Анализ переноса тепла в активном элементе электромагнита Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.24

АНАЛИЗ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА В АКТИВНОМ ЭЛЕМЕНТЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТА

В.Е. Юхнов, А.В. Крайнов

Томский политехнический университет E-mail: mag@tpu.ru

Описан приближенный способ определения тепловых потерь в плоском активном элементе конечных размеров при симметричных условиях охлаждения. Характеристика тепловых потерь определяется числом Био. Проведено исследование нестационарного теплового состояния в шихтованном пакете магнитопровода с равномерно распределенными источниками тепла на основе конечно-разностного метода. Приведены результаты численного моделирования процесса нестационарной двумерной теплопроводности, протекающего в поперечном сечении активного элемента электромагнита.

Ключевые слова:

Нестационарная теплопроводность, тепловые потери, избыточная температура, температурное поле, моделирование, активный элемент, электромагнит.

Key words:

Unsteady thermal conductivity, heat loss, excess temperature, temperature field, simulation, active element, electromagnet.

Тепло, выделяющееся в результате потерь энергии от гистерезиса, вихревых токов в магнитопро-воде при работе электрического аппарата, рассеивается в окружающую среду. Осуществляющийся при этом теплоперенос путем теплопроводности происходит главным образом внутри твердых тел: медь, сталь, изоляция. Ввиду того, что магнитопро-вод представляет структуру, состоящую из чередующихся слоев электротехнической стали и диэлектрической изоляции с различными теплопроводящими свойствами, перепады температуры в изоляции активных элементов электрических машин получаются значительными [1], что затрудняет охлаждение активных элементов и ограничивает величину линейной нагрузки и плотности тока. Например, снижение массы и габаритов электромагнитных устройств, при повышении электрических нагрузок связано с проблемой отвода тепла от наружных поверхностей активных элементов -сердечников силовых трансформаторов, фланцев турбогенераторов, ярем магнитопроводов ускорительной техники, а также искусственного перераспределения источников тепловыделения.

В виду сложности эффектов [1, 2], их многообразия и взаимного влияния перед разработчиками новых электромагнитных устройств, ставится задача по физическому и математическому моделированию тепловых процессов в анизотропной тепловыделяющей области. Известно, что тепловое состояние активных элементов зависит от коэффициента теплоотдачи между нагретыми поверхностями магнитопровода, катушки электромагнита и окружающей средой. Поэтому на практике интенсивность теплообмена оценивается единственным параметром - максимальным перегревом электромагнита, т. е. превышением его температуры над температурой окружающей среды.

Целью работы является разработка экспресс-метода определения интенсивности охлаждения анизотропного твердого тела с внутренним источником тепла окружающей средой и величины те-

пловых потоков на ограничивающих поверхностях с известными теплофизическими свойствами.

Покажем возможность определения условий теплообмена тела с окружающей средой. Для этого рассмотрим приближенный способ вычисления отношения термических сопротивлений теплопроводности к теплообмену в неустановившемся режиме по известным из опыта температурам на поверхности тепловыделяющего элемента (твэла). Физическая постановка задачи. Дан шихтованный пакет активной стали, изображенный на рис. 1, электромагнитного устройства, выполненный в форме прямоугольного параллелепипеда толщиной Ь, высотой Н и длиной I, в котором слоевая структура может быть представлена в виде сплошной среды с заданными свойствами. Толщина и высота пакета существенно превышают его длину. В начальный момент времени т=0 температура пакета равна температуре окружающей среды и равна Т0. Тепловыделение в пакете не зависит от времени, пространственных координат и температуры. Теплообмен между поверхностями пакета и окружающей средой происходит по закону Ньютона. Температура охлаждающей среды для каждой поверхности известна.

х

ж

Ж-

Рис. 1. Общая схема расчета температурного поля в шихтованном пакете магнитопровода

Исходные данные: Ь=0,16 м, Н=0,48 м, 1=1 м, коэффициент поперечной теплопроводности

Ях=1,16 Вт/(м-К), а вдоль листов Яу=45,37 Вт/(м-К), удельная объемная теплоемкость электротехнической стали рс’=3,5-106Дж/(м3-К), удельная мощность внутренних источников теплоты #к=3,024-104Вт/м3, температура окружающей среды Тос=308,15 К.

