Передаточные функции фильтров нижних частот с равноволновыми на отрезке амплитудно-частотными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Теория сигналов

УДК 621.372.54

Е. Н. Червинский

ЗАО "СИМЕТА" (Санкт-Петербург)

I Передаточные функции фильтров нижних частот с равноволновыми на отрезке амплитудно-частотными характеристиками

Разработана упрощенная методика расчета передаточных функций (ПФ) фильтров нижних частот порядка п с равноволновыми на отрезке амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ). Коэффициенты ПФ определяются в результате решения системы 2п нелинейных уравнений, связывающих искомые коэффициенты и координаты экстремумов модуля ПФ со значениями АЧХ и ее производных в заданных точках. Для определения начальных значений неизвестных методом последовательных приближений синтезируется А ЧХ с произвольной крутизной характеристики на границе полосы пропускания и путем перехода к комплексной частоте находится ПФ. Полученные начальные значения используются при определении параметров ПФ для других значений крутизны А ЧХ. В качестве примеров рассчитаны ПФ фильтров нижних частот до десятого порядка для различных значений неравномерности передачи в полосе пропускания. Точность вычисления параметров определяется погрешностью решения системы. Проведено сравнение характеристик фильтров с равноволновыми на отрезке АЧХ (ро-характеристик) с характеристиками фильтров Чебышева и Баттерворта.

Амплитудно-частотная характеристика равномерного приближения, неравномерность частотной характеристики, передаточная функция, экстремумы модуля передаточной функции, коэффициент использования полосы, ро-характеристики

В [1] представлена методика синтеза равноволновой на отрезке амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра нижних частот (ФНЧ) с оптимальным соотношением неравномерности АЧХ в полосе пропускания и крутизны при переходе к полосе задерживания. Коррекция параметров АЧХ осуществляется при неизменной частоте среза и сохранении порядка фильтра п. Для синтеза фильтра необходимо знание передаточной функции (ПФ).

Целью настоящей статьи являются результаты разработки упрощенной методики расчета ПФ ФНЧ порядка п с равноволновыми на отрезке АЧХ.

Представим квадрат модуля ПФ ФНЧ с АЧХ, равномерно приближающей идеальную, в виде ЙП (юн) = 1/^2п (юн), где юн =ю / юс (ю - угловая частота; юс - частота сре-

п 2'

за); ^2п (юн ) = X уиЮН - образующий полином степени 2 п . Коэффициенты опреде-

'=0

ляются в результате решения системы уравнений, связывающей между собой отклонения Йп (ю н) в точках экстремума от единицы, с учетом дополнительных (граничных) условий

^2п (1) = 2, ^2п (1) = g, где g - положительное число. Координаты экстремумов функции Йп (юн) есть положительные корни юну, у = 1, 2, ..., п, полинома У21п (юн), полученного дифференцированием образующего полинома.

© Червинский Е. Н., 2011 3

Разделим числитель и знаменатель ПФ на коэффициент при старшем члене У2„ и выполним замену переменной юн = -/н (= /юн - мнимая часть нормированной комплексной частоты рн = ан + /юн ). Квадрат модуля ПФ как функция переменной величины имеет вид:

К 2

• при четном п Нп ) Нп ) = —-^-2-;

4" + П2( п-1)*н + - + П2 4 + по К2

при нечетном п Нп ()Нп () = 2п 2(п_1) 2

- ^н - п2( п _1)ян - ••• - п2 ^н + п0

2

где К = 1/ У2п, а коэффициенты знаменателя «2, г = 0, 1, ..., п-1, - вещественные положительные числа. При четном п нули знаменателя образуют комплексно-сопряженные пары, расположенные в отрицательной и в положительной полуплоскостях, соответствующих переменной рн, а при нечетном п дополнительно содержат два вещественных нуля - в левой и

в правой полуплоскостях. В качестве полюсов передаточной функции Нп () примем нули знаменателя, лежащие в левой полуплоскости: при четном п , +1) = -стш- ± ,

г = 1, 3, ..., п-1; при нечетном п рно = -ано, Рн(/ г+1) = ±, - = 1, 3, • •■, п-2.

