CC BY
14
УДК 536.2.01, 536.24
ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПОЛОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕПЛОВЫДЕЛЯЮЩЕГО ЭЛЕМЕНТА В СТАДИИ ТЕПЛОВОГО РЕГУЛЯРНОГО РЕЖИМА
Получено приближенное аналитическое решение для полого цилиндрического тепловыделяющего элемента. Оно может быть использовано для оценки теплового состояния элементов энергетического оборудования. Показано определение допустимого тепловыделения в центральных вкладышах электромагнита малогабаритного бетатрона, при котором возможна его непрерывная работа.
Ключевые слова: теплопроводность, тепловыделяющий элемент, электромагнит, бетатрон, центральные вкладыши, температурное поле, нестационарный режим.
Разработка новых энергосберегающих технологий в энергетике предусматривает анализ при расчетах численных результатов. В частности, представляет практический интерес рассмотрение теплового состояния тепловыделяющего элемента (твэл) в конкретном энергетическом оборудовании (твэл ядерного реактора, нажимная плита турбогенератора, центральные вкладыши бетатрона, пиролиз органического сырья и
На основе анализа известных решений в литературе [1-7 и т.д.] в настоящей работе предложены оценки теплового состояния вышеперечисленных тепловыделяющих элементов, которые будут доступны инженерам-энергетикам.
В статье на простой задаче теплопроводности для полого цилиндрического тепловыделяющего элемента показан практически простой метод оценки и дан анализ его теплового состояния, минуя использование сложного точного аналитического [1] или численного разностного метода решения [8].
Постановка задачи. Дан полый цилиндрический тепловыделяющий элемент с геометрическими размерами: радиусами г1, г2, длиной I, имеющий начальную температуру 7д. С начального момента времени действует внутренний источник
теплоты (г ,т). Это непрерывная функция. Боковые поверхности твэла тепло изолированы. Отвод теплоты происходит от внутренней поверхности радиуса г1 в среду с температурой Тж ф Тд. Теплофизические свойства цилиндра: X, ср, р - постоянные
величины. Теплообмен между указанной выше поверхностью и средой осуществляется по закону Ньютона. Требуется найти нестационарное температурное поле в таком тепловыделяющем элементе.
Задача описывается дифференциальным уравнением теплопроводности:
В. С. ЛОГИНОВ, Д.А. СИМОНОВ
Томский политехнический университет, г. Томск
т.д.).
(1)
© В.С. Логинов, Д.А.Симонов Проблемы энергетики, 2013, № 7-8
при краевых условиях:
0( Я,0) = 1,
десад)
дЯ 30(1,10)
= Б10(ЯЬ10),
дЯ
= 0.
(3)
(4)
Здесь приняты следующие обозначения: Т(г ,т) - Тж
0~ 'ж а ■ т
1 г2
в(Я,^о) = " ' ''—— - безразмерная температура; Я = —,Я1 = — - безразмерные
Т0 - Тж
радиусы; Р0 =
Чу (г, т) ■ Г2
- число Фурье; ?0(Я,р0) =--- - безразмерная функция
-(Т0 - Тж )
аэфф ■ г2
Померанцева; Б1 =--- - число Био; а - коэффициент температуропроводности.
При решении задачи (1) - (4) полагаем, что имеется такая функция К (Я), у которой отношение количества теплоты, выделяемое внутри тела, к количеству теплоты, переносимое теплопроводностью в стационарном режиме, равно единице. При этом К (Я) подчиняется граничным условиям, аналогичным (3), (4):
Л2 К + К = -1
ЛЯ1 Я ЛЯ йК (Я1)
Я1 < Я < 1
ЛЯ ЛК (1)
= Б1К (Я1),
(5)
ЛЯ
= 0.
