Синтез фильтров с улучшенными частотными свойствами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.372.54

Е. Н. Червинский

ЗАО "СИМЕТА" (Санкт-Петербург)

| Синтез фильтров с улучшенными частотными свойствами

На основе синтезированных фильтров нижних частот с улучшенными свойствами методом преобразования частоты определены передаточные функции фильтров верхних частот и полосовых фильтров до четвертого и восьмого порядков соответственно. Рассчитаны амплитудно- и фазочастотные характеристики фильтров. Оценены неравномерности амплитудно-частотных характеристик в полосе пропускания; проведено сравнение затухания в полосе задерживания синтезированных фильтров с фильтрами Чебышева. Приведены примеры реализации звеньев при каскадном построении фильтров.

Передаточная функция, фильтр нижних частот, неравномерность амплитудно-частотной характеристики, затухание в полосе задерживания, метод преобразования частоты, фильтр верхних частот, полосовой фильтр

В основе синтеза электрических фильтров по передаточной функции цепи лежит задача аппроксимации идеальной (нереализуемой) частотной зависимости квадрата модуля передаточной функции отношением двух четных полиномов [1]. Для фильтра нижних частот (ФНЧ) с частотой среза юс аппроксимируемая функция имеет вид

2 ( ) I1, О<юн <1; 1 (Юн ) = {о, Юн > 1, (1)

где юн = ю/юс - безразмерная нормированная частота; ю - текущая частота.

Наиболее распространенными аппроксимациями функции (1) с различной степенью приближения, определяемой порядком фильтра п, являются функции вида И^б (®н) =

= 1 (1 + ) - аппроксимация Баттерворта и ипч (юн ) = 1/ 1 + в2Тп2 (юн ) (в - коэффициент неравномерности; Тп (юн) - полином Чебышева п-го порядка) - чебышевская аппроксимация. Функция иПб (®н ), определяющая квадрат модуля передаточной функции синтезируемого ФНЧ п-го порядка, отклоняется от единицы в пределах полосы пропускания фильтра уже при юн > 0 и имеет сравнительно малую крутизну в полосе задерживания при юн > 1. Чебышевское приближение обеспечивает большее затухание в полосе задерживания, однако это является следствием равноволнового колебательного характера аппроксимирующей функции в полосе пропускания при максимальной величине отклонения

от единицы до 1/ (1 + в2). С уменьшением в величина неравномерности функции иПч (юн)

уменьшается, но при этом расширяется полоса пропускания фильтра.

Фильтры нижних частот. Улучшенные частотные характеристики фильтров могут быть получены, если в качестве аппроксимируемой принять не идеальную частотную зависимость (1), а функцию вида [2]:

18

© Червинский Е. Н., 2008

2 ( ч I1, kl * пъ; (2)

Уп К) = i 2/ 2n . . (2)

ъ2/шНп, |®н| ^ ПЬ,

тождественно равную единице в промежутке [-пЪ,пЪ] и принимающую значение 0 < Ъ2 < 1 при |юн| = 1.

В работе [2] представлена методика определения функции нП (юн) = 1/Q2n (®н), аппроксимирующей (2) в виде отношения полиномов нулевой степени (единицы) и степени 2п. Полином Q2n (юн) степени 2п наименее отклоняется в среднеквадратическом смысле от функции /П (юн) = 1 уП (юн), равной единице в заданном интервале и монотонно

возрастающей вне этого интервала. Первые четыре полинома при Ъ = 1/V2 и интервале аппроксимации [-1, 1] имеют вид

Q2 (юн) = 0.763^2 + 0.884; Q4 (юн) = 1.648®Н - 0.947®Н +1 059;

Q6 (Юн) = 4.107юН - 4.253^4 + 1.044©Н + 0.965 ;

Q8 (юн) = 10.678юН - 16.078юН + 7.362^4 - 1.039©^ +1 022 .

