CC BY
29
УДК 621.039.534.54:621.364:634.3
ПОВТОРНО-КРАТКОВРЕМЕННЫЙ ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ ОБМОТКИ ТРАНСФОРМАТОРА БЕТАТРОНА С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ЦИКЛОВ «НАГРУЗКА - ПАУЗА»
В.А. Касьянов, В.С. Логинов*, В.Е. Юхнов*
ФГНУ «Научно-исследовательский институт интроскопии» при ТПУ *Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Получены зависимости для расчета средних нестационарных температур обмотки бетатронов с произвольным числом циклов нагрева и охлаждения. Рассмотрен пример для практической реализации полученных выражений. Приведены результаты численного моделирования нестационарных температурных режимов намагничивающей обмотки электромагнита бетатрона.
Ключевые слова:
Задача теплопроводности, конечные интегральные преобразования, избыточная температура, активный элемент, внутренние источники теплоты, симметричные условия охлаждения, нестационарный тепловой режим, обмотка, ускоритель заряженных частиц.
Одним из путей снижения массы и габаритных размеров электромагнитов является применение прерывистых или повторно-кратковременных температурных режимов с произвольным числом циклов «нагрузка - пауза». Применительно к малогабаритным индукционным ускорителям в [1, 2] подробно рассмотрены и проанализированы квазистационарные прерывистые температурные режимы, устанавливаемые через большое число циклов (И^ж). При плавке гололедоизморозевых образований на линии электропередачи большими токами с произвольным числом циклов «нагрузка -пауза» (N=1 и более) использование простых методов теплового расчета [3] позволяет предотвратить опасные перегревы отдельных участков и сократить продолжительность режима по сравнению со стационарной плавкой гололеда.
Целью настоящей работы является исследование нестационарных температурных режимов наиболее нагруженного в тепловом отношении элемента малогабаритного бетатрона с произвольным числом циклов «нагрузка - пауза».
При разработке математической модели приняты допущения:
• температура охлаждающей среды постоянна;
• теплофизические характеристики проводников с диэлектрической изоляцией не зависят от температуры и могут быть оценены по методике [4];
• теплообмен между поверхностью обмотки и окружающей средой происходит по закону Ньютона при постоянном коэффициенте теплоотдачи;
• взаимным теплообменом между другими элементами пренебрегаем;
• интенсивность внутренних источников теплоты в обмотке линейно зависит от температуры в течение заданного постоянного периода электрической нагрузки и равна нулю после снятия тока нагрузки;
• начальный момент времени примем для каждого периода нагрузки с чередованием пауз тока равным нулю;
• высота обмотки значительно превосходит толщину слоя.
Таким образом, задача сводится к отысканию распределения температуры в охлаждаемом стержне конечной длины, внутри которого действует переменный во времени источник теплоты.
Система уравнений, описывающая процесс теплопроводности, имеет вид
д6н
д 6
dFo дХ2
±Р6 + POi (Fo),
(1)
где Po1(Fo) =
0 < Х < 1, Fo > 0,
Pop 0 < Fo < FoH
0, 0 < Fo < Foo
d6>(0,Fo)
—- - Bi6 (0,Fo) = 0;
дХ H'°
д6„0 (1, Fo)
+ Bi6Ho(1, Fo) = 0.
(2)
(3)
дХ
Начальные условия
енД(х,0) =е„, ы(х,0) =е0,х,Ро0),
(X ,0) = 0н N (X .Бон). (4)
Здесь ен=(ТНо(х,т)-Тж)/Ть в=(Т|-Тж)/Т0, вж=(Тж-Т0)/Т0 - безразмерные температуры; Тн о(х,т) - температура активного элемента, К; Т0 -температура активного элемента перед первым циклом нагрузки, К; Тж - постоянная температура охлаждающей среды (воздуха), К; Ро1=Ро0(1+^вж) -модифицированное число Померанцева; Ро0=дГ0Н2/(ХТ0) - число Померанцева; дт - плотность равномерно распределенных по объему тепловыделений, Вт/м3; Н, Я, 5 - высота, полутолщина слоя, ширина охлаждающего канала, м; Я, Я -коэффициенты теплопроводности слоя, охлаждающей среды, Вт/(м-К); к=уТ0 - безразмерный температурный коэффициент активного омического сопротивления; у=1/(т+Т0) - температурный коэффициент сопротивления, 1/К; т - коэффициент,
Известия Томского политехнического университета. 2008. Т. 313. № 4
учитывающий материал обмотки, К; Fo=hт/(cpрh2) - число Фурье; т - время, с; ср - коэффициент теплоемкости, Дж/(кг-К); р - плотность, кг/м3; В=аЩХ - число Био; а - постоянный коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2-К); X=x/h - безразмерная координата; х - пространственная координата, м; вн2=во2-кРо0, /Зо2=ШШ/В - безразмерные коэффициенты, учитывающие теплообмен от боковых поверхностей активного элемента; и, В - периметр и сечение активного элемента; N - номер цикла; индексы «н» - нагрузка, «о» - пауза охлаждения.
