CC BY
8
Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 1, С. 64-77
УДК 517.5
О КОНЕЧНОЙ ЛИПШИЦЕВОСТИ КЛАССОВ ОРЛИЧА - СОБОЛЕВА
Р. Р. Салимов
Найдено достаточное условие конечной липшицевости гомеоморфизмов класса Орлича — Соболева при наличии условия тина Кальдерона на <р.
Ключевые слова: р-модули семейств кривых и поверхностей, р-ёмкость конденсатора, отображения с конечным искажением, классы Соболева и Орлича — Соболева, локальная и конечная
1. Введение
Напомним некоторые определения. Борелева функция р : Ж" ^ [0, то] называется допустимой для семейства кривых Г в Ж" п ^ 2, пишут р £ аёшГ, если
/рМ* > 1 (1.1,
7
для всех 7 £ Г. Пусть р ^ 1. Тогда р-модулем семейства кривых Г называется величина
МР(Г) = ^ //(ж) (т(ж). (1.2)
p€adm Г ]
К"
Здесь т обозначает меру Лебега в Ж".
Пусть В — область в Ж", п ^ 2. Предположим, что п — 1 < р < п и
Мр(/Г) < КМр(Г) (1.3)
для произвольного семейства Г кривых 7 в области О. При предположении, что / в (1.3)
является гомеоморфизмом, Герингом было установлено, что отображение / является локально липшицевым, другими словами, для всех ж0 £ В справедлива оценка
(1-4)
х^хо |ж — Жо |
см., например, теорему 2 в [1].
Напомним, что гомеоморфизм / : В ^ Ж" называется отображением с конечным искажением, если / £ W10'c1 и
II/'(ж)1Г < К (ж) ■ ^ (ж) (1.5)
© 2015 Салимов Р. Р.
для некоторой почти всюду конечной функции К (ж) ^ 1, где / '(ж) якобиева матрица /, ||/'(ж)|| — ее операторная норма: ||/'(ж)У = 8ир^|=1 \/'(ж) ■ Н\ к Jf (ж) = det /'(ж) — якобиан отображения /.
Пусть р £ (1, то). В дальнейшем, полагаем
К (ж,/) = <
11 > если ,1(х, /) ф 0;
1, если /'(ж) = 0; (1.6)
оо, в остальных точках.
Впервые понятие отображения с конечным искажением введено в случае плоскости для / £ Ш12 в работе [2], см. также [3].
Следуя Орличу, для заданной выпуклой возрастающей функции ^ : [0, то) ^ [0, то), ^>(0) = 0, обозначим символом ЬТ пространство всех функций / : О ^ Ж, таких, что
I <р йт{х) < то (1.7)
б
при некотором А > 0, см., например, [4]. Здесь т — мера Лебега в Ж". Пространство ЬТ
называется пространством, Орлича.
Классом Орлича — Соболева Ш^т (О) называется класс всех локально интегрируемых функций /, заданных в О, с первыми обобщенными производными по Соболеву, градиент V/ которых принадлежит классу Орлича локально в области О. Если же, более того, V/ принадлежит массу Орлича в области О, мы пишем / £ Ш1,Т(О). Заметим, что по определению Ш^т С Ш^,1. Как обычно, мы пишем / £ Ш^т, если = р ^ 1. Известно, что непрерывная функция / принадлежит классу Ш^т тогда и только тогда, когда / £ АСЬР, т. е., ее ли / локально абсолютно непрерывна па почти всех
/
интегрируемы в степени р в области О, см. [5, раздел 1.1.3.].
Далее, если / — локально интегрируемая вектор-функция п вещественных переменных ж1 ,...,жп,/ = (/ь . . . , /т ^ /г £ ШОс , г = 1, . . . , m, и
(IV/(ж)\) ¿т(ж) < то, (1.8)
б
Г~ГП П , ч 2 1
где |У/(ж)| = л ( дх ) ' Т0 мы снова пишем / £ ^¡о'Г' Мы также используем
У ¿=1 ¿=1 У Хх'
обозначение Ш^т в случае более общих функций чем в классах Орлича, всегда предполагающих выпуклость функции ^ и ее нормировку ^>(0) = 0.
Отметим, что классы Орлича — Соболева сейчас, как и ранее, изучаются в самых различных аспектах многими авторами, см., например, [6-22].
2. Свойства классов Орлича — Соболева
Следующие свойства классов Орлича — Соболева можно найти в работе [14].
Теорема 2.1. Пусть П — открытое множество в Ж", п ^ 3 / : П ^ Ж" — непрерывное открытое отображение класса Ш^т(П), где ^ : (0, то) ^ (0, то) —неубывающая функция,
такая что для некоторого t* £ (0, то)
п—2
dt < то. (2.1)
г*
Тогда отображение / имеет почти всюду полный дифференциал в О.