Решение задачи (5) имеет вид
К (Я)=1
1 2 2 Я 1 2 -(Я2 - Я2) + 1п(—) +-(1 - Я2)
2 1 Я1 Б1Я1
(6)
Функцию К (Я) назовем приближенным ядром конечного интегрального
преобразования. В дальнейшем нам потребуются следующие значения определенных интегралов:
Г 1
| К (Я)ЯйЯ = -
Я,
Я? (1 - Яз-) - 1пЯ + —^(1 - Я2)2 - -1 4 1 Б1Я^ 1 4
Г 2 1
I К2(Я)ЯЛЯ = 2
где
Я
К (1) = 2
К 2(1) - Я2 К (Я1)то + Я4 ■ КЯ1 ■ п + -1(1 - Я16)
2 ЛЯ 32
(7)
(8)
2(Я12 -1) - 1п Я1 + Б-(1 - Я12)
2 Б1Я1
; К (Я1) =
1
2Б1Я
-(1 - Я/),
I к (я)яоя
тю _^ _о. Мо__*кт,и_3» + кя±; „2 _
ОЯ 2Я1 ' ОЯ ' о 1 ОЯ ' 8 1 ОЯ 1 _
1 | К2(Я)Я0Я
Я1
Применим к дифференциальному уравнению (1) конечное интегральное преобразование по координате Я . Для этого умножим каждое слагаемое в этом уравнении на К (Я) ЯйЯ и проинтегрируем в пределах изменения Я : 1 1 , ^ 1
I ( ' 0) К (Я) ЯйЯ _ I -—(Я —)К(Я)ЯОЯ + I Ро(Я,Бо) • К(Я)ЯОЯ. (9) игп Я иЯ иЯ
Я, 0 Я Я
Введем функции:
_ 1
Т(Бо) 0(Я,Ро)К(Я)ЯОЯ, (10)
Я1
1
^(Бо) Ро(Я,Бо) • К(Я)ОЯ. (11)
Я1
Первое слагаемое в правой части (9), в силу граничных условий (3) и (4), будет
равно
I я дЯ( я §)К ( я)яоя __ 10( Я,ро)Я°Я.
я1 Я1
Предположим, что
1 1 I 0(Я, Бо)ЯОЯ IК(Я)ЯОЯ
р2 _ -_ ^-. (12)
10(Я, Бо) К (Я)ЯОЯ I К2 (Я)ЯОЯ
Я1 Я
Отсюда находим
1 Я _
I 0(Я,Бо)ЯОЯ _ р2 10(Я,Бо)К(Я)ЯОЯ _ р2Т(Бо). (13)
Я1 1
Тогда, с учетом (1о)-(13), уравнение (9) запишется так:
__р2Т(Бо) + ф(Бо), (14)
а начальное условие будет таким:
_ _ 1
Т(о) _ Тн _ IК(Я)ЯОЯ. (15)
Я1
Решение (14) с учетом (15) имеет вид
_ _ F
T (Fo) = TH exp(-/Fo) + exp(-p2Fo) j ^(Fo')exp(p2Fo')dFo'. (16)
o
Переходя от изображения к оригиналу, получим приближенное решение задачи
(1) - (4):
0(R,Fo) = JMOL, (|7)
j K2(R) • RdR
R
если ^(Fo ) = Po = const, то
T(Fo) = T exp(-p2Fo) + Po[1 - exp2-p2Fo)] (18)
P
и, согласно (17),
0(R,Fo) = {Тн exp(-p2Fo) • p2 + Pq[1 -exp(-p2Fo)]}• K(R). (19)
Проиллюстрируем приближенное решение на конкретном примере.
Пример. Требуется найти: 1) изменение температуры во времени на поверхностях полого цилиндрического тепловыделяющего элемента центрального вкладыша (ЦВ) электромагнита индукционного малогабаритного ускорителя
заряженных частиц на энергию ускоренных электронов 9 МэВ при r| = 7,1 •Ю м и
_3
Г2 = 41 • io м. Его схема приведена на рис. 1; 2) распределение температуры по
радиусу ЦВ в установившемся тепловом состоянии; 3) допустимое тепловыделение, при котором возможен стационарный тепловой режим, если допустимая по нагреву температура ЦВ не должна превышать Тдоп. = 12o°C . Эффективный коэффициент
теплообмена равен аэфф = 2251. Начальная температура шихтованного пакета
м К
To = 2o°C, а температура охлаждающей воды Тж = 14°С. Теплофизические свойства
6 2
ЦВ равны Хст = 9,8Вт/(мК), а = 2,731 •io- м /с. Потребляемая мощность Q = 4oВт или qv = 3,549•io5 Вт/м3.
Рис. 1. Схема задачи: 1 - центральные вкладыши; 2 - теплоизоляции; 3 - металлические трубки; 4 - теплопроводящий наполнитель; - направление охлаждающей среды
Решение. 1. Вычисляем число Био: в. = ^^ = 9,417.
2. Безразмерный радиус Я = — = 0,173.
г2
ат _з
3. Число Фурье 10 = — = 1,625 • 10 т, где т - текущее время, с.
4. Число Померанцева Ро =
qv г2
= 10,147.
[^ст (Т0 _ Тж )]
На рис. 2 показано изменение безразмерной температуры 05Г (Я,^), вычисленное по решению (19).