В [2] на основе аппроксимирующих функций HП (юн) синтезированы передаточные функции Hn (sH) ФНЧ до четвертого порядка (sH = у'юн - мнимая часть нормированной комплексной частоты) (см. табл. 1, где приведены коэффициенты Hn (sH) для п = 1...4, а также амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) НпНф (юн ) = |Hn (sH )| и фазочастотные характеристики (ФЧХ) фпнф (®н ) = arg Hn (sH )). Hn (sH ) представлены в виде произведений

передаточных функций звеньев первого и второго порядков с общим коэффициентом K в числителе и коэффициентами A, B, C, F, G в знаменателе. Численные значения коэффициентов

получены при синтезе Hn (sH ), модули которых приближаются к Ъ = 1/V2 при юн = 1.

Неравномерность АЧХ, имеющих колебательный характер в полосе пропускания фильтра, измеряемую в децибелах, определим как 5n = 20lg (Hn^jHn^ ), где Hn^ и

Hn - максимальное и минимальное значения модуля передаточной функции фильтра

"min

n-го порядка соответственно.

На рис. 1 семейство АЧХ синтезированных ФНЧ НпНф (юн ), n = 1... 4, дано в сравнении с семейством АЧХ ФНЧ Чебышева Нпц (юн) . Для n = 2, 3, 4 неравномерности АЧХ синтезированных ФНЧ равны, соответственно: 62 = 20lg(1.041/0.972) = 0.597 дБ, 63 = = 20lg(1.034/0.980) = 0.465 дБ, S4 = 20lg(1.028/0.985) = 0.371 дБ . С ростом п величина неравномерности синтезированных АЧХ уменьшается. Размах пульсаций для фильтров

Таблица 1

n = 1; коэффициенты K = 1.145149; A = 1.076613

Н (¿и) Н1НФ ( тн ) Ф1НФ ( тн )

K Sh + A K + A2 - arctg-j-, 0 < юн

n = 2; коэффициенты K = 0.778977; B = 1.014159; C = 0.801522

H ( Sh ) H2НФ (тн ) Ф2НФ (тн)

K K BfflH (0, 0 < шн < 0.895;

sH + BSH + C Ж - Cf + (B®H )2 aiCt£ шН - C 13 0 896 <®н

n = 3 ; коэффициенты K = 0.493443; A = 0.576078; B = 0.561763; C = 0.841458

H3 ( ¿н ) Н3НФ (тн ) Ф3НФ ( тн )

K K юН - (AB + C) юн arctg н 2 н (A + B) юН - AC Í0, 0 <юн < 0.652; [л, 0.653 <юн

( ¿н + A) ( ¿Н + b¿h + C ) + A2) [(mi - C)2 + (B®h )2 ]

n = 4; коэффициенты! K = 0.306027; B = 0.363226; C = 0.884576; F = 0.911531; G = 0.349693

H4 ( sh ) H4НФ (тн ) Ф4НФ (тн )

K K (B + F) юН - (BG + CF) юн arctg . ~ - (C + BF + G) < + CG [0, 0 <юн < 0.481; -<¡n, 0.482 <юн < 1.154; [2л, 1.155 <юн

( sH + BSh + С)( SH + FSH + G) j[(- C)2 + (Bma)2 ] [(шН - G)2 + (Fшн )2 ]

Чебышева с модулями передаточных функций Ипц (юн) = у + в2Гп2 (юн) составляет

5пЧ = 201^1 + в2 . Ипц (юн) построены при условии 5пЧ = 5п в полосе пропускания, что достигается при значениях 82 = 0.384; 83 = 0.336 ; 84 = 0.299.

На рис. 2 представлены зависимости затухания (величины, обратной модулю передаточной функции) от частоты в полосе задерживания для синтезированных ФНЧ ап (юн ) = -201§ Ипнф (юн ) и для фильтров Чебышева апЧ (юн ) = -201§ Ипц (юн ) при

б

Рис. 3

одинаковых значениях неравномерности АЧХ в полосе пропускания. Из графиков следует, что при п > 1 затухание синтезированных фильтров в полосе задерживания превосходит затухание фильтров Чебышева во всем диапазоне изменения частоты.

Выражения для передаточных функций ФНЧ (см. табл. 1) свидетельствуют о физической реализуемости синтезированных ФНЧ.