Замечание 2.1. В частности, заключение теоремы 2.1 имеет место, если / £ W10'(f при некотором а > п — 1. Последнее утверждение — результат Вяйсяля, см. [23, лем-
Ж
теоремы Меньшова — Геринга — Лехто на плоскости, см., например, [24-26].
Теорема 2.2. Пусть О — открытое множество в Ж", п ^ 3, / : О ^ Ж" — непрерывное открытое отображение класса W10'(f(О), где р : (0, то) ^ (0, то) — неубывающая функ-
(2.1) /
О
Теорема 2.3. Пусть и — открытое множество в Ж", п ^ 3, р : (0, то) ^ (0, то) —
(2.1)
отображение / : и ^ Ж™, т ^ 1, класс а Wl:( облада ет (Ы)-свойством, более того,
(п — 1)
почти всех гиперплоскостях Р, параллельных произвольной фиксированной гиперплоскости Р'о- Кроме того, на почти всех таких Р, И"-1(/(Е)) = 0, если |У/1 = 0 на Е С Р.
Заметим, что, если условие вида (2.1) имеет место для некоторой неубывающей функции р, то функция Рс(Ъ) = р(с£) при с > 0 также удовлетворяет соотношению (2.1). Кроме того, хаусдорфовы меры являются квазиинвариантными при квазиизометриях.
Следствие 2.1. При условии (2.1) любое непрерывное отображение / £ обла-
дает (Ы)-свойством относительно (п — 1)-мерной меры Хаусдорфа, более того, локально абсолютно непрерывно па почти всех сферах Б с центром в заданной предписанной точке Жо £ Ж". Кроме того, на почти всех таких сферах Б выполнено условие И"-1(/(Е)) = 0 как только |У/1 = 0 на множестве Е С Б.
оо
1
t
3. Модули семейств поверхностей
Следуя [27, раздел 9.2], далее k-мерной поверхностью S в Rn называется произвольное непрерывное отображение S : ш ^ где ш — открытое множество в Rk := Rk и{то} и k = 1,... ,n — 1. Функцией кратности поверхности S называется число прообразов
N(S, y) = card S-1 (y) = card {x £ ш : S(x) = y}, y £
Другими словами, символ N(S, y) обозначает кратность накрытия точки y иоверхно-S
измерима относительно произвольной хаусдорфовой меры Hk, см. [27, раздел 9.2].
Для борелевской функции р : Rn ^ [0, то] ее интеграл над поверхностыо S определяется равенством
j pdA := У p(y) N(S, y) dHky.
S Rn
Пусть Г — семейство ft-мерных поверхностей S. Борелева функция р : Rn ^ [0, то]
называется допустимой для семейства Г, пишут р G admr, если
J pk dA ^ 1 (3.1)
s
для каждой поверхности S G Г. Пусть p G (1, то) — заданное фиксированное число. Тогда p-модулем семейства Г называется величина
МР(Г) = inf /V(x) dm(x). (3.2)
p€adm Г J
Rn
Говорят, что свойство P имеет место для p-почти, всех (р-п.в.) k-мерных поверх-S Г, Г
Pp
4. О емкости конденсатора
Следуя работе [28], пару E = (A, C), где A с Rn — открытое мпожество и C — непустое компактное множество, содержащееся в A, называем конденсатором. Конденсатор E называется кольцевым конденсатором, если G = A \ C — кольцо, т. е., если G — область, дополнение которой Ж™\G состоит в точности из двух компонент. Говорят также, что конденсатор E = (A, C) лежит в области D, если A с D. Очевидно, что если f : D ^ Rn — непрерывное, открытое отображение и E = (A, C) — конденсатор в D, то (fA, fC) также конденсатор в fD. Далее fE = (fA, fC).
функция u : A ^ R абсолютно непрерывна на прямой, имеющей непустое пересече-A
A. Функция u : A ^ R принадлежит классу ACL (абсолютно непрерывна на почти всех прямых), если она абсолютно непрерывна на почти всех прямых, параллельных любой координатной оси.
Обозначим через Co (A) множество непрерывных функций u : A ^ R1 с компактным носителем, Wo (E) = Wo (A, C) — семейство неотрицательных функций u : A ^ R1 таких, что 1) u G Co (A), 2) u(x) ^ 1 для x G C и 3) u принадлежит кл ассу ACL. Также обозначим
2 \ 1/2
|Vu|= | . (4.1)
Пусть G — область в МП п ^ 2 Е, Е С Ж" — произвольные множества. Обозначим через А(Е, Е; G) семейство всех кривых 7 : [а, 6] ^ Ж", которые соединяют Е и Е в G, т. е. 7(а) е Е, 7(6) С Е и 7(4) е ^ ^и а < 4 < 6. При р ^ 1 величину
сарр Е = сарр (А, С) = И /|Уп|р йга(ж) (4.2)
) J
А
называют р-е^костъад конденсатора Е. Емкости в контексте теории отображений хорошо представлены в монографии [29].
В дальнейшем при р > 1 мы будем использовать равенство
сарр Е = Мр(А(дА,дС; А \ С)), (4.3)
см. [30-32].
