О степенном порядке роста нижних Q-гомеоморфизмов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 2, С. 36-48

УДК 517.5

О СТЕПЕННОМ ПОРЯДКЕ РОСТА НИЖНИХ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ

Р. Р. Салимов

В работе исследуется асимптотическое поведение в точке нижних Q-гомеоморфизмов относительно р- модуля. Найдены достаточные условия на функцию Q, при которых отображение имеет степенной порядок роста. В работе приведены приложения этих результатов к классам Орлича — Соболева WjO'C в Rn, n ^ 3, при условии типа Кальдерона на функцию p и, в частности, к классам Соболева WOp щи р > n — 1. Приведен пример гомеоморфизма, показывающий точность порядка роста.

Ключевые слова: р-модуль, p-ёмкость, нижние Q-гомеоморфизмы, отображения с конечным искажением, класс Соболева, класс Орлича — Соболева.

1. Введение

Напомним некоторые определения. Следуя [1, разд. 9.2], k-мерной поверхностью S в Ж™ называем произвольное непрерывное отображение S : со —» Ж™, где со — открытое множество в Rk := Rk U {то} и k = 1,... ,n — 1. Функцией кратности поверхности S называем число прообразов

N(S, y) = card S -1 (y) = card {x G ш : S(x) = y}, y G

Другими словами, символ N(S, y) обозначает кратность накрытия точки y поверхно-S

измерима относительно произвольной хаусдорфовой меры Hk (см. [1, разд. 9.2]).

Для борелевской функции р : Rn ^ [0, то] ее интеграл по поверхности, S определяется равенством

J pdAk := У p(y) N(S, y) dHky.

S Rn

Пусть Г — семейство k-мерных поверхностей S. Борелева функция р : Rn ^ [0, то]

называется допустимой для семейства Г, пишут р G admT, если

J pk dAk ^ 1

S

для каждой поверхности S G Г. Пусть p G (1, то) — заданное фиксированное число. Тогда p-модулем семейства Г называется величина

Mp(Г) = inf /V(x) dm(x).

р£admГ J

© 2017 Салимов P. P.

Будем говорить, что свойство Р имеет место для р-почти всех (р-и.в.) к-мерных поверхностей Б семейства Г, если подсемейство всех поверхностей семейства Г, для которых Рр Говорят (см. [1, разд. 9.2]), что измеримая по Лебегу функция р : Ж" ^ [0, то] является обобщенно р-допустимой для семейства Г состоящего из (п — 1)-мерных поверхностей Б в Ж", пишут р £ extp аёшГ, если

/р"-1(х) йАи-1 > 1 (1.1)

для р-и. в. Б £ Г.

Пусть В и В' — области в Ж", п ^ 2, х0 £ Д Q : В ^ (0, то) — измеримая по Лебегу функция. Гомеоморфизм / : В ^ В' будем называть нижним Q-гомеоморфизмом относительно р-модуля в точке хо, если

А

для каждого кольца

А = А(х0,е1,е2) = {х £ Ж" : е1 < |х — х0| < е2} , 0 < е1 ^ е2 <

где й0 = dist(x0,дВ), а ЕА обозначает семейство всех сфер

Б(хо,г) = {х £ Ж" : |х — х01 = г} , г £ (е^). (1.3)

В работах [2] и [3] приводятся приложения нижних Q-гoмeoмopфизмoв к исследованию локального и граничного поведения гомеоморфных решений с обобщенными производными и к задаче Дирихле для уравнений Бельтрами с вырождением.

Теория нижних Q-гoмeoмopфизмoв применима к отображениям с конечным искажением класса Орлича — Соболева при наличии условия Кальдерона и, в частности, к классам Соболева Т^С при р > п — 1 (см. [4-11]).

В данной работе мы устанавливаем аналоги леммы типа Икомы — Шварца для нижних относительно р-модуля (см. [12, теорема 2].

Ниже приведен критерий нижних относительно р-модуля при

р > п — 1 р = п

[13, теорема 2.1] (см. также монографию [1, теорема 9.2]).

