Уравнения Бельтрами, вырождающиеся на дуге Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.752.44+514.772 ББК (В)22.161.5

УРАВНЕНИЯ БЕЛЬТРАМИ, ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ НА ДУГЕ

Кондрашов Александр Николаевич

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерных наук и экспериментальной математики, Волгоградский государственный университет [email protected], [email protected]

просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Аннотация. Для уравнения Бельтрами

Ь (г) = ^(z)fz (г),

вырождающегося на дуге, обсуждается геометрическая интерпретация некоторых условий существования и единственности решений ассоциированного уравнения, установленных в недавней работе автора [5]. Приводится теорема о локальном существовании решений ассоциированного уравнения в окрестности дуги вырождения, записанная в геометрических терминах.

Ключевые слова: вырождающееся уравнение Бельтрами, гомеоморфизм, комплексная дилатация, характеристики Лаврентьева, решение с особенностью, ассоциированное уравнение.

о

см

а ч

о

Введение

Пусть в односвязной области D С C задано уравнение Бельтрами (см., например, [2])

£ (z ) = M(z)fz (z). (1)

При l^(z)l < 1 п.в. в D уравнения Бельтрами наиболее изучены. Этот случай называется в дальнейшем классическим (см., например, [11]).

Хорошо известно [2, гл. 2], что справедливость условия

ess sup l^(z)| < 1, (2)

D'

для произвольной подобласти И' < И, влечет существование гомеоморфного решения ю = /(г) е <С2р) уравнения (1), при этом г = f-» е <С2(/(Я)).

Уравнения Бельтрами в классическом случае являются одним из средств опи-ч сания квазиконформных отображений и их обобщений [9]. В этой связи напомним, что коэффициент ^(г) = (%) называется комплексной дилатацией отображе-

@ ния /(г) е Ж10'с2(^). Его задание эквивалентно заданию п.в. в И поля распределения

характеристик Лаврентьева (р(-г), ^(-г)), при этом связь между ними следующая (см. [1, с. 7]):

*(*) = 1 агёМ-2) + + 1/Х(г)1

2 — ' 2' ^ > 1 -|М*)Г

М*) = -e2ie . (3)

р + 1

Отображение w = f(z), первая характеристика которого в D п.в. удовлетворяет условию

p(z) < Q = const, (4)

называется Q-квазиконформным. Если условие (4) выполняется в D локально, то отображение называется локально квазиконформным. Условие (2) эквивалентно условию локальной квазиконформности.

Непрерывную функцию /( z) G ^iO'c2(D), удовлетворяющую уравнению (1) п.в. в D, будем называть решением данного уравнения.

Пусть существует замкнутое относительно D множество Е С D меры mes2 Е = 0. Если непрерывная в D функция f(z) является решением уравнения (1) в D \ Е, то функцию f(z) будем называть решением с особенностью Е данного уравнения.

Замечание 1. При этом неизвестна принадлежность / G Wl0'c2(D).

В случае < 1 п.в. в D гомеоморфные решения не меняют ориентацию, а в

случае > 1 п.в. в D меняют. Эти случаи уравнения Бельтрами различаются лишь

формально. Интерес представляет ситуация, когда одновременно существуют подобласти D, в которых п.в. выполнено < 1 и подобласти D, в которых п.в. |^(z)| > 1.

В этом случае говорится, что уравнение Бельтрами имеет переменный тип. Его решения описывают отображения со складками, сборками и т. п.

Задача исследования уравнений Бельтрами переменного типа ставилась Л.И. Вол-ковыским [3]. Некоторые продвижения в этом направлении имеются в работах [11-13].

В наших недавних работах [5; 6] была изучена связь между строением решений классических уравнений Бельтрами и уравнениями Бельтрами переменного типа. Именно изучение уравнения (1) в общем случае было связано с изучением классического уравнения Бельтрами

h (z) = S (z) fz (z), (5)

с комплексной дилатациеи

i

^ (z) = ^ 1 !-( \ I ( W^ 1 (6)

1/ß(z) при !ß(z)! > 1.

Это уравнение называем в дальнейшем уравнением, ассоциированным с уравнением (1). Очевидно, (г)| < 1 п.в. в И, причем в классическом случае уравнения Бельтрами ассоциированное уравнение совпадает с самим уравнением, так как ^(г) = (г).

Замечание 2. Связь между уравнениями Бельтрами переменного типа и ассоциированными уравнениями Бельтрами впервые отмечена в [8], а сам термин был введен нами в [5]. В этих работах показано, что складчатые решения уравнения Бельтрами переменного типа получаются из решений ассоциированного с ним уравнения с помощью дополнительной суперпозиции с функцией Бора В (г) = Х\ + г|х2|. В связи с этим представляют интерес результаты об ассоциированном уравнении в терминах первоначального.