Известно, что при 1 ^ р < п
Е {п — Г)\Р 1 п-р
сарр ё > пух ( —^ ) [т(С)}— , (4.4)
где — объем единичного шара в Ж", см., например, неравенство (8.9) в [33]. Если множество С связно, то при п — 1 < р ^ п имеет место оценка
(саРр^Г^7т(^+р, (4.5)
где ¿(С) — диаметр множества С 7 — положительная константа, зависящая только от п р,
5. Нижние (-гомеоморфизмы относительно р-модуля
Говорят, см. [27, раздел 9.2], что измеримая по Лебегу функция р : Ж" ^ [0, то] является обобщенно р-допустимой для семейства Г состоящего из (п — 1)-мерных поверхностей Б в М", пишут р £ ех^ аёшГ, если
„га—1
Ур"-1(ж) ¿А ^ 1 (5.1)
для р-почти всех Б £ Г.
В работе [35, раздел 13], Ф. Геринг определил К-квазикоиформное отображение как гомеоморфизм, изменяющий модуль кольцевой области не более чем в К раз. Следующее понятие мотивировано кольцевым определением Геринга.
Пусть В и В' — области в М", п ^ 2, жо £ Д ^ : О ^ (0, то) измеримая по Лебегу функция. Гомеоморфизм / : В ^ В' будем называть нижним (-гомеоморфизмом относительно р-модуля в точке ж0, если
аиШ J ( (ж )
я
для каждого кольца
К = К(жо,е, £о) = {ж £ М" : е < |ж — жо| < £о}, е £ (0, ео), ео £ (0, ¿о), где ¿о = dist(ж0,дВ), а Хе обозначает семейство всех сфер
Б(жо,г) = {ж £ М" : |ж — жо| = г} , г £ (е,ео). (5.3)
(р
менима, в частности, к отображениям квазиконформным в среднем, см. [34, 36], и к так называемым (р, д)-квазиконформным отображениям, см. [37], которые использовались при изучении проблемы Ю. Г. Решетняка о суперпозиции функций пространств
Соболева, см. например, [37-40]. В работах [41-43] приводятся приложения нижних (
решений с обобщенными производными и к задаче Дирихле для уравнений Бельтрами с вырождением.
Исторически нижним ^-гомеоморфизмам относительно р-модуля предшествовали Q-гомеоморфизмы, которые исследовались в работах [44-47]. Кроме того, Q-oтoбpaжeния допускающие точки ветвления, изучались в работах [48-53].
Ниже приведен критерий нижних относительно р-модуля при р >
п — 1. Впервые критерий был доказан при р = п в работе [54, теорема 2.1], см. также монографию [27, теорема 9.2].
Лемма 5.1. Пусть О — область в МП п ^ 2, Жо £ О, и пусть Q : О ^ (0, то) — измеримая функция. Гомеоморфизм / : О ^ Мп является нижним Q-гомеоморфизмом в точке Жо относительно р-модуля при р > п — 1 тогда и только тогда, когда
£0
/^Г
цдц та_1 (г) (^ е (0,ео), ео € (0,4)), (5.4)
£ р-П+1
где = ё1я1;(ж0,дО), £е — семейство всех сфер 5(ж0, г) = {ж £ Мп : | ж — ж0| = г}, г £ (£,£0), и
( р-п+1
I д^ТГ(ж)^] . (5.5)
Инфимум в (5.2) достигается только для функции
1
р — 71+1
\ р-п+1 /
Прежде чем доказывать основную лемму о нижних Q-гoмeoмopфизмax относительно
р
Лемма 5.2. Пусть (X, — измеримое пространство с конечной мерой д £ (1, то), и пусть ^ : X ^ (0, то) — измеримая функция. Положим
I(^>,д)=ш£ / (5.7)
X
где инфимум берется по всем измеримым функциям а : X ^ [0, то] таким, что
/ а^ = 1. (5.8)
x
Тогда
где
1 =
у ф
x
(5.9)
а' 11
А = —, - + - = 1, (5.10)
а а а'
т. е. А = 1/(а — 1) £ (0, то). Кроме того, инфимум в (5.7) достигается только для функции
а0 = С ■ (5.11)
1
А
где
С = ^ J р-л йр^ . (5.12)
< Доказательство леммы 5.1. Заметим, что для каждой р е extpаёшЕе функция
„га—11
Ар(г) У рп—1(ж) йА = 0 п. в.
V
является измеримой по параметру г, например, по теореме Фубини. Таким образом, мы можем требовать выполнения равенства Ар (г) = 1 п. в. вместо условия допустимости (3.1) при к = п — 1, и
£0 / \ ^ [??М<1т(х)=1 ( и / ^ЪаЬг,
рeextp аЛшЕ^ ((ж) ,/ \ а€/(г) У ((ж) /
£ 4 5(жо,г) 7
где д = р/(п — 1) > 1, а тер ез I (г) обозначено множество всех измеримых функций а (ж) на поверхности £(жо, г) таких, что
/ а(ж) = 1.