Лемма 1.1. Пусть В — область в Ж", п ^ 2, х0 £ В. Предположим, что Q : В ^ (0, то) — измеримая функция. Гомеоморфизм / : В ^ Ж" является нижним Q-гoмeo-х0 р р > п — 1

£2

/¿г

£1 р-п+1

где = dist(x0,дВ), Ея — семейство всех сфер Б(х0, г) = {х £ Ж" : | х — х0| = г}, г £ (еье2), и

( р-п+1

I . (1.5)

Инфимум в (1.2) достигается только для функции

1

.. / Я{Х) \ р-п+1

Ро Ж = -7,-ГГ • (1-6)

\IIQII п-1 (|ж-ж0|) )

\ р—п+1 /

Замечание 1.1. Ниже мы используем стандартные соглашения, что а/то = 0 для а = то, а/0 = то, если а > 0, и 0 -то = 0 (см., например, [14]).

Пусть О — область в Ж",п ^ 2. Е,¥ С О — произвольные множества. Обозначим через Д(Е, ^; О) семейство всех кривых 7 : [а, 6] ^ Ж", которые соединяют Е и ^ в О, т. е. 7(а) £ Е, 7(6) £ ^ и 7(4) е О при а < £ < 6.

Следующая лемма была получена в работе [10, лемма 5.3].

Лемма 1.2. Пусть О и О' — области в Ж" п ^ 2. Предположим, что Q : О ^ (0, то) — измеримая по Лебегу функция и / : О ^ О' — нижний Q-гoмeoмopфííзм в точке жо относительно р-модуля при р > п — 1. Тогда имеет место оценка

п— 1

\ / \£1 р —п+1 / где = £(ж0,£;), ^ = 1,2, и

р-п-\-1

( / Q^(x)<Wn-1) . (1.8)

Замечание 1.2. Отметим, что норма ||С?|| п-1 (хо,г) по некоторым сферам Б(хо,г)

р — п+1

может быть равна бесконечности. По теореме Фубини функция ||С?|| п-1 (жп, т) измерима

р — тг+1

по г в силу измеримости по ж функции Q. Более того, £2

/¿г

—----- < ТО, 0 < £1 < £2 < (1{х0,дВ). (1.9)

||0|| п-1 (Хп.г)

£1 р — п+1

Это следует из условия гомеоморфности отображения / и леммы 1.2, поскольку —

емкость невырожденного кольца — не может быть равна нулю. (Определение емкости см. ниже.) Интеграл в (1.9) может быть равен нулю в случае, если ||С?|| п-1 (хп,г) = то

р — п+1

п. в., но тогда соотношение (1.7) очевидно.

2. О емкости конденсатора

Следуя работе [15], пару Е = (А, С), где А с Ж" — открытое множество и С — непустое компактное множество, содержащееся в А, называем конденсатором. Конденсатор Е называется кольцевым конденсатором, если О = А \ С — кольцо, т. е. если О — область, дополнение которой Ж™ \ С состоит в точности из двух компонент. Говорят также, что конденсатор Е = (А, С) лежит в области О, если А с О. Очевидно, что если / : О ^ Ж" — непрерывное, открытое отображение и Е = (А, С) — конденсатор в О, то (/А,/С) также конденсатор в /О. Далее, /Е = (/А,/С).

функция u : A ^ R абсолютно непрерывна на прямой, имеющей непустое пересечение с A, если она абсолютно непрерывна на любом отрезке этой прямой, заключенном в A. Функция u : A ^ R принадлежит классу ACL (абсолютно непрерывна на почти всех прямых), если она абсолютно непрерывна на почти всех прямых, параллельных любой координатной оси.

Обозначим через Co(A) множество непрерывных функций u : A ^ Ж1 с компактным носителем, Wo(E) = Wo (A, C) — семейство неотрицательных функций u : A ^ Ж1 таких, что 1) u G Co (A); 2) u(x) ^ 1 для x G C; 3) u принадлежит классу ACL. Также обозначим

|Vu| =

\

du 4 2

При р ^ 1 величину

сарр Е = сарр (А, С)= И /|Уп|р йга(ж) (2.2)

А

называют р-ёмкосгпью конденсатора Е.

В дальнейшем при р > 1 мы будем использовать равенство (см. [16, теорема 1])

сарр Е = Мр(Д(дА,дС; А \ С)). (2.3)

Известно, что при 1 < р < п

2. (п — Т)\Р~1 п-У

сарр Е ^ пП% ( у ) [т(С)]™ , (2.4)

где — объем единичного шара в Ж" (см., например, [17, неравенство (8.9)]).