Далее будут использоваться терминология и обозначения работы [5], напомним их.

Пусть имеется некоторая функция f (г) : И ^ М. Если существует функция К (г) € € \¥ 1,2(В) такая, что f (г) < К (г), то функция f (г) называется \¥1,2 -мажорируемой в И. Если f(г) является \Ух'2-мажорируемой во всякой подобласти Е' < Е, то говорят, что f (г) является локально \¥1'2-мажорируемой в Е. В дальнейшем для краткости вместо «локально ]¥ 1,2-мажорируема» будем писать «^^-мажорируема».

Пусть Е С С — односвязная область и V = Т(г) : Е ^ Т(Е) С С — некоторый гомеоморфизм, сохраняющий ориентацию. Определим функцию

(г) = иттаХ|^1Т (г>) - т ш

r^o min|^/-^|=r |Т(z') - Т(z)l и замкнутое относительно D множество

Е = {z : z Е D, sup Qt(z') = для всякого круга Br(z)}.

z'EBr (z)rD

Известно [1, гл. 1, §4], что если QT(z) < всюду (то есть при Е = 0) в D и Qt(z) < Q = const п. в. в D, то отображение Т(z) Q-квазиконформно в области D. Это означает, что при Е = 0 отображение Т(z) локально квазиконформно в D \ Е.

Множество Е будем называть множеством вырождения отображения Т(z).

По Т(z) определим класс функций

T*W^,(D) = {f(z) = <р(Т(z)), где <p Е W^(T(D))}.

Заметим, что в случае Е = 0 отображение Т(z) локально квазиконформно в D и, следовательно, Т(z) Е W\0c(D). Поэтому, в силу инвариантности классов W^2 при квазиконформных отображениях (см., например, [4, гл. 5, §4, п. 4.1, теорема 4.2]), заключаем, что Т*W02(D) = WH2(D). Следовательно, при Е = 0, если f (z) Е Т*Wl£(E), то f (z) Е Wl0!2(D\E).

Пусть 5(t) — положительная непрерывная при t = 0 функция, имеющая интегрируемую особенность в нуле. Определим комплекснозначную функцию

F(z) = fs(xi) + ix,, где fs(t) = 8(т)dr. (7)

Градиент произвольной вещественной функции f (г) в точке г € Е в дальнейшем отождествляем с комплексным числом Vf(г) = ¡Х1 + г/,Х2. В соответствии с этим также

пишем Vf(z) = fxi - if

Х2 ■

t

1. Уравнения с вырождением на линии

В работе [5] были получены результаты о существовании и единственности решений ассоциированного уравнения Бельтрами, вырождающегося на дуге. Дадим их формулировки.

Пусть существует жорданова дуга Е С Д, делящая область Е на две односвязные подобласти Е1 и Е2, причем на Е уравнение (1) вырождается, а характер вырождения описывается следующими условиями ^1), ^2).

(В1) Справедливо представление

|Мг)| = 1 + М (г)8(Н (г)), (8)

где М(г) — измеримая, п.в. конечная в И функция; ^(¿) — непрерывная функция, такая, что 5 (г) > 0 при г = 0 и 5(0) = 0; Н (г) е С (И) П ^(И), причем УН (г) = 0 п.в. в И и Н(г) < 0 в Иь Н(г) > 0 в И2.

(В2) Существует непрерывная функция Z(г) е ^¿'^(.О) такая, что отображение

3 (г) = Н (г) + ^ (г) е С (И) П <'2(И)

является локально квазиконформным гомеоморфизмом И на 3(И), сохраняющим ориентацию.

Замечание 3. Сказанное не означает, что Е совпадает с множеством всех точек, в которых уравнение вырождается.

Из условия (В1) следует, что Н(г) = 0 — уравнение кривой Е.

Пусть в дальнейшем 1\(г) = ¿)((Е1'а.^ = НXlZX2 — НX2ZXl — якобиан отображения

д(н,г) _

пусть в дальнейшем ± — -

3( )

Очевидно в условиях (В1), (В2) представление (8) не единственно. Следующие теоремы 1, 2, доказанные в [5], указывают на некоторые соотношения между функциями М, 6, Н, Z, при которых существует гомеоморфное решение с особенностью Е, уравнения ассоциированного с уравнением (1) и дают описание структуры этих решений.