5(хо,г)
Итак, лемма 5.1 следует го леммы 5.2 при X = £(жо,г), р — (п — 1)-мерная площадь на £(ж0,г), (р = 5(а.0>г), и д = р/(п- 1) > 1. >
Таким образом, неравенство (5.4) является точным для нижних (-гомеоморфизмов относительно р-модуля.
Лемма 5.3. Пусть В — область в Ж" п ^ 2, ж0 е В, и пусть ( : В ^ (0, то) — измеримая функция и / : В ^ Ж" — нижний гомеоморфизмом в точке жо относительно р-модуля при р > п — 1. Тогда имеет место оценка
п-1
»"2 \ р-п+1
йг
^(¿(/а./а./Д)) < /||0||^(Г) • (5-И)
\П р-п+1 /
где = £(ж0,г^) ^ = 1,2.
< Действительно, пусть 0 < г1 < г2 < й(жо,дВ) и £ = £(жо, гг), г = 1, 2. Согласно неравенствам Хессе и Цимера (см., например, [31] и [55]),
М * ^(А^З^В))) <-^-, (5.14)
р — п+1 --г
М/-+1(/(Е))
поскольку / (Е) С Е (/(£1), /(£2), /(В)), где Е обозначает совокупность всех сфер с центром в точке жо, расположенных между сферами £1 и £2, а. Е (/(£1), /(£2), /(В)) состоит из всех (п — 1)-мерных поверхностей в /(В), отделяющих /(£1) и /(£2). Из соотношения (5.14) по лемме 5.1 вытекает заключение леммы 5.3. >
6. Взаимосвязь нижних Q-гoмeoмopфизмoв с классами Орлича — Соболева
Напомним, что отображение д : X ^ У между метрическими пространствами X и У называется липшицевым, если dist (д(ж1 ),д(ж2)) ^ М ■ dist (ж^ж2) для некоторой постоянной М < то и всех ж^ ж2 £ X. Говорят, что отображение д : X ^ У билипшицево, если, оно, во-первых, липшицево, во-вторых, М* ■ dist (ж1, ж2) ^ dist (д(ж1),д(ж2)) для некоторой постоянной М* > 0 и всех ж^ ж2 £ X.
Следующее утверждение является ключевым для дальнейшего исследования.
Лемма 6.1. Пусть О и О' — области в МП п ^ 3 ^ : (0, то) ^ (0, то) — неубывающая функция, удовлетворяющая условию (2.1). Тогда любой гомеоморфизм / : О ^ О' конечного искажения класса является нижним Кр(ж,/)-гомеоморфизмом относи-
тельно р-модуля с р > п — 1.
< Обозначим через В (борелево) множество всех точек ж £ О, где отображение /
имеет полный дифференциал и //(ж) = йеЛ /'(ж) = 0. Заметим, что множество В представляет собой не более чем счетное объединение борелевских множеств В;, I = 1,2,..., таких что отображения /; = /|вг являются билипшицевыми гомеоморфизмами, см., например, в [56, лемма 3.2.2]. Без ограничения общности, можно считать, что множества В; попарно не пересекаются. Обозначим
В*
точек ж £ О, где / имеет полный дифференциал, однако, /'(ж) = 0.
По теореме 2.1 множество В0 := О\(В и В*) имеет меру Лебега нуль. Следовательно, по теореме 9.1 в [27] имеем, что Н"-1 (В0 П 5Г) = 0 для р-иочти всех сфер := 5(ж0, г) с центром в произвольной точке ж0 £ О, где «р-иочти все» определяется в смысле р-модуля семейства поверхностей. Тогда, в силу леммы 9.1 в [27], Нп-1(В0 П ) = 0 для почти всех г £ М и по следствию 2.1 получаем, что Нп-1(/(В0)П) = 0 и Нп-1(/(В*)П) = 0 для почти всех г £ М, где = / (5Г).
Заметим, что также Нп-1(/(В0) П 5*) = 0 и Нп-1(/(В*) П 5*) = 0 для почти всех сфер := 5(ж0,г) в смысле р-модуля семейства поверхностей. Действительно, пусть Г0 _ подсемейство всех сфер := 5(ж0, г), для которых либо Нп-1(/(В0) П 5*) > 0, либо Нп-1(/(В*) П 5*) > 0. Обозначим через Д множество всех г £ М, для которых либо Нп-1(/(В0) П 5*) > 0, либо Нп-1(/(В*) П 5*) > 0. В силу сказанного выше, т1(Д) = 0. Тогда по теореме Фубини т(Е) = 0, где Е = {ж £ О : |ж — ж0| = г £ Д}. Функция Р1 : Мп ^ [0, то], определенная сим волом то при ж £ Ей равная нулю на оставшемся множестве обобщенно р-допустима для семейства Г0. Таким образом, по (9.18) в [27] МР(Г0) ^ Jе рР^т(ж) = 0, т. е., действительно, МР(Г0) = 0.