Зададим ПФ Нп (5н) и их модули Нп (юн) = |НИ (5н )| в форме произведений ПФ и АЧХ, соответственно, звеньев первого порядка и второго порядка с общим коэффициентом К в числителе и положительными коэффициентами Ь, с, в знаменателе:

- п/2 1 - п/2 1 Нп ) = К П-2-, Нп К) = К п I , , п = 2, 4,

* =1 ^ + ^н + сг г ю2 _ с* )2 +

н

К (п-1)/2 , К (п-1)/ 2

Нп ) =- П -; Нп (шн) = п

*н + ^ ^ + ^ + с,- - г =1 ^- с. )2 + Ь/^

п = 3, 5, ____

где со = ан0; Ьг = 2ан/; сг = + .

Расчет коэффициентов ПФ в изложенной последовательности требует большого числа промежуточных вычислений. Кроме того, для расчета ПФ при каждом значении g

необходимо определение коэффициентов У2,. С меньшими вычислительными затратами коэффициенты К, со, Ь, с, могут быть определены как решение системы 2п нелинейных уравнений, связывающих искомые коэффициенты и координаты экстремумов АЧХ Юн/, / = 2, 3, ..., п, со значениями АЧХ и ее производных в заданных точках:

при четном п

п/ 2

-П

'=1

п/ 2

1 - к П1/ с, = '=1

-1, / = 2, 4,

Кп1 = 1/ л/2;

кп/

'=1

п/2 п 2 I Г~ Т2 2 Г"

1 - к П 1/С' = 1 - к п 1/ </ - с,') + ь2ш2, у = 3, 5, ' =1 '=1

кп/

а

V '=1 п/ 2

к п 1

V ' =1

-0,/ = 2, 3,

п;

п-1;

п;

®н =®ну

®н =1

4>/2;

при п нечетном

к (п-1)/2

1 + Со ' =1

к (п-1)/2 1

к П -с0 '=1 С1

к (п-1)2 1

к П -с0 ' =1 С1

п 1 ^г-С^+ь2 = 1^72;

11

к

22 V® н/ + с0

(п-1)/ 2

П

1

"н/ к

«Н-- с) +

/ = 2, 4,

'=* \( юН/ - с)

л

(п-1)/ 2

П

а

а

к

а®,

(п-1)/2

2П

С02 ' =1

к (п-1)/2

ПУ «Н - с- )2+¿2®Н

Н/ "I

\

2

У с02 '=1 ЛЦ - с,' )2+ь2ш?

^ ^ н/

1,/ = 3, 5,

и-1;

п;

V

л/юНГ

ПП - с,' )2+ь2«2

-0, у-2, 3,

п;

®н =®ну

g

®н =1

(1)

(2)

+ с0 '=!

Помимо п +1 коэффициентов неизвестными в (1), (2) являются п -1 нулей юн- полинома У2п ( юн ).

Для решения системы уравнений требуется задание начальных значений неизвестных с тем большей точностью, чем больше п и меньше g. С целью локализации начальных значений необходимо синтезировать АЧХ для произвольного g методом последовательных приближений [1] и определить ПФ ФНЧ переходом к комплексной частоте рн. Рассчитанные значения используются в качестве начальных при определении коэффициентов ПФ и вспомогательных величин юн- для других значений g.

н

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2011. Вып. 4======================================

Точность вычисления коэффициентов К, со, Ь,, с, и координат экстремумов АЧХ юн/, / = 2, 3, ..., п, определяется погрешностью решения системы уравнений. Неравномерность равноволновой АЧХ 5, измеренная в децибелах, выражается через коэффициенты К, со, Ьг, сг :

• при четном п - как 5 = 20^(2с1с2 ...сп!2/К)-1;

• при нечетном п - как 5 = 2о1§{|2сос1с2...с(К -1} \

Система (1) может быть дополнена уравнением

п/ 2 п/ 2 / Г~ ~2~

:п/ ^ 4 - сг )2 + Ь!К 2,

1 - К п 1/ с, = 1 - К п 1Д/ К2 - с,) + Ь*й

г=1

а система (2) - уравнением

' (п-1)/2 '

( К/со ) П V с,

г=1

-1 = 1 - кЦи2 + со2 пП у - с, )2 + Ь2ка2

для определения длины отрезка равномерного приближения , соответствующего значению 5. Например при п = 1, Н ^ ) = К/+ со); Щ (юн) = к/^юН + с 2 , а коэффициенты К, со и определяются из системы уравнений

К л/х+сог = 1Д/2;

к/ у(1 + со2) = g/^^/2;

К/со -1 = 1 - КН + со2 .