Теорема 1. Предположим, что выполняются условия (В1), (В2) и для всякой подобласти И' < И можно указать функцию К (г) е Ш 1,2(И') такую, что

[Г |УК(г)|2 л

-ах1 ах2 <

D'

причем для п.в. z G D'

1

6(Н)

|М (z)| 52( Н)

ß(z) -

VZ

VZ

Положим Т(г) = (3(г)). Тогда существует гомеоморфизм т = /(г) : И ^ ^ /(И) с С, для которого справедливы утверждения:

(г) {(г) есть решение с особенностью Е уравнения, ассоциированного с (1);

(гг) /(г) е Т *Ш0'С2 (И), /-1Н е Ш0'С2(/(И \ Е)) ив представлении

/(г) = у(Т (*)) = ¥>№ (3 (г))) (10)

1'2

отображение у имеет Ж1о'С -мажорируемую первую характеристику.

Гомеоморфизм и> = /(г) единственен с точностью до конформного отображения в т-плоскости.

2

Теорема 2. Предположим, что выполняются условия (В1), (В2) и функция 1/ 8(¿) имеет интегрируемую особенность в нуле. Кроме того, предположим, что для всякой подобласти И' < И можно указать функцию К (г) е Ш1,2 (И') такую, что

Ц ^ ^Х1^Х2 < +ГО, Б'

причем для п.в. z Е D'

1

|М (z)| 82( Н)

ß(z) -

Н

Н

+ |мМ<К (г). (11)

Положим Т(г) = (3(г)). Тогда существует гомеоморфизм т = /(г) : И ^ ^ /(И) с С, для которого справедливы утверждения:

(г) /(г) есть решение с особенностью Е уравнения, ассоциированного с (1); (гг) /(г) е Т *Ш0'С2 (И), /-1Н е ^0'С2(/(И \ Е)) ив представлении

/(г) = у(Т (г)) = у(^1 (3 (г))) (12)

о

1,2

отображение у имеет Ш1о'С -мажорируемую первую характеристику.

Гомеоморфизм и> = /(г) единственен с точностью до конформного отображения в т-плоскости.

Главной целью нашей работы является выяснение геометрических условий существования и единственности решений ассоциированного уравнения.

2

2. Геометрический смысл условий (9) и (11)

Пусть для ß(z), кривой Е и области D выполняются условия (B1), (B2) предыдущего раздела и, кроме того, кривая Е локально спрямляема, а функция ß(z) непрерывна в п.в. точках кривой Е.

Замечание 4. Если речь идет о Е, то «почти всюду» рассматривается относительно линейной меры.

Рассмотрим условия теоремы 1. Предположим градиент V Z(z) непрерывен в п.в. точках Е, а якобиан I\(z) > 0 п.в. на Е.

Зафиксируем произвольную подобласть D' < D так, что D'[~\Е = 0. Тогда из неравенства (9) для п.в. z Е D', получаем

2

<К (z)|M (z)| 8(Н (z)). (13)

Известно (см.: [10, §6]), что множество (z : z Е D', lim К(z') = имеет

z'^z

линейную меру 0. Отсюда следует, что для п.в. z0 Е Е найдется радиус г = r(z0) > 0 такой, что

ess sup К(z) < (14)

Br (zo)nD'

ß(Z) -

VZ (z) VZ (z)

Пусть € Е — произвольная точка непрерывности и VZ(г), в которой

выполнено (14), Д(> 0, а к Е существует касательная.

Непрерывность ^(г) в точке в силу представления (8) влечет 2о)| = 1 и

ИтМ (г)5(Н (г)) = 0. (15)

Выберем последовательность точек гп € И', гп ^ так, чтобы на ней выполнялось неравенство (13) и последовательность К(гп) была ограничена. Тогда, учитывая (15), непрерывность ^(г) и VZ(г) в точке г0, из (13) получаем

" ' VZ Ы -««Г1 ' VZ (гп)

Тем самым п.в. на Е

м -Щ = 0 (16)

Имеем соотношение

V Н(г^Z(г) - VН(г^Z(г) = -2И1(г).

Так как 1]_(г) = 0 п.в. на Е, то с учетом (16), из предыдущего равенства, п.в. на Е вытекает соотношение

VН(г^Z(г) - VН{г) ц(г)ЧZ(г) = 0.

Деля его на -IVZ(г) = 0, для п.в. г € Е получаем

г V Н (г) + г V Н (г) ц(г) = 0.

Так как вектор гVН(г) направлен по касательной к Е в п.в. точках Е, то п.в. на Е выполняется условие

+ = 0, (17)

если направлено по касательной к Е.

В случае теоремы 2, при аналогичных ограничениях на Е, ^(г), VН и Ь(^), мы придем к условию

+ = 0, (18)

где йг направлено по касательной к Е, выполненному п.в. на Е. Дадим геометрическую трактовку соотношениям (17) и (18).

Пусть (р(г), 0(г)) — распределение характеристик Лаврентьева, отвечающее комплексной дилатации ^*(г). Так как

ф)=1 + №(*)1 1 + 1^)1

1 |1 -Ш1У

то представление (8) означает, что

р(г) = ж при г € Е, (19)

или, в силу (3), ц = ц* = - е2гв при г € Е.

