CC BY
43
Владикавказский математический журнал Январь март, 2003, Том 5, Выпуск 1
УДК 517.518.23+517.54+517.813.52+517.954
ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВ КАРНО — КАРАТЕОДОРИ, КВАЗИКОНФОРМНЫЙ АНАЛИЗ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ1
Приводятся результаты по геометрии пространств Карно — Каратеодори. Демонстрируется применение этих результатов для доказательства Т5-дифференцируемости липшицевых и слабо компактных отображений пространств Карно — Каратеодори. Показаны также некоторые применения теории дифференцируемости к геометрической теории меры и теории квазиконформных отображений на пространствах Карно — Каратеодори.
Хорошо известно, что в основании широкого круга проблем геометрической теории меры лежит теорема Радемахера о дифференцируемости липшицевых отображений. Отображение / : —> Жта, удовлетворяющее условию
для всех точек х,у € Жп, где постоянная С не зависит от выбора точек х,у € Жп, называется липшицевым. Как видно из определения, липшицевы отображения позволяют контролировать геометрию образа геометрией прообраза.
В 1919 году Радемахер исследовал дифференциальные свойства липшицевых отображений. Напомним, что линейное отображение Ь : Шп ^ Жта называется дифференциалом отображения / : —> Жта в точке х, если
Теорема 1 [37]. Всякое липшицево отображение / : —> Жта дифференцируемо ПОЧТИ всюду.
Несколькими годами позже В. Степанов установил дифференцируемость отображений, удовлетворяющих более слабому сравнительно с (1) условию: для отображения / : —> Жта вместо условия (1) он рассмотрел
С. К. Водопьянов
Введение
\№-№\^с\х-у\
(1)
|[/(ж + и) — /(ж)] — Ь(у)| = о(|г>|) при V —> 0.
Ит
->-х
< ОС ПОЧТИ всюду.
(2)
© 2003 Водопьянов С. К.
1
Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-
ний (код проекта 03-01-00899) и программы «Университеты России» (УР.04.01.050).
Теорема 2 [40]. Всякое липшицево отображение / : Жп Жта, удовлетворяющее условию (2), дифференцируемо почти всюду.
Теорема 1 служит основой для решения ряда задач геометрической теории меры (см., например, [18, 19]). Теоремы 1 и 2 широко применяются в смежных разделах анализа и его приложениях. Отметим, что дифференцируемость квазиконформных отображений получается непосредственно из теоремы Степанова, так как всякое квазиконформное отображение удовлетворяет условию (2) (см., например, [11]).
Условие (1) легко обобщается на случай отображений метрических пространств: отображение / : (М, d) (М, d) метрических пространств называется липшицевым, если
d(f(x),f(y))^Cd(x,y) (3)
для всех точек х,у € М. Наименьшая постоянная С в этом неравенстве называется постоянной Липшица и обозначается символом Lip/.
Поскольку римановы многообразия локально евклидовы, то очевидно липшицевы отображения римановых многообразий дифференцируемы почти всюду.
Проблему дифференцируемости липшицевых отображений в неримановых метриках впервые исследовал П. Пансю [35] при изучении дифференциальных свойств квазиконформных отображений групп Карно.
Напомним, что группой Карно [35] или стратифицированной однородной группой [17] называется связная односвязная нильпотентная группа Ли G, алгебра Ли V которой разлагается в прямую сумму V\ © • • • © Vm векторных пространств таких, что dim Fx ^ 2, [Vi, Vfc] = Vk+i для 1 О ^ m - 1 и = {0}. Пусть векторные по-
ля Хц,..., XiTll образуют базис пространства Г|. Поскольку они порождают V, для каждого 1 < i ^ т можно выбрать базис Х^-, 1 ^ j ^ щ = dim V',. в V*, образованный коммутаторами полей Хц, С V\ порядка % — 1. Отождествим элементы g € G с
та
элементами х € Ж^, N = ^ щ, х = (:%■), 1 ^ i ^ т, 1 ^ j ^ щ, посредством экс-
г=1
поненциального отображения exp{^2xijXij) = g■ Растяжения St, определяемые как 5tx = суть автоморфизмы G для любого t > 0. Мера Лебега dy
m
па Ж^ — биинвариантная мера Хаара на G, и d(6tx) = l''dx. где i' V i dim V, —
г=1
однородная размерность группы G. Мера Лебега \Е\ измеримого множества Е С G равна f dx.
Е
Евклидово пространство Жп со стандартной структурой служит примером абеле-вой группы: векторные поля г = 1,... ,п, не имеют нетривиальных коммутационных соотношений и образуют базис соответствующей алгебры Ли. Примером неабеле-вой группы Карно является группа Гейзенберга ЕР. Ее алгебра Ли имеет размерность 2n + 1, а центр одномерен. Если .V |. • • •. А'„. V |.... ,У„. Г — базис алгебры Гейзенберга, то нетривиальными коммутационными соотношениями будут лишь [Xj, Yj] = Т, % = 1,..., п, все остальные скобки равны нулю.
Однородная норма на группе G является непрерывной функцией р : G [0, ос) класса С°° на G\ {0}, обладающей свойствами:
(a) р{х) = р{х^г) и p(6t(x)) = tp(x);
(b) р(х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
(c) существует постоянная с > 0 такая, что р{х\х2) ^ с(р(хi) + р(х2)) для всех Xi,X2 G G.
Естественно, что однородная норма определяется неоднозначно, однако любые две однородные нормы эквивалентны между собой: если р% и — две однородные нормы, то существуют постоянные с\ и такие, что 0 < с\ ^ р\ {х)/ р2 (х) ^ с2 < оо для любого ж € С, отличного от 0. Далее на группе Карно мы фиксируем такую однородную норму р, что р(Ху(0))г равняется длине вектора относительно скалярного произведе-
ния в касательном пространстве к единице группы, Однородная
норма определяет однородную метрику г: для любых двух точек ж, у € С полагаем р(х,у) = р(у^1х). Относительно этой метрики стандартным образом задаются сферы шары В(х,1) и топология, которая оказывается эквивалентной евклидовой. Нормируем меру Лебега таким образом, чтобы мера шара 5(0,1) равнялась риманову объему шара ехр-1(.В(0,1)). Тогда |£?(0,г)| = 7г", где 7 = |£?(0,1)|.
Набор Х\, Х2,..., Хп базисных векторов пространства Ух (здесь и далее полагаем, что п\ = п и Хц = Хг, где % = 1,... ,п) удовлетворяет условию гипоэллиптичности Хёрмандера [23]. Расстоянием Карно — Каратеодори д(х,у) между двумя точками ж, у € С называется нижняя грань длин всех горизонтальных кривых с концевыми точками ж,у, где длина измеряется римановой метрикой, а горизонтальная кривая есть абсолютно непрерывный кусочно-гладкий путь, касательный вектор которого принадлежит У\. Можно показать, что й{х,у) всегда является конечной левоинвариантной метрикой, причем расстояния й{х,у) и р{х,у) эквивалентны: существуют постоянные С3 и С4 такие, что 0 < сз ^ д(х, у) / р(х, у) ^ С4 < оо для любого ж, у € С, ж фу.
П. Пансю получил обобщение теоремы Радемахера на группы Карно в следующей форме.
