемме продолжение является отображением, меняющим ориентацию.
Доказательство. Пусть д1, д2, ^ф12 те же, что и в диаграмме выше. В силу свойства А1 п. 2 функция -ф12 квазиконформно продолжается с М С М2 на М2. Пусть 12 — это продолжение. Тогда в качестве продолжения, о котором говорится в формулировке леммы, можно взять ф 12(ж(1)) = д-1 о (-4» 12)* о д1 (ж(1)), где (•)* — операция отражения относительно оси абсцисс: (и1,и2)* = (щ, -и2). Лемма доказана.
Лемма 3. Предположим, В С М2 — область и дВ квазипрямая. Пусть А, В е дВ, (А = В) — две произвольные точки и дуга Уа,в — часть дВ, соединяющая А и В. Предположим также, что задано ограниченное множество В С В такое, что выполнено одно из двух: или В < В, или В < Уа,в\0. Тогда дугу Уа,в можно дополнить до квазиокружности С, подходящей дугой целиком лежащей в В и охватывающей В.
Доказательство. Пусть у = ф(х) : М2 ^ М2 — квазиконформное отображение, переводящее В в верхнюю полуплоскость {у : у2 > 0}, а границу дВ в ось Оу1. Пусть а = ф(А), Ь = ф(В) и пусть В1 = ф(В). Дополним отрезок [а,Ь] до замкнутой ломанной С с конечным числом звеньев, охватывающей В1 и целиком расположенной в ф (В). При построении этой ломанной будем руководствоваться тем, чтобы углы между двумя соседними звеньями не равнялись 0, п. Ясно, что для такой замкнутой ломанной будет выполнено условие Альфорса (8), а значит она и ее прообраз С = ф -1(С) будут квазиокружностями. Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть в М2 имеется {С»}2=1 пара односвязных областей, граница Г» = дСг каждой из которых есть квазипрямая.
Предположим, что существует пара квазиконформных гомеоморфизмов ф i : М2 ^ М2, таких что М2 = ф 1^1 и Г1) и ф 2^2 и Г2) и ф1(С1) П ф 2^2) = 0.
Тогда, если имеется пара функций Вг(х^), ^^г -мажорируемых в йг, то функция
В(х) = Рг(ф ~1(х)), если х е ф(С^, будет -мажорируемой в М2.
Доказательство. Зададим произвольную область F < R2. Положим
F = ф"1 (F П Фг(Сг U Г)).
Тогда Fi < rj|Gj. Случай Fi П dGi = 0 является допустимым и тогда р < Gi.
По предыдущей лемме для каждого Fi построим квазидиск Di С Gi, ограниченный некоторой замкнутой граничной дугой у^ С dGi и дополняющей ее дугой у» С Gi. Тогда существует функция К^х^) G W1,2(Di), мажорирующая Pi(x^) в Di. Так как квазиконформные отображения сохраняют свойство принадлежности к функциональному классу L1,2 (см.: [2;4]), то К^ф~1(х)) G Ь1,2(фг(Бг)). С другой стороны, ф^(Di) является квазидиском, а значит функции Кг(ф-"1(х)) продолжаются на R2. Сохраняя для этих продолжений те же самые обозначения, определим в R2 функцию
К (ж) = max К(ф~\х)) G L12(R2),
г
мажорирующую Р(х) на F. Лемма доказана.
Доказанные выше леммы приводят к следующему результату. Теорема 2. Пусть определена склейка пары поверхностей Xi = (Gi, fi), (г = 1,2), причем множества склейки Г = dGi — квазипрямые, а склеивающий граничный гомеоморфизм ф12 : Г1 ^ Г2 является квазисимметрическим отображением. Предположим, что каждая функция
Рг^) = , + ^ ,, = 1,2,
Wl0,c2r -мажорируема в Gi.
Тогда на поверхности существуют изотермические координаты
4 = (£,ъ 42) G B(0,R), R > 1. Эти координаты определяются единственным образом выбором соответствия а <—> О, b <—> Б, где либо a,b G Gi U Г (г = 1, 2) и а = Ь, либо a G G1, b G G2 и a = ф12(Ь).
Доказательство. Продолжим отображение ф12 : Г1 ^ Г2 до квазиконформного гомеоморфизма ф 12 : R2 ^ R2 в соответствии с леммой 2 и рассмотрим пару гомеоморфизмов
f X = Ф1(х(1)) d=f ф 12(х(1)), x(1) G Gb (]7)
\х = ф 2 (х(2 ) = х(2\ Х(2) G G2.
Пара отображений (17) дает склейку областей G1 и G2 с заданным граничным гомеоморфизмом ф 12 : Г1 ^ Г2. При этом результатом склейки является
R2 = Ф1(С1 и Г1) и Ф1 (G2 u Г2) = ф 1(G1 U Г1) U G2 U Г2.
Переменная x = (x1,x2) является параметризацией склейки A\2. Для функции Р(х), определенной в координатах х1,х2 по формуле (6), для п.в. х G G2 U Г2 мы имеем
Р (X) = Р2(х),
а для п.в. х G G1 U Г1 в силу леммы 1 имеем неравенство
Р(х) < QP1(x)
с некоторой постоянной Q > 1. Тогда по лемме 4 можно заключить о Ж^-мажорируе-мости функции Р(х) в R2 и по теореме 1 приходим к утверждению теоремы 2. Теорема 2 доказана.
