Нижние оценки для площади образа круга Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 9. № 2 (2017). С. 56-62.

УДК 517.5

НИЖНИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПЛОЩАДИ ОБРАЗА КРУГА

Б.А. КЛИЩУК, P.P. САЛИМОВ

Аннотация. В работе рассматриваются Q-гомеоморфизмы относительно р-модуля на комплексной плоскости при р > 2. Получена нижняя оценка площади образа круга при таких отображениях. Решена экстремальная проблема о минимизации функционала площади образа круга.

Ключевые слова: ^модуль семейства кривых, р-емкость конденсатора, квазиконформные отображения, Q-гомеоморфизмы относительно р-модуля.

Mathematics Subject Classification: 30С65

1. Введение

Задача об искажении площадей при квазиконформных отображениях берет свое начало в работе Б. Боярского, см. [1]. Ряд результатов в этом направлении получен в работах [2]-

[4].

Впервые верхняя оценка площади образа круга при квазиконформных отображениях встречается в монографии М.А. Лаврентьева, см. [5]. В монографии [6], см. предложение 3.7, получено уточнение неравенства Лаврентьева в терминах угловой дилатации. Также ранее в работах [7]-[8] были получены верхние оценки искажения площади круга для кольцевых и нижних Q-гомеоморфизмов. В данной работе получены нижние оценки площади образа круга при Q-гомеоморфизмах относительно р-модуля при р > 2.

Для простоты изложения ограничимся только плоским случаем. Напомним некоторые определения. Пусть задано семейство Г кривых 7 в комплексной плоскости C, Борелев-скую функцию q : C ^ [0, то] называют допустимой для Г, пишут q G admT, если

J g(z) \dz| ^ 1 V 7 G Г. (1)

7

Пусть p G (1, то), Тогда р-жо^улеж семейства Г называется величина

МР(Г) = inf [ tf(z) dm(z). (2)

ggadm г j

C

Предположим, что D — область в комплексной плоскости C, т.е. связное открытое подмножество C и Q : D ^ [0, то] — измеримая функция. Гомеоморфизм f : D ^ C будем называть относительно р-модуля, если

Mp(f Г) ^ J Q(z) (T(Z) dm(z) (3)

D

для любого семейства Г кривых в D и любой допустимой функции q дая Г.

Исследование неравенств типа (3) при р =2 восходит к Л. Альфорсу (см., напр., теорему 3, разд. D, гл. I, [9]), а также О. Лехто и К. Вертанену (см. неравенство (6.6), разд. 6.3,

В.A. Klishchuk, R.R. Salimov, Lower bounds for the area of the image of a circle. © Клищук Б.А., Салимов P.P. 2017. Поступила 16 июня 2016 г.

гл. V в [10]), В работе В,Я, Гутлянекого (совместно с К, Бишопом, О, Мартио и М, Вуори-неном) доказан многомерный аналог неравенства (3) для квазиконформных отображений (см. [11]).

Отметим также, что если в (3) функцию Q считать ограниченной п.в. некоторой постоянной К £ [1, го) и р = 2, то приходим к классическим квазиконформным отображениям, которые были впервые введены в работах Грётча, Лаврентьева и Морри,

Пусть Q : D ^ [0, го] — измеримая функция. Для люб ого числа г > 0 обозначим

Qzo= j Q(z) \dzI

S(zo,r)

— среднее интегральное значение функции Q по окружности S(z0, г) = {z £ C : \z — z0\ = г}.

Теорема 1. Пусть D и D' — ограниченные области в C и f : D ^ D' — Q-гомеоморфизм относительно р-модуля, р > 2, Q £ L11oc(D \ {z0}). Тогда при всех г £ (0, do), d0 = dist(z0,dD), имеет место оценка

(. 2(р-1) Г \ р-2

t—^) ■ w

0 t^i ч!-1 т)

где В(z0, г) = {z £ C : \z — z0\ ^ г} .

Отметим, что при р > 2 и Q(z) ^ К из теоремы 1 приходим к результату для круга из работы [12], см. лемму 7.