Равенство (19) можно интерпретировать как вырождение на Е бесконечно малых эллипсов с характеристиками ( ( ), ( )) в бесконечно малые отрезки с углом наклона в = в(г).

Для всякого г € Е обозначим через < = <(г) (0 < < < ж) — угол между касательной к Е в точке г € Е и положительным направлением оси Ох1. Тогда Ах = | е^^ — касательный вектор к Е в точке г. При этом из условия (17) следует, что < = в, а из условия (18), что < = в. Это означает, что в случае (17) упомянутые отрезки направлены трансверсально к Е, а в случае (18) — по касательной (см. рисунок).

ВдольЯ |p.j = ]<=>р=оо; dz+ndzФОоб^Ф Вдоль^ M = 1 <=>p=oo;dz+|idz=OoG=<p

Случаи условий (17) и (18)

Приведем примеры ^(z), иллюстрирующие теоремы 1 и 2.

Случай теоремы 1. Пусть D — односвязная область в C и Н(z) Е C(2\D) — произвольная функция, такая, что V Н(z) = 0 всюду в D. Пусть линия уровня Е = = {z : Н(z) = 0} разбивает D на односвязные подобласти Dl = {z : Н(z) < 0} и D2 = {z : Н(z) > 0}.

Положим ^(z) = ащ^Н(z)). Зададим произвольно измеримую функцию М(z) такую, что 0 < ml < М(z)l < т2 (ml,m2 = const) и непрерывную функцию 5(t) (6(t) > 0 при t = 0, 5(0) = 0).

Возьмем в качестве ^(z) функцию

¡л(,z) = (1 + М(z)5(Н)) 4)г = г(1 + М(z)5(Н))=. (20)

V Н

Векторное поле ег4 VН трансверсально VН. В некоторой окрестности 0(Е) существуют функции \(z) > 0 и Z(z) Е C(l\0(E)) такие, что VZ = \(z)ez4 VН. (Эта функция \(z) есть интегрирующий множитель 1-формы

w = (V2/2) ((НХ1 - НХ2)dxi + (НХ1 + НХ2)dx2).)

Тогда

V Z 2

Р V Z —

.V Н

+ г М (z)£( Н)

V Н V Н

V Н V Н V Н

и левая часть (9) оценивается следующим образом:

|М (z)|V(H)

1

|М (z)| ¿2( Н)

1

vz

vz

+

1

| М( )|

< |М(z)| +

1 1

|М(z)| < Ш2 + '

Очевидно, условия теоремы 1 выполняются c К(z) = m2 + ^ = const.

Случай теоремы 2. Пусть D — односвязная область в C. Зададим в ней пару функций Н(z) £ C(1)(D) так, чтобы VH(z) = 0 всюду в D и линия уровня Е = = (z : Н(z) = 0} разбивала D на односвязные подобласти D = : Н(z) < 0} и D2 = (z : Н(z) > 0}.

Функцию Z(z) £ С(1)(0(Е)) выберем так, чтобы градиент VZ(z) был всюду транс-версален градиенту V Н(z), причем J^'^) > 0. (Которую, в частности, можно построить как и в предыдущем случае.)

Зададим произвольно измеримую функцию М(z) такую, что 0 < m1 < |М(z)| < m2 (m1 ,m2— постоянные); непрерывную функцию (#(i) > 0 при t = 0, #(0) = 0), для которой может быть определена функция Fi.

Положим Тогда имеем 1

¡(z) = (1 + М Ог)£(Н ))е2^\

Н

Н

V Н + М (^(Н)VH

Н

Н

Н Н

и левая часть в (11) оценивается следующим образом:

1

| М( )| 2( Н)

¡

Н

Н

+

1

| М( )|

< |М(z)| +

|М (^¿2(Н)

11

Тем самым условия теоремы 2 выполняются c К(z) = m2 + ^ = const.

Явно указанным примером пары функций Н(z), Z(z), подходящей как для описанной ситуации случая теоремы 1, так и случая теоремы 2, может служить пара функций

Н- 1, Z(z) = xy + 1(у2 -ж2)

с областью D = ((ж,у) : ж > 0, у > 0} и кривой Е = ((ж,у) : у = 1/ж}.

2

2

2

2

2

3. Геометрические следствия теорем 1, 2

Далее расстояние ^^, Е) от точки г е О до множества Е с Е мы будем рассматривать как функцию г. Желая подчеркнуть это, а также для уменьшения размера формул, мы будем использовать обозначение ¿е(-г), полагая ¿е( ¿0 = ^^, Е).