По теореме Кирсбрауна, см. [56, теорема 2.10.43], каждое отображение / может быть продолжено до липшицевского отображения / : Мп ^ Мп, которое по теореме Радемахе-ра — Степанова /¿дифференцируемо почти всюду в Мп, см. [56, теорема 3.1.6]. В силу единственности аппроксимативного дифференциала см. в [56, п. 3.1.2], можно считать, что при всех ж £ В; выполнено равенство / (ж) = /'(ж).
Пусть Г обозначает семейство всех сфер ¿V, г £ (£,£0), £0 < = dist(ж0,дО). Для произвольной функции р* £ adm/(Г), такой что р* = 0 гае /(О), полагаем р = 0 гае О В0,
р(ж) := р*(/(ж))||/'(ж)|| при ж £ О \ В0 = В и В*.
Рассуждая покусочно на каждом В;, I = 1,2,..., согласно [56, раздел 1.7.6], а также используя геометрический смысл величины ||/'(ж) У и ее связь с якобианом отображения,
см., например, соотношения (2.5) и (2.6) в [57, гл. I, §2], имеем, что
У рп—1 йА = У р"—1(/(ж))||/'(ж)||п—1 йА - / *"</<«)> • •£«*>/
= 1 р"—1(у)йА ^ 1
для почти всех £г, и, следовательно, р е extp аёшГ. Используя замену переменных на каждом Б^, I = 1, 2,... , см., например, [56, теорема 3.2.5], ввиду счетной аддитивности интеграла, получаем также оценку
^ ^ ^ йт(х) ^ [ рР(х)с1т(х),
J Kp(x,f)
d f(d)
что и завершает доказательство. >
Следствие 6.1. Любой гомеоморфизм с конечным искажением в R^ n ^ 3, класса WO" ПРИ а > n — 1 является нижним Kp(x, f )-гомеоморфизмом с p > n — 1.
Заметим, что соответствующий плоский случай был изучен в работах [58], [41-44], где
f
нижним Q-гомеоморфизмом.
6.1. Конечная липшицевость классов Орлича — Соболева. Для непрерывного отображения f : D ^ Rn и x G D С R", положим
L(xJ) = lim sup Щ^Щ. (6.1)
y^x |y — x|
Говорят, что отображение f является конечно липшицевым, если L(x,f) < то для всех x G D.
Пусть Q : G ^ [0, то] — измеримая функция. Для любого измеримого множества E с Rn обозначим
Q(x)dm(x) = ——— / Q(x)dm(x).
—
m(E)
Теорема 6.1. Пусть В и В' — области в М", п ^ 3. Предположим, что / : В ^ В' — гомеоморфизм с конечным искажением класса , где р : (0, то) ^ (0, то) — неубывающая функция, удовлетворяющая условию (2.1) и, кроме того, при р £ I п, п +
Тогда
p-n-j-1
kp(xo) = lim sup ( f [Кр(ж,/)]?-"+1 dm{x) | < то. (6.2)
\Jß(x о ,e) у
¿(Жо, /) = lim sup /(fo)l < cn,p ■ ki~n (x0) < то, (6.3)
x^xo |x — xo |
где — положительная константа, зависящая только от размерности пространства п р
< Рассмотрим сферическое кольцо Д = Д(ж0,£1,£2) с 0 < £1 < £2 такое, что Д(жо, £1, £2) С -С. Тогда § = (жо, £2)> В (жо, £1)^ — кольцевой конденсатор в И и
/<? = В (жо,£г)> /В (жо,£1)^ — кольцевой конденсатор в И'.
Пусть Г* = А(/51,/52,/Д^, где ^ = 5(ж0,г^), ] = 1, 2. Тогда согласно (4.3), имеем равенство
сар^ /Е = (Г*). (6.4)
р —п + 1 р —п+1
По лемме 5.3 получаем, что
п—1
\ г,~п+1
Vl p —n+1
р — гг—1~ 1
\ П-1
n—1
где || Кр(х, /) || (г) = / [Кр(ж,/)]р-+1 p-n+1 Wo,Г)
Заметим, что
£2
Г n— 1
dr
£2-£l= / --ш-• (6.6)
L 11^, ЯН (г)
р —п+1
Применяя теорему Фубини и неравенство Гёльдера с q = , (/ = имеем
£2 \ р-п+1
/dr \ 1 [ п-1
ii*,(»./)ii^-(-) < J ^ ^d"<*>• <б-7>
vl p-n+l / V z 1/ д
Комбинируя неравенства (6.7) и (6.5), получим
1 [ п-1
cap р /Е < -5— / (ж,/)]?-"+! dm(ж). (6.8)
Р-+1 (£2_е1)^+т7
Далее, выбирая £1 = 2£ и £2 = 4е, получим
1 f п-1
cap—р— (/Б(жо,4е),/Б(жо,2е)) ^ -— / [Кр(ж,йт(ж). (6.9)
V 7 В(жо,4е)
С другой стороны, в силу неравенства (4.4) вытекает оценка
__п(р —п+1)—р
cap р (/_В(жо, 4е), /Б(ж0,2е)) ^ ci [m(fB(x0,2е))] «u>-«+d , (6.10)
p-n+l
Где Ci — положительная константа, зависящая только от размерности пространства n и p.