При симметричных условиях охлаждения температурное поле симметрично относительно центра плоского твэла, что соответствует классической теории теплопроводности [3]. Таким образом, задача сводится к отысканию распределения температуры в охлаждаемом неограниченном прямоугольном анизотропном стержне, внутри которого действует постоянный во времени источник теплоты. Решение задачи возможно, зная распределение температуры на поверхности, коэффициент теплопроводности материала, установив связь между полем температур в твердом теле и условиями теплоотдачи на его поверхности.

Для получения информации о распределении температуры на поверхности шихтованного пакета установлены термоэлектрические преобразователи температуры (термопары). Ввиду симметричности температурного поля термопары расположены надвух смежных поверхностях при х=Ь и у=Н. На основе данных о локальных значениях превышения температуры на каждой поверхности исследуемой области, полученных при проведении эксперимента, и их дальнейшей обработке по методу наименьших квадратов определяются аппроксимирующие зависимости. Данный метод предполагает применение аппроксимирующих зависимостей безразмерной температуры

вп (X*, 7) = ап + ЪпУ + епУ2 + ёпУ3 + еи74, (1)

где и=1, 2 - номера поверхности твэла;

вп (X, 7 *) = ап + ЪпХ + СпХ2 + йпХ3 + епХ4, (2)

где и=3,4. Используемые обозначения: в(Х,У)=(Т(х,у)-Тж)/Тж - безразмерная температура; Т(х,у) - температура в конкретной точке с координатами х, у, К; Х=х/Ь, 7=у/Ь(Ях/Яу)1/2 - безразмерные координаты; Х£=1 и У[=Н/Ь(Ях/Яу)1/2 - относительные размеры в направлении осей X и У. Коэффициенты аппроксимации приведены в табл. 1. для координат, принадлежащих поверхностям твэла. Соотношение физических величин Fo=Яxт/(pci,Ь2) - число Фурье, безразмерное время.

Таблица 1. Коэффициенты аппроксимации на поверхностях при Fo=1

Поверхность Х=Хі Х=0 у=у_ У=0

п 1 2 3 4

а„ 0,0487 0,0487 0,049 0,049

Ьп 0,066 0,066 0,4213 0,4213

Сп -0,15 -0,15 -0,7627 -0,7627

СІп 0,02 0,02 0,6827 0,6827

Єп 0,01 0,01 -0,3413 -0,3413

В табл. 2. приведены результаты измерения температуры и полученное в результате аппроксима-

ции поле безразмерной температуры на поверхности Х*=Х шихтованного пакета.

Таблица 2. Распределение температуры на поверхности X =Х[ шихтованного пакета

У 0 0,12 0,24 0,36 0,48

0(Х,У) 0,049 0,054 0,056 0,054 0,049

Т(х,у), К 323,25 324,75 325,45 324,75 323,25

В табл. 3. приведены результаты измерения температуры и полученное в результате аппроксимации поле безразмерной температуры на поверхности У= Уь шихтованного пакета.

Таблица 3. Распределение температуры на поверхности У"=Уі шихтованного пакета

X 0 0,25 0,5 0,75 1

03(Х,У) 0,049 0,116 0,133 0,116 0,049

Т3(х,у), К 323,25 343,85 349,15 343,85 323,25

Известные распределения температуры (1), (2) на поверхности твэла позволяют установить связь между полем температур в твердом теле и условиями теплоотдачи на поверхности, которая представляет собой отношение термических сопротивлений теплопроводности к теплообмену. Это отношение термических сопротивлений есть число Био. Для определения условий теплообмена вычисление чисел Био необходимо проводить в соответствии с теорией подобия из закона теплообмена Ньютона.