Q

Всюду далее Вг = {ж £ Ж" : |ж| < г} В" = {ж £ Ж" : |ж| < 1} = {ж £ Ж" : |ж| = г}, — объем единичного шара В" в Ж" и о>га_1 — площадь единичной сферы §га-1 в Ж". Ниже приведена лемма об оценке искажения емкости сферического конденсатора при нижних ^-гомеоморфизмах.

Лемма 3.1. Пусть / : В" ^ В", п ^ 2, — нижний Q-гомеоморфизм относительно р-модуля при р > п. Предположим, что для некоторых конечных чисел А > 1, а > 0 и Со > 0 выполнено условие

Ае

йГ >С0 (уее(0,ео), еоС (о(3.1)

-.а

IIQII-r^W " V ^ "" " V 'А

p-n+1

где

/ р —п+1

Q^(x)d^n-i) n_1 /

п-1 [г ) = ( / (xj

p — ni

Тогда имеет место оценка

<т(п-1)

саР—Е-у (fBxeJB£) < С0 е^+т. (3.2)

p — n + 1 4 / yj

n-1

< Рассмотрим сферическое кольцо

А = А(0,в1 ,£2) = {ж е Ж" : £1 < |ж| < £2}, 0 < £1 < £2 < 1.

Тогда (В£2, В£1} — кольцевой конденсатор в Мп и (/В£2, /-В£1) — кольцевой конденсатор в В"

Пусть Г* = Д(/5е1 ,/££2, /А). Тогда согласно (2.3) имеем равенство

сар—г {¡вЕ2,Тв£1) = М—(Г*). (3.3)

р—п+1 4 17 р —п+1

По лемме 1.2 получаем, что

/ 62 \ —^тт _ Г (]г \ Р-п+1

сар /ЙЗТЙ ■ <3'4>

\£1 р-п+1 /

Далее, выбирая в (3.4) £\ = е < £0 < j и £2 = \е, получим

, \е ч _ "-1

_ (г С1Г \ р-п+1

"P^fa П j . (3.ö)

\£ р—П+1 /

Из условия (3.1) вытекает оценка (3.2). >

Следующий результат является аналогом известной леммы Икомы — Шварца об оценке нижнего предела, см. теорему 2 в [12].

Теорема 3.1. Пусть f : ^ n ^ 2, — нижний Q-гомеоморфизм относительно р-модуля при p > n, удовлетворяющий условию f (0) = 0. Если для некоторых конечных чисел А > 1, ст> 0 и Co > 0 выполнено условие

Ле

^ / цпц ^ , , > Со (3.6)

J IIQII п-1 (г)

е p-n+i

для любого £ G (0, £о), £о £ (о, то

lim inf < i/o , (3.7)

ж )-0 ^—п

где vo — положительная постоянная, зависящая только от n и р.

< Рассмотрим конденсатор (/-Вде,/1?е) , £ G (0,£о), £о £ В силу леммы 3.1

имеем оценку

____<т(п-1)

саР—Е—г (fBxe,fB£) < (3.8)

p-n+i

Используя соотношение (2.4), получаем

n( p — n

__(р — П+1)— р

сар_^ {fBXeJB£) [т(Щ] , (3.9)

in

р — п+1

где vi — константа, зависящая только от размерности пространства n и р. Комбинируя (3.8) и (3.9), заключаем, что

п

,-----<ТП

m(fBe) ^щС0р-п (3.10)

где vo — положительная постоянная, зависящая только от n и р.

Учитывая, что f (0) = 0, получаем

Пп (min\f(x)\] <miWe) (3-Й)

\|x|=e J

и, следовательно,

тт|/(Ж)К (3.12)

|x|=e V "n

Таким образом, учитывая неравенства (3.10) и (3.12), имеем

I/mi_........tSäl№)' ,jm<m

_1

п 1

lim inf —s— = lim inf-- ^ inf — стп ^ щС0 p n ,

(ж!?1-™ £Р-П e—>0 \ Qn£p-n I

где vo — положительная постоянная, зависящая только от ир >

Следствие 3.1. В частности, если для некоторых конечных чисел А > 1 и Co > 0 выполнено условие

Ле

Г dr

^ Со (3.13)

IIQH^i (г)

p —n+1

ДЛЯ любого £ £ (0, во) , So £ (о, , то

lim inf ЩФ- < z/0Cn р'п , (3.14)

x^o |x| 0

где vo — положительная постоянная, зависящая только от n и р.

