Анализ влияния неоднородного распределения коэффициентов теплоотдачи на эффективность теплообмена кольцевого ребра Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА. Динамика, прочность приборов и аппаратуры

DOI.org/10.5281/zenodo.2578669 УДК 621.039.517.5

Е.В. Амосова, А.В. Шишкин

АМОСОВА ЕЛЕНА ВЛАДИМИРОВНА - к.ф.-м.н., доцент, e-mail: el_amosova@mail.ru ШИШКИН АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ - лаборант, e-mail: 12abcd21@mail.ru Кафедра механики и математического моделирования Инженерной школы Дальневосточный федеральный университет Суханова ул., 8, Владивосток, 690091

Анализ влияния неоднородного распределения коэффициентов теплоотдачи на эффективность теплообмена кольцевого ребра

Аннотация: Рассматривается одиночное ребро в системе ребер развитой оребренной поверхности кольцевой структуры. ТВЭЛы ядерного реактора работают при чрезвычайно высоких температурах, что неблагоприятным образом влияет на прочностные характеристики материалов. В оребренных стенках и самих ребрах возникают градиенты температуры, величина которых зависит от геометрических размеров, коэффициента теплопроводности, материала ребра и условий охлаждений. Коэффициент теплоотдачи при обтекании труб изменяется по высоте ребра. Существующие уравнения, основанные на среднем коэффициенте теплоотдачи, могут приводить к неточным тепловым расчётам.

Исследуется процесс распространения тепла в оребренной стенке, имеющей кольцевую геометрию, при неравномерном характере теплоотдачи на поверхности ребра, а также с учетом влияние вихревой структуры движения теплоносителя в промежутке между рёбрами. Таким образом, делается вывод: распределение температурного поля в одиночном ребре обусловлено двухмерностью и существенной неравномерностью теплообмена на поверхности ребра. С помощью программной модели было проанализировано тепловое поведение различных конфигураций ребра при условии вынужденной конвекции, что позволяет быстро выполнять валидацию новых конструкций.

Получены распределения полей температур в различных частях исследуемого ТВЭЛа. Результаты представлены в виде графиков.

Ключевые слова: теплоотдача, эффективность ребра, оребренная поверхность, предел текучести.

Введение

Тепловыделяющие элементы (ТВЭЛы) являются наиболее ответственными и самыми напряженными конструкциями активной зоны современного ядерного энергетического реактора. В общем виде ТВЭЛ состоит из герметичной оболочки, внутри которой размещается ядерное топливо, где локализуются радиоактивные продукты деления. Оболочка ТВЭЛа обеспечивает требуемую механическую прочность конструкции, защищает ядерное топливо от коррозионно-эрозионного воздействия теплоносителя. Выход ТВЭЛа из строя приводит к опасным последствиям - попаданию в теплоноситель газообразных продуктов деления и ядерного топлива [1]. Нахождение оптимальных конструкторских решений связано с решением следующих основных задач: выбор оптимальной формы и определение геометрических

© Амосова Е.В., Шишкин А.В., 2019

О статье: поступила: 27.10.2017; финансирование - бюджет ДВФУ.

размеров ТВЭЛа; разработка оптимального способа дистанционирования, обеспечивающего надежную работу ТВЭЛа, несложную упаковку их в тепловыделяющие сборки (ТВС) и приемлемые гидравлические характеристики активной зоны; установление оптимальной пористости внутри ТВЭЛа, необходимой для компенсации объемных изменений топливного сердечника при глубоких выгораниях; рациональное распределение этой пористости, обеспечивающее максимальную разгрузку оболочки от механического воздействия со стороны топливного сердечника; определение оптимальных режимов эксплуатации и ресурса работы ТВЭЛа, обеспечивающих сочетание высокой эксплуатационной надежности и безопасности реакторной установки с приемлемыми экономическими характеристиками всего топливного цикла.