Теорема 3 [35]. Всякое лппшпцево отображение / : —> С открытого множества II группы Карно О в группу Карно С V-дифференцируемо почти всюду. Соответствующий V-дифференциалу гомоморфизм алгебр Ли определяется отображением Хъ(д) Х^/(д) € йд9)(М) базисных векторов горизонтального подрассмоения, г = 1,... , п.
Здесь V-дифференциал Ь : С —> С интерпретируется как гомоморфизм групп Карно такой, что
1) Ь(ещ>Нх) С сх|> И|.
2) Ь(ё^) = для всех V € С и £ > 0,
3) ёг-1 (/(аО-1/(®М) сходится равномерно к при £ —> 0 на всякой компактной части области определения отображения /.
В работе [35] сформулировано также обобщение теоремы Степанова на группы Карно, однако этот результат оставлен там без подробного доказательства. При внимательном анализе оказалось, что известные в евклидовом пространстве аргументы в случае групп Карно не работают. Основная причина состоит в том, что в евклидовом пространстве всякое лппшпцево отображение измеримого множества может быть продолжено до липшицева отображения всего евклидова пространства (теорема Киршба-ума), а на группах Карно такой теоремы нет (кроме случая, когда область значений — евклидово пространство). Поэтому дифференцируемость липшицевых отображений, определенных на измеримом множестве одной группы Карно со значениями в другой группе Карно, должна устанавливаться как самостоятельный результат. Заметим, что его доказательство, полученное в [8, 41], требует значительно более тонких рассуждений по сравнению с доказательством теоремы 3.
Теорема 4 [8, 41]. Всякое лппшпцево отображение / : Е С измеримого множества Е группы Карно О в группу Карно С V-дифференцируемо почти всюду. Соответствующий V-дифференциалу гомоморфизм алгебр Ли определяется отображением Х%(д) € У\(/(<?)) базисных векторов горизонтального нодрасслоения У\(д),
г = 1,... , п.
Обобщение теоремы Степанова на группы Карно — это прямое следствие теоремы 4.
Теорема 5 [8, 41]. Всякое отображение / : Е —С измеримого множества Е группы Карно О в группу Карно С, удовлетворяющее условию
V-дифференцируемо почти всюду. Соответствующий V-дифференциалу гомоморфизм алгебр Ли определяется отображением Х^(д) ь-» Х^/(д) € ^х (/(<?)) базисных векторов горизонтального нодрасслоения У\{д), г = 1,... , п, где при определении производной вдоль векторного поля используется аппроксимативный предел [41].
Теорема 4 лежит также в основании геометрической теории меры на группах Карно: с ее помощью доказываются теоремы о замене переменной в интеграле Лебега [8, 41] и формулы площади [28, 38, 41], а также исследуются спрямляемые множества [38], и другие вопросы.
Специально отметим работу Дж. Нигера [16], в которой развита концепция дифференцирования для вещественнозначных липшицевых функций, определенных на метрических пространствах, удовлетворяющих некоторым условиям на их геометрию. К сожалению, пока не существует столь общей концепции дифференцирования для липшицевых отображений метрических пространств при условии, что область значений отлична от евклидова пространства.
Цель сообщения — показать, следуя работе [4], как концепция дифференцируемости распространяется на липшицевы отображения пространств Карно — Каратеодори, а затем применить ее к некоторым задачам анализа.
Пространство Карно — Каратеодори (сс-пространство) М характеризуется [20] как риманово многообразие класса С°°, в касательном расслоении ТМ которого выделено горизонтальное подрасслоение НМ С ТМ, удовлетворяющее следующим алгебраическим условиям на коммутаторы гладких векторных полей {Хх,... , Хп}, образующих локальный базис в НМ, n = ditn II:/. : векторные поля {Хх,... , Хп ]- вместе со всеми своими коммутаторами до порядка к € N включительно порождают в ТМ(<?) подпространство Hf~+iM(g) D H^M^g) (полагаем HiM(g) = HM(g)), размерность которого не зависит от выбора точки д. При этом предполагается, что Нк0Ш(д) = ТМ(<?) для некоторого fco, где fco — минимальное целое число, удовлетворяющее этому свойству. Если fco = 0, то НШ(д) = ТМ(<?) для всех д € М, и, следовательно, мы имеем риманово многообразие.
Определим векторные поля Xj, i = 1......V. образующие базис TgU в каждой точке д € U С М, следующим образом: на первом шаге к векторным полям .V |.....Xdim , образующим некоторый локальный базис Н\, добавляем векторные
у^-х d(x, у)
< оо для почти всех х € G,
§ 1. Пространства Карно — Каратеодори
поля Ха1тн1+1, • • •, -ХсНтЯг Так; чтобы поля .V|...., Х^т я2 образовывали базис Н2;
на (к — 1)-ом шаге к полям .V|.....добавляем векторные поля Х^тНц+ь
. . . , ХсИт нк так, чтобы поля Нк образовывали базис Нк. В результате за Си шагов мы получим искомый набор векторных полей Х^, % = 1......V. Каждому векторному полю Х^ сопоставим натуральное число с^Х^ = тт{^ | Х^ € Н^, называемое в дальнейшем (формальной) степенью поля Х^. Очевидно degXj ^ г.
Кусочно-гладкая кривая 7 : [а,Ь] М называется горизонтальной, если €
ь
Н^М.^^))). Ее длина измеряется римановым тензором на М: 1(7) = / ||7(£)|| сИ. Хоро-
а
шо известна теорема Рашевского — Чоу, см., например, [20], в соответствии с которой любые две точки и, V связной окрестности и С М можно соединить кусочно-гладкой горизонтальной кривой 7 конечной длины I (7).
сс-Расстояние Карно — Каратеодори д(х, у) между точками х, у € М определяется как точная нижняя грань длин горизонтальных кривых, соединяющих точки х, у, и является неримановым, если Н\ — собственное подрасслоение.
Доказательство дифференцируемости липшицевых отображений в категории сс-пространств основывается на следующих фактах субримановой геометрии. Известно (см., например, [13]), что отображение
N
вд : (Х1,...,жлг) ехр^^Х^ од, вд(0) =09(О,...,О) =д,
г=1
N = с 11г 11 ///,и. является гладким диффеоморфизмом некоторого евклидова шара Ве(0,ед), где бд — достаточно малое положительное число, в некоторую окрестность
О(д) точки д. Набор чисел {х^}, г = 1......V. где (х±,... ,хм) = € Ве(0,е9),
, N V
называется координатами 1-го рода точки и = ехр! ^ х^Х^) о д.
4=1 '
Определим в О(д) группу растяжений А^ = 6до^ о^1, где однопараметрическое семейство отображений £ > 0, в координатах 1-го рода действует как
5г : (ал,... ,хм) .
Рассмотрим на множестве О(д) набор векторных полей = {X?}, г =
1......V.
Справедлив следующий результат, установленный в [20, 31]. Мы даем другое доказательство этого свойства, которое ближе к методам работ [23, 34].