Комбинируя (6.9) и (6.10), получаем, что
n(p — n+1)
m(fB(xo,2e)) _ f [Kp{xJ)]^ dm{x)
•/В(ж0,4e)
m(B(x0, 2£))
< C2
n(p —n+1) —p
,
n—1
где С2 — положительная постоянная зависящ ая только от пи р. Далее, выбирая в (6.8) £1 = ей £2 = 2е, получим
1 [ та-1
сар_р_ (/В(хо,2е),/В(хо,е)) ^ -— / [Кр(ж,(¿т(ж). (6.12)
р-П+1 £р-п+1 з
В(жо ,2е)
С другой стороны, в силу неравенства (4.5), получаем
чч \
П + 1 ' -1 ' ' ' " ~ х х 4
¿р-п+1 (¡В(х0,£))
саР_Е_ (/Б(жо,2е),/Б(а;о,е)) ^ с3 1 п| | , (6-13)
где Сз — положительная константа, зависящая только от пи р. Комбинируя (6.12) и (6.13), получаем, что
с1УВ(х0,£)) ^ {тув(х0,2е))у> { [ , ^^
^ ^ ' 1 11 1 '' ' ™ + 11 ^ -п
е \ т(Б(жо, 2е)) / ,2е)
где
(1 — п)(р — п + 1) + р (п — 1)(р — п + 1)
= -> 12 = -
рр
и С4 — положительная константа, зависящая только от п и р. Эта оценка вместе с (6.11) дает неравенство
да [К^^^^у
£ уВ(жо ,4е) у
х (-[ [Кр(х, (1т(х)\ , (6.15)
\,/в(жо ,2е) /
'в(жо ,2е) где
п ((1 — п)(р — п + 1) + р) (р — п + 1) . (п — 1)(р — п + 1) р (п(р — п + 1) — р) ' р
и С5 — положительная константа, зависящая только от пи р. Переходя к верхнему пределу при е ^ 0, получаем
ДЖо,/) = ШвърЩ^Щ < Пт8иР^(Ж0'£)) < с •
ж^жо |ж — жо| е^о £
где с — положительная постоянная, зависящая только от п и р. >
Следствие 6.2. Пусть В и В' — области в Мп п ^ 3. Предположим, что / : В ^ В' — г омеоморфизм с конечным искажением класса Т^'с с у слови ем (2.1) и, кроме того,
при р £ ^п, п + )
/■ п-1
Итвиру- [Кр(х, У)]?-^1 йт(х) < <х> (Ухо£В). (6.16)
е^о и в(ж0 ,е) /
Замечание 6.5. В соответствии с леммой 10.6 в [27] конечно липшицевые отображения обладают ^-свойством относительно хаусдорфовых мер и, таким образом, являются абсолютно непрерывными на кривых и поверхностях.
Построим пример гомеоморфизма с конечным искажением, не являющегося конечно липшицевым.
Пример. Предположим, что р е ^п, п + ■ Пусть / : п ^ 3, где
/ 1 \
/(ж) = R
1
р — п
dt
1 + (р-п) / ,
V tp~n+1 In—(f)y
при x = 0 и f (0) = 0.
Касательная и радиальная дилатации f на сфеpe |x| = r, r G (0,1), легко вычисляются:
,,, „ fl + (p-n)/-
„ |/(ж)| V г ÍP-"+4n^T-(f)/
ОТ1 =
1
р — п
|x| r
fl+(p-n) / -t-n+1 )
Sr =
p-n-1-1 p — n
Заметим, что ¿y ^ и
p —n+l rp-ra+l n_i ^e-j
5pT~n+l=5rln^
Следовательно, ввиду сферической симметрии мы видим, что
VN
Очевидно, что
/п-1
/)]р~п+1 dm( х) = оо
J b(0,e)
ко проверит f
| f(x)|
Тем не менее, как легко проверить по правилу Лопиталя, -> оо ПРИ % 0, т. е.
Литература
1. Gehring F. W. Lipschitz mappings and the ^capacity of ring in n-space // Advances in the theory of Riemann surfaces (Proc. Conf. Stonybrook, N. Y., 1969), Ann. of Math. Studies.—1971.—Vol. 66.— P. 175-193.
2. Iwaniec Т., Sverák V. On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer. Math. Soc.—1993.— Vol. 118.—P. 181-188.
3. Iwaniec Т., Martin G. Geometrical Function Theory and Non-Linear Analysis.—Oxford: Clarendon Press, 2001.
4. Красносельский M. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича.—Москва: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1958.