Форма ТВЭЛа должна обеспечить достаточную емкость по топливному материалу при максимально возможном развитии поверхности теплообмена. При выборе формы ТВЭЛа, как правило, рассматривают четыре основных критерия, по которым оценивается приемлемость той или иной формы: допустимая энерговыработка, допустимая плотность энерговыделения, возможность обеспечения приемлемого (с точки зрения физики и теплогидравлики) соотношения между долей топлива в активной зоне и долей теплоносителя, технологичность конструкции. Причем существенное, а часто решающее значение для энергетических реакторов на быстрых нейтронах имеет величина допустимой энерговыработки. Для интенсификации тепла от поверхности теплообменника до жидкости можно увеличить коэффициент конвекции, изменить разность температур между поверхностью и жидкостью, а также увеличить площадь поверхности, через которую происходит конвекция. Расширенные поверхности в виде продольных или кольцевых ребер являются общими в ситуациях, где необходимо повысить теплоотдачу и осуществить перенос между поверхностью стенки и жидкостью.

Ребра используются, как правило, в поверхностных теплообменниках. Обычные реберные теплообменники часто характеризуют значительную разницу между коэффициентами теплопередачи жидкостей. Если ребро имеет более высокую температуру по сравнению с жидкостью, в которой оно находится, тогда температура поверхности ребра будет ниже базовой (первичной). Если тепло переносится конвекцией к ребру из окружающей жидкости, температура поверхности ребра будет выше, чем температура основания ребра, которая, в свою очередь, уменьшает разницу температур и передачу теплоты через данное ребро. Теплообменники с такой формой ребер также используются, когда один поток жидкости находится при высоком давлении, а значение температуры ограничено типом материала. Все вышеизложенное приводит к тому, что продольные и кольцевые ребра используются в различных тепловых системах, в которых тепловая энергия обменивается между различными средами [6, 10]. Области применения оребрения обширны: от обычных труб в теплообменниках до контроля температуры электронных компонентов.

Цель статьи - разработка методики расчета процессов теплообмена, имеющих место в оболочке ТВЭЛа с кольцевым оребрением: нахождение опасных областей в которых возможна локальная пластическая деформация вследствие снижения предела пластичности материала.

Математическое моделирование процесса теплообмена

Рассмотрим одиночное ребро в системе ребер развитой оребренной поверхности. В оребренных стенах и самих ребрах возникают градиенты температуры, величина которых зависит от геометрических размеров, коэффициента теплопроводности, материала ребра и условий охлаждения. На практике делают ребра различной формы, чаще всего используют продольные, кольцевые или спиральные ребра. Чтобы определить эффективность оребрения, необходимо рассчитать температурное поле в оребренной стенке. При вынужденной конвекции коэффициент теплоотдачи при обтекании труб с кольцевыми ребрами изменятся по высоте ребра. Часть ребра, примыкающая к основанию, лучше рассеивает тепло при больших температурных напорах, чем часть, прилегающая к вершине. На неравномерный характер теплоотдачи на поверхности ребра также оказывает влияние вихревая структура движения теплоно-

сителя в промежутке между ребрами при продольном обтекании с кольцевыми ребрами. Уравнения, основные на среднем коэффициенте теплоотдачи, могут давать заметную погрешность. Таким образом, распределение температурного поля в одиночном ребре обусловлено двух-мерностью и существенной неравномерностью теплообмена на поверхности ребра.

В настоящей работе мы рассматриваем процесс распространения тепла в ребрах кольцевой геометрии при следующих допущениях: процесс стационарен, теплопроводность материала ребра постоянна, температуры в основании ребра и окружающей среды постоянны, тепловой поток подается через основание ребра. Известно, что оптимальные значения профильного сечения и его толщины обратно пропорциональны теплопроводности материала; высота ребер при этом остается неизменной [4].

Рассмотрим кольцевое оребрение поверхности ТВЭЛа с целью снижения общего термического сопротивления системы. Уравнение энергии и граничные условия для описания температурного поля в ребре и несущей стенке нами получены из уравнений баланса тепловых потоков, передаваемых через оребренную стенку. Дифференциальное уравнение двумерной теплопроводности в ребре имеет следующий вид:

(Ну (Л V Т) = 0, (х,у)еП.

На внутренней стенке оребренной поверхности задана плотность теплового потока: дТ

Изменение температурного поля на поверхности ребра и между ребрами происходит под воздействием омывающего теплоносителя: дТ

-Адп = а(Х, - Тж), (х,у) Е °2,

где а(х,у) — локальный коэффициент теплоотдачи. На торце ставится условие непроницаемости:

дТ

—А— = 0, (х,у) е й3, дП = о1ио2и й3. дп

Расчет двумерного температурного поля в области сложной формы при граничных условиях, характерных для теплопередачи оребренной стенки, проведен численно-аналитическим методом с использованием пакета конечно-элементного анализа ЕгееБет++.