Лемма 1 [31]. Векторные поля (А / 1......V. сходятся равномерно на
0{д) при £4>0к некоторым гладким векторным полям Xпри этом набор векторных полей {Х^}, г = 1......V. образует базис векторных полей ннльпотентной градуированной алгебры Ли некоторой локальной группы Карно в О(д), причем Х^(д) = Х^(д), / 1......V. Последнее равенство переносит на касательное пространство Т9М структуру ннлыютентной алгебры Ли.
Символом ехр5Х(«) мы обозначаем интегральную линию векторного поля X с началом в точке и € О(д). Напомним [10], что групповая операция в локальной группе Карно, упомянутой в лемме 1, для элементов
N N
а = € 0(д), Ь = ехр(^Аф) € 0{д),
г=1 г=1
определяется следующим образом:
N
N
■ Ь = ехр(^О ехр(^ щХ^ (д)
где наборы чисел щ и ^ — столь малы, что правая часть последнего равенства принадлежит О(д).
Определение 1. Метрическое пространство (0(д),дс) с расстоянием Карно — Каратеодори с?с, определяемого посредством набора векторных полей называется
нилъпотентным касательным конусом Громова пространства Карно — Каратеодори (0(д),с1) в точке д.
Таким образом, касательный в смысле Громова конус сс-пространства в точке д € М моделируется локальной группой Карно (0(д),дс). Удобно рассматривать окрестность 0{д) точки д как метрическое подпространство {0{д),(1), так и окрестность единицы некоторой группы Карно.
В силу леммы 1 нильпотентный касательный конус имеет структуру локальной группы Карно. Концепция нильпотентного касательного конуса принадлежит Громову [20]. В случае римановых пространств линейная структура в касательном конусе определяется через координаты первого рода. Заметим, что такой подход к определению касательной структуры в римановой геометрии обычно не используется. Причина здесь состоит в том, что метрики в римановом пространстве и в нормальной системе координат квазиизометричны, причем коэффициент квазиизометричности тем ближе к единице, чем меньше окрестность рассматриваемой точки. Этот факт обычно выражают словами, что метрическая структура риманова многообразия локально евклидова. В случае пространств Карно — Каратеодори метрики пространств (0(д),й) и (0(д),с1,с) уже не сравнимы [32]. Это означает, что даже при исследовании локальных проблем необходимо изобретать новые методы.
Локальное поведение метрик описано в следующем утверждении.
Теорема 6 [4]. Рассмотрим в О(д) векторные поля
где 0 < е ^ £о, щ € [—1,1] — постоянные коэффициенты, е0 — достаточно малое число. Тогда найдутся константы к%, С%, не зависящие от выбора точки д € О(д) и коэффициентов щ, такие, что
Ниже вводится основное для данной работы определение «касательной» сходимости.
Определение 2, Рассмотрим семейство метрических пространств (О(д), -) при малых £ > 0. Пусть последовательность чисел —» 0 при г ^ ос. Будем говорить, что последовательность {х^ € В(д, сходится к точке х € Вс(д,В), где Вс — шар
в метрике йс радиуса Д, если с1с(А1/£.Хг,х) 0 при е 0.
Доказательство формулируемой ниже теоремы о дифференцируемости базируется на следующем свойстве, представляющем независимый интерес.
N
N
И
тах
{с1(ещ> ехр (<?)), (¿с(ехр У£(<?),ехр К(<?))} < Схе1+К1.
Теорема 7 [4]. Последовательность кривых Vi(n) Е Bi(g, 1), к Е [0,1], где N N
lim cd • = aPtj для р = 1,1, j = 1......V. сходится при lim £j = 0 к кривой
г—юо 1 " ' г—юо
v(k) Е Bc(g, 1), к Е [0,1], где
N N
у{к) = ехр(22кАе*Х'а1>зХз) ° ••• °ехрк Е [0,1].
3=1 3=1
Пусть Е — измеримое множество в М. Отображение / : (Е, й) ^ (М, й) удовлетворяет условию Липшица, если для всех точек х,у Е Е выполняется соотношение (3).
Отображение / : (Е, й) —> (М, ¿) называется V-дифференцируемым в точке д Е Е, если существует гомоморфизм Ь : (Од,дс) —> (Of(g),dc) такой, что
1) йЬ{е) — гомоморфизм горизонтальных подпространств, т. е. йЬ{е) : Ну —> II ^.
2) = ¿¿1/(го) для всех го Е (Од,дс) и достаточно малых £ > 0,
3) ¿(/(го), 1/(го)) = о{й{д,ш)) при 0{д) Э из д.
Отметим, что касательный конус группы Карно — это сама группа Карно. Поэтому, если М и М — группы Карно, то определенный здесь дифференциал совпадает с Р-дифференциалом Пансю.
Следующий результат обобщает известную теорему Радемахера о дифференциру-емости липшицевых функций.
Теорема 8 [4]. Пусть Е С М — измеримое множество, и пусть / : Е —М — лппшпцево отображение из Е в М. Тоща / V-дифференцируемо почти всюду на Е и дифференциал единствен. Соответствующий V-дифференциалу гомоморфизм
алгебр Ли определяется отображением Х^(д) ^ Х^/(д) Е Н\ (/(<?)) базисных векторов горизонтального нодрасслоения Н%(д), г = 1,... , п.
В качестве следствия мы получаем обобщение теоремы Степанова.
Теорема 9 [4]. Пусть Е С М — измеримое множество, и пусть / : Е —М — отображение из Е в М такое, что
— ¿(/(ж),/(<?)) Ит и < оо
х->д,хеЕ а{х,д)
для почти всех д Е Е. Тоща отображение / V-дифференцируемо п. в. на Е и Т-диф-ференциал единствен. Соответствующий Г-дифференциалу гомоморфизм алгебр Ли
определяется отображением Х^(д) ь-» Х^/(д) Е (/(<?)) базисных векторов горизонтального подрасслоения Н%(д), г = 1,... , п, где при определении производной вдоль векторного поля используется аппроксимативный предел [41].
§ 2. Отображения классов Соболева пространств Карно — Каратеодори
Символом В(х,г) обозначается шар в сс-метрике й: В(х,г) = {у € М : с1(х,у) < г}. Стандартным образом относительно сс-метрики определяются хаусдорфовы мера и размерность на М. В работе [31] подсчитано, что хаусдорфова размерность и сс-пространства М выражается формулой
к0 к=1
где положено НоМ(ж) = {0} и поэтому сЦт_НоМ(ж) = 0. В силу условия, наложенного на коммутаторы векторных полей, написанная сумма не зависит от выбора точки х.
Стандартная мера | • | на римановом многообразии М регулярна, в следующем смысле: сс-шар В{х,г) как открытое множество в М удовлетворяет следующему соотношению
С1Г-" < \В(х,г)\ < с2г" (4)
для достаточно малых г, где с\ и с2 — постоянные, не зависящие от выбора точки х на некотором фиксированном компактном множестве с М.
Обозначим символом Т-Ц^ ¿/-мерную меру Хаусдорфа относительно сс-метрики й. Из (4) вытекает, что на любом компактном подмножестве в М мера Т4У пропорциональна мере Лебега.