При выполнении условия (17) и дополнительных условиях гладкости на кривую Е в работах Сребро и Якубова [13, теорема 1.1] была установлена локальная теорема существования и единственности гомеоморфных решений вырождающихся уравнений Бельтрами, записанная в геометрических терминах. Следующая теорема 3 является

специальной версией упомянутого результата. Наша цель состоит в том, чтобы показать возможность ее вывода из теоремы 1.

Теорема 3. Пусть D с C — односвязная область, Е с D — кривая класса делящая область D на односвязные подобласти D1, D2, и в D задано уравнение Бельтрами (1). Предположим, что функция p(z) представима в виде

¡(г) = (1 + М (z)p(de (z)))e2^(z), (21)

где: 1) функция p(i) непрерывна на [0, причем р(0) = 0 и p(i) > 0 при t = 0;

2) функция 0(z) £ C(1)(D) такова, что всюду на Е

dz + e2ie(z)Tz = 0, (22)

при dz, направленном по касательной к Е; 3) комплекснозначная функция М(z) измерима и п.в. в D

^ < |ReМ(z)| < R, |1тМ(z)| < R (R = const). (23)

R

Тогда в некоторой окрестности 0(Е) существует решение с особенностью Е уравнения, ассоциированного с (1).

Доказательство. Положим М^) = И,еМ(z), М2^) = 1тМ(z).

Пусть s (я < s < 6) — ориентированный натуральный параметр (отсчитываемый от фиксированной точки zo £ Е), заданный на Е, и пусть

z = z( s ) = x1(s) + гж2(з) —

соответствующая натуральная параметризация кривой Е.

Через | • |, (•, •) — будем обозначать стандартные евклидову норму и скалярное произведение в C = R2, а комплексные числа рассматривать как векторы.

Пусть ( ) = ( ) — единичное векторное поле, касательное к Е, ( ) = | ( )| — кривизна кривой Е в точке z(s), n(s) = — ж'2(з) + гж^(s) — единичное нормальное поле. Пусть точка z — фиксирована. Рассмотрим функцию

Л,( S ) = |z Z( S )| = — ^(s))2 + (Ж2 — ^2(s))2' С учетом формул Френе

i/( s ) = s )n( s ), n' (s) = — fc(s)//(s),

имеем

s) = —

fc' ( s ) = — ,

k — z( s )|

(( fcn(s), z — z( s)) — |!/(s)|2)|z — z( s)|2 + ( и( s),z — z( s))2

к- *( в )|3

Отсюда видно, что если 2; — 5(зо)±зо), то есть точка г лежит на нормали к Е, проведенной через точку 5(з0), то к'(з0) = 0. При этом

,,,( ) = 1 — ( к(врХво),^ — г(^о)) = 1 ± &(во)к — «о)| ( "о)= к — 5( во)| = к — «о)| ,

где знак «+» или «-» берется в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены коллинеарные векторы г - г(во) и п(в0), или, иначе говоря, в какой из подобластей И1 или И2 лежит г.

Тогда Ъ!'(в0) > 0, если \г - г(з0)\ < щ^уу и г - г(з0)±и(в0). Таким образом, указанное з0 является точкой локального минимума функции к(8) и, тем самым,

¿Е(г) = \г- г(5 0) |.

Рассмотрим отображение области О = {( в, Ь) : Щ < } из плоскости переменных 8,Ь в плоскость переменных х1,х2, определенное формулой

г = г( в ) + Ы( в ). Данное отображение принадлежит классу при этом

<1Е (I( 5 )+ Ы( в )) = Щ. Снова, учитывая формулы Френе, имеем

(24)

д (Х1,Х2) д(8,1)

хк^) - гх'2(в) -х^в)

Х'2(в) + 1х'{ (в) х1(з)

х!(в) - 1к(з)х'1(з) -х'^в) х'2(в) - Ьк^х'^з) х1(з)

= 1 - гк(в) > 0.

По построению данного отображения очевидно, что оно взаимно однозначно отображает некоторую окрестность прямой = 0 на окрестность кривой Е, причем обратное к нему является отображением класса Пусть Н(х1,х2) = 1(х1,х2) получается выражением Ь через х1,х2 из системы уравнений (24).

Положим 5(Ь) = р(Щ). Тогда (21) примет вид

ц(г) = (1 + М(г)5(Н(,г)))е2гв^ . Отсюда, вычисляя, получаем

Ш\2 = 1 + М *(г)6(Н (г)), где М*(х) = 2М1(г) + \М(г)\25(Н(г)). Далее можно записать

(25)

где

\ц(г)\ = 1 + ^1 + М*(г)5(Н(г)) - 1 = 1 + М(г)5(Н(г)), М м- М

1 + у/1 + М*(г)5(Н(г))'

С учетом (23), равенства ¿е(г) = 1Н(г)\ и непрерывности 5(1), ясно, что можно выбрать столь малое е > 0, чтобы при ¿е(г) < е было выполнено

С <\М(г)\<С, С < \М(г)\ < С,

(26)

где С = С (К, е) > 0 — некоторая константа.