При вынужденной конвекции коэффициент теплоотдачи при обтекании труб с кольцевым оребрением меняется неравномерно. На передней стороне коэффициент теплоотдачи падает от вершин ребра к основанию. На задней стороне распределение коэффициентов теплоотдачи сложнее: максимальные значения идут непосредственно у вершины и в средней части ребра [4] (рис. 1). Такое распределение объясняется вихревым характером движения теплоносителя в промежутке между ребрами.

При изучении теплообмена оребренных поверхностей опытные данные о распределении коэффициентов теплоотдачи обрабатываются по приведенным коэффициентам. Локальные коэффициенты теплоотдачи по высоте ребра определяются путем измерения тепловых потоков с отдельных электрических обогреваемых полос, наклеенных на поверхность ребра. При этом вводится поправка, зависящая от неравномерности теплоотдачи и от характеристического параметра ребра.

Проведем расчет для теплового потока Q = 1.2 * 102 [Вт], на ребре длиной L = 0.3 [м] и Т1 = 400 [°С] — температура теплоносителя, для металлической конструкции из

различных материалов ребра: нержавеющая сталь Х = 16 °с] , углеродистая сталь X = 50 — , алюминиевый сплав X = 180 [—°с].

. м J I м J

Для определения среднего по длине ребра коэффициента теплоотдачи у вершины ребра воспользуемся зависимостью для случая продольного обтекания плоской поверхности.

I^VW s.

—^s^ Ss

—__»

- '—'

1 2

3

4

5

0 0,2 0,4 0,6 0,8

X

а

0,2

0,4 0,6 X

б

0,8

Рис. 1. Локальная теплоотдача кольцевых ребер: а - передняя сторона ребра; б - задняя сторона ребра; y - расстояние от вершины ребра;

s - толщина ребра; h - высота ребра. Ось X: безразмерное отношение y/h, где y - переменная высота, y=(0, h).

Ось Y: локальная теплоотдача а 1-т—|.

Lmz-°CJ

s/h = 0,6; 1 - 5 - Де = (3, 53; 19,2; 51,1; 95,2; 336,0) * 103 соответственно.

Физические свойства воздуха при атмосферном давлении и ^ = 100 [°С] следующие: уж = 2.3 ■ 10-5 [м2/с]; Аж = 3.11 ■ 10-2 [Вт/(м ■ с)]; Ргж = 0.7. Определим число Рейнольдса: 13 ■ 0.3

Reж =

Уж-L

2.3 ■ 10-5

= 1.7 * 105,

т.е. пограничный слой является турбулентным. Найдем число Нуссельта [4, с. 221]:

0ChL

Nuж = = 0.037Re/'8Pr;Ka43 = 0.0 3 7 ■ (1.7 ■ 105)08 ■ (0.7)043 « 482.

Откуда

ah

Nuœ-Àœ _ 482 ■ 0.0311 L = 03

= 50

Вт

м2 ■ °С

(1)

(2)

(3)

Учитывая турбулентный характер движения теплоносителя в промежутке между ребрами, коэффициент теплоотдачи изменяется неравномерно. Согласно [4, с. 220], перед реб-

2

1

0

1

1

0

0

1

V

ж

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2019. № 1(38)

ром функция теплоотдачи изменяется по закону а±(г), за ребром - а2(г). Графики распределения коэффициентов теплоотдачи на переднем и заднем фронтах кольцевого ребра представлены на рис. 2.

Рис. 2. Локальная теплоотдача ребра с учетом вынужденной конвекции.

Рассмотрим кольцевое ребро. Поперечный разрез кольцевого ребра вместе с несущей стенкой обозначим через О, границу всей области - через Г0 = и7=0 Г (рис. 3). Уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат имеет вид

1 д

1 д ( дТ\ гдг\ дг)

д^ д2Т

+ ^Т = 0, (г,г)еП. дъ2

Считаем, что на гладкой поверхности, граница Г8 (рис. 3), задан тепловой поток qc:

X

дТ

дйс

= цс, (г,г)еГ8.