в. =-ЗЄ1ІЗХ_

вз (X, у)

Ь3 + 2с3 X + Эо'з X2 + 4е3 X3

а + Ь X + С3 X + й3 X + £3 X

в. 2 =

дв31 дX

въ(X,У )

в.3 =-

д0/ дУ

0(X, У)

Ь1 + 2с1У + 3ёу2 + 4е1У3

^ + Ь1У + с1У2 + ё1У3 + е1У4 д01/ дУ

ВІ4 =

01 (X , У)

(3)

В результате расчета по уравнениям (3) определяются числа Био, характеризующие условия теплообмена между тепловыделяющим элементом электротехнического устройства и окружающей средой по известному локальному распределению нестационарной избыточной температуры на его поверхности: В1и=8,6, В^4=1,36. Для анизотропного твердого тела коэффициенты теплоотдачи определяются по уравнениям а12=В112Ях/Ь, а34=В134(ЯхЯу)1/2/Ь [1].

X=1

X =1

Тогда коэффициенты теплоотдачи от нагретых поверхностей тела к окружающей среде составят, соответственно а12=62,35 Вт/(м2-К), а34=61,65 Вт/(м2-К). Данный метод позволяет определить среднее по поверхности значение коэффициента теплоотдачи. Соответствующая ему средняя температура поверхности Тп=вп-Тос+Тос, здесь средняя безразмер-

- 1 71

ная температура поверхности вп = — [вп (X*, 7)а?7,

7 ^

7ь 0

. хь

=1,2; вп =— |Ч(X,7*Щ, где п=3, 4. Сред-

X, 1

где п=

ние температуры поверхностей шихтованного пакета магнитопровода -12=324,69 К, -3 4=341,38 К.

Составляющие тепловых потерь определяются экспериментально-по закону конвективного теплообмена Оп=ап(-п-Тос) ¥п, Вт.

Здесь площадь поверхности теплообмена ¥п=Е\, где п=1,2; Рп=Ы, где п=3,4. Величины тепловых потоков от нагретых поверхностей тела к окружающей среде составляют, соответственно 012=495 Вт, 034=328 Вт,

4

а полные теплопотери Q = ^ Qn = 1646 Вт.

п=1

Для проверки полученного решения проводится исследование нестационарного теплового режима твэла начисленной модели. Система уравнений, описывающая процесс нестационарной теплопроводности, имеет вид

Зв Зв Зв п

----=-----2 +---2 + Ро,

дХ2 37

ЗБо

0 < X < 1, 0 < 7 < Я, Бо>0; Зв(1,7 ,Бо)

дX Зв(0,7 ,Бо)

дX

дв( X, 7ь ,Бо) ЗЯ

дв( X ,0,Бо) ЗЯ

+ В11в(1,7 ,Бо) = 0;

- В12в(0,7 ,Бо) = 0;

+ В13в( X, 7ь ,Бо) = 0;

- В14в( X ,0,Бо) = 0.

(4)

Начальное условие в(Х,У,0)=в0(Х,¥).

Здесь в0=(Т0-Тос)/Тос - начальная безразмерная температура; Т0 - начальная температура твэла, К; Ро=дуЬ2/(ХхТ0) — число Померанцева.

Исходными данными для граничных условий (4) являются значения чисел Био, определенные экспериментально. Решение системы уравнений (4) получено численным методом конечных разностей. Разностные уравнения сводятся к трехдиагональному виду и решаются методом прогонки [4]. Применение неявной разностной схемы переменных направлений [4] позволило получить решение задачи абсолютно устойчивое. Погрешность аппроксимации схемы пропорциональна временному и пространственным шагам йРо, (йх)2и(й7)2ирав-на соответственно 1,Ы0-4, 6,9-10-3и1,6-10-3. Расчет проводился на прямоугольной сетке М=13, #=13

узловых точек. Дальнейшее измельчение сетки не влечет за собой существенного отклонения в результатах вычислений. В результате численного моделирования нестационарного температурного режима, изображенного на рис. 2, определяются координаты и величина максимального безразмерного перегрева в прямоугольном активном элементе электромагнита, знание которых представляет практический интерес. Как видно, при существующих условиях теплообмена между поверхностями пакета и окружающей средой максимальная безразмерная температура в стационарном температурном режиме достигает втах=0,228 (Ттах=378,4 К) в центре шихтованного пакета Х=0,5, 7=0,24. Проведенный анализ показал, что при Бо>0,01 (более 12 минут) активный элемент следует рассматривать как термически массивное тело и перепадом температур по различным направлениям пренебречь нельзя. Следовательно, температура и тепловые потоки на смежных поверхностях шихтованного пакета магнитопровода различны.