Поскольку величина Нп (0 является константой (см. первые уравнения систем (1), (2)), длина отрезка равномерного приближения может рассматриваться как коэффициент использования полосы при заданном значения 5.

В таблице представлены результаты расчетов параметров передаточных функций для п = 1, 2, ..., 1о и различных значений g. При п > 1 для функции Нп (юн) приведены

абсциссы локальных максимумов тах (И = 2, 4, ..., п для четных п, И = 3, 5, ..., п для нечетных п) и локальных минимумов юн/т|п (I = 3, 5, ..., п-1 для четных п, I = 2, 4, ..., п-1 для нечетных п).

ПФ ФНЧ с равноволновой на отрезке АЧХ не имеют нулей в правой полуплоскости переменной рн, т. е. соответствующий четырехполюсник является минимально-фазовым.

g 8 1 ®н/ тш И ®нй тах К со г Ь, сг

п = 1

2.о о о - - - - 1 1 - - -

2.16 о.74оо о.3978 - - - - о.96225о о.922958 - - -

2.32 1.5868 о.5651 - - - - о.928477 о.85о963 - - -

2.48 2.5737 о.7о4о - - - - о.898о27 о.782881 - - -

п = 2

5 о.2158 о.6оо8 - - 2 о.424845 о.8о9694 - 1 1. 13о825 о.819876

6 о.7168 о.75о4 - - о.53о63о о.692о65 - 1 о.938367 о.721835

7 1.389о о.8334 - - о.589273 о.6Ю741 - 1 о.795556 о.663697

8 2.1829 о.8889 - - о.628539 о.549972 - 1 о.683341 о.628539

п = 3

6.5 о.оон о.3846 2 о.1923о8 3 о.333о87 о.888996 о.923о77 1 о.923о77 о.963о18

1о о.2729 о.8оо6 о.4оо278 о.6933о1 о.511542 о.5995о6 1 о.5995о6 о.84оо74

14 1.1637 о.9о81 о.454о4о о.786419 о.36о291 о.423353 1 о.423353 о.797683

18 2.4394 о.9546 о.477297 о.8267о3 о.28545о о.319о25 1 о.319о25 о.785214

п = 4

8.о8 1-Ю-8 о.14о4 3 о.о99257 2 о.о53718 о.98о345 - 1 о.757789 о.997114

4 о.129686 2 1.829464 о.983182

16 о.2152 о.8662 о.612529 2 о.331498 о.31618о - 1 о.382478 о.89о224

4 о.8оо3о8 2 о.923383 о.359623

24 1.13оо о.9453 о.668435 2 о.361754 о.194998 - 1 о.252Ю4 о.871242

4 о.873352 2 о.6о8633 о.239364

32 2.5211 о.9752 о.689548 2 о.373181 о.145789 - 1 о.182496 о.868544

4 о.9оо938 2 о.44о584 о. 196119

п = 5

14 о.оо22 о.6999 2 о.216267 3 о.411364 о.462664 о.714286 1 о.441453 о.953229

4 о.566194 5 о.6656о1 2 1.155738 о.679424

26 о.3о28 о.9233 2 о.285322 3 о.542714 о.158797 о.384213 1 о.237457 о.918732

4 о.746982 5 о.87813о 2 о.62167о о.442158

38 1.2246 о.9665 2 о.298678 3 о.56812о о.о98874 о.25953о 1 о.16о398 о.912354

4 о.78195о 5 о.919238 2 о.419928 о.39о116

5о 2.5576 о.9843 2 о.3о4169 3 о.578563 о.о739о8 о.19о447 1 о. 1177о2 о.912618

4 о.796324 5 о.936135 2 о.3о8149 о.371оо5

п = 6

24 о.о238 о.866о 3 о.433о14 2 о.224145 о.177976 - 1 о.258817 о.94976о

4 о.612374 2 о.7о7Ю1 о.624999

5 о.75ооо2

6 о.836519 3 о.965919 о.3оо237

4о о.4271 о.9542 3 о.477112 2 о.246971 о.о75194 - 1 о.154978 о.939186

4 о.674739 2 о.4234о7 о.5449о9

5 о.826383

6 о.92171о 3 о.578385 о.15о632

52 1.3366 о.9782 3 о.489о85 2 о.253169 о.о49Ю1 - 1 о. Ю9129 о.937168

4 о.691671 2 о.298147 о.522854