(4)

(5)

На другой тепловой поверхности осуществляется теплоотдача к окружающей жидкости. На передней и задней сторонах ребра, границы Г1, Г2 (рис. 3), процесс теплообмена между поверхностью ребра и средой описывается законом Ньютона-Рихмана с учетом функции локальной теплоотдачи ах(г) на Г! и а2(г) на Г2 (рис. 2):

дТ

— Х^ = а!(Г) • (Т — Тж), (г,г) е Г±;

дТ

— X— = <Х2(г) • (Т — Тж), (г, г) е Г2.

(6)

На прямых участках Г3, Г6, Г7 (рис. 3), закон Ньютона-Рихмана задан с коэффициентами теплоотдачи а^ а01, а02, соответственно:

дТ

Хщ^ = а^(Т — Тж), (г, е Г3; дТ

— Хщ^ = а01(Т — ^ (г, г) е Г6; дТ

XЩ = а02(Т — Тж1 (г,г) е Г7.

(7)

Значения коэффициентов теплоотдачи а^ а01, ао2 найдены методом экстраполяции. Стенки Г4, Г5 считаем непроницаемыми.

Рис. 3. Расчётная область кольцевого ребра.

Геометрическая сложность не позволяет получить достаточно общие и удовлетворительные аналитические решения, поэтому наиболее важные практические задачи обычно решались экспериментальным путем.

Рис. 4. Распределение температуры в кольцевом ребре с основанием для металлического профиля, X = 16 [Вт/м°С].

Для численного решения задачи используется метод конечных элементов, реализованный в интерактивной среде FreeFem++ [7, 9]. Анализ сходимости полученного решения на двух расчетных сетках, отличающихся в два раза по количеству узлов, показал, что схо-

димость решения достигается при количестве расчетных узлов около 5673. По результатам численного решения определяются температурные поля в сложной области для разных коэффициентов теплопроводности Я, с неравномерным распределением теплоотдачи ореб-ренной поверхности.

При реализации конечно-разностного метода использовалась вариационная формулировка безразмерного дифференциального уравнения, включающая краевые условия.

Обезразмеривание задачи проводилось по геометрическим параметрам, а в качестве безразмерной температуры принята осредненная температура в = Т(г,г)/Ттах.

По характеру изотерм в стенке вблизи основания можно судить о том, интенсифицирует ли ребро теплопередачу или изолирует стенку. Если изотерма в основании ребра обращена выпуклостью в сторону стенки, происходит сток тепла по стенке под ребро, и ребро снижает значение температуры. На рис. 4 представлено распределение температурного поля в ребре и в части защитного элемента под ребром с учётом вынужденной конвекции. В вершине ребра температура составила 286 °С, в основании - 485 °С, максимальное значение температуры наблюдается в пространстве между ребрами.

На следующих графиках представлен характер изменения температуры в основании ребра (рис. 5) и изменения температурного поля от вершины ребра к основанию стенки (рис. 6) при различных значениях коэффициента теплопроводности.

Рис. 5. Изменение температуры с учетом вынужденной конвекции

в основании ребра.

Рис. 6. Изменение температуры с учётом вынужденной конвекции от вершины к основанию.

Оребрение позволяет уменьшить температуру стенки при заданном тепловом потоке. При увеличении коэффициента теплопроводности вследствие снижения внутреннего термического сопротивления ребра эффективность ребра уменьшается. Эффективность оребрения определяется числом Био (5/). Для стенки ТВЭЛа оребрение выгодно, т.е. уменьшается термическое сопротивление стенки, если число Био ребра меньше единицы. В рассматриваемом расчете: для нержавеющей стали - В1 = 0,01125 ( X=16) , для углеродистой стали -В1 = 0,036 ( X = 50), для алюминиевого сплава - В1 = 0,001 ( X= 180).

Оребрение ТВЭЛов активных зон и экранов реактора приводит к определенным особенностям теплообмена. С одной стороны, оно может способствовать перемешиванию теплоносителя по сечению кассеты, что улучшает условия теплообмена, с другой - ребра вызывают локальное увеличение температуры в защитных элементах ТВЭЛа.

На рис. 7 изображены температурные поля в двух соседних рёбрах и в пространстве между рёбрами в защитном элементе. Распределение температурного поля в левом ребре рассчитывалось при заданном коэффициенте теплоотдачи, так же как и на задней стенке, а в правом ребре - как на передней стенке (рис. 2). Между рёбрами значение коэффициента теплоотдачи выбрано экстраполяцией.