Рис. 2. Изменение безразмерной температуры шихтованного пакета активной стали в зависимости от числа Фурье в сечении Х=0,5

Рис. 3. Распределение безразмерной температуры в сечении шихтованного пакета магнитопровода при Fo=1; Ро=2,16

Распределение безразмерной температуры в(Х,7,Бо) в исследуемой области активного элемента электромагнита представлено на рис. 3.

Для определения условий теплообмена вычисление чисел Био необходимо проводить в соответствии с теорией подобия из закона теплообмена Ньютона в конечно-разностном виде.

вм,у )/ Лх

ВІ,

М-1, ]

в

М, ]

ВІ

ВІ

= 1 ГГ (в2,] -в1,]VИх.

>д " N г ві,7. .

= у (в,N-1 -вNVкг. М £ в,„ ’

ВІ

4 мод

М

—Г

М £

(в,2 -в,і)/ Нг в,,1 ■

(5)

В результате расчета по уравнениям (5) определяются средние значения чисел Био В112мод=8,53, В13Дмод=1,35, характеризующие условия теплообмена между тепловыделяющим элементом электротехнического устройства и окружающей средой, по нестационарному полю безразмерной температуры. Поле безразмерной температуры тепловыделяющего элемента, определенное численным методом конечных разностей, приведено на рис. 3. Коэффициенты теплоотдачи от нагретых поверхностей тела к окружающей среде составят, соответственно аимод=62,84 Вт/(м2-К), а34мод=61,21 Вт/(м2-К). Соответствующие им средние температуры поверхностей твэла Т12мод=324,76 К, -3,4мод=341,34 К. '

Составляющие тепловых потерь для численной модели определяются по закону конвективного теплообмена

Qn

Ж мод - Т0С)^И > ВТ-

щей среде при численном моделировании составят, соответственно б1дмод=493 Вт, 034мод=325 Вт. Полные теплопотери в модели тепловыделяющего эле-

мента

ймод =Г^ мод =1636 ВТ а опытная вели-

Здесь площадь поверхности теплообмена $п=Я\, где п=1, 2; ¥==Ы, где п=3, 4. Величины тепловых потоков от нагретых поверхностей тела к окружаю-

чина 0=1646 Вт. Вполне удовлетворительное соответствие результатов моделирования экспериментальным данным свидетельствует о правильном определении температурного поля и коэффициентов теплоотдачи, характеризующих интенсивность охлаждения шихтованного пакета магнитопровода.

Выводы

В результате анализа теплового состояния активного элемента электротехнического устройства решена задача расчета средних температур поверхностей шихтованного пакета магнитопровода. Полученные уравнения позволяют вычислить соотношения между термическим сопротивлением теплопроводности и термическим сопротивлением теплоотдачи, по которым при известных коэффициентах теплопроводности можно найти средние эффективные (сумма конвективной и лучистой составляющих) значения коэффициентов теплоотдачи на поверхностях прямоугольного анизотропного активного элемента электромагнита с постоянными равномерно распределенными внутренними источниками теплоты при нестационарном тепловом состоянии. На основе численного моделирования те-плопереноса обоснована новая методика определения теплового потока, передаваемого окружающей среде в квазистационарном режиме с погрешностью менее 1 %, зная соотношение между термическим сопротивлением теплопроводности и термическим сопротивлением теплоотдачи - число Био.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации по федеральной целевой программе «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, проект № П2515.

п=1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Логинов В.С. Приближенные методы теплового расчета активных элементов электрофизических установок. - М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2009. - 272 с.

2. Юхнов В.Е. О возможности определения величины источников тепла и температуры внутри полого цилиндра по данным на поверхности // Известия Томского политехнического университета. - 2003. - Т. 306. - № 5. - С. 56-57.

3. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 599 с.

4. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

Поступила 20.02.2013 г.