5 о.84712о

6 о.94484о 3 о.4о7276 о.Ю854о

72 2.5771 о.9892 3 о.49459о 2 о.256о19 о.о37315 - 1 о.о82о8о о.938о74

4 о.699456 2 о.224247 о.514381

5 о.856654

6 о.955474 3 о.3о6327 о.о9о689

Продолжение таблицы

g 5 а5 1 ®н/ шт Н ®нН шах к с0 ¿г с

п = 7

2 0.206872 3 0.403370 1 0.163950 0.957210

38 0.0775 0.9297 4 0.579642 5 0.726848 0.070188 0.368393 2 0.459378 0.664021

6 0.837607 7 0.906365 3 0.663821 0.298421

2 0.216011 3 0.421190 1 0.107062 0.953554

58 0.5601 0.9707 4 0.605248 5 0.758958 0.035314 0.240567 2 0.299982 0.633889

6 0.874609 7 0.946405 3 0.433487 0.235273

2 0.219160 3 0.427330 1 0.078400 0.953023

78 1.4422 0.9849 4 0.614073 5 0.770023 0.024235 0.176164 2 0.219673 0.623969

6 0.887361 7 0.960203 3 0.317436 0.213645

2 0.220759 3 0.430449 1 0.060455 0.953948

98 2.5888 0.9921 4 0.618554 5 0.775642 0.018793 0.135842 2 0.169392 0.620073

6 0.893836 7 0.967210 3 0.244779 0.203739

п = 8

3 0.366745 2 0.186965 1 0.111446 0.965062

4 0.532431 2 0.317372 0.716535

56 0.1579 0.9584 5 0.677656 0.029152

6 0.796839 3 0.474981 0.365065

7 0.885400

8 0.939936 4 0.560278 0.116539

3 0.375075 2 0.191212 1 0.077649 0.963674

4 0.544524 2 0.221127 0.703729

0.6897 0.9801 5 0.693048 0.016672

6 0.814938 3 0.330939 0.336111

7 0.905511

8 0.961285 4 0.390370 0.076166

3 0.378489 2 0.192952 1 0.058785 0.963666

4 0.549481 2 0.167406 0.698968

104 1.5364 0.9890 5 0.699356 0.011948

6 0.822356 3 0.250541 0.324628

7 0.913753

8 0.970035 4 0.295534 0.059929

3 0.380370 2 0.193911 1 0.046362 0.964463

4 0.552212 2 0.132027 0.697127

128 2.5963 0.9940 5 0.702832 0.009449

6 0.826443 3 0.197592 0.319056

7 0.918295

8 0.974856 4 0.233075 0.051720

п = 9

2 0.166752 3 0.328437 1 0.096908 0.972200

64.5 0.0998 0.9603 4 0.480142 5 0.617259 0.017892 0.279035 2 0.279035 0.769470

6 0.735620 7 0.831631 3 0.427506 0.458869

8 0.902372 9 0.945695 4 0.524414 0.185731

2 0.170732 3 0.336277 1 0.063527 0.971007

98 0.6222 0.9832 4 0.491604 5 0.631994 0.008852 0.182919 2 0.182919 0.758483

6 0.753181 7 0.851483 3 0.280249 0.432876

8 0.923913 9 0.968271 4 0.343776 0.146542

2 0.172100 3 0.338972 1 0.047140 0.971058

130 1.4914 0.9911 4 0.495543 5 0.637058 0.006112 0.135735 2 0.135735 0.755113

6 0.759216 7 0.858306 3 0.207958 0.424267

8 0.931317 9 0.976030 4 0.255098 0.133326

2 0.172820 3 0.340390 1 0.036672 0.971771

162 2.6014 0.9952 4 0.497616 5 0.639723 0.004745 0.105594 2 0.105594 0.754016

6 0.762392 7 0.861897 3 0.161779 0.420396

8 0.935213 9 0.980113 4 0.198451 0.127015

Окончание таблицы

g 5 d8 l ®н1 min h ®Hh max K с0 i bi ci

n = 10

79.3 0.1003 0.9722 3 0.299031 2 0.151379 0.009254 - 1 0.078898 0.977089

4 0.439319 2 0.228970 0.807003

5 0.568791

6 0.684256 3 0.356629 0.531799

7 0.782873

8 0.862213 4 0.449379 0.256594

9 0.920322

10 0.955771 5 0.498140 0.086508

