CC BY
12
ТЕПЛОФИЗИКА
УДК 621.039.534.54:621.364:634.3
О ЗАКОНЕ СВЯЗИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ИЗБЫТОЧНЫХ
ТЕМПЕРАТУР АКТИВНОГО ЭЛЕМЕНТА
B.C. Логинов Томский политехнический университет, г. Томск E-mail: [email protected]
В [1] предложена зависимость между избыточными нестационарными температурами в теле конечных размеров (или превышениями температур в теле над температурой окружающей средой), в котором внутренние источники теплоты отсутствуют.
Эта зависимость имеет вид
Ф {XJ9Fo) = 4X\Y,F<>mX,r,Fo)/ _ , (1)
/Ф(Х ,Y ,Fo)
здесь ®(X,Y,Fo) - избыточная температура (напряженность магнитного поля, относительное распределение нейтронного потока) в теле;
X J ,X,Y,Fo — соответственно безразмерные фиксированные и текущие координаты, число Фурье.
Эта зависимость подтверждает известный «метод произведения решений»[2,3]. Далее в [1] было показано, что существует аналогичная зависимость (1) между стационарными избыточными температурами в активном элементе конечных размеров, внутри которого действуют постоянные источники теплоты, независящие от координат.
Зависимость (1) была обоснована в [1] на том основании, что в большинстве случаев в аналитических решениях задач теплопроводности можно ограничиться одним первым членом ряда.
Это справедливо только в стадии регулярного теплового режима.
В реальном энергетическом оборудовании внутренние источники теплоты (удельные электрические потери, относительное распределение потоков нейтронов и т.д.) в их активных элементах распределены неравномерно по координатам и во времени.
Для конкретного активного элемента они зависят от геометрических размеров, электротеплофизических свойств [4-8].
В [9] на основе опытных данных [5-7 и др.] было показано, что зависимость (1) может быть использована для восстановления распределения напряженности магнитного поля в магнитных системах скобообразного типа или относительного распределения нейтронного потока в активной зоне реактора. Эта зависимость (1), справедливая в стадии теплового режима, выполняется не всегда с заданной точностью при других стадиях тепловых процессов, а только при строго определенном сочетании физических и геометрических параметров.
Целью данной работы является формулировка условий, которые позволят найти такое сочетание условий охлаждения, теплофизических свойств и геометрических размеров при нестационарном тепловом режиме, когда будет точно выполняться связь (1).
B.C. Логинов
Теорема. Пусть функция внутренних источников теплоты имеет вид
W(X, 7, Fo) = Щ (X)W2 (Y)E(Fo), (2)
где Wi(X), W2(Y), E(Fo) - непрерывные и интегрируемые функции, которые удовлетворяют дифференциальным уравнениям
Wlxx=-JufWl,W2YY=-^W2,0<X^l,0-<Y^R,Foy0, (3)
W(X, 7,0) = f(X, 7) = Wx (X)W2 (Y), E( 0) = 1;
краевым условиям
Wx (0, Y,Fo) - Bi2W{05 7,Fo) = 0; Wx (1, 7, Fo) + BilW(\,Y,Fo) = 0;
Wy(X,0,Fo) - Bi4W(X,0,Fo) = 0; (4)
Wy(X,R,Fo) + Bi3W(X,R,Fo) = 0;
/л -собственные числа. Они являются корнями двух трансцендентных уравнений
fj.} -BixBi2
cigf-ii =-, (5)
Mi(Bii +Bi2)
„ llf — в1->в1л
ctg/^iR =—-. (6)
+ BiA)
Тогда уравнение температурного поля в твэле будет иметь вид
в(Х, Y, Fo) = Wx (X)W2 (Y)<?(Fo) , (7)
Fo
здесь %(Fo) = exp(-2fifFo) + Po0 jE(Fo ) exp[-2juf (Fo - Fo )]dFo , (8)
о
которая является решением системы уравнений ¿(Fo) + 2jLif%(Fo) = PoqE(Fo),
%(Fo = 0) = 1. (8a)
При этом данная функция в(Х, 7, Fo) удовлетворяет связи (1), уравнению энергии
вро = вхх + eYY + Ро№ (X)W2 (Y)E(Fo),0 -<Х<1 0 -< 7 -< R,Fo у 0 (9)
и краевым условиям аналогичным (4), (8а).