Пример 1. На рис. 3 приведены схемы четырехполюсников, реализующих ФНЧ второго порядка. Передаточная функция цепи (рис. 3, а)

H2НФ (sh )- Кп

1/ swcflpCi

н^с^НФ

= Кп

(Юр/«с )2

Н П^®с£НФ+ r + ^нЮсОнФ П si + [юр/(юс0)]sH + (с ' ч2'

(3)

%шссНФ

'р/ н + (юр/®с

где Кп - коэффициент передачи элемента развязки; г, Снф , ¿нф - сопротивление, емкость и индуктивность низкочастотной цепи соответственно; Юр = 1/л/¿нфСнф и ( = ^¿НФ СНФ /г - резонансная частота и добротность последовательного контура соответственно.

Из сравнения выражений (3) и (5н) (табл. 1) следует, что в Я2нф ():

ю

р = л/Сюс; ( = \[С/В ; Кп (юр/юс )2 = КпС = К . Таким образом, юр/юс =4С « 0.895

есть нормированная резонансная частота контура, ( = 0.895/1.014 « 0.883 .

Из полученных соотношений могут быть определены значения элементов четырехполюсника. Задав значение юс и номинал одного элемента, например Снф , найдем остальные параметры:

г = В(СюсСнф); ¿нф = 1 (Сю?СНФ ); Кп = К/С. (4)

Например при юс = 105 (циклическая частота среза фильтра /с = 15 916 Гц) и

СНФ = 10-7 Ф : r « 127 Ом ; L

НФ

1.248 -10-3 Гн; Кп « 0.972.

Передаточная функция цепи (рис. 3, б, в схеме конденсатор контура зашунтирован омическим сопротивлением К)

/ / \2

К (1 + 5нюс КСНФ )

H2НФ (sh )" Кп

■ = Кп

( Юр/ Юс

(5)

¿НФ + К(1 + ^®сКСНФ ) п £ +[юр/(юс(')] 5н + (юр/(

где ( = К4ЬНф!Снф . Из сравнения (3) и (5) следует, что соотношения между резонансной частотой контура, добротностью, коэффициентом передачи и коэффициентами С, В, К остались теми же, что и для схемы на рис. 3, а (отличие заключается в определении добротности (), поэтому в схеме на рис. 3, б ¿нф = 1 (Сю2Снф ); Кп = К/С. Из со-

а

отношения Л2®2 =Юр/Q1 имеем Я = 1/(£юсСНФ ). При юс = 105 и СНФ = 10 7 Ф :

ЬНФ « 1.248 -10-3 Гн, Я « 98.6 Ом, Кп « 0.972.

Использовав ФНЧ в качестве прототипа, синтезируем передаточные функции фильтров верхних частот (ФВЧ) и полосовых фильтров (ПФ) с улучшенными частотными свойствами.

Фильтры верхних частот. Для синтеза искомых функций пременен метод преобразования частоты [3], [4]. В результате замены переменной 5н = у'юн на обратную величину по правилу

^н ^ У ^н (6)

получены выражения для передаточных функций ФВЧ Ип (), п = 1...4 (табл. 2, где

также приведены АЧХ ФВЧ ИпВФ (юн) = Ип (5-1) и их ФЧХ фпВФ (юн) )• АЧХ ФВЧ

представлены на рис. 4, на рис. 5 совмещены ФЧХ синтезированных ФНЧ и ФВЧ.

Таблица 2

n = 1

Н1 (s—1)

Н1ВФ ( тн )

Ф1ВФ ( тн )

K

— sh A н

s„+-

A

K

-i

A

-ffln

+ A

arctg-, 0 < юн

A®H

n = 2

H2 (s-1)

Н2ВФ(тн )

Ф2ВФ ( тн )

C н

„2 , B

sh + — sh + — н C н C

K, 2

C

0),

arctg-

Brn н

2 1

Шн" C 4 CfflH

B

7t, 0< шн < 1.116;

сшН-1 l0, L117^

n = 3

H3 (s-1)