Заключение
Новейшие исследования классической задачи о существовании изотермических координат на двумерной поверхности в Мт только на современном этапе негладких или имеющих разного рода патологию в строении были инициированы в [12].
Мы надеемся, что наша работа будет способствовать продвижению этих исследований, а также решению аналогичных задач в псевдоевклидовых пространствах, где вырождение метрики (3) может быть обусловлено не только негладкостью поверхности, но и наличием изотропных направлений объемлющего пространства. Такие исследования планируется провести на основе комбинации методов настоящей работы и методов, применяемых при изучении уравнений Бельтрами переменного типа, имеющихся в [8-11].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Водопьянов, С. К. Критерий продолжения функций класса Ь^ из неограниченных плоских областей / С. К. Водопьянов, В. М. Гольдштейн, Т. Г. Латфуллин // Сиб. мат. журн. — 1979. — Т. XX, № 2. — С. 416-419.
2. Водопьянов, С. К. О геометрических свойствах функций с первыми обобщенными производными / С. К. Водопьянов, В. М. Гольдштейн, Ю. Г. Решетняк // УМН. — 1979. — Т. 34, № 1 (205). — С. 17-65.
3. Волковыский, Л. И. Исследования по проблеме типа односвязной римановой поверхности / Л. И. Волковыский // Тр. мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. — 1950. — Т. XXXIV. — С. 3-171.
4. Гольдштейн, В. М. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения / В. М. Гольдштейн, Ю. Г. Решетняк. — М. : Наука, 1983. — 284 с.
5. Грудский, И. М. Построение внутренних координат на составных Римановых поверхностях / И. М. Грудский // Дифференциальные, интегральные уравнения и комплексный анализ. — Элиста : Изд-во Калмыц. ун-та, 1986. — С. 30-45.
6. Грудский, И. М. Формула Кристоффеля — Шварца для полиэдральных поверхностей / И. М. Грудский // Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 307, № 1. — С. 15-17.
7. Каратеодори, К. Конформное отображение / К. Каратеодори. — М. ; Л. : Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. — 130 с.
8. Кондрашов, А. Н. К теории вырождающихся уравнений Бельтрами переменного типа / А. Н. Кондрашов // Сиб. мат. журн. — 2012. — Т. 53, № 6. — С. 1321-1337.
9. Кондрашов, А. Н. К теории уравнения Бельтрами переменного типа со многими складками / А. Н. Кондрашов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2013. — № 2 (19). — С. 26-35.
10. Кондрашов, А. Н. Уравнения Бельтрами, вырождающиеся на дуге / А. Н. Кондра-шов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2014. — № 5 (24). — С. 24-39.
11. Кондрашов, А. Н. Уравнения Бельтрами переменного типа и конформные муль-тискладки / А. Н. Кондрашов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2015. — № 5 (30). — С. 6-24.
12. Миклюков, В. М. Изотермические координаты на поверхностях с особенностями / В. М. Миклюков // Мат. сб. — 2004. — Т. 195, № 1. — С. 69-88.
13. Решетняк, Ю. Г. Двумерные многообразия ограниченной кривизны / Ю. Г. Решет-няк // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — 1989. — Т. 70. — С. 8-189.
14. Ahlfors, L. V. Lectures on quasiconformal mappings / L. V. Ahlfors. — Toronto ; Ont. ; N. Y. ; London : Van Nostrand, 1966. — v+146 p.
15. Maz'ya, V. G. Sobolev Spaces. With Applications to Elliptic Partial Differential Equations / V. G. Maz'ya. — Berlin ; Heidelberg ; New York : Springer-Verlag, 2011. — xxviii+866 p.
16. MUller, S. On surfaces of finite total curvature / S. Müller, V. Sverak // J. Differential Geom. — 1995. — Vol. 42, № 2. — P. 229-258.
17. Toro, T. Surfaces with generalized second fundamental form in L2 are Lipschitz manifolds / T. Toro // J. Differential Geom. — 1994. — Vol. 39, № 1. — P. 65-101.
REFERENCES
1. Vodopyanov S.K., Goldshtein V.M., Latfullin T.G. Kriteriy prodolzheniya funktsiy klassa L\ iz neogranichennykh ploskikh oblastey [Criteria for Extension of Functions of the Class Li From Unbounded Plane Domains]. Sib. mat. zhurn. [Siberian Mathematical Journal], 1979, vol. XX, no. 2, pp. 416-419.
2. Vodop'yanov S.K., Gol'dshtein V.M., Reshetnyak Yu.G. O geometricheskikh svoystvakh funktsiy s pervymi obobshchennymi proizvodnymi [On Geometric Properties of Functions with Generalized First Derivatives]. UMN [Russian Mathematical Surveys], 1979, vol. 34, no. 1 (205), pp. 17-65.