Доказательство. Аналитическое решение задачи нестационарной теплопроводности с внутренними источниками теплоты при краевых условиях аналогичных (4), полученное методом конечных интегральных преобразований [10], можно записать так
0(Х У Ро) = -у ПУп' Ут ? , Х)К2 {ут, У) ^ (10)
И=""=1 /А? (//„,*■)<«" \к1{Ут,Г)с1Г о о
здесь
= V» соКМпХ) + вЬ -
ядро конечного интегрального преобразования по координате X; /лп - собственные числа, найденные из (5);
К2 (Ут ,У) = Ут СОБ у тУ + Я/4 вШ-ядро конечного интегрального преобразования по координате У; У т - собственные числа, полученные из (6);
/ч>
Т(Мп' Ут> = ехр[-(//; + )Го] {С + |ехр[(//^ +у;п)Ро'+^
Fo*
-> + ¡ Po(ßn,ym,Fo )exp[(/y; + )Fo ]dFo }, о
1 R
где С = ¡\f{X\y')K1 (jin,X')K2(ym,Y )dX'dY' ; (11) 00
===== l R
Po(jun,уm, Fo ) - J \Po{X\Y ,Fo)K{(Mn,X')K2(ym,Y)dX'dY . 00
Среди функций внутренних источников теплоты найдётся такая непрерывная функция
Ро(Х, Y, Fo) = PoQW} (X)W2 (Y)E(Fo) ,
которая удовлетворяет условиям теоремы (2) - (6):
W\ ( А") = jli¡ cos jUjX + Bi2 sin jUjX , (12)
W2(Y) = цл cosju¡Y + Bi4 sinju¡Y
f(X,Y) = W](X)W2(Y) .
После подстановки выражений (12) в решение (10) с учетом всех выражений (11) и ортогональных свойств собственных функций получим 0(Х, Y, Fo) = fVj (X)W2 (Y)^(Fo)
которое совпадает с выражениями (7),(8).
С другой стороны, если искомое уравнение температурного поля удовлетворяет связи (1), то оно удовлетворяет уравнению энергии (9) и краевым условиям (4), (8а).
Как видно из связи (1), искомая функция температурного поля представляет собой произведение трех функций, т.е. имеем функцию с разделяющими переменными: 0(Х, Y, Fo) = r¡(X)G(Y)y/(Fo) , (13)
которая после подстановки в дифференциальное уравнение (9) даёт
В.С. Логинов
ЛXX Ч °¥У /Г1 ч Ро^](Х)РГ2(У)Е(Ео) 7] С т](Х)С(У)
Допустим, что = -¡л2, = , ^(0) = Ц/ц) ,
тогда Ж, (X) = т;(Х) , Ж2 (У) = в(У) , (14а)
где ц1 - параметр разделения переменных, 1 Я
о о
С учётом этих допущений уравнение (14) переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
= ~ 2м?¥(Ро) + Ро0Е(Ро) (15)
аЕо
при начальном условии
у/(Ео = 0) = £(//,) . (16)
Решение уравнения (15) с учётом (16) имеет вид зависимости (8),т.е.
Подставляя в (13) функции согласно зависимостям (8),(14а) получим уравнение (7), что и требовалось доказать.
Обсуждение результатов. В реальных случаях закон связи (1) не всегда справедлив. С целью выяснения роли нестационарного теплового режима было проведено исследование тепловых состояний нажимной плиты турбогенератора [4] при изменении параметров, влияющих на функцию Ро(Х,У,Ро).
Известно [2], что на точность расчёта температурного поля оказывает влияние ограниченное число членов, например, ряда (10) и число Бо .
Выбор ограниченного числа членов ряда зависит от минимальной невязки уравнения энергии
д2в д2в п , ^ ^ ч дв
$ = --7 + ТТ +МХ,¥,Ео)-~~ . (18)
д X2 д¥2 дЕо
Это следует на примере расчета для конкретного нестационарного теплового режима
нажимной плиты турбогенератора [4], для которой были приняты следующие исходные
данные: 11=7.5, Ро0=112, М=М=б=0, В=-Ш2, В1,=0.8, В12=1.6, В13=0.4, В14=1.2.
При этих данных решение (10) было проверено при Ро=5.0 с численными данными [4],
которые совпали практически полностью.
При этих условиях закон связи [1] выполняется с точностью менее 5%.
Иная наблюдается картина, если не учитывать минимальную невязку £ по (18) и общее число членов ряда (10). Так при Ро=0.1 и числе членов ряда к=р= 10 заметно (до 14.5%) отличаются значения температур в (X, У,Ро), если учитывать к=10, р=20. В последнем случае наблюдается самая минимальная невязка С и закон связи [1] выполняется с максимальной погрешностью ±5,5% .
При изменении функции тепловыделения (рис.1) (N=8=2) и неизменных условиях охлаждения, и геометрических пазмерах будут наблюдаться противоречивые результаты. Например, в точке Х=0, У=0 0 =3.656, С=10,32 (к=р=10) и ^ =3.838, ¿=0.0 при к= 10,
р=20. В зоне максимальной температуры (Х=0.25, У=0.25К) соответственно наблюдается в первом случае -4.879, а во втором случае -4.84 .