Пусть г(г) — функция класса определенная в окрестности Е уравнением

V г (г) = Л(г)е

(27)

где Л(г) > 0 — интегрирующий множитель формы = сс8 0(,г)(¿^ + втб1^)(¿г2. Тогда имеем

5(я, г)

5(^1,^2)

НХ\ НХ2

г г

НХ

Нх

'Х1 Х2

Л ссв б1 Л эт 0

Л(г)(-НЖ2 ссв^ + НЖ1 бЬЯ) = Л(^Н,е*(г)). Далее, в (3) положим бк = «V Н, откуда получим

(28)

г V Н + е2гб(г) г V Н = 0 ^ -2е~гв(х) ( г V Н, е*(г)) = 0.

Тем самым из (28) вытекает, что на Е

5(я, г)

5(^1,^2)

= 0,

а в силу непрерывности якобиана это же неравенство справедливо в некоторой окрестности Е. Можно считать, что ориентация Е и параметризация э согласованы так, что

5(я, г)

5(^1,^2)

> 0.

Тогда отображение 3(г) = Н(г) + «г(г) вместе с обратным принадлежит классу С1 в некоторой окрестности Е, и значит является локально квазиконформным. С учетом (25), (26), (27), имеем

|М (г)| ¿2 ( Н)

г

+

V г

1

+

|М(г)| |М(г)|£2(Н)

М(г)£(Н (г))

+

ад|2 + < *,,

|ММ| |М(г)| |М(г)|

где К0 — некоторая константа.

Тем самым установлено, что в некоторой окрестности Е выполняются условия теоремы 1, с К (г) = К0, и, следовательно, уравнение, ассоциированное с уравнением (1), имеет решение с особенностью Е. Теорема доказана.

Случай, когда вдоль дуги Е выполняется условие бк + = 0, дается следую-

щей теоремой.

Теорема 4. Предположим, что 1) Н(г) е С1 (Б), VЯ(г) = 0 в Б и Е задано уравнением Я (г) = 0; 2) функция может быть записана в виде:

УЯ

+ М *(ф(|Н (*)|),

(29)

2

1

1

1

2

где функция р(Ь) непрерывна на [0, +<х>), причем р(0) = 0 и р(Ь) > 0 при 1 = 0 и щ имеет интегрируемую особенность в нуле и комплекснозначная функция М*(г) измерима в И, причем

VW) М*(z)) | - C, IM*(Z)I - °2 (Ci, С2 = const). (30)

Тогда в некоторой окрестности О(Е) существует решение с особенностью Е уравнения, ассоциированного с (1).

Доказательство. Положим в(г) = а^^ Н(г)), тогда V Н(г) = IVН(г)\егв(г) и

е2гв{г) = ^

V Н

Тогда (29) перепишем более кратко

ц(г) = е2*Ы +М *(г)р(\Н (г)\). Так как йг = гVН направлен по касательной к Е, из (29) видим, что при Н(г) = 0

»(г) = е™(2) = = , ^ 1 V Н

и, значит, ¿г + е2г0(2:) ¿г = 0 при г € Е и ¿г направлен по касательной к Е.

Как и выше зададим Z(г) € С1"1 (И) так, чтобы градиент VZ(г) был всюду транс-версален градиенту V Н(г), причем д^'^) > 0. Имеем

\»(г)\2 = 1 + 2Яе (е-2гв М*)р + \М*\2р2.

Откуда

е-2* М*) + \М*\2р у/1 + 2Ке (е-ш М*)р + \М*\2р2 + 1

Замечая, что

Ъе(е-2гвМ * ) = Ие( ^^М *) , с учетом (30), заключаем, что в некоторой окрестности О(Е)

ш\ = 1 + М (г)5(Н (г)), где /г < \М(г)\ < С3, 6(1) = р(\Ц) иС3 — некоторая постоянная. Далее

V V " 1 11 „ /1 i 9Rt> (v-2id м*\п 4- I м*\2,

IM (z)l S2( Н)

V Н

Н

21

+ = wrnw)IM *(z)6( Н )I2+\m<

M *(z)I2 1 < ' + 1ъг, M -C4 = const.

- \M(z)\ \M(z)\ < 4

Тем самым, условия теоремы 2 выполняются c К(z) = C4, и значит утверждение теоремы справедливо.