H3ВФ (шн )

Ф3ВФ (®н )

K

A H

sH h—

. H A y

1 sH

С H

2 , B

SH H--SH н—

, н С н С

K „3

AC

:£DB

2 1 )2 í B

£0н —- I +1 —

C

V С

(AB + С) ®H-1 arctg-3---+

ACa>H - (A + B) юн n, 0 <юн < 1.532; 0, 1.533 <ю„

n = 4

H4 (s-1)

H4ВФ (тн )

Ф4ВФ ( тн )

K-

1 2 — sh С н

2 B 1 sh +—sh + —

С С

1 si G н

2 , F

sh н— Sh H— ч н G h G

K 4

CG

con

.2 1

Шн" С J

1

B

arctg

(BG + CF) юН - (B + F)

юи

CGmt - (C + BF + G) юН +1

2 1 f f F ^2 «и" ^ J

\2n, 0< ан< 0.866; + <¡n, 0.867 <юн < 2.076; 10, 2.077 < юн

1

2

2

1

1

2

1

1

1

x

X

2

2

X

X

1

НВФ 1

0.75 0.5 0.25

Ф4ВФ

Ф3ВФ

Ф1ВФ

0

-п -2п

0

юн

Рис. 4

Рис. 5

Пример 2. При снятии выходного напряжения с индуктивностей и замене элементов Снф и ¿Нф на СВф и ¿вф соответственно, схемы на рис. 3 преобразуются в ФВЧ второго порядка (рис. 6).

Передаточная функция цепи на рис. 6, а имеет вид

H2ВФ (sh )- Кп

SHm c LВФ

sH<ü c LB^ + r +1/ sH(ü cCi

К

н c ВФ

* 4 + [>/()] ^н + («р/«о )2

Из сравнения Н2 () в табл. 2 и (7) следует, что в последнем выражении юр =юс/4С, ( = 4¿ВФ СВФ/г = 4с/в и Кп = К/С, откуда

г = В/ ®ссвф ; ¿вф = С1 ®2 свф . (8)

При переходе от схемы ФНЧ к схеме ФВЧ с помощью преобразования (6) изменяются реактивные элементы схемы, неизменными остаются активное сопротивление и добротность цепи, определяемая коэффициентами С и В. Приравняв правые части выражений для г в (4) и (8), а также приняв равными добротности (, получим систему уравнений для определения соотношений между реактивными элементами схем:

[в/сю сснф = В/ю ссвф ;

[v¿нф снф /г = 4¿вф свф/г, откуда

(7)

Свф _ ССнф ; Lr^ - CL

НФ ^ВФ

-нф •

(9)

Для юс = 105 и r = 127 Ом находим: СВФ « 0.802-10 7 Ф , ЬВФ = 10 3 Гн,

Кп « 0.972.

Для ФВЧ второго порядка (рис. 6, б) в соответствии с формулами (9) получим:

СВФ « 0.802 -10 7 Ф , LВФ = 10 3 Гн, R « 98.6 Ом, Кп « 0.972.

-ВФ

Ф

Л

0

1

2

1

2

Ю

н

б

а

Результаты вычислений по формулам (9) совпадают с результатами вычислений по известным формулам [3], следующим из преобразования (6): СВф = ]/юр ¿нф ; ¿ВФ = 1 юр Снф .

Пример 3. Определим параметры ФВЧ четвертого порядка с частотой среза юс и результирующей АЧХ в виде произведения АЧХ звеньев второго порядка:

H 4ВФ (ю н ) =

V 2

Ап1ю н

C0t

^ \2 Юр1

V ®c J

+

Юр1 «cñ.