5. Мазья В. Г: Пространства С. Л. Соболева.—Ленинград: ЛГУ, 1985.—416 с.
6. Афанасьева Е. С., Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Об отображениях в классах Орлича — Соболева на римановых многообразиях // Укр. матем. bíchhk.—2011.—Т. 8, № 3.—С. 319-342.
7. Alberico A., Cianchi A. Differentiability properties of Orlicz-Sobolev functions // Ark. Mat.—2005.— Vol. 43.—P. 1-28.
8. Calderon A. P. On the differentiability of absolutely continuous functions // Riv. Math. Univ. Parma.— 1951.-Vol. 2.-C. 203-213.
9. Cianchi A. A sharp embedding theorem for Orlicz-Sobolev spaces // Indiana Univ. Math. J.—1996.— Vol. 45, № l.-P. 39-65.
10. Donaldson T. Nonlinear elliptic boundary-value problems in Orlicz-Sobolev spaces // J. Diff. Eq.— 1971.-Vol. 10.-P. 507-528.
11. Gossez J. P., Mustonen V. Variational inequalities in Orlicz-Sobolev spaces // Nonlinear Anal. Theory Meth. Appl.-1987.-Vol. 11.-P. 379-392.
12. Hsini M. Existence of solutions to a semilinear elliptic system through generalized Orlicz-Sobolev spaces // J. Partial Differ. Equ.-2010.-Vol. 23, № 2.-P. 168-193.
13. Iwaniec Т., Koskela P., Onninen J. Mappings of finite distortion: Compactness // Ann. Acad. Sci. Penn. Ser. Al. Math.-2002.-Vol. 27, № 2.-P. 391-417.
14. Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И., Салимов Р. Р., Севостьянов E. А. К теории классов Орлича — Соболева // Алгебра и анализ.—2013.—Т. 25, № 6.—С. 1-53.
15. Koronel J. D. Continuity and fc-th order differentiability in Orlicz-Sobolev spaces: WkLA // Israel J. Math.—1976.—Vol. 24, № 2.-P. 119-138.
16. Kauhanen J., Koskela P., Maly J. On functions with derivatives in a Lorentz space // Manuscripta Math.-1999.-Vol. 10.-P. 87-101.
17. Khruslov E. Ya., Pankratov L. S. Homogenization of the Dirichlet variational problems in Sobolev-Orlicz spaces // Operator theory and its applications (Winuipeg, MB, 1998).—Providence (R.I.): Amer. Math. Soc., 2000.—Vol. 25.-P. 345-366.
18. Landes Я., Mustonen V. Pseudo-monotone mappings in Sobolev-Orlicz spaces and nonlinear boundary value problems on unbounded domains // J. Math. Anal. Appl.—1982.—Vol. 88.—P. 25-36.
19. Lappalainen V., Lehtonen A. Embedding of Orlicz-Sobolev spaces in Holder spaces // Ann. Acad. Sci. Penn. Ser. Al. Math.-1989.-Vol. 14, № l.-P. 41-46.
20. Onninen J. Differentiability of monotone Sobolev functions // Real. Anal. Exchange.—2000/2001.— Vol. 26, № 2.—P. 761-772.
21. Tuominen H. Characterization of Orlicz-Sobolev space // Ark. Mat.-2007.-Vol. 45, № l.-P. 123-139.
22. Vuillermot P. A. Holder-regularity for the solutions of strongly nonlinear eigenvalue problems on Orlicz-Sobolev space // Houston J. Math.-1987.-Vol. 13.-P. 281-287.
23. Vaisala J. Two new characterizations for quasiconformality // Ann. Acad. Sci. Penn. Ser. Al Math.— 1965.—Vol. 362.—P. 1-12.
24. Menchoff D. Sur les differencelles totales des fonctions univalentes // Math. Ann.—1931.—Vol. 105.— P. 75-85.
25. Gehring F. W., Lehto O. On the total differentiability of functions of a complex variable // Ann. Acad. Sci. Penn. Ser. Al. Math.-1959.-Vol. 272.-P. 3-8.
26. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal Mappings in the Plane.—N. Y.: Springer-Verlag, 1973.
27. Martio O., Ryazanov V, Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory.—N. Y. etc.: Springer, 2009.—367 p.—(Springer Monographs in Mathematics.)
28. Martio O., Hickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Penn. Ser. Al. Math.-1969.-Vol. 448.-P. 1-40.
29. Гольдштейн В. M., Решетняк Ю. Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения.—Новосибирск: Наука, 1983.
30. Gehring F. W. Quasiconformal mappings // Complex Analysis and its Applications, Vol. 2, International Atomic Energy Agency.—Vienna, 1976.—P. 213-268.
31. Hesse J. A p-extremal length and p-capacity equality // Arc. Mat.—1975.—Vol. 13.—P. 131-144.
32. Shlyk V. А. О равенстве p-емкости и p-модуля // Сиб. мат. журн.—1993.—Т. 34, № 6.—С. 216-221.
33. Maz'ya V. Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the theory of Sobolev spaces // Contemp. Math.-2003.-Vol. 338.-P. 307-340.