1

Следствие 1. Пусть D с C — односвязная область, Е с Д — кривая класса делящая область D на односвязные подобласти Di, D2. Предположим, что

М*) = === + M*(z)p( dE (z)), (31)

V CÍE (¿)

где функция p(í) непрерывна на [0, причем р(0) = 0 и p(í) > 0 при í = 0 и

^у имеет интегрируемую особенность в нуле и комплекснозначная функция М*(z) измерима в D, причем

Re (M*(z)) ^ ±, (Ci, С2 = const).

Vvae (z) / Ci

Тогда в некоторой окрестности 0(Е) существует решение с особенностью Е уравнения, ассоциированного с (1).

Замечание 5. Пример Е = |ж2 = 0} показывает, что dE(z) = |ж2| и VdE(z) в точках Е неопределен. Но в случае, когда Е есть кривая класса C(3), как было видно из доказательства теоремы 3, функция Н(z) = ±dE(z), где «+» выбирается в одной из областей Di, г = 1, 2, а «—» — в другой и Н(z) = 0 на Е является функцией класса C(1)( 0(Е)). Поэтому функция

We (z) = V Н (z) V dE (z) = V Н (z) будет по непрерывности продолжаться на Е.

Доказательство. Вытекает из сделанного замечания при выборе указанной Н(z).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белинский, П. П. Общие свойства квазиконформных отображений / П. П. Белинский. — Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1974. — 100 с.

2. Векуа, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа. — М. : Наука, 1988. — 512 с.

3. Волковыский, Л. И. Некоторые вопросы теории квазиконформных отображений / Л. И. Волковыский // Некоторые проблемы математики и механики, к семидесятилетию М.А. Лаврентьева. — Ленинград : Наука, 1970. — C. 128-134.

4. Гольдштейн, В. М. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения / В. М. Гольдштейн, Ю. Г. Решетняк. — М. : Наука, 1983. — 284 с.

5. Кондрашов, А. Н. К теории вырождающихся уравнений Бельтрами переменного типа / А. Н. Кондрашов // Сиб. мат. журн. — 2012. — Т. 53. — № 6. — C. 1321-1337.

6. Кондрашов, А. Н. К теории уравнения Бельтрами переменного типа со многими складками / А. Н. Кондрашов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2013. — № 2 (219). — C. 26-35.

7. Миклюков, В. М. Изотермические координаты на поверхностях с особенностями / В. М. Миклюков // Мат. сб. — 2004. — Т. 195. — № 1. — C. 69-88.

8. Якубов, Э. Х. О решениях уравнения Бельтрами с вырождением / Э. Х. Якубов // Докл. акад. наук СССР. — 1978. — Т. 243. — № 5. — C. 1148-1149.

9. Lavrentieff, M. Sur une classe de representation continues / M. Lavrentieff // Мат. сб. — 1935. — Т. 42. — № 4. — C. 407-424. [Имеется перевод: Об одном классе непрерывных отображений // Лаврентьев, М. А. Избранные труды. Математика и механика / М. А. Лаврентьев. — М. : Наука, 1990. — C. 219-237.]

10. Martio, O. On existence and uniqueness of degenerate Beltrami equations / O. Martio, V. M. Miklyukov // Complex Variables. - 2004. - № 49. - P. 647-656.

11. Srebro, U. Branched folded maps and alternating Beltrami equations / U. Srebro, E. Yakubov // Journal d'analyse mathematique. — 1996. — № 70. — P. 65-90.

12. Srebro, U. Uniformization of maps with folds / U. Srebro, E. Yakubov // Israel mathematical conference proceedings. — 1997. — № 11. — P. 229-232.

13. Srebro, U. ^-Homeomorphisms / U. Srebro, E. Yakubov // Contemporary Mathematics AMS. — 1997. — № 211. — P. 473-479.

REFERENCES

1. Belinskiy P.P. Obshchiе svoystva kvazikonformnykh otobrazhеniy [General Properties of Quasiconformal Mappings]. Novosibirsk, Nauka. Sib. otd-nie Publ., 1974. 100 p.

2. Vekua I.N. Obobshchеnnyе analitichеskiе funktsii [Generalized analytic functions]. Moscow, Nauka Publ., 1988. 512 p.

3. Volkovyskii L.I. Nekotorye voprosy teorii kvazikonformnykh otobrazheniy [Some problems of the theory of quasiconformal mappings]. Nеkotoryе probhmy matеmatiki i mеkhaniki, k sеmidеsyatilеtiyu M.A. Lavrеntеva [in: Some Problems of Mathematics and Mechanics (to the seventieth birthday of M. A. Lavrent'ev)]. Leningrad, Nauka Publ., 1970, pp. 128-134.