Напомним, что локально суммируемая функция gi-.il—> Ж называется обобщенной производной функции / : О —» М вдоль векторного поля Х^, если
I сц'Ф (Ш1/{х) = ^ I /х;ф<м"(Х)
п п
для любой тестовой функции € Со°(Я), где X* — дифференциальный оператор,
формально сопряженный к оператору Х^. Последнее означает следующее: если в
N
некоторой системе координат векторное поле Х^ = ^ а^ , то
г=1 3
^ = ¿¿7 (МО-
г=1 3
Заметим, что в случае групп Карно X* = XВектор \7с/(х) = (дх(ж),... ,дп(х)) € НШ(х) называется обобщенным градиентом функции /. Полагаем еще Х^/ = д^.
Определение классов Соболева, Пусть — область в сс-пространстве (М, (£). Функция / : Ж принадлежит пространству Соболева 1ОС(^)) если / €
Дос(^) и существует обобщенная производная / : Ж вдоль векторного поля Х^, г = 1,... , п, принадлежащая
Пусть (X, г) — произвольное метрическое пространство. Мы говорим, что отображение отображение ./' : О —» X принадлежит классу Соболева X), если выполняются следующие условия:
(A) Для любого г € X функция
принадлежит классу
(B) Семейство функций (\7£[/]г)гех имеет мажоранту, принадлежащую классу -^дДос(^); Т. е. существует функция д € Ьддос(1)), не зависящая от г; такая, что |^£[</р]г(ж)| ^ д(х) для почти всех х € О.
В случае М = Жп приведенное выше определение отображения класса Соболева совпадает с определением Ю. Г. Решетняка [12]. В работе автора [41] из этого определения выведены многочисленные свойства отображений классов Соболева на группах Карно. Приведем обобщения некоторых из этих свойств на случай сс-пространств.
2.1. Поточечные оценки. Приводимый ниже результат — очевидное обобщение
рассуждений работы [2]. Для локально интегрируемой функции и произвольного шара
В в сс-пространстве М рассмотрим среднее значение /в = / / ¿х функции / на шаре
в
В. Если / € 1^(М), (/ € [1,оо), то справедлива следующая оценка для потенциала Рисса [24, 26, 27]:
2 В
для почти всех точек ж € -В, где постоянная С выбирается по компактному множеству которому принадлежат центры выбираемых шаров, и некоторой величине го, ограничивающей радиусы рассматриваемых шаров (здесь и далее к В для шара В = В(х,1) есть шар В(х,Ы)). Для точек х, у € -Р определим шар В наименьшего радиуса с центром в точке а такой, что ж, у € В и ¿¿(ж, а) = ¿¿(у, а). Применяя неравенство (5), получаем
|/(Ж)-/(у)|<|/(Ж)-/в| + |/(у)-/в|
2 В 2 В
Оценим первый из интегралов в правой части, второй оценивается аналогично. Очевидно, что 2В С В\ = В(х,1), где 5 = Ы(х,у). Отсюда имеем
/1
§ I т^^
В1
х 23
ОО л
< 1 Р I / < СгёМ^сЩх),
где С% зависит от постоянных в соотношении (4), а
М$д{х) = вир< \В(х, г)!^1 / \д\с1,х:г^6
В(х,г)
— максимальная функция, которая очевидно определена для любой локально суммируемой функции д (если 5 = ос, от вместо М00д{х) будем писать просто Мд{х)). Окончательно приходим к следующему результату.
Предложение 1. Если функция / € И/д1дос(М), д € [1, сю], то для любого компактного множества С М существуют постоянная Сз и множество Б С -Р нулевой меры такие, что для всех точек х,у € -Р \ Б справедливо неравенство
|/(®)-/(у)| ^Сзф,у)(Мз^)(|У£/|)(Ж)+Мз^)(|У£/|)(у)). (6)
2.2. Формальный дифференциал отображений классов Соболева. Из
поточечной оценки (6) вытекает важное для отображений классов Соболева свойство.
Предложение 2. Пусть отображение / : М X принадлежит классу Соболева И^М; X), <7^1, а О С М — компактная область. Тогда для любого е > 0 существует измеримое множество А с О такое, что \0 \ А\ < е и сужение <р\л удовлетворяет условию Липшица.
<\ Фиксируем е > 0 и компактную область £1 щ> О такую, что О С О. Для любой функции / € И^д(М), д > 1, из предложения 1 вытекает существование множества Б С О нулевой меры и неотрицательной функции д € Ьч(0) таких, что выполняется следующее поточечное неравенство:
для всех точек х,у € 0\Б. Заметим, что в качестве ф можно взять произведение максимальной функции от \ Vcfl на некоторую постоянную, зависящую от (предполагается, что \Vcfl продолжена нулем на дополнении к 1)). (Напомним, что с метрикой (I окрестность О является метрическим пространством однородного типа, поэтому максимальная функция является ограниченным оператором в Ьч{0), д > 1, см., например, [39].)
Если д = 1, то приведенная поточечная оценка верна также для / € И^М) при условии, что неотрицательная функция д удовлетворяет условию \{х € О : д{х) ^ ^ Ск^1 для всякого к > 0.
Фиксируем г € X и рассмотрим функцию [/]г(ж) = г(г,/(х)). Заметим, что поскольку область ограничена, то \ф\г € И^1^), так как
|^£[/]г|(ж) ^ д(х) почти всюду в 1), а д €
Поэтому, подставляя в |/(ж) — /(у)| ^ р(х,у)(ф(х) + ф(у)) функцию [/]г вместо /, получаем неравенство
|[/Ш - ИШ\ < (1{х,у){Мд{х)+Мд{у)) (7)
для всех точек х,у € О \ Бг, где Бг — некоторое множество нулевой меры. Правая часть в (7) не зависит от г. Более того, по известным свойствам максимальной функции д принадлежит Ьч{0) при д > 1 и |{ж € О : д(х) ^ Ск^1 при д = 1 для всякого к > 0.
Рассмотрим произвольное счетное всюду плотное множество 2 С /(О) и положим
5 — Бг.
-.С X
Тогда |5| = 0. Пусть А = {ж € О : д(х) ^ к}, где к подбирается настолько большим, чтобы \0 \ А\ < е. Тогда \г(г,/(х)) — г(г,/(у))\ ^ 2Ы(ж,у) для любых точек ж, у € А ж х ^ X. Выбирая произвольную последовательность точек /(ж), получаем
неравенство
г(/(ж),/(у)К2Ы(ж,у)
для всех точек ж,у € А. Таким образом, сужение / Ц удовлетворяет условию Липшица. [> _
Если X = М — сс-пространство, то по теореме 8 ограничение /Ц дифференцируемо почти всюду на А. Следовательно, в почти всех точках х (г Л определено соответствие Х^х) —> ж), где в выражении ж) = ^/(ехр£Х;(ж))^=о предел понимается в аппроксимативном смысле [41]. Таким образом, для почти всех ж € А соответствие Х^(х) —> Х^/(х) порождает гомоморфизм алгебр Ли касательных конусов, который будем называть формальным дифференциалом.
Таким образом, из предложения 2 и теоремы 8 получен следующий неожиданный результат.
Теорема 10. Пусть М, М — сс-пространства, а / : М М — отображение класса И/"дДос(М; М), <7^1. Тогда для почти всех ж € М отображение ж) ж)
порождает гомоморфизм алгебр Ли касательных конусов.