34. Кругликов В. И. Емкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные в среднем // Мат. сб.-1986.-Т. 130, № 2.-С. 185-206.
35. Gehring F. W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc.—1962.— Vol. 103.-P. 353-393.
36. Golberg A. Homeomorphisms with integrally restricted moduli // Complex Analysis and Dynamical Systems IV. Part 1: Function Theory and Optimization.—Providence (R.I.): Amer. Math. Soc., 2011.—P. 83-98.—(Contemp. Math., 553).
37. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Операторы суперпозиции в пространствах Соболева // Изв. вузов. Матем—2002 —№ 10—С. 11-33.
38. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Операторы суперпозиции в пространствах Лебега и дифферен-
цируемость квазиаддитивных функций множества // Владикавк. мат. журн.—2002.—Т. 4, № 1.— С. 11-33.
39. Vodop'yanov S. К. Description of composition operators of Sobolev spaces // Doklady Math.—2005.— Vol. 71, № l.-P. 5-9.
40. Vodop'yanov S. K. Composition operators on Sobolev spaces // Complex Analysis and Dynamical Systems II.-2005.-P. 401-415.-(Contemp. Math., 382).
41. Lomako Т., Salimov R., Sevost'yanov E. On equicontinuity of solutions to the Beltrami equations // Ann. Univ. Bucharest. Math. Ser.-2010.-T. 59, № 2.-C. 263-274.
42. Ковтошок Д. А., Летков И. В., Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Граничное поведение и задача Дирихле для уравнений Бельтрами // Алгебра И йНйЛЮ. —2013.—Т. 25, № 4.-С. 101-124.
43. Ryazanov V., Salimov R., Srebro U., Yakubov E. On Boundary Value Problems for the Beltrami Equations // Contemp. Math.-2013.-Vol. 591.-P. 211-242.
44. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеомор-физмов // Сиб. мат. журн.—2007.—Т. 48, № 6.—С. 1361-1376.
45. Салимов Р. Р. Абсолютная непрерывность на линиях и дифференцируемость одного обобщения квазиконформных отображений // Изв. РАН. Сер. мат.—2008.—Т. 72, № 5.—С. 141-148.
46. Салимов Р. Р. Об оценке меры образа шара // Сиб. мат. журн.—2012.—Т. 53, № 4.—С. 920-930.
47. Salimov R. R. On finitely Lipschitz space mappings // Сиб. электрон, мат. изв.—2011.—Т. 8.—Р. 284295.
48. Салимов Р. Р. О липшицевости одного класса отображений // Мат. заметки.—2013.—Т. 94, № 4.— С. 591-599.
49. Салимов Р. Р. О кольцевых Q-отображениях относительно неконформного модуля // Дальневост. мат. журн.—2014.—Т. 14, № 2.-С. 257-269.
50. Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. Теория кольцевых Q-отображений в геометрической теории функций // Мат. сб.-2010.-Т. 201, № 6.-С. 131-158.
51. Севостьянов Е. А. К теории устранения особенностей отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности // Изв. РАН. Сер. матем.—2010.—Т. 74, № 1.—С. 159-174.
52. Севостьянов Е. А. О пространственных отображениях с интегральными ограничениями на характеристику // Алгебра И йНйЛЮ. —2012.—Т. 24, № 1.—С. 131-156.
53. Севостьянов Е. А. О точках ветвления отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности // Сиб. мат. журн.—2010.—Т. 51, № 5.—С. 1129-1146.
54. Ковтошок Д. А., Рязанов В. И. К теории нижних Q-гомеоморфизмов // Укр. мат. вгсник.—2008.— Т. 5, № 2.-С. 157-181.
55. Ziemer W. P. Extremal length and p-capacity // The Michigan Math. J.—1969.—Vol. 16, № 1.—P. 43-51.
56. Федерер Г. Геометрическая теория меры.—М.: Наука, 1987.—760 с.
57. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением.—Новосибирск: Наука, 1982.
58. Салимов Р. Р. Нижние оценки p-модуля и отображения класса Соболева // Алгебра и а нал из.— 2014.—Vol. 26, № 6.-С. 143-171.
Статья поступила 23 октября 2014 г.
Салимов Руслан Радикович
Институт математики HAH Украины,
старший научный сотрудник
УКРАИНА, 01601, Киев-4, ул. Терещенковская, 3
E-mail: salimovO70rambler.ru, ruslan6230yandex.ru
ON FINITE LIPSCHITZ ORLICZ-SOBOLEV CLASSES Salimov R. R.
It is found a sufficient condition of finite Lipschitz of homeomorphisms of the Orlicz-Sobolev class WjOf under a condition of the Calderon type.
Key words: finitely Lipschitz mapping, p-modulus, p-capacity, Orlicz-Sobolev class, Orlicz space, lower Q-homeomorphism, mappings of finite distortion.