Теорема 3.2. Пусть f : Bn ^ Bn, n ^ 2, — нижний Q-гомеоморфизм относительно

р-модуля при р > n, удовлетворяющий условию f (0) = 0. Если для некоторых чисел

qo £ (0, то) y £ [0,р — n) выполнено условие

)р—п+1

П— 1

(3.15)

ДЛЯ П. В. Г е (0, Го), То £ (0) е)' то

lim inf < i/од^Ч (3-16)

ж >-0 р—п

vo n

р

< Из условия (3.15) вытекает оценка

р —п+1

n-1

р-п+1

IIQII-^W = (J Q—Hx)d^n.1j ^ ÜJn-i1 Qo rp-n-^+1. (3.17) Пусть А = ей a = р — n — y- Из неравенства (3.17) следует условие

ее ее

/ мет>¡-г- / s^r = * с.«)

е р-п+1 Чг-1 (?о е

en+Y-Р — 1

где Со = р-п+1

р — п

шп-11 qo(n+j-p)

Применяя теорему 3.1 с параметрами А = е, и = р — п — 7 и Со = р-п+У -5

шп-1 ®(«+7-р)

получаем оценку

НшИ < г/(3.19)

х |ж| р—п

где ^о — положительная постоянная, зависящая только от п и р. >

Следствие 3.2 .В частности, если для некоторого конечного числа ^о > 0 выполнено условие

р-71-\- 1

п-1

1 [ п-1

(ж) < (з.20)

для п. в. г £ (0, Го), То £ (О, то

lim inf Щ^- < г/о^, (3.21)

x^o |x| o

vo n

р

Следствие 3.3. Если Q(x) ^ K < то для п.в. x £ Bn, то

lim inf < (3.22)

x^o |x|

vo n

р

Лемма 3.2. Пусть Q £ La(Mn), a > p > п. Тогда при А > 1 имеет место оценка

Ле

[_±_ > (з 23)

J WQW^ir) " IIQUa 1 ' J

е p-n+1

для любого е £ (0, где ||<5||a = (Jßn Qa(%) dm(x)) a, a = p 2 " и co — ноложитель-

Jb« ™ ™ ная постоянная, зависящая только от n, р, А и a.

< Пусть А > 1. Заметим, что

Ле

г п-1 ^г

(А — 1)е = / цдц^(г)-ш-. (3.24)

i p~n+1 II QU l-, (r)

p — n+1

Применяя теорему Фубини и неравенство Гёльдера с показателями q = , (/ = ^zx:

_р_ „/ _ _р_

п-

имеем

/ Ле

dr \ р n+1 ,,, _ч ч__£_ f "-1

^((Л-1)е) Qp-n+1(x)dm(x), (3.25)

1У 1^11 (Г)у

\ е р-п+1 / А

где А = А(0, е, Ае).

Применяя еще раз неравенство Гёльдера с показателями д = а(р^г+1) у I и д' =

а(р—га+1)

а(р-п+1)-п+1' получаем

Лв — п~ ^ п— 1

\ р-П+1 / Г. \ 0!(р-П+1)

1 ^Сг£в { да(х)Лт(х) , (3.26)

IIQII-^rW \J v V

p-n+1 / \A /

л (п—1)(ар—ап—п) л

где с/ = -—а{р-п+\)— и С1 — положительная постоянная, зависящая только от п, р, А и а.

Отсюда вытекает оценка

Ле

[_—_ > с° ся 27)

У 11311 _*=!(»■) " 11311«' 1 • ;

е р—п+1

где ||<5||а = (/щп Яа{%) <1т(хУ) ~, <т = и Со _ положительная постоянная, зави-

сящая только от п, р, А и а >

Теорема 3.3. Пусть / : Вп ^ Вп, п ^ 2, — нижний Q-гомеоморфизм относительно р-модуля при р > п, удовлетворяющий условию /(0) = 0. Если (} £ Ьа(Шп), а > то

1ш1!М < г/0||3||Гп, (3.28)

X а(р —п)

где ||<5||а = (/вп Яа{%) йт{х)') а — норма в пространстве Ьа(Мп) и щ — положительная постоянная, зависящая только от п, р и а.