3. Volkovyskiy L.I. Issledovaniya po probleme tipa odnosvyaznoy rimanovoy poverkhnosti [Investigation of the Type Problem for a Simply Connected Riemann Surface]. Tp. mat. in-ta im. V.A. Steklova AN SSSR, 1950, vol. XXXIV, pp. 3-171.
4. Gol'dshtein V.M., Reshetnyak Yu.G. Vvedenie v teoriyu funktsiy s obobshchennymi proizvodnymi i kvazikonformnye otobrazheniya [Quasiconformal Mappings and Sobolev Spaces]. Moscow, Nauka Publ., 1983. 284 p.
5. Grudskiy I.M. Postroenie vnutrennikh koordinat na sostavnykh Rimanovykh poverkhnostyakh [Construction of Inner Coordinates on Composite Riemann Surfaces]. Differentsialnye, integralnye uravneniya i kompleksnyy analiz. Elista, Izd-vo Kalmyts. un-ta, 1986, pp. 30-45.
6. Grudskiy I.M. Formula Kristoffelya — Shvartsa dlya poliedralnykh poverkhnostey [The Christoffel — Schwarz Formula for Polyhedral Surfaces]. Dokl. AN SSSR [Doklady Mathematics], 1989, vol. 307, no. 1, pp. 15-17.
7. Caratheodory C. Konformnoe otobrazhenie [Conformal Representation]. Moscow; Leningrad, Gosudarstvennoe tekhniko-teoreticheskoe izdatelstvo Publ., 1934. 130 p.
8. Kondrashov A.N. K teorii vyrozhdayushchikhsya uravneniy Beltrami peremennogo tipa [On the Theory of Degenerate Alternating Beltrami Equations]. Sib. mat. zhurn. [Siberian Mathematical Journal], 2012, vol. 53, no. 6, pp. 1321-1337.
9. Kondrashov A.N. K teorii uravneniya Beltrami peremennogo tipa so mnogimi skladkami [On the Theory of Alternating Beltrami Equation with Many Folds]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2013, no. 2 (19), pp. 26-35.
10. Kondrashov A.N. Uravneniya Beltrami, vyrozhdayushchiesya na duge [Beltrami Equations with Degenerate on Arcs]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2014, no. 5 (24), pp. 24-39.
11. Kondrashov A.N. Uravneniya Beltrami peremennogo tipa i konformnye multiskladki [Alternating Beltrami Equation and Conformal Multifolds]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2015, no. 5 (30), pp. 6-24.
12. Miklyukov V.M. Izotermicheskie koordinaty na poverkhnostyakh s osobennostyami [Isothermic Coordinates on Singular Surfaces]. Mat. sb. [Sbornik: Mathematics], 2004, vol. 195, no. 1, pp. 69-88.
13. Reshetnyak Yu.G. Dvumernye mnogoobraziya ogranichennoy krivizny [Two-Dimensional Manifolds of Bounded Curvature]. Itogi nauki i tеkhniki. Sovrеmеnnyе prob^my matеmatiki. Fundamеntalnyе naprav^niya, 1989, vol. 70, pp. 8-189.
14. Ahlfors L.V. Lectures on quasiconformal mappings. Toronto; Ont.; N. Y.; London, Van Nostrand, 1966. v+146 p.
15. Maz'ya V.G. Sobolev Spaces. With Applications to Elliptic Partial Differential Equations. Berlin; Heidelberg; New York, Springer-Verlag, 2011. xxviii+866 p.
16. Muller S., Sverak V. On Surfaces of Finite Total Curvature. J. Differential Geom., 1995, vol. 42, no. 2, pp. 229-258.
17. Toro T. Surfaces with Generalized Second Fundamental Form in L2 are Lipschitz Manifolds. J. Differential Geom., 1994, vol. 39, no. 1, pp. 65-101.
ISOTHERMIC COORDINATES ON SEWING SURFACES
Alexander Nikolaevich Kondrashov
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Computer Sciences and Experimental Mathematics, Volgograd State University
ankondr@mail.ru, alexander.kondrashov@volsu.ru, kiem@volsu.ru Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation
Abstract. In the paper we investigated the question about existence and uniqueness of isothermic coordinates on sewing surfaces in Rm. Such surfaces is special case of irregular surfaces. We obtained the analog of the famous theorem of V.M. Miklukov (2004) for such surfaces.
The result of this paper. Theorem 2. Let be a pasting together of the pair of the surfaces Xi = = (Gi, fi), (i = 1, 2) and r = dGi is quasistraight line. Let p 12 : r1 ^ r2 be a sewing function.
Assume that p12 is quasimonotone function and that
WH G^ t =L 2 •yEi(x''))Gi(x">) - FKx^)
1 2
is WloC r-majorized functions in Gi.
There exist isothermic coordinates £ = (41, f,2) G B(0,R), R > 1 on X12. These coordinates are determined uniquely by choice of correspondence a <—> 0, b <—> E, where either the a,b G Gi U rfy = 1, 2) and a = b, or a G G1t b G G2 and a = p12(6).
Key words: isothermic coordinates, sewing surfaces, sewing functions,
1,2
quasisymmetric function, Wlo'c r-majorized function, quasistraight line.