е
1
10 -9 .8 .. 7 ._ 6 5 4 3 2 1
0
Ч-
Ч-
Ч-
ч-
ч-
ч-
ч-
ч-
ч-
2 4 6 8 10 12 14 16 18 Р0 Рис. 2. Изменение температуры во времени: 1 - Я=1; 2 - Я=,Я1=0,173 5. При т = 10800с наступает стационарный тепловой режим (^ = 17,55), для
которого известно точное аналитическое решение:
Р0Д
Я
1
е. = ^ Я1 _ Я)+и Я1)+ВГГЯТ(1 _ Я)].
При Я = 1 максимальная температура ЦВ равна е^ = 9,817, а действительная температура Т8г = Тж + • (То _ Тж ) = 72,9°С .
Значения температур в этой координате, вычисленное по приближенному решению (19), равно е = 9,461, Т = 70,8°С, т.е. погрешность расчета е = 3,7%.
На рис.3 показано сравнение изменения распределения по радиусу температур по точному и приближенному решениям, из которого видно пересечение двух кривых. Это означает, что имеется координата Я = 0,827 .
В этой точке е = еа = 9,291, Т = Т^ = 69,7 °С.
ст
е
12 -10 .. 8
6 -4 2 0
-ь
-+-
-+-
-+-
0.1
02
0.3 0.4 0.5
0.6 0.7 0.8 0.9
1.0 1.1 1.2 R
Рис. 3. Распределение температуры по радиусу в стационарном режиме: 1 - точное значение; 2 - приближенное значение
Согласно точному решению допустимое тепловыделение в ЦВ равно 5 Вт
qv = 6,35 -10 —3 или Ро = 18,154, при котором действительная максимальная
м3
температура будет равна
Tst = 119.4 °С < 120 °C. Это соответствует
Q = qv • V = 71.56Вт. где V = 1.127 • 10"4 м3 - объем ЦВ.
Выводы
1. Получено приближенное аналитическое решение нестационарной задачи теплопроводности полого цилиндрического тепловыделяющего элемента для регулярного теплового режима (Фурье 10 > 0,3).
2. На примере центрального вкладыша (ЦВ) индукционного ускорителя заряженных частиц показано, что рассчитанные температуры по приближенному решению отличаются от точных значений не более чем на 3,7%. Поэтому такие решения не требуют использования сложных программ на ЭВМ. Они могут быть использованы для оценки теплового состояния элементов энергетического оборудования.
3. Показано определение допустимого тепловыделения в ЦВ малогабаритного
5 Вт
бетатрона, при котором qv = 6,35 -10 —3 или Q = 71,56 Вт и заданных условиях
охлаждения а = 2251
Вт
м2К
возможна его непрерывная работа при постоянной во
времени электромагнитной нагрузке.
Summary
Approximate analytical solution for the hollow cylindrical fuel element is calculated. It can be used to assess the state of thermal power equipment elements. It is shown the definition of allowable heat in the compact betatron central liners, when it is possible to continue the operation
Key words: thermal conductivity, heat-generating element, an electromagnet, the betatron, central liners, temperature field, transient mode.
Литература
1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 599 с.
2. Борисенко А.И., Данько В.Г., Яковлев А.И. Аэродинамика и теплопередача в электрических машинах. М.: Энергия, 1974. 559 с.
3. Silay L. Beitrag Ermittlung der Temperaturen in Stator eines turbogenerators // Electrotechnik und Maschinenbau. 1955. H2. S. 25-28.
4. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1979. 710 с.
5. Ешелькин В.М., Зайцев С.Г., Лысов Ю.А. Исследование теплового режима трансформатора при повышенной индукции в магнитопроводе // Известия вузов. Энергетика. 1985. №9. С. 43 - 45.
6. Карташов Э.М. Метод интегральных преобразований в аналитической теории теплопроводности твердых тел // Изв. РАН. Энергетика. 1993. №2. С. 99 - 127.
7. Логинов В.С. Приближенные методы теплового расчета активных элементов электрофизических установок. М.: Физматлит, 2009. 272 с.
8. Аксенов А.А., Жлуктов С.В., Кудимов Н.Ф. и др. О моделировании сложного теплообмена в силовых трансформаторах большой мощности// Изв. РАН. Энергетика. 2013. № 2. С.131- 140.
Поступила в редакцию 10 июня 2013 г.
Логинов Владимир Степанович - д-р физ.-матем наук, профессор кафедры «Теоретическая и промышленная теплотехника» Энергетического института Томского политехнического университета (ТПУ). Тел: 8(960)9783470.E-mail: loginovvs@tpu.ru.
Симонов Денис Андреевич - аспирант кафедры «Теоретическая и промышленная теплотехника» Энергетического института Томского политехнического университета (ТПУ). Тел: 8(923)4245887. E-mail: s_disa@mail.ru.