2. Доказательство основной теоремы Приведем некоторые вспомогательные сведения о емкости конденсатора. Следуя работе [13], пару £ = (А, С), где А С C — открытое множество и С — непустое компактное множество, содержащееся в А, называем конденсатором. Конденеатор £ называется кольцевым конденсатором, если R = А \ С — кольцевая область, т.е., если R — область, дополнение которой C \ R состоит в точности го двух компонент. Конденсатор £ называется ограни-

А

конденеатор £ = (А, С) лежит в области D, если А С D. Очевидно, что если f : D ^ C — непрерывное, открытое отображение и £ = (А, С) — конденсатор в D, то (¡А, fC) также конденсатор в fD. Далее f£ = (f А, ¡С),

Пусть £ = (А, С) — конденсатор. Обозначим через С0(А) множество непрерывных функций и : А ^ R1 с компактным носи тел ем. W0(£) = М0(А, С) — семейство неотрицательных функций и : А ^ R1 таких, что 1) и £ С0(А).; 2) и(х) ^ 1 для х £ С и 3) и принадлежит классу ACL, При р ^ 1 величину

cap„£ = cap„ (А,С)= inf / IVuIр dm(z), (5)

р р ueWo(£) J

А

где

!VU = ^ШГ+Ш (в)

называют р-ёмкостъю конденсатора £. В дальнейшем мы будем использовать установленное в работе [14] равенство

еарр £ = МР(А(дА,дС;А \С)), (7)

где для множеств Т1; Т2 и Т в C, А(Т^Т2;Т) обозначает семейство всех непрерывных кривых, соединяющих Т1 и Т2 в Т.

Известно, что при р ^ 1, см, предложение 5 из [15],

. [inf/ИГ

caPp £ ^ jf^-I. (8)

Здесь 1(a) — длина гладкой (бесконечно дифференцируемой) кривой а, которая является границей а = dU ограниченного открытого множества U, содержащего С и содержащегося вместе со своим замыканием U в А, а точная нижняя грань берется по всем таким а.

Доказательство теоремы, 1. Пусть £ = (А, С) — конденсатор, где А = {z G D : \z — Zq\ < t + At}, С = [z G D : \z - Zq\ ^ t], t + At < d0. Тогда f£ = ( fA, fC) — кольцевой конденеатор в D' и согласно (7) имеем равенство

caPp f£ = Mp (A(d fA, dfC; f(A \ C)). (9)

В силу неравенства (8) получим

cap, f£ > (10)

( а) а

границей a = dU ограниченного открытого множества U, содержащего С и содержащегося вместе со своим замыканием U в А, а точная нижняя грань берется по всем таким а. С другой стороны, в силу определения Q-гомеоморфизма относительно р-модуля, имеем

capp f£ ^У Q(z) (f (z) dm(z) (11)

D

для любой q G adm A(dA, dC; A \ С). Легко проверить, что функция

= , ZGA\С

f_—

J lz-Z0\ ln 0,

ziA\С

является допустимой для семейства А(дА, дС; А \ С) и поэтому

V < ^ш/^ (12)

4 1 ' я

где К = [г е И : г ^ - г0| ^ t + Аt}.

Комбинируя неравенства (10) и (12), получим

И''(<Т)1* / А *Ф). (13)

\fA \ ¡С\v-1^ lnp (J \z — Zq\P

R

По теореме Фубини имеем

i+Ai i+Ai

Q(z) dm(z)= f — I Q(z) \dz\ = 2tt [ r1-p qZo (r)dr, (14)

J \z — Zq\P J TP

R t S(Z0,T) t

где qZo(r) = f Q(z) \dz\ и S(zq, t) = [z G C : \z — zq\ = т]. Таким образом,

ЖТ S(z0,T)

р-1

шм < (-) р 11АЖ1

4+Д4

У г1-р^0 (т)«Г

Далее, воспользовавшись изопериметрическим неравенством

1п£ 1(а) » 2^|/С|,

получим

р-1

2 < (27)Р 1/А\/С ^ 2\/7 1 < (27г)р

Г1-Р^о (^ «Т

Определим функцию Ф(£) для данного гомеоморфизма f следующим образом

Ф(*) = |/В( гс, 1)1,

где В(гс, ¿) = ^ € С : |г — гс| < ¿}. Тогда из соотношения (17) следует, что

2у/ж Ф(г) < (27)р

Ф(*+Д*)-Ф(*)

дг

р-1

1п(£+Д£)-1п г

дг

1

А

4+Д4

1-р

&0 (г)^

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Устремляя в неравенстве (19) А^ ^ 0, и учитывая монотонное возрастание функции Ф по Ь € (0, ¿с), для п.в, Ь имеем:

р-2 ,, ч 27 2(р-1) Ф'(^)

1 1 ^ У . .

tP-l Я^о1 (¿) Ф 2(Р-1) ^ Отсюда легко вытекает следующее неравенство:

(20)

Р-2

27 2(р-1)

<

tр-l дР-1 (¿) \ 2(р-1)

/ Ф2(р-21) (¿Л' \ 20-1) /

(21)

Поскольку р > 2, то функция д(Ь)

Р-2

Ф р-2 ' ягляоп'я п('уоыг,ан)11 юн на (0, ¿с), где

2(р-1) "

«с = ^^гс, дИ). Интегрируя обе части неравенства по Ь € [е, г] и учитывая, что

(" Р-2 , , \ ' Г

\ Ч

2(р-1) / {

Р-2

Р-2

д'(г)«ь < д(г) — д(е) <

Ф 2(р-1) (г) — ф 2(р-1) (£) 2(р-1)

(22)

см., напр., теорему IV, 7,4 в [16], получаем

Р-2

27 2(р-1)

Р-2

Р-2

^ ^о-1 (¿)

<

Ф 2(р-1) (Г) — ф 2(р-1) (£)

Р-2 2(р-1)

(23)

Устремляя в неравенстве (23) е ^ 0, приходим к оценке

ч 2(р-1) / г

ФМ »7 (^) Р-2 ([^Т-V и ^ „I-1 (0

2(р-1) Р-2

Р

[

]

1

г

1

Наконец, обозначая в последнем неравенстве Ф( г) = |/B(z0, г)|, имеем

(. 2(p-l) Г \ р-2

0 «V (t)j

и тем самым завершаем доказательство теоремы 1,

3. Следствия из теоремы 1.

Из теоремы 1 непосредственно вытекают следующие утверждения.

Воспользовавшись условием qZ0 (t) ^ q0 t-a, оценим правую часть неравенства (4) и проведя элементарные преобразования приходим к следующему результату.

Следствие 1. Пусть D u D' — ограниченные области в С и f : D ^ D' — Q-гомеоморфизм относительно р-модуля при р > 2. Предположим, что функция Q удовлетворяет условию

qZ0(t) < qo t-a, qo G (0, то) , a G [0, то) (26)

для, z0 G D ип.в. всех t e (0, d0), d0 = dist( z0, dD). Тогда, при в cex r e (0, d0) имеет .место оценка

\ 2(рТ21) 2

IfB (zo, г)| ^ ( + ~2J Р-2 qtP IB (zo, r)|1+A . (27)

\a +p - 2 J

В частности, полагая здесь а = 0, получаем следующее заключение.

Следствие 2. Пусть Б и Б' — ограниченные обла сти в С и ¡: Б ^ Б' — Q-гoм,eoм,орфизм, относительно р-модуля, р > 2 и qZ0 (¿) ^ qo < ж для п.в. Ь Е (0, do), ^о = ^б^о, дБ). Тогда, имеет .место оценка

2

ЦБ(г0, г)| ^ \Вг)| (28)

для, всех г Е (0, ^о) •

Следствие 3. Пусть выполнены условия теорем,ы, 1 и Q(z) ^ К < ж для п.в. г Е Б. Тогда, имеет место оценка

2

иВ^0, г)\ ^К^ \В^о, г)| (29)

для, всех г Е (0, ^о) •

Замечание 1. Следствие 3 является, частным случаем результата Геринга, для Е = В(г0, г), см,, лемму 1 в [12].

Следствие 4. Пусть / : В ^ В — ^^^^^^^^^^^^ относительно р-модуля прир > 2. Предположим,, что функция Q(z) удовлетворяет условию

Ж) ^ (0, ж), (30)

при п.в. всех Ь Е (0,1), где q(t) = ^ / Q(z) ^\ — среднее интегральное значение над

Ж Я

окружностью St = [г Е С : \г\ = Ь}. Тогда, при всех г Е (0,1) имеет место оценка

\fBr |

где Br = {z е C : \z\ ^ г].

Й-г)

2(р-1)

р-2

Qo

2

2-р

( г ln -

2(р-1) Р-2

(31)

4. Экстремальные задачи для функционала площади Пусть Q : B ^ [0, то] — измеримая функция, удовлетворяющая условию

q(t) < Qo , Qo е (0, то) (32)

при п.в, t е (0,1), где q(t) = 27 f Q(z) \dz\ — среднее интегральное значение над окруж-

77 st

ноетыо St = {z е C : \z\ = t].