Замечание 1. В следующем пункте будет доказана абсолютная непрерывность отображений классов Соболева при д > 1, так что при д > 1 можно считать, что производная Хг/(х) в формулировке теоремы понимается в обычном римановом смысле.
2.3. АСЬ-Свойство. Отображение / : [—а, а] ч>Хв метрическое пространство (X, г) называется абсолютно непрерывным, если для любого е > 0 существует 5 > 0 такое, что для любой совокупность взаимно непересекающихся интервалов €
[—а, а], г € М, удовлетворяющих условию
~ < имеем ^ г(/(щ), /(/%)) < е.
г г
Пусть X — какое-нибудь горизонтальное векторное поле, определенное на открытом множестве О сс-пространства М. Таким образом, Х(х) ф 0 и Х(х) € -ЯхМ(ж) для любого ж € О. Будем предполагать, что замыкание О компактно в М и О содержит подмногообразие 5 коразмерности 1, трансверсальное векторному полю X, т. е. вектор Х(х) не является касательным к $ в каждой точке ж € Пусть еще отображение <р : ехр IX(з) является диффеоморфизмом 5 х (—а, а) на О.
Предложение 3. Пусть / : М X — отображение класса И/'ддос(М;Х), д > 1. Тогда для почти всех в € Б относительно поверхностной меры на Б отображение / абсолютно непрерывно на слое ехр 1Х(з), I € (—а, а).
<1 Фиксируем в /(М) С X некоторое счетное всюду плотное множество X. Возьмем произвольную компактную область С М такую, что О С О. Для любого .г (г У. функция [/]г : П Э I н> г(/(ж),;г) принадлежит классу (О) и существует функция д € не зависящая от г такая, что |\7£[/]г(ж)| ^ д(ж) для почти всех ж € О
(полагаем далее, что д{ж) = 0 вне множества 1)). Следовательно, для функции [/]г справедлива поточечная оценка (6):
IШх) - Шу)\ < а(х,у)(Мд(х) + Мд(у))
(В)
где х, у € О \ Е — произвольные точки, множество Е нулевой меры не зависит от ;г. Заметим, что с метрикой с1 окрестность О является метрическим пространством однородного типа, поэтому максимальная функция является ограниченным оператором в Ья(0), д > 1, см., например, [39]. Поэтому Мд € Ьч{0). Применяя теорему Фубини, получаем, что для почти всех 5 € Б функция д € Ьд(0) на слое 7 = ехр1Х(в), £ € (^а,а), который пересекается с множеством 2 по множеству нулевой меры. На каждом таком слое из поточечной оценки (8) вытекает, что функция [/]г имеет обобщенную производную на слое 7 [2; теорема 3] и поэтому абсолютно непрерывна на 7. Следовательно, на любом интервале (а, (3) слоя 7 имеем
|[/ЬШЧ/Ыт(а)| < / М^ехр^ф))^.
[а,13}
Таким образом, приращение функции [/]г|7 вдоль слоя 7 контролируется интегралом от функции Мд, не зависящим от выбора ;г. Следовательно, возможен предельный переход по г, а так как совокупность точек г; плотна в /(М), последнее неравенство справедливо для любой точки г; € /(М). Полагая 2; = /(а), получим
г(/(а),/(/?)) ^ I Мд(ехргХ(з))М.
[а,¡3}
Отсюда непосредственно проверяется абсолютная непрерывность отображения / на слое 7. Таким образом, доказана абсолютная непрерывность отображения / на почти всех слоях 7 векторного поля X. \>
2.4. "Р-Дифференцируемость отображений классов Соболева.
Теорема 11. ГГуеть М, М — сс-пространства, а / : М —М — отображение класса Соболева И/"(?11ос(М; М), и < д. Тоща / V-дифференцируемо почти всюду в М и соответствующий ему гомоморфизм алгебр Ли совпадает с формальным дифференциалом теоремы 10.
<1 Из поточечной оценки (5) по стандартной схеме получаем модуль непрерывности функции <р € И/д11ос(М), д > и:
\ф)-<р(у)\ ^Сфг.у)1-^ I I(9)
В(х,2г)
для любых точек ж,у € В{х,г), В{х,2г) С М, г ^ го, где постоянная С зависит от постоянной из (5), точки х, оценки для радиусов г о и показателя д. Полагая в неравенстве (9) <р(у) = [/]/(ж)(у) = ¿(/(х),/(у)), получаем
¿(/(ж),/(у)) ^Сф^у)1^ I (10)
В(х,2г)
для любых у € В{х,г), В(х,2г) С М, где g — из определения отображения класса Соболева. Отсюда вытекает
EÄM —i— Г g4z)dzy.
у^х d(x,y) \B(x,2r)\ J 4 ; )
В(х,2г)
Так как правая часть конечна почти всюду в M (по теореме Лебега о дифференцируемое™, см., например, [9]), то
— d(f(x),f(y))
lim----- < оо почти всюду в М.
v->x а(х,у)
Таким образом, / удовлетворяет условию теоремы 9. Поэтому, / V-дифференцируемо почти всюду на М, причем соответствующий ^-дифференциалу гомоморфизм алгебр
Ли определяется отображением Xi(g) i-» Xif(g) € H\{f{g)) базисных векторов горизонтального подрасслоения H\(g), г = 1,... ,п, где при определении производной вдоль векторного поля используется аппроксимативный предел. Поскольку по теореме 10 то же самое отображение порождает формальный дифференциал алгебр Ли касательных конусов, то, следовательно, они совпадают. |>
Непрерывное отображение / : M M называется квазимонотонным, если существует постоянная К ^ 1 такая, что колебание отображения / на любом шаре В(х,г) С M контролируется колебанием / на граничной сфере S(x,r), т. е.
сйат(/(£?(ж,г))) ^ К diam(/(5(ar, г)))
для всех 0 < г < го (ж).
Теорема 12. Всякое непрерывное квазимонотонное отображение / : M —M класса Соболева Wjloc(M; M) V-дифференцируемо почти всюду в M и соответствующий ему гомоморфизм алгебр Ли совпадает с формальным дифференциалом теоремы 10.
<1 Теорема 12 доказывается по схеме доказательства аналогичного результата из [41]. |>
2.5. Л/*-Свойство Лузина. Напомним, что мера Хаусдорфа множества А С X
определяется как предел T-La(Ä) = lim H"(А), где
й—>-+0
Ч^{А) = 7а inf|У^(diamEj)a : А С [J-E,-},
з
совокупность Ej С X, j € N, образует покрытие множества А такое, что diamlï^ si ö, о — неотрицательное число, ja — нормирующий множитель.
Пусть даны два сс-пространства M и М, причем хаусдорфова размерность и первого из них не больше хаусдорфовой размерности второго v ^ й. Отображение / : О М, ß С М, обладает H-свойством, Лузина, если образ f(E) любого множества Е С M нулевой меры имеет нулевую W'-мсру Хаусдорфа в М.
Теорема 13. Всякое непрерывное квазимонотонное отображение / : М М класса Соболева 1ос (М; М) (и непрерывное отображение / : М М класса Соболева
И/"(?11ос(М; М), д > и) обладает N-свойством Лузина. В частности, образ измеримого множества является -измеримым множеством в /(Е).