120 0.6091 0.9877 3 0.304748 2 0.154274 0.004533 - 1 0.051939 0.976322

4 0.447719 2 0.150732 0.799670

5 0.579666

6 0.697339 3 0.234770 0.513841

7 0.797842

8 0.878699 4 0.295828 0.228011

9 0.937919

10 0.974045 5 0.327928 0.051359

160 1.4835 0.9935 3 0.306772 2 0.155298 0.003088 - 1 0.038345 0.976426

4 0.450692 2 0.111281 0.797420

5 0.583515

6 0.701970 3 0.173323 0.507782

7 0.803140

8 0.884534 4 0.218400 0.218144

9 0.944147

10 0.980513 5 0.242099 0.039138

200 2.6051 0.9966 3 0.307825 2 0.155831 0.002381 - 1 0.029728 0.977047

4 0.452240 2 0.086275 0.796809

5 0.585518

6 0.704380 3 0.134376 0.505179

7 0.805897

8 0.887570 4 0.169324 0.213549

9 0.947389

10 0.983879 5 0.187697 0.033312

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) фn (юн ) = arg [Йn (sH )] и амплитудно-частотная характеристика Йп (шн) минимально-фазового четырехполюсника связаны соотношением [2]:

2юн

фn (Щн ) = —- J

:1п IЙn ( \ )|

П 0 ^-Щ-

d

(3)

Для определения ФЧХ в точке юн необходимо вычислить несобственный интеграл в правой части выражения (3) по всей области определения функции Нп (шн). Интеграл (3) существует в смысле главного значения, поскольку подынтегральная функция содержит особую точку = юн и интегрируема в каждой части промежутка, не содержащей юн [3].

Для практических применений представим выражение (3) в виде

1п| Н п ( 5 )

_ / ч 2шн Фп н ) =

п

Юн-Л11п|Йn (5)|

-сох

d + 1

юн +ni

-d \

■ 0),

(4)

2

0

где П1 - достаточно малая величина, при которой возможно вычисление интегралов в правой части (4). Изменение наклона ФЧХ определяется производной тп (юн) = - афп (юн )/аюн.

На рис.1 и 2 представлены характеристики (Йп (юн) - рис. 1 и 2, а; фп (юн ) - рис. 1 и 2, б; тп (юн) - рис. 1, 2, в) ФНЧ с равноволновой на отрезке АЧХ (ро-характеристики) для

п = 9 (5 = 0.622; 1.491; 2.601) (рис. 1) и п = 10 (рис. 2) (5 = 0.609; 1.483; 2.605) (рис. 2). Графики производной функции фп (юн ) построены по формуле

тп (®н) = — П

Юн1п

0 С -(0 н

]

1п

Йп (С)|

Юн+П1

С2

а С

4шН

Юн -П2 1п\Й (С) Юн -П1 1п

1 \Йп КС | а С+ 1

Йп (С ®н ++П2 1п Й п (С )|

0 (с2-«2Г

+

I (пКМ^

®н +П2 (-гаН)

Юн-П2 (С~ -«

2

2- а с+ 1 ) Юн+П1 (С2-«н)

■а с +

2со н

П

1п| Й п (

со^

( Н -П1 )2

П1)| - 1п|Йп (ган +П1 )|

2 (ган +П1 )2-гаН.

-со

Й 9 1

0.8 0.6 0.4 0.2

0

0

-п -2п -3п -4п

Й.

0.5

0.5 7

-2п -3п -4п

Ф9Ч

0.5 0.5

0.5

0.5

Рис. 1

2

0

1

ы

1

ы

н

н

а

г

1

1

0

б

д

0

0

1

ы

1

ы

н

н

в

е

при П1 = 1о 6, П2 = Ю 4. На этих же рисунках построены аналогичные зависимости (Нпч (юн) - рис. 1 и 2, г; фиЧ (юн ) - рис. 1, 2, д; тиЧ (юн) - рис. 1 и 2, е) для ФНЧ Чебышева при п = 9 (рис. 1) и п = 1о (рис. 2) с неравномерностью АЧХ 5 = 1, 2 и 3 дБ (коэффициенты со, Ьг, сг для ФНЧ Чебышева приведены в [4], коэффициент К рассчитан дополнительно).