Решение системы уравнений (1)-(4), полученное методом конечных интегральных преобразований [5], осредненное на основе классического подхода [6], имеет вид:
а) в процессе тепловой нагрузки 0^о^он, N>1, _ 1 ю _ 0^ = 0 ^ (Х,Рс) йХ = ^ АТ^с). (5)
п=1
Здесь
Po
Тп (Рс) = - exp( - Рп^с)] + Рп
+[ Бп (Рсн,Рс0) + 0о Мп (Рсн,Рс0)]ехр( - рПрс); Бп(РСн,РСо) = -С1[1 -ехр(-Рп2РСн)] х
Рп2
' 1 - МпЛ 1 - ш,„
ехр(-/п2рсо);
Мп(РСн,РСо) = ехр[-(N-1)(Рп2РСн + г2п РСо)];
тп = ехР[-(Р2 Рсн + Рсо)]> б) в процессе паузы-охлаждения 0^о^оо, N>1, 1
0 N (Рс) = 0 N ( X ,Рс) йХ =
о
= £ АпТп (РСн)ехр(-^с).
п=1
Здесь вн2=во2, Р 2=Ц 2+АЛ Уп2=рп2,
(6)
Ап =
2[цп б1п цп + Б1(1 - ссб цп)]2
^[Ц + Б12 + (¡2 -Б12)^12^п + Б1(1 -сс82ц)]'
2Цп
- номер, соответствующий текущему члену ряда; цп - собственные числа. Они находятся из решения трансцендентного уравнения
ц =
ц2 - Б12
2Б1ц
(7)
обмотки малогабаритного импульсного бетатрона типа МИБ 6/9, с геометрическими размерами ^2^=0,0585-0,017 м, h =^+(^-,^/4, периметром Ц=2,034 м, сечением В=0,017 м2, поверхность которого охлаждается воздухом с коэффициентом теплоотдачи а=34,43 Вт/(м2-К). Значение коэффициента получено из уравнения а=ШАх/(25), в котором интенсивность теплоотдачи характеризует число Нуссельта, описываемое зависимостью Ш=1,85(2ЯеРг5/^1/3 при течении воздуха в каналах [7], где Яе=2Жб/у - число Рейнольдса, Рг=у/аж - число Прандтля, V - коэффициент кинематической вязкости воздуха, м2/с, аж - коэффициент температуропроводности воздуха, м2/с.
I 4 I ! I I Iх-
3
Л м
2Я
28
У
Пример
Для иллюстрации применения полученных выражений рассмотрим слой 1, рис. 1, выделенный из
Рис. 1. Схема к расчету обмотки электромагнита: 1) обмотка;
2) центральные вкладыши; 3) сердечник; 4) ярмо;
5) стойка
Оценка гидродинамики проведена на основе среднего значения измеренной скорости потока воздуха в охлаждающих каналах Ж=3,34 м/с, режим течения соответствует ламинарному Яе=1431. Средняя температура воздуха в охлаждающих каналах Тж=300,65 К, при которой коэффициенты теплопроводности Яж=2,63-10 2 Вт/(м-К), кинематической вязкости г^=16,34-10 6 м2/с, температуропроводности воздуха аж=23,05-10 6 м2/с, число Прандтля Рг=0,71. Начальная температура обмотки Т0=295,15 К. Теплофизические характеристики материала: коэффициент теплопроводности Я=0,98 Вт/(м-К), удельная объемная теплоемкость срр=3,471-106 Дж/(м3-К), коэффициент температуропроводности а=2,823-10?7 м2/с. Внутреннее тепловыделение д}=дП)[1+у(Т-Т0)], где #го=5-105 Вт/м3, т=1/(т+Г0)=3,891-10?31/К - температурный коэффициент активного сопротивления, для медного провода т=-37,85 К. Предельно допустимая температура обмотки равна Тдоп=393,15 К. Определить среднюю температуру при стационарном тепловом режиме.
В таблице приведены результаты расчета используемых собственных чисел.
Подставляя исходные опытные данные в решение (5) при N=1, получим среднюю температуру 0н1=0,1701, Тн1=350,85 К по высоте слоя обмотки при стационарном тепловом режиме ^о^да). Изменение средней температуры в непрерывном режиме нагрузки представлен на рис. 2 кривой 1. На основе результатов численного расчета (5)-(7) характер изменения средней температуры обмотки
при прерывистой работе электромагнита представлен на рис. 2 кривой 2.