<1 Сформулированная теорема доказывается по схеме соответствующего результата из [41; теорема 7.1]. Покажем схему рассуждений при д € {и, ос). Достаточно доказать утверждение теоремы для множества Е нулевой меры из компактно вложенной области С М. Пусть и С О — открытое множество, содержащее Е. Известно, что существует совокупность шаров С £7 такая, что
(1) и С [)г В(хг,гг);
(2) В(хг,2гг) С и и Хв(х1,2г1)(х) Л/", где число Я не зависит от выбора открытого множества и, совокупности шаров и точки х £11.
Этому условию удовлетворяет совокупность шаров из разложения типа Уитни области и на шары см., например, [6]. Применим оценку (10) для оценки колебания отображения / на шаре В(хг,Гг):
В{хг,2Гг)
где постоянная С\ не зависит от выбора шара. Для выбранной совокупности шаров {В(Хг,Гг)} получаем
ии(Щ < пи (и) < < ^(а1ат(/(В(Жг,гг))Г
г г
^С^В^гч)!1"^ I д9(г)(Ьу
1 В{хг,2Гг)
% % В(х-1,2Гг)
и
где постоянная С2 не зависит от выбора множества II. Так как мера множества и может быть выбрана сколь угодно малой, то /(Е) имеет Т4У-мщ>у нуль, и образ измеримого множества Т^-измерим в М. \>
Следствие 1. Пусть / : М М — непрерывное открытое отображение класса Соболева И^1ос(М;М). Тогда / обладает М-свойством Лузина: Н"/(Е) = 0, если \Е\ = 0, Е С М. В частности, образ измеримого множества И"-измерим в М.
Замечание 2, Если / : О Р, О с I", — гомеоморфизм (квазимонотонное отображение) класса Соболева 1ОС(£2; Кп), то утверждение следствия 1 (теоремы 13) другим способом доказано в [36] ([30]).
Замечание 3, Теорема 13 очевидным образом обобщается на случай отображений / : М X со значениями в произвольном метрическом пространстве X аналогично тому, как это сделано в [41], когда М — это группа Карно.
§ 3. Элементы геометрической теории меры на пространствах Карно — Каратеодори
3.1. В этом разделе мы покажем как результаты геометрической теории меры, установленные в случае групп Карно в [8, 41], можно обобщить на сс-пространства.
Мы рассматриваем здесь сс-пространства М, М такие, что хаусдорфова размерность и первого из них не превосходит хаусдорфовой размерности и второго.
Можно доказать, следуя [41], что для липшицева отображения / : Е ^ М, где £сМ — измеримое множество, для почти всех х € Е существует предел
который служит локальной характеристикой искажения мер и играет роль якобиана.
Напомним, что функцией кратности (или индикатрисой Банаха) М(у,/,А) отображения /, А С Е, называется величина
с^(Г1(у)ПА) = #{г6Г1(у)П4
Теорема 14. Предположим, что Е\,... . /-Д. С М — измеримые множества, Е = Ц;=| /•,',. а отображение / : Е М, Е С М, и ^ и, таково, что ограничение /| е, липшицево для любого j и якобиан ^ (х) интегрируем на Е. Тогда функция кратности /, Е) измерима на М и
Е
С помощью теоремы 8 можно установить как характеристика (11) связана с V-дифференциал ом.
Предложение 4. Предположим, что Е С М — измеримое отображение, а / : Е —> М — липшицево отображение. Тогда для почти всех х € Е существует предел
(п,,/(Епв(у,г)) Л тгодяОМ)) и ч,
н'(ЕПВМ) ■ у 6 вм) = Ъ{х) = ч'вм = 1
3.2. Будем говорить, что формула площади справедлива для отображения / : Е —> М, Е С М — измеримое множество и // ^ />. если выполняются следующие три условия для произвольной измеримой функции и : Е —> Ж и любого измеримого множества А С Е:
1) функции Лэги и{х)^{х) иМбун ^ и(х) измеримы.
хе^Цу)пА
2) Если функция и неотрицательна, то и(х)Жх)(Ми(х) = [ и(х)<М"(у). (12)
~ хеГ~Ну)пА
3) Если одна из функций
Аэ х ^ и(х)^(х) и Меци ^ и(х)
хЕ/-1(у)ПЛ
интегрируема, то вторая также интегрируема и справедлива формула (12).
Из теоремы 14 стандартным образом, см., например, [41], получаем следующую формулу площади.
Теорема 15. Предположим, что Е\,... . /-Д. С М — измеримые множества, Е =
Е3, отображение / : Е —> М, и ^ и, таково, что ограничение /|^ липшицево для каждого j. Тогда справедлива формула площади (12).
Из формулы вытекают многие следствия, которые в случае групп Карно установлены в [41]. Мы сформулируем здесь два из них.
Теорема 16. Предположим, что непрерывное отображение / : О —» М, С М — открытое множество, и ^ и, удовлетворяет одному из следующих условий:
(1) / принадлежит классу Соболева М), и < д;
(2) / квазпмонотонно и принадлежит классу Соболева М);
(3) / принадлежит классу Соболева М), д ^ 1, и обладает М-свойством Лузина.
Тогда справедлива формула площади (12).
В теореме 16 формула площади приведена для отображений классов Соболева, обладающих Л/"-свойством Лузина, см., теорему 13. Во всех остальных случаях она верна в следующей форме.
Теорема 17. Предположим, что дано отображение / : И М, О С М — открытое множество, и ^ и, класса Соболева М), 1 ^ д ^ и. Тогда существует множество нулевой меры Е С О такое, что для любого измеримого множества А С О справедлива следующая формула площади:
[ и(х)^(х)<Ми(х)= [ и(х)<Ми(у),
где и — произвольная неотрицательная измеримая функция такая, что произведение и(х)^(х) интегрируемо.
§ 4. Квазиконформные отображения пространств Карно — Каратеодори
Современная теория квазиконформных отображений в евклидовом пространстве представляет собой естественное развитие двумерной теории и имеет многочисленные связи со смежными разделами анализа (см., например, [11]).
Квазиконформные отображения на неримановых пространствах впервые рассматривались Мостовым [33] при исследовании проблемы классификации метрических пространств постоянной отрицательной кривизны. В доказательстве теоремы о жесткости Мостов использовал квазиконформные преобразования идеальной границы некоторого симметрического пространства. М. Громов показал, что геометрия такой
идеальной границы моделируется нильиотентной группой с метрикой Карно — Кара-теодори, не являющейся римановой. Эти пионерские работы стимулировали интерес к изучению квазиконформных отображений на группах Карно [35] и более общих пространствах Карно — Каратеодори [29]. При этом отметим, что нильпотентные группы и многообразия, порождаемые векторными полями, удовлетворяющими условию Хёрмандера [23], с неримановыми метриками, изучались ранее при исследовании ряда вопросов теории субэллиптических уравнений, см., например, [14, 15, 34] и др. Теория пространств Карно — Каратеодори применяется в задачах, связанных с неголономной механикой и других физических задачах, см., например, монографию [32], в которой приведена подробная библиография по этому вопросу. Исследование теории квазиконформных отображений на группах Карно стимулировалось также связью этих отображений с некоторыми функциональными классами (в частности, пространствами Соболева и ВМО) [1, 2, 7, 42, 43].