Вследствие неравномерности теплоотдачи теплопередающей поверхности в защитных элементах кассеты возникают местные градиенты температурного поля (рисунки 7, 8), что важно учитывать при эксплуатации реакторов. Смещение теплового поля в сторону задней стенки обусловлено неравномерностью теплоотдачи теплопередающей стенки ребра.

Рис. 7. Изменение температуры между рёбрами с учётом вынужденной конвекции.

636 -.-

634 --+■

632 630

О

о . 628

Н

626 624 622

620 -1-

0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035

[т]

Рис. 8. Изменение температуры в защитном элементе ТВЭЛа в пространстве между ребрами.

Задачей теплового расчета оребренной поверхности является определение связи передаваемого теплового потока с температурами теплоносителей и стенки, коэффициентами теплоотдачи, геометрическими размерами оребрения и теплопроводности. Полученный численный расчет позволяет провести оценку распределения температуры по площади сечения ребра и прилегающей стенки в зависимости от мощности источников тепла в топливной таблетке, температуры теплоносителя и внешних источников тепла. Также расчет позволяет моделировать оптимальную форму и размеры теплопроводного ребра.

Выводы

С помощью программной модели было проанализировано тепловое поведение различных конфигураций ребра при условии вынужденной конвекции, что позволяет быстро выполнять валидацию новых конструкций.

При поперечном обтекании пучков труб с кольцевыми или спиральными ребрами на передней стороне ребра коэффициент теплоотдачи падает от вершины ребра к основанию. На задней стороне распределение коэффициентов теплоотдачи сложнее: максимальные значения сосредоточены у вершины ребра и в средней части ребра. Такое распределение объясняется вихревым характером движения теплоносителя.

Как показано на примере проведенных расчетов, предложенная методика открывает возможность для решения широкого класса двумерных задач со сложной геометрией, связанных с тепловым расчетом оребренных поверхностей.

Получены распределения полей температур в различных частях исследуемого ТBЭЛа. Результаты представлены в виде графиков.

Используя данную методику, можно производить анализ продольного сечения ореб-ренного ТBЭЛа с целью нахождения опасных областей, в которых возможна локальная пластическая деформация вследствие снижения предела пластичности материала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азаров С.И., Сорокин Г.А., Сорокина Т^. Расчет температуры в ТBЭЛе ядерного реактора // Пром. теплотехника. 2005. Т. 27, № 5. С. 70-T5.

2. Логинов B.G Приближенные методы теплового расчета активных элементов электрофизических установок. М.: Физматлит, 2000. 272 с.

3. Решетников Ф.Г., Бибилашвили Ю.К., Головнин И.С. и др. Разработка, производство и эксплуатация тепловыделяющих элементов энергетических реакторов. Кн. 1. М.: Энергоатомиз-дат, 1995. 320 с.

4. Ройзен Л.И., Дулькин И.Н. Тепловой расчет оребренных поверхностей. М.: Энергия, 1977. 256 c.

5. Симонова О.С., Логинов B.G Одномерная нестационарная модель тепловыделяющей системы из произвольного числа твэлов и неактивных элементов // Фундаментальные исследования. 2014. № 5-3. С. 503-5G6.

6. Чухлов А.Г., Смирнов B.^, Афонин С.Ю. Применение периодических граничных условий к теплогидравлическому расчету твс с оребренными ТBЭЛами // Теплоэнергетика. 2012. № 2. С.46-5G.

T. Amosova E.V., Shishkin A.V. Calculation of Distribution Dynamics of Inhomogeneous Temperature Field in Range of Fuel Elements by Using FreeFem++/. IG? Conference Series: Materials Science and Engineering-2017. 2017, vol. 262, 7 р.

S. Dipl.-Ing. Dr. Friedrich Frass. Principles of Finned-Tube Heat Exchanger Design for Enhanced Heat Transfer. 2nd ed. Institute for Thermodynamics and Energy Conversion Vienna University of Technology. Vienna, Austria, 2G15, 152 p.

9. Hecht F., Pironneau G., Le Hyaric A., Ghtsuka K. FreeFem++, ver З.З5, third edition. 2GGT, З98 p. URL: http://www.freefem.org - GT.G5.2G1S.