< Пусть А = 2. Поскольку (} £ Ьа(Шп) и а > то из леммы 3.2 следует, что функция (} удовлетворяет условию (3.6) с параметрами а = ; (70 = со _ Применяя

а || ^ || а

теорему 3.1, получаем оценку

1ш1!М [ПХ)1- < 1/оЦдЦГ^, (3.29)

а(р —п)

гДе ИЗ||ск = (/Вп 3"(ж) йтп{ж)) а — норма в пространстве ¿„(В™) и г/о — положительная постоянная, зависящая только от п, р и а. >

4. Приложения к классам Орлича — Соболева

Напомним некоторые определения. Пусть О — облаеть в Жп, п ^ 2. Гомеоморфизм / : О ^ Жп называется ото^да^еные^ с конечным искажением, если / е ^О'С и

||//(ж)||п < К (ж) ■ 3 (ж,/) (4.1)

для некоторой п. в. конечной функции К (ж) ^ 1, где //(ж) — якобиева матрица /,

||//(ж)|| — ее операторная норма: ||//(ж)| = 8ир^|=1 |//(ж) ■ Н| и 3(ж,/) = //(ж) —

/

Впервые понятие отображения с конечным искажением введено в случае плоскости для / е ^¿С2 в работе [18] (см. также [19]).

Следуя Орличу, для заданной выпуклой возрастающей функции ^ : [0, то) ^ [0, то), ^>(0) = 0, обозначим символом ^пространство всех функций / : О ^ Ж таких, что

I йт{ж) < то (4.2)

Б

при некотором А > 0 (см., например, [20]). Здесь т — мера Лебега в Жп. Пространство называется пространством, Орлича.

Классом Орлича — Соболева (О) называется класс всех локально интегрируемых функций /, заданных в О, с первыми обобщенными производными по Соболеву, градиент V/ которых принадлежит классу Орлича локально в области О. Если же, более того, V/ принадлежит массу Орлича в области О, мы пишем / е Ш 1,Т(О). Заметим, что по определению Ш^'Т С ^О'*. Как обычно, мы пишем / е Ш^'С, если = р ^ 1. Известно, что непрерывная функция / принадлежит классу Ш^'С тогда и только тогда, когда / е т. е. ее ли / локально абсолютно непрерывна па почти всех

/

интегрируемы в степени р в области О (см. [21, разд. 1.1.3]).

/п пых ж1,..., жп, / = (/1,..., /т), / е шОс1, г = 1,..., т, и

(IV/(ж)|) ^т(ж) < то, (4.3)

Б

где |У/(ж)| = (й^1) > Т0 мы снова пишем / £ ^¿'(Г- Мы также использу-

ем обозначение Ш^Т в случае более общих функций чем в классах Орлича, всегда предполагающих выпуклость функции ^ и ее нормировку ^>(0) = 0.

Пусть р > п — 1, а = . Ранее (см., например, [8-10]) в теоремах о локальном

р

цией

|/(>,/)| ' /) ^ КО'р(ж,/ ) = Ь, //(ж) = 0; (4.4)

то, .

а

К/,а(ж, /) = Ь, //(ж) = 0; (4.5)

\ 7 7

где 1(//(ж)) = тш|ь|=1 |//(ж) ■ Н|. Известно, что

К/,п(ж,/) < К0'п1(ж,/) (4.6)

(см., например, [22, разд. 1.2.1]).

Из соотношения (4.6) легко следует неравенство

К/'«(ж,/) < КО-,1 (ж,/). (4.7)

Действительно,

« л а а(п-1)

К1>а(х,Л = К1-п(х,т71"(х,Л\ - (х,Л\31-ъ(х,Л\=К%-1(х,Л. (4.8)

Известно, что К/,2 = Ко,2 при п = 2 н0 ПРИ п ^ 3 в (4.6) может иметь место строгое неравенство, как это показывает элементарный пример сжатия вдоль одной из осей. Следующее утверждение см. в [11, теорема 1].

Предложение 4.1. Пусть О и О' — области в Ж", п ^ 3, р > п — 1 и ф : (0, то) ^ (0, то) — неубывающая функция такая, что для некоторого £ (0, то)

ОО 1

t

k(t)J

n-2

dt < то. (4.9)

Тогда любой гомеоморфизм / : О ^ О' конечного искажения класса является

1

нижним (3-гомеоморфизмом относительно р-модуля с = , а = •

Следствие 4.1. Любой гомеоморфизм с конечным искажением в Ж", п ^ 3, класса

1

^ прж д > п — 1 является нижним Ка-1 -гомеоморфизмом относительно р-модуля при р>п-1,а = ¥^Т1.