Систематическое развитие теории квазиконформных отображений на группах Карно началось с группы Гейзенберга [25], на примере которой видно, что наличие нетривиальных коммутационных соотношений требует развития дополнительного (по сравнению с классической ситуацией) аналитического аппарата, который давал бы возможность работать с квазиконформными отображениями на группах Карно с той же эффективностью, что и в Жп. Одной из первых задач, в частности, была задача об эквивалентности различных определений квазиконформности. С этой целью были введены адекватные ситуации понятия математического анализа. В 1989 году П. Пансю ввел понятие дифференцируемости на группах Карно (Р-дифференциал) [35]. Используя концепцию дифференцирования Пансю, Кораньи и Рейманн [25] систематизировали аналитические методы исследования квазиконформных отображений на группах Гейзенберга, предполагая более сильное по сравнению с евклидовым пространством условие: Т'-дифференцируемость почти всюду.
Аналитический аппарат, позволяющий развить теорию квазиконформных отображений на группах Карно при наиболее слабых (аналитических) предположениях развит в серии работ 90-х годов [2, 3, 5, 8, 41, 42].
Развитие теории квазиконформных отображений на группах Карно привело к переосмыслению классических методов и доказательств. Это явилось одним из стимулов к появлению концепции теории квазиконформных отображений и связанной с ней теорией различных функциональных классов (Соболева, ВМО) на метрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения (пространства однородного типа) или более сильному условию регулярности (мера ц метрического пространства X называется Q-регулярной, если для любого шара В(х, г) С X верно р(В(х, г)) и г^), см., например, [6, 22, 43].
Для гомеоморфизма / : М N двух сс-пространств (М, d) и (N, d) введем величины
~ ~ L ¥{х т)
Lf(xir) = ,ma;x d(f(x),f(y)), lf(x,r) = min d(f(x),f(y)), Hf(x,r) = / '
d(x,y)=r d(x,y)=r lf[X,r)
И ПОЛОЖИМ
Hw(x) = lim Hf(x,r).
* r-)-+0 J
Отображение / называется квазиконформным, если величина Hf(x) ограничена в М Число Hf = ||-Я/(ж)|1/00(М)|| называется коэффициентом квазиконформности отображения /.
сс-Пространство — метрическая структура, на которой из метрического определения квазиконформности можно получить эквивалентное ему аналитическое. В евклидовом пространстве Жп, n 2, метрическое определение эквивалентно тому, что / G ^nJoc и \Df(x)\ si К | det Df(x)\, где Df(x) формальная матрица Якоби, определенная почти всюду. В [2] аналог аналитического определения квазиконформности выведен на группах Карно. Покажем, что рассуждения работы [2] можно обобщить на сс-пространства.
Из приведенного определения квазиконформности стандартным образом выводится, что отображение / удовлетворяет условиям теоремы Степанова. Отсюда и из теоремы 9 выводим
Предложение 5. Всякое квазиконформное отображение / : М N V-дифференцируемо почти всюду.
Стандартным образом [29] проверяется, что обратное отображение также квазиконформно, и, следовательно, также дифференцируемо почти всюду. Заметим, что не может быть такого, чтобы Т^-мера Хаусдорфа образа точек дифференци-руемости равнялась нулю. Поэтому существует точка х такая, что отображение / V-дифференцируемо в точке х, а обратное отображение f^1 V-дифференцируемо в точке f(x). Следовательно, дифференциал Df(x) является изоморфизмом групп касательных конусов, и поэтому размерности Хаусдорфа пространств М и N совпадают. Таким образом, получаем
Предложение 6. Если отображение / : М N квазиконформно, то размерности по Хаусдорфу пространств М и N совпадают.
Предложения 5 и 6 другим способом доказаны в [29].
Справедлив следующий результат, доказательство которого может быть получено с использованием схем из работ [2, 5, 42].
Теорема 18. Для гомеоморфизма / : М N сс-пространств следующие утверждения эквивалентны:
(1) гомеоморфизм / квазиконформен;
(2) обратный гомеоморфизм f^1 : N М квазиконформен;
(3) гомеоморфизм f : М ^ N принадлежит классу ACL и для п. в. х € М формальный горизонтальный дифференциал Df(x) удовлетворяет либо условию
тах{||Д/(е)||(Ж) : ||£|| = 1,£ G VJ ^ Кmin{\\Df (()\\(х) : ||£|| = U С Ы, (13)
либо у словию
\\Dfr(x)^K»\detDf(x)\;
(14)
(4) оператор /* : —1^(М), /*(«) = / о и, ограничен;
(5) оператор /* : —1^(М), /*(«) = / о и, является изоморфизм;
(6) для любого сферического конденсатора I? С N
сарЛГ1^)) < Д"сар„(£>);
(15)
(7) для любого сферического конденсатора D С М
cap„(/(£>)Ktf"cap„(£>);
(16)
(8) гомеоморфизм / : М N принадлежит классу И/111ос(М) и для п. в. х € М формальный горизонтальный дифференциал I?/ удовлетворяет либо условию (13), либо условию (14).
При этом значения Нf, //1 !. Ц/*))^ и наименьшие величины К", К', К" выражаются друг через друга.
В условиях (15) и (16) конденсатор И есть связное открытое множество в С, дополнение к которому имеет две компоненты связности: ^ и а его емкость сарр(1?) относительно пространства равна величине т£||\7/;/ | Ьр{р) ||Р, где нижняя грань берется по всем непрерывным функциям / € равным единице (нулю) на
компоненте ^ (_Ро) конденсатора И.
Из теоремы 6 и способа ее доказательства вытекает несколько утверждений.
Следствие 2. Если отображение / : М N сс-пространств квазиконформно, то
/ е И?>1ос(П).
<1 Если отображение / : М N сс-пространств квазиконформно, то по теореме 18 / € АСЬ и для п. в. х € М формальный горизонтальный дифференциал 1?/(ж) удовлетворяет условию Ци/Ц^ж) Ки\^(х)\. Если и <е М — компактная область, то по теореме 16 о замене переменной имеем
I НА/Г (х)с1Пг/(х) ^К» I ^{х)йНЦх) ^жци), и и
что и требовалось доказать. [>
Следствие 3. Если отображение / : М N сс-пространств квазиконформно, то J^p (х) Ф О ПОЧТИ ВСЮДУ В М.
<1 По теореме 18 и следствию 2 как /, так и 1 принадлежат классу Поэтому (следствие 1) оба отображения / и 1 обладают Л/"-свойством Лузина. По теореме о замене переменной для любого измеримого множества £сМ справедлива формула
I Мх)с1Ж(х) = \<р(Е)\.
Е
Следовательно, для множества Е = {х € М : ¿[¡(х) = 0} имеем \/(Е)\ = 0. Так как 1 также обладает Л/"-свойством Лузина, то Е = 1(/(Е)) имеет меру, равную нулю. 1>
Литература
1. Водопьянов С. К. Ьр-теория потенциала и квазиконформные отображения на однородных группах // Современные проблемы геометрии и анализа.—Новосибирск: Наука, 1989.—С. 45-89.