ак

Кп2юН

0),

^ ^2 юр2

V ®c J

+

(О

р2

®cQ2

(Ох:

Использовав в качестве двух звеньев цепи (схема на рис. 6, б) резонансные частоты, добротности и величины элементов звеньев можно определить по формулам, полученным в примере 2, подставив в них коэффициенты, приведенные в табл. 1 для п = 4. Положим 5

юс = 10

СВФ1 = СВФ2 = 10-7 Ф, тогда юр1 =юс/4С »1.063-105, 01=л/с/в « 2.589, ¿ВФ1 = 1 юр1СвФ1«0.885-10-3 Гн, К = ¿ВФ1/Свф1 « 243.5 Ом; юр2 =Фс/4о «1.691 105,

02 = 40^ « 0.649, ¿ВФ2 = 1 юррСвФ2 - 0.350 • 10-3 Гн, Кр = 02^¿ВФр/Свфр - 38.4 Ом .

Выбрав коэффициенты передачи звеньев равными Кп1 = Кпр =^К/СО « 0.995, получим АЧХ каждого звена в отдельности:

Н 2ВФ1 («и ) = 0.995-

со.

юН -1/

+ [1/ (R^^c)]

22 С0Н

H2ВФ2 (Юн ) = 0.995

со,.

22 н

>И - 1 (¿ВФ2СВФ2«р )] + [V(К2СВФ2«с )] На рис. 7 приведены АЧХ звеньев и результирующая АЧХ Н4ВФ (юн) = Нрвф1 (юн)х хНрВфр (юн ) . Последняя зависимость полностью повторяет кривую Н4ВФ (юн ) на рис. 4. На рис. 8 приведены ФЧХ звеньев, полученные из следующих уравнений:

tg Ф2ВФ1 (шн ) =

( шс LВФü/ R1) шс -^ВФ1СВФ1шн -1

tg Ф2ВФ2 (шн ) =

( «с ^Ф2/ R2 ) ш2^ВФ2СВФ2шн -1

ВФ

1 -

юЕ

Рис. 7

ФВФ

3п 2

Ф4ВФ

Рис. 8

2

2

2

2

л

0

1

2

0

1

2

ю

н

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 4

и результирующая ФЧХ ф4Вф (Юн ) = Ф2ВФ1 (юн ) + Ф2ВФ2 (юн ) (ср. с кривой ф4Вф (®н ) на рис. 5).

Полосовые фильтры. Для синтеза ПФ с центральной частотой ю0 и полосой пропускания ювх - юнж (ювх и юнж - верхняя и нижняя частоты среза ПФ соответственно) выполним преобразование частоты:

^н ^е (1/ sH), (10)

где 9 = ®о/(ювх -юнж) - отношение, характеризующее избирательность ПФ; s^ = ую^ - преобразованная мнимая часть нормированной комплексной частоты; ю^ = ю/юо - угловая частота, нормированная относительно центральной частоты юо .

Перейдя в (10) к угловой частоте: юн (о>Н -1¡ЮН), определим область изменения

Н в зависимости от юн, решив уравнение юН - (юн/0) юН -1 = 0. Решение для положи

тельной полуоси ю>Н имеет вид ю^12 = ±юн/ (29) + /(492)

1 +1, юн > 0.

Среднее геометрическое этих частот фУщ = 1 дает нормированную центральную

частоту, а их разность составляет ®Н2 -®ín = ®н/®. При юн = 1: юН2 -®н1 = V® = ®í

н1

н2

н1

-"н вх

-®н нж, где о>Н вх = ювх/ю0 и юН ^ = юнж/ю0 - нормированные частоты среза ПФ.

На основании (10) передаточная функция ФНЧ первого порядка Н1 (¿н) преобразуется в передаточную функцию ПФ второго порядка:

( К 9) 4

Hi () ^ H 2 (4 ) =

+ (A 0) sH +1

(11)

Преобразование передаточной функции ФНЧ второго порядка H2 (sH) дает переда-

точную функцию ПФ четвертого порядка: H2 ( Sh ) ^ H4 ( sH ) =

(К92),

¿4 + ( В/ 0) + (2 + С/ 92) + ( В/ 9) 4 +1' которая может быть представлена в виде произведения двух передаточных функций звеньев второго порядка [4]:

H4 (sH ) =

[41/9) sH

sH2 + (V DE ) sH+1/ D2

[41/9) sH

где E = (1/ B 0.5

C + 492 W(C + 492 )2 - (2B9)2

(12)

sH2 + (DE) sH