4. Goldshteyn V.M., Reshetnyak Yu.G. Vvеdеniе v tеoriyu funktsiy s obobsh^nnymi proizvodnymi i kvazikonformnyе otobrazhеniya [Quasiconformal Mappings and Sobolev Spaces]. Dordrecht, Kluwer, 1983. 284 p.

5. Kondrashov A.N. K teorii vyrozhdayushchikhsya uravneniy Beltrami peremennogo tipa [On the theory of degenerate alternating beltrami equations]. Sib. mat. zhurn. [Siberian Mathematical Journal], 2012, vol. 53, no. 6, pp. 1321-1337.

6. Kondrashov A.N. K teorii uravneniya Beltrami peremennogo tipa so mnogimi skladkami [On the theory of alternating Beltrami equation with many folds]. Vеstnik Volgogradskogo gosudarstvеnnogo univеrsitеta. Sеriya 1, Matеmatika. Fizika [Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2013, no. 2 (219), pp. 26-35.

7. Miklyukov V.M. Izotermicheskie koordinaty na poverkhnostyakh s osobennostyami [Isothermic coordinates on singular surfaces]. Mat. sb. [Sbornik: Mathematics], 2004, vol. 195, no. 1, pp. 69-88.

8. Yakubov E.Kh. O resheniyakh uravneniya Beltrami s vyrozhdeniem [Solutions of Beltrami's equation with degeneration]. Dokl. akad. nauk SSSR [Doklady Mathematics], 1978, vol. 243, no. 5, pp. 1148-1149.

9. Lavrentieff M. Sur une classe de representation continues. Mat. sb. [Sbornik: Mathematics], 1935, vol. 42, no. 4, pp. 407-424.

10. Martio O., Miklyukov V.M. On existence and uniqueness of degenerate Beltrami equations. Complex Variables, 2004, no. 49, pp. 647-656.

11. Srebro U., Yakubov E. Branched folded maps and alternating Beltrami equations. Journal d'analyse mathematique, 1996, no. 70, pp. 65-90.

12. Srebro U., Yakubov E. Uniformization of maps with folds. Israel mathematical conference proceedings, 1997, no. 11, pp. 229-232.

13. Srebro U., Yakubov E. ^-Homeomorphisms. Contemporary Mathematics AMS, 1997, no. 211, pp. 473-479.

BELTRAMI EQUATIONS WITH DEGENERATE ON ARCS

Kondrashov Alexander Nikolaevich

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of

Computer Sciences and Experimental Mathematics,

Volgograd State University

[email protected], [email protected]

Prosp. Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. In the recent paper [5] were obtained some conditions for the existence and uniqueness of solutions with singularity of the associated equation with the Beltrami equation

h (*)=M*) fz (*). (*)

Here we gave geometric interpretation this results. The main results are as follows.

Let D c C be a simply connected domain divided by curve E c D of class C(3) into two subdomain Di, D2.

Theorem 1. Suppose that p(z) can be represented in the form

p(z) = (1 + M(z)p(dE (¿)))e2*0(z),

where: 1) function p(i) is continuous on [0, and p(0) = 0 and p(i) > 0

for t = 0;

2) function 0(z) G C(1)(D) is such that everywhere on E

dz + e2t0(z)^ = 0,

at <iz tangential to E;

3) complex-valued function M(z) is measurable and almost everywhere in

D

1 < |ReM(z)| < H, |ImM(z)|<H (H = const). H

Then in some neighborhood of 0(E), there exists an solution with a singularity E of the equation associated with the (*).

Theorem 2. Suppose that 1) H(z) G C1(D), VH (z) = 0 in D and E defined by the equation H(z) = 0; 2) the function p(z) can be written as:

M*) = VH + M *(z)p(|H (^)|),

where: 1) the function p(i) is continuous on [0, 2) p(0) = 0 and p(i) >

> 0 for í = 0, and ~pij) has an integrable singularity at zero; 3) M*(z) is complex-valued measurable function in D, and

Re (M*(z))| > C, |M*(z)| < C2 (Ci, C2 = const). 38 А.Н. Кондрашов. Уравнения Бельтрами, вырождающиеся на дуге

Then in some neighborhood of 0(E), there exists an solution with a singularity E of the equation associated with the (*).

Corollary. Assume that

»(*) = === + M *(z)p(dE (z)), VdE(z)

where: 1) the function p(t) is continuous on [0, 2) p(0) = 0 and p(t) >

> 0 for t = 0, and has an integrable singularity at zero; 3) M*(z) is complex-valued measurable function in D, and

Re (M*(z})| > C, IM*(z)| < C2 (Cu C2 = const).

Then in some neighborhood of 0(E), there exists an solution with a singularity E of the equation associated with the (*).

Key words: degenerate Beltrami equation, Beltrami equation of variable type, folds, solution with singularity, associated equation.