Максимальная погрешность -е,% восстановления температур по закону связи [1] (подробно другие примеры рассмотрены, например, в [8,9,12]) для этого случая составляет ±17.4% . Выводы:
1. При проектировании активных элементов энергетического оборудования рекомендуется проведение анализа погрешностей расчёта температурного поля с учётом изменения картины тепловыделения в процессе эксплуатации.
2. Целесообразно при разработке численных или приближенных методов расчёта нестационарных температурных полей в активных элементах наряду с сопоставлением опытных данных по конкретной энергетической машине приводить данные по невязке уравнения энергии.
Обозначения:
Т(х, у, т) - Т
и —--безразмерная температура, Т(х,у,т), Тж, Тм-
Тм
соответствующие температуры; индексы: ж- среда, М- масштаб ;
д¥(х,у,ф2 го{Л ,У,го) ---число Померанцева;
ах 2Ь а34Ь Щ 2 = —2—' Я'з 4 = ......' .......- числа Био;
ЛX ' ^хАу
х лг у Är ff Л
Х = ~;Y = — l—±-;R=— - безразмерные координаты; Ь, Н - геометрические
b b "У Лу ЬЦЛу
размеры; Хх, ^-коэффициенты теплопроводности;
ат
а, (i=l ,2,3,4)- коэффициент теплообмена; Fo=—— -число Фурье.
Ь1
Литература:
1. Бойков Г.П. Закон связи между избыточными температурами тел конечных размеров // Инженерно-физический журнал, 1962, Т.5, №3.
2. Лыков A.B. Теория теплопроводности.- М.: Высшая школа, 1967.
3. Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент: Справочник/ Е.В.Аметистов, В.А.Григорьев, Б.Т. Емцев и др.; Под общ. ред. В.А. Григорьева и В.М.Зорина.- М.: Энергоиздат, 1982.
4. Данько В.Г. Тепловой расчёт нажимного фланца турбогенератора//Электротехника, 1970, №10.
5. Один аналитический метод расчета магнитных систем скобообразного типа / Б.А. азаров, Г.Б. Жевна, A.B. Подольский, Д.С. Торф // Журнал технической физики, 1980, Т.50, в.12.
б. Гурченок A.A. Исследование процесса охлаждения в магнитопроводах трансформаторов на электрических моделях// Энергетика. Известия вузов, 1960, №3.
B.C. Логинов
7. Логинов В.С, Гейзер A.A. Экспериментальная проверка закона связи между избыточными температурами в обмотке бетатрона типа ПМБ-6.// Известия Томск, политехи, ин-та, 1974, Т. 279.
8. Коновалова Л.С., Логинов B.C. Расчет максимальной температуры магнитопроводов
трансформаторов и бетатронов// Электротехника, 1982, №11.
9. Логинов B.C., Милютин Г.В., Чистякова Г.П. Экспресс-анализ картины полей по
информации на границе активного элемента ускорителя и реактора// Инженерно-физический журнал, 1989,Т.56, №1.
10. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. - М.: Высш.шк., 1970.
И. Логинов B.C. О законе связи между избыточными температурами в полом активном цилиндрическом элементе// Известия РАН. Энергетика, 1995, №3.
12. Моделирование тепловыделяющих систем: Учебное пособие/ А.Р. Дорохов, A.C. Заворин, A.M. Казанов, B.C. Логинов - Томск: Изд-во НТЛ, 2000.
13. Логинов B.C. Приближенный расчет интенсивности теплообмена на поверхности магнитопроводов трансформаторов и бетатронов// Электротехника, 1983, №7.
УДК 536.24
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛО - И МАССООБМЕНА В ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЯХ
Г.Г. Медведев, А.Р. Дорохов, В.И. Максимов
Томский политехнический университет, г. Томск E-mail: [email protected]
В работе [1,2] приведены экспериментальные данные по коэффициентам массоотдачи при обтекании потоком влажного воздуха смоченной «гладкой» поверхности в адиабатных условиях и на влажной поверхности, которая располагалась за уступом или на дне прямоугольной полости (каверны). Как было отмечено, при обтекании гладкой поверхности и поверхности с уступом величина коэффициента массоотдачи существенно не отличается. Однако при обтекании каверны он выше других, что обусловлено наличием вихря и отсутствием застойной зоны. За уступом, с повышением скорости потока газа, застойная зона заменяется обширным вихрем, при котором массообмен, в силу турбулентности потока, начинает возрастать и становится выше, чем у пластины.
В данной работе с целью проверки достоверности поставленных опытов была проведена обработка полученных данных согласно известной зависимости:
Sth=StT±StD-^w. (1)
Результаты сравнения показаны на рис.1. Незначительное отклонение экспериментальных точек от диагональной линии свидетельствует о приемлемой точности проведенных опытов. Кроме того, результаты опытов были сопоставлены с известными в литературе зависимостями [3,4]. Для случая проницаемой пластины при несущественном влиянии неизотермичности на теплофизические свойства несущего