1G. Latif M. Jiji, Extended Surfaces - Fins. The City College of New York, 2G14, 1З p.

11. Piotr Wais. Fin-Tube Heat Exchanger Gptimization, Heat Exchangers - Basics Design Applications. InTech, 2G12, 2б p.

Dynamics, Durability of Instruments and Equipment www.dvfu.ru/en/vestnikis

DOI.org/10.5281/zenodo.2578669

Amosova E., Shishkin A.

ELENA AMOSOVA, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, e-mail: el_amosova@mail.ru

ALEXANDER SHISHKIN, Laboratory Assistant, e-mail: 12abcd21@mail.ru Department of Mechanics and Mathematical Modeling, School of Engineering Far Eastern Federal University, 8 Sukhanova St., Vladivostok, 690091, Russia

Analysis of the influence of the non-uniform distribution of heat transfer coefficients on the heat exchange efficiency of the annular ribs

Abstract: A single rib in the system of ribs of an extended ribbed surface of a circular structure is under consideration. Fuel elements of a nuclear reactor operate at extremely high temperatures, which adversely affect the strength characteristics of materials. In the ribbed walls and the ribs themselves, temperature gradients arise, the magnitude of which depends on the geometric dimensions, the thermal conductivity coefficient, the material of the rib, and the cooling conditions. The heat transfer coefficient for flow around the pipe varies along the height of the rib. Equations based on average heat transfer coefficient can lead to inaccurate thermal calculations. In this paper, the authors investigate the process of heat propagation in a ribbed wall with an annular geometry with the uneven nature of heat transfer on the surface of the rib, as well as the influence of the vortex structure of the coolant motion in the gap between the ribs. Thus, it is concluded that the distribution of the temperature field in a single rib is attributable to the two-dimensionality and the substantial non-uniformity of heat exchange on the surface of the rib. Using the software model, the thermal behavior of various configurations of the rib was analyzed under the condition of forced convection that allows fast validation of new structures. The paper illustrated the distributions of temperature fields in different parts of the fuel element under study. The results are presented in the form of graphs. Keywords: heat transfer, heat exchange efficiency, ribbed surface.

REFERENCES

1. Azarov S.I., Sorokin G.A., Sorokina T.V. Temperature calculation in a nuclear reactor's fuel element. Prom. Teplotekhnika. 2005(27);5:70-75.

2. Loginov V.S. Approximate methods of thermal analysis of active elements electrical installations. M., Fizmatlit, 2009, 272 p.

3. Reshetnikov F., Bibilashvili, Yu., Golovnin I. et al. Development, production and exploitation of nuclear fuel rods for nuclear power. Book 1. M., Energoatomizdat, 1995, 320 p.

4. Roizen L., Dulkin I., Numerical calculation of finned surfeces. M., Energia, 1977, 256 p.

5. Simonova O.S., Loginov V.S. One-dimensional model of fuel assembly comprising arbitrary number of fuel and inactive elements. Fundamental'nye Issledovaniya. 2014;5-3:503-506.

6. Chuhlov A., Smirnov V., Afonin S., Application of periodical boundary condition for thermohydrau-lic calculation of finned fuel rods. Teploenergetika. 2012;2:46-50.

7. Amosova E.V., Shishkin A.V. Calculation of Distribution Dynamics of Inhomogeneous Temperature Field in Range of Fuel Elements by Using FreeFem++. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering-2017. 2017, vol. 262, 7 p.

8. Dipl.-Ing. Dr. Friedrich Frass. Principles of Finned-Tube Heat Exchanger Design for Enhanced Heat Transfer. 2nd ed. Institute for Thermodynamics and Energy Conversion Vienna University of Technology. Vienna, Austria, 2015, 152 p.

9. Hecht F., Pironneau O., Le Hyaric A., Ohtsuka K. FreeFem++, ver 3.35, third edition. 2007, 398 p. URL: http://www.freefem.org - 07.05.2018.

10. Latif M. Jiji, Extended Surfaces - Fins. The City College of New York, 2014, 13 p.

11. Piotr Wais. Fin-Tube Heat Exchanger Optimization, Heat Exchangers - Basics Design Applications. InTech, 2012, 26 p.