Следующий ряд теорем вытекает из предложения 4.1 и теорем пункта 3. Теорема 4.1. Пусть / : В" ^ В", п ^ 3 — гомеоморфизм с конечным искажением класса где ф : (0, то) ^ (0, то) — неубывающая функция, удовлетворяющая усло-

вию (4.9) и /(0) = 0. Предположим, что р > п и для некоторых конечных чисел А > 1, а > 0 и Со > 0 выполнено условие

Ае

[ -4— > Со (4.10)

{ Ка(г)

для любого е е (0, во), £о £ (0, где

/р

KIta(х, /) dsrfn-1 а; =-—. (4.11)

р — n + 1

Тогда имеет место оценка

liminf < i/o С0 , (4.12)

x^o

|ж|Р-п

где щ — положительная константа, зависящая только от размерности пространства п, р А а

Следствие 4.2. В частности, если для некоторых конечных чисел А > 1 и Со > 0 выполнено условие

Ае

dг

—- ^ Со (4.13)

1-1 е л'/,а

для любого £ G (0, во), £о £ (О, где

Ча(г)

ki,a(r) = J KIta{x,f)dtf, a = p_Pn + v (4.14)

р > n

lim inf Щ^- < , (4.15)

x^o |x| o

vo n р

А

Пример. Предположим, что n ^ 3 и p > n, a > 0. Пусть f : ^ где

/(ж) =

при x = 0 и f (0) = 0.

Касательная и радиальная дилатации f на сфере Sr = {x g : |x| = r}, r g (0,1), легко вычисляются:

|/(ж)| a-p + n

p — n

и

(J д-р + гг

or =- Ж P~n .

p — n

Заметим, что ¿t ^ Следовательно, ввиду сферической симметрии мы видим, что

сп—1с / \

0Т Ör (V — n\p-n+1. (n-l)(<7-p+n) р

KIta(x,f) = 1 = --|ж| , а --

\а/ p — n+i

Интегрируя по сфере Sr, получаем

/( Р — п \ (п-1)(<7 + 1)

KIta(x,f)d^n-i = шп-1 ( —— 1 г .

Откуда вытекает равенство

n—1 Г n—1 1 _

- +1 / г_(,+!) dr = +1 л = Со > 0.

г I J п J p — n

Ае Ае

/" dr (J£a - , -I /" _c_ii4 , -„"„4-1 1 — А ^

е "Г,«

Этим показано, что условие (4.10) нашей теоремы выполнено. С другой стороны, легко видеть, что

Um \Щ1 = 1. (4.16)

p— n

Замечание 4.1. Построенный пример показывает, что найденный порядок роста в оценке (4.12) является точным.

Теорема 4.2. Пусть / : Вп ^ Вп,п ^ 3, — гомеоморфизм с конечным искажением класса ШОСТ где Ф : (0, то) ^ (0, то) — неубывающая функция, удовлетворяющая условию (4.9) р > п и / (0) = 0

1) Если для некоторых конечных чисел 9 £ 0, ) и ко > 0 выполнено условие

1 . »

Wn- irn

J J KJ>Q(x,/) dAn -1 < Kor - e (4.17)

дляи.в. r g (0, ro), ro g (0, e J), то

I/(ж)|

p — n-1-1

Hminf 1 < vo«?-^-", (4.18)

|ж| (n-l)(p-n)

n—1

где vo — положительная константа, зависящая только от размерности пространства n и p.

1

2) Если К-1 (х, /) G Lß(Вга), то

liminf [f{x)l < i/ol^1 (4.19)

ж—>0 l^jl-^^-n) J'a ^

где ЦК/-1 ||в =1 /в„ К/-1 (ж,/)^т(ж) 1 — норма в пространстве ^д(Вп) и — положительная постоянная, зависящая только от и, р и ¡3.

Следствие 4.3. Если для некоторого конечного числа ко > 0 выполнено условие

1 f "-1

J Kf-n+1(x,f)d^n-1^Ko (4.20)

для п. в. r G (0,ro), ro G (0, e 1), то

If (x)l

p —n-|-1

lim inf < щкпр , (4.21)

где vo — положительная константа, зависящая только от размерности пространства n ж p.