Пусть Н = Н(q0,p, B) — множество всех Q-гомеоморфизмов f : B ^ C относительно р-модуля при р > 2 с условием (32). Рассмотрим на классе Н функционал площади

Sr ( /) = \ fBr \. (33)

Теорема 2. Для, всех г е [0,1] справедливо равенство

2

min Sr ( f) = n q0-p г2 . (34)

J Grt

Доказательство. В силу следствия 2 немедленно вытекает оценка

2

йг ( Л » 7 %2-Р Г2 . (35)

Укажем гомеоморфизм / € Н на котором реализуется минимум функцпонала йг ( . Пусть /с : В ^ С, где

1

Ш = q20-рz (36)

с

отображение, определенное таким образом, является ^-гомеоморфизмом относительно р-модуля с Q(z) = qс. Действительно,

1 2 , /с) = Ь(г, /с) = %2-Р , 3{*, /с) = qlР (37)

и

J (z Jo)

lp(z Jo)

Kj,p(z ,/0) = = q0. (38)

Q

р-модуля с Q(z) = KIyP(z, f0) = q0.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Боярский Б.В. Гомеоморфные решения систем Бельтрами // Доклады Академии наук. 1955. Т. 102. С. 661-664.

2. F.W. Gehring, Е. Reich Area distortion under quasiconformal mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 388. 1966. P. 1 15.

3. K. Astala Area dislortron of quasrconformal mapprngs // Acta Math. 1994. V. 173 P. 37-60.

4. A. Eremenko, D.H. Hamilton On the area distortion by quasiconformal mappings // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. T. 123. P. 2793-2797.

5. Лаврентьев M.A. Вариационный мет,од в кра,евы,х задачах для систем уравнений эллиптического типа // М. 1962. 136 с.

6. В. Bojarski, V. Gutlvanskii, О. Martio, V. Rvazanov Infinitesimal geometry of quasiconformal and bi-Lipschitz mappings in the plane // EMS Tracts in Mathematics, Vol. 19. EMS Publishing House.

2013. 214 p.

7. Ломако T.B., Салимов P.P. К m,eopuu экстремальных задач, // Зб1рник ираць 1н-ту математики НАНУ. 2010. Т. 7, № 2. С. 264-269.

8. Салимов P.P. Нижние оценки р-модуля и отображения класса, Соболева // Алгебра и анализ.

2014. Т. 26, № 6. С. 143-171.

9. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным, отображениям // М. Мир. 1969. 133 с.

10. О. Lehto, К. Virtanen Quasiconformal Mappings in the Plane // New York etc. Springer. 1973. 258 p.

11. C.J. Bishop, V.Ya. Gutlvanskii, O. Martio, M. Vuorinen On conformal dilatation in space // Intern. J. Math, and Math. Scie. 2003. V. 22. P. 1397-1420.

12. F.W. Gehring Lipschitz mappings and the p-capacity of ring in n-space // Advances in the theory of Riemann surfaces (Proc. Conf. Stonvbrook, N.Y., 1969. Ann. of Math. Studies. 1971. V. 66. P. 175-193.

13. O. Martio, S. Rickman, J. Vaisala Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. Al. Math. 1969. V. 448. P. 1-40.

14. Шлык В. А. О равенстве р-емкости и р-модуля // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, Л*8 6. С. 216-221.

15. Кругликов В.И. Емкости конденсаторов и, пространственные отображения, квазиконформные в среднем, // Математический сборник. 1986. Т. 130, № 2. С. 185-206.

16. Сакс С. Теория интеграла // Издательство ИЛ, М. 1949. 495 с.

17. R. Salimov, Е. Sevost'vanov The Poletskii and Vaisala inequalities for the mappings with (p,q)-distortion // Complex Variables and Elliptic Equations. 2014. V. 59, № 2. P. 217-231.

Богдан Анатольевич Клищук, Институт математики HAH Украины, ул. Терещенковская, 3, 01601, г. Киев, Украина E-mail: [email protected]

Руслан Радикович Салимов, Институт математики И АН Украины, ул. Терещенко вская, 3, 01601, г. Киев, Украина E-mail: [email protected]