Таблица. Собственные числа, рассчитанные по (7) при Bi=2,055
n ßn n ßn
1 1,73772 7 19,06431
2 4,07562 8 22,17596
3 6,86490 9 25,29487
4 9,83668 10 28,41871
5 2,88274 11 31,54603
6 15,96401 12 34,67591
/ /' / \ ^б 7 д
/ / / \ 5 / \
' 1 \ /' 4 \ I Q п о о J \ п о
/' х° V Х4^ ¿Л-3 О „ 0 ' ч О (
// о к ° ° о о о
0 1 2 3 4 т-10"3, с
Рис. 2. Изменение во времени средней температуры обмотки: 1) Ро=2,244, В1=1,868; 2) преры1вистая работа электромагнита при Ро==2,244, В\=1,868; 3) опытные данные; 4) Ро1=5,916, В1=1,868; 5) прерывистая работа электромагнита при Ро=5,916, В1=2,055; 6) Ро=5,916, В\=3,164
Обсуждение результатов
Моделирование температурного режима намагничивающей обмотки проведено на основе параметров, установленных опытным путем: геометрические размеры, средний коэффициент теплоотдачи, мощность внутренних источников теплоты. В соответствии с результатами моделирования характер изменения средней температуры обмотки при непрерывной работе электромагнита представлен на рис. 2 кривыми 1, 4, 6. Результаты расчета прерывистого режима работы электромагнита бетатрона показаны на рис. 2 кривой 2. Опытные данные (точки 3 на рис. 2) говорят о том, что при величине внутренних источниках теплоты #ro=1,8 97-105 Вт/м3 максимальная средняя температура составляет 338,15 K, а минимальная -311,15 K, т. е. расхождение c результатами аналити-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Логинов В.С. Исследование температурных режимов электромагнитов бетатронов: Дис. ... канд. техн. наук. - Томск, 1973. - 251 с.
2. Логинов В.С. Приближенные методы теплового расчета активных элементов электрофизических установок: Дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Томск, 2003. - 317 с.
3. Логинов В.С. Температурные режимы проводов при произвольном числе повторений нагрева-охлаждения // Электрические станции. - 1976. - № 9. - C. 6-9.
4. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. - Л.: Энергия, 1974. - 264 с.
ческого расчета составило соответственно 1,7 и -1,3 %.
Есть основание предполагать, что при проведении электромагнитных испытаний и расчета потерь не учтены добавочные потери, об этом свидетельствует малая тепловая нагрузка намагничивающей обмотки бетатрона на максимальную энергию тормозного излучения 9 МэВ для частоты следования импульсов тока 400 Гц. С учетом добавочных потерь мощность внутренних источников теплоты составляет не менее #ro=5-105 Вт/м3. Это подтверждает расчет режима на мощность внутренних источников теплоты #ro=5-105 Вт/м3, представленный в примере. Предполагается, что результаты расчета прерывистого режима работы электромагнита бетатрона, рис. 2, кривая 5, лучше соответствуют его тепловому состоянию. При проведении опытов был принят прерывистый режим работы электромагнита бетатрона с продолжительностью токовой электрической нагрузки 0,6* 103 c (FoK=0,0495) и паузой охлаждения, равной 0,6103 c ^оо=0,0495). После повторения четырех циклов, рис. 2, кривая 5, наступил квазистационарный тепловой режим: при нагрузке средняя температура по высоте слоя обмотки достигла 391,65 K, а при паузе - 338,85 K.
Выводы
1. Решена задача расчета средних нестационарных температур обмотки бетатронов с произвольным числом циклов нагрева и охлаждения.
2. Методика расчета может быть использована для определения средней температуры по высоте обмоток трансформаторов бетатронов при повторно-кратковременной нагрузке не только в квазистационарном режиме, но и при произвольном числе циклов «нагрузка - пауза».
3. Приведены результаты численного моделирования нестационарных температурных режимов намагничивающей обмотки электромагнита. Показано, что при длительной тепловой нагрузке трансформатора-бетатрона средняя температура в обмотке значительно превышает допустимую величину, в связи с чем следует увеличить среднюю скорость потока воздуха в охлаждающих каналах или использовать прерывистый тепловой режим.
5. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. - М.: Высшая школа, 1970. - 710 с.
6. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 599 с.
7. Теоретические основы теплотехники. Теплотехнический эксперимент: Справочник / Под ред. В.А. Григорьева, В.М. Зорина. - М.: Энергоатомиздат, 1988. - 560 с.
Поступила 22.09.2008г.