Следствие 4.4. В частности, все результаты имеют место для гомеоморфизмов с конечным искажением класса Соболева W10'(? при q > n — 1.

Литература

1. Martio О., Rrazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory.—N. Y.: Springer, 2009.—367 p.—(Springer Monogr. in Math.).

2. Rrazanov V., Salimov R., Srebro U., Yakubov E. On boundary value problems for the Beltrami equations // Contemp. Math.—2013.—Vol. 591.—P. 211-242.

3. Ковтонюк Д. А., Летков И. В., Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Граничное поведение и задача Дирихле для уравнений Бельтрами // Алгебра и у нулю. —2013.—Т. 25, № 4.-С. 101-124.

4. Афанасьева Е. С., Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Об отображениях в классах Орлича — Соболева на римановых многообразиях // Укр. мат. вшник.—2011.—Т. 8, № 3.—С. 319-342.

5. Ковтонюк Д. А., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. К теории отображений классов Соболева и Орлича — Соболева.—Киев: Наукова думка, 2013.—303 с.

6. Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. К теории классов Орлича — Соболева // Алгебра и анализ.—2013.—Т. 25, № 6.—С. 1-53

7. Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. Граничное поведение классов Орлича — Соболева // Мат. заметки.—2014,—Т. 95, № 4,—С. 564-576.

8. Салимов Р. Р., Нижние оценки p-модуля и отображения клуссу Соболева // Алгебра и у нул из.—

2014.—Т. 26, № 6.-С. 143-171.

9. Салимов Р. Р. Метрические свойства классов Орлича — Соболева // Укр. мат. вгсник.—2016.— Т. 13, № 1.—С. 129-141.

10. Салимов Р. Р. О конечной липшицевости классов Орлича — Соболева // Владикавк. мат. журн.—

2015.—Т. 17, № 1.-С. 64-77.

11. Салимов Р. Р. О новом условии конечной липшицевости классов Орлича — Соболева // Мат. Студн.—2015.—Т. 44, № I . С. 27-35.

12. Ikoma К. On the distortion and correspondence under quasiconformal mappings in space // Nagoya Math. J—1965 —Vol. 25.-P. 175-203.

13. Ковтонюк Д., Рязанов В. К теории нижних Q-гомеоморфизмов // Укр. мат. вшник.—2008.—Т. 5, № 2.-С. 157-181.

14. Сакс С. Теория интеграла.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1949.

15. Martio О., Rickman S., Váisálá J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. Al. Math.-1969.-Vol. 448.-P. 1-40.

16. Шлык В. А. О равенстве р-емкости и р-модуля // Сиб. мат. журн.—1993.—Т. 34, № 6.—С. 216-221.

17. Ма/'уа V. Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the theory of Sobolev spaces // Contemp. Math.-2003.-Vol. 338.-P. 307-340.

18. Iwaniec Т., Sverák V. On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer. Math. Soc.—1993.— Vol. 118—P. 181-188.

19. Iwaniec Т., Martin G. Geometrical Function Theory and Non-Linear Analysis.—Oxford: Clarendon Press, 2001.

20. Красносельский M. А., Рутицкий Я. В. Выпуклые функции и пространства Орлича.—М.: Физ-матлит, 1958.

21. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева.—Ленинград: ЛГУ, 1985.—416 с.

22. Решетник К). Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением.—Новосибирск: Наука, 1982.

Статья поступила 23 октября 2014 г.

Салимов Руслан Радикович

Институт математики HAH Украины,

старший научный сотрудник

УКРАИНА, 01601, Киев-4, ул. Терещенковская, 3

E-mail: salimov07@rambler.ru, ruslan623@yandex.ru

ON THE POWER ORDER OF GROWTH OF LOWER Q-HOMEOMORPHISMS

Salimov R. R.

In the present paper we investigate the asymptotic behavior of Q-homeomorphisms with respect to a p-modulus at a point. The sufficient conditions on Q under which a mapping has a certain order of growth are obtained. We also give some applications of these results to Orlicz-Sobolev classes W^f in Rn, n > 3, under conditions of the Calderon type on ^ and, in particular, to Sobolev classes WOp, p > n — 1. We

give also an example of a homeomorphism demonstrating that the established order of growth is precise. p p Q

Orlicz-Sobolev class.