2. Водопьянов С. К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно // Сиб. мат. журн,—1996.—Т. 37, № 6.—С. 1269-1295.
3. Водопьянов С. К. О замкнутости классов отображений с ограниченным искажением // Математические труды.—2002.—Т. 5, № 2.—С. 91-136.
4. Водопьянов С. К., Грешнов А. В. О дифференцируемости отображений пространств Карно — Каратеодори // Докл. РАН,—2003.—Т. 389, № 5.—С. 1-5.
5. Водопьянов С. К., Грешнов А. В. Аналитические свойства квазиконформных отображений на группах Карно // Сиб. мат. журн.—1995.—Т. 36, № 6.—С. 1317-1327.
6. Водопьянов С. К., Грешнов А. В. О продолжении функций ограниченной средней осцилляции на пространствах однородного типа с внутренней метрикой // Сиб. мат. журн.—1995.—Т. 36, № 5.—С. 1015-1048.
7. Водопьянов С. К., Латфуллин Т. Г. Весовые пространства Соболева и квазигиперболические отображения на группах Карно // Комплексный анализ в современной математике. К 80-летию Б. В. Шабата.—М.: ФАЗИС, 2001.—С. 81-98.
8. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Аппроксимативно дифференцируемые преобразования и замена переменных на нильпотентных группах // Сиб. мат. журн.—1996.—Т. 37, № 1.—С. 70-89.
9. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Операторы суперпозиции в пространствах Лебега и диффе-ренцируемость квазиаддитивных функций множества // Владикавк. мат. журн.—2002.—Т. 4, № 1,—С. 11-33.
10. Постников М. М. Группы и алгебры Ли.—М.: Наука, 1982.—447 с.
11. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением.—Новосибирск: Наука, 1982.—278 с.
12. Решетняк Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве // Сиб. мат. журн,—1997.—Т. 38, № 3.—С. 657-675.
13. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. Т. I.—М.: Мир, 1964,—533 с.
14. Chernikov V. М., Vodop'yanov S. К. Sobolev Spaces and Hypoelliptic Equations. I // Siberian Advances in Mathematics.—1996.—V. 6, № 3.—P. 27-67.
15. Chernikov V. M., Vodop'yanov S. K. Sobolev Spaces and Hypoelliptic Equations. II // Siberian Advances in Mathematics.—1996.—V. 6, № 4.—P. 64-96.
16. Cheeger J. Differentiability of Lipschitz functions on metric measure spaces // Geometric and Functional Analysis.—1999.—V. 9.—P. 428-517.
17. Folland G. В., Stein I. M. Hardy spaces on homogeneous groups.—Princeton: Princeton Univ. Press, 1982.—274 p. (Math. Notes; 28)
18. Fangima L., Xiaoping Y. Geometric measure theory.—Beijing-New York: Science Press, 2002.—237 p.
19. Federer H. Geometric measure theory.—Berlin: Springer, 1969.—676 p.
20. Gromov M. Carnot-Caratheodory spaces seen from within / In: Sub-Reimannian geometry.—Basel: Birkháuser, 1996.—P. 79-323.
21. Hajlasz P. Sobolev spaces on an arbitrary metric space // Potential Analysis.—1996.—V. 6.—P. 403415.
22. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces.—NY: Springer, 2001.—140 p.
23. Hórmander L. Hypoelliptic second order differential equations // Acta Math.—1967.—V. 119.— P. 147-171.
24. Jerison D. The Poincaré inequality for vector fields satisfying Hormander's condition // Duke Math. J.—1986.—V. 53, № 2.—P. 503-523.
25. Koranyi A., Reimann H. M. Foundations for the theory of quasiconformal mappings on the Heisenberg group // Adv. Math.—1995.—V. 111.—P. 1-87.
26. Lu G. Weighted Poincaré and Sobolev inequalities for vector fields satisfying Hormander's condition and applications // Eev. Mat. Iberoamericana.—1992.—V. 8, № 3.—P. 367-439.
27. Lu G. The sharp Poincaré inequality for free vector fields: An endpoint result // Eev. Mat. Iberoamericana.—1994,—V. 10, № 3.—P. 453-466.
28. Magnani V. Differentiability and area formula on stratified Lie groups // Houston Journal of Math.— 2001.—V. 27, № 2.—P. 297-323.
29. Margulis G. A., Mostow G. D. The differential of quasi-conformal mapping of a Carnot-Carathéodory spaces // Geometric and Functional Analysis.— 1995.—V. 5, № 2.—P. 402-433.
30. Martio O., Maly J. Luzin's condition (N) and mappings of the class W1,n // J. Eeine Angew. Math.— 1995.—V. 485.—P. 19-36.
31. Mitchell J. On Carnot-Carathéodory metrics // J. Differential Geometry.— 1985.—V. 21.—P. 35-45.
32. Montgomery R. A tour of subriemannian geometries, their geodesies and applications.—Providence: American Mathematical Society, 2002.—260 p.
33. Mostow G. D. Strong Rigidity of Locally Symmetric Spaces // Annals of Mathematics Studies, No. 78.—Princeton, N.J.: Princeton University Press; Tokyo: Tokyo Univ. Press, 1973.—195 p.
34. Nagel A., Stein E. M., Wainger S. Balls and metrics defined by vector fields I: Basic properties // Acta Math.—1985.—V. 155.—P. 103-147.
35. Pansu P. Métriques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des espaces symétriques de rang un // Ann. of Math.—1989.—V. 119.—P. 1-60.
36. Reshetnyak Yu. G. Some geometric properties of functions and mappings with generalized derivatives // Mat. Sb.—1966.—V. 7, № 4,—P. 886-919.
37. Rademakher H. Ueber partielle und totale Differenzierbarkeit. I // Math. Ann.—1919.—V. 79.— P. 340-359.
38. Pauls S. D. A notion of rectifiability modeled on Carnot groups.—Hanover, 2001.—21 p. (Preprint, Dartmooth College, http://hilbert.dartmooth.edu/~pauls/preprin4.html).
39. Stein E. M. Harmonic Analysis: Real-Variables Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals.— Princeton: Princeton Univ. Press, 1993.—695 p.
40. StepanoffW. Ueber totale Differenzierbarkeit // Math. Ann.— 1923.—V. 90.—P. 318-320.
41. Vodop'yanov S. K. P-differentiability on Carnot groups in different topologies and related topics // Труды по анализу и геометрии (Редактор-составитель С. К. Водопьянов).—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН,—2000.—Р. 603-670.
42. Vodop'yanov S. К. Sobolev classes and quasiconformal mappings on Carnot-Caratheodory spaces // In: Geometry, Topology and Physics. Proceedings of the First Brazil-USA Workshop held in Campinas, Brazil, June 30-July 7, 1996 / Editors: B. N. Apanasov, S. B. Bradlow, W. A. Rodrigues, К. K. Uhlenbeck.—Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co.—1997.—P. 301-316.
43. Vodop'yanov S. K., Greslmov A. V. Quasiconformal mappings and BMO-spaces on metric structures // Siberian Advances in Mathematics.—1998.—V. 8, № 3.—P. 132-150.
г. Новосибирск
Статья поступила 20 февраля 2003