Существенные отличия АЧХ фильтров (ср. рис. 1, а и г; 2, а и г) заключаются в меньшем значении 5 по сравнению с 5 при одинаковом размахе АЧХ и в неизменной величине Нп (0 = 1Д/2 при любых 5. ФЧХ при выбранных значениях 5 и 5 различаются незначительно.

На рис. 3 и 4 представлены ро-характеристики ФНЧ 9-го и 1о-го порядков соответственно в сравнении с характеристиками ФНЧ Баттерворта НпБ (юн), фпБ (юн ), тиБ (юн )

и ФНЧ Чебышева при равных значениях 5 = 5 = о.1, а также производные функций Нп (®н), Нпч (ган), Нпб (ган), взятые с обратным знаком: —Н'п (ган) = -ёНп (шн)/Кшн (рис. 3, в и 4, в).

Н1о 1

о.8 о.6 о.4 о.2

о

8 = о.6о9 8 = 1.483 8 = 2.6о5

о.5

НЮЧ 1

о.8 о.6 о.4 о.2

о

о

-п ■ -2п ■ -3п ■ -4п ■ ФЮ

о.5

■ 8 = о.6о9 ■8 = 1.483

■ 8 = 2.6о5

о

-п -2п —3п — —4п ФЮЧ

о.5

о.5

»н о Рис. 2

о.5

юн

ю

1

н

н

а

г

ю

ю

1

1

н

н

б

д

о

1

1

в

е

H9 0.8 0.4

0

H10 0.8 0.4

8 = 8 = 0.1

0.5 1 ю

а

8 = 8 = 0.1

H10 %

--Н10Ч

.........Н10Б 1 V

0

0.5

0

0.5

-п -2п -3п -4п

Ф9

8 = 8 = 0.1

н т9, - Н9 27

-HH9' 8 = 8 = 0.1

— Т9Ч , - H9Ч

18 -90 -9

0.5

Т9Б , - H9Б AW

1 -H9 ®в

0

0.5

б

Рис. 3 1

-п -2п -3п -4п

юн Ф10

юн т10' - Н1'0 27 18 9 0 -9

*10, --H10' = 8 = °.1

— _Т10Ч , - Hi04/il " Т10Б , - ^ШБ/''1

Т

0.5

б

Рис. 4

Из рисунков видно, что ФНЧ с АЧХ, равномерно приближающей идеальную, имеет

большую крутизну АЧХ на границе полосы пропускания (максимальное значение |йИ (1)|),

большую крутизну ФЧХ в полосе пропускания и обеспечивает значительно большее затухание в полосе задерживания по сравнению с фильтрами Чебышева и Баттерворта.

Список литературы

1. Червинский Е. Н. Равноволновое приближение на отрезке идеальной амплитудно-частотной характеристики // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 2. С. 9-22.

2. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Сов. радио, 1964. 695 с.

3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. М.: Физматгиз, 1962. Т. 2. 807 с.

4. Джонсон Д., Джонсон Дж., Мур Г. Справочник по активным фильтрам. М.: Энергоатомиздат. 1983. 128 с. E. N. Chervinsky

Closed joint-stock company "SIMETA" (Saint-Petersburg)

Transfer functions of low-pass filters with equiwave at the section amplitude-frequency characteristics

The simplified technique of design of n-order low-pass filters transfer functions (TF) with equiwave at the section amplitude-frequency characteristics (AFC) is worked out. The TF-coefficients are determined as a result of the system solution of 2n nonlinear equations, which connect unknown coefficients and coordinates of extremes of TF module with AFC values and its derivatives at given points. In order to localize the initial meanings of unknowns, AFC with arbitrary characteristic slope on the pass band border is synthesized by the method of successive approaches and TF is determined by means of conversion to complex frequency. Calculated meanings are used as initial for the determination TF-parameters for other meanings of AFC slope. As examples, low-pass filters TF up to tenth order with various meanings of transfer unevenness at pass band are calculated. An accuracy in calculation of parameters is determined by error of system solution. The comparison offilter characteristics with equiwave at the section AFC with Chebyshev and Butterworth filter characteristics is performed.

Amplitude-frequency characteristic of even approximation, frequency response unevenness, transfer function, extremes of transfer function module, band employment coefficient, es-characteristics

Статья поступила в редакцию 28 сентября 2010 г.

ю

1

н

в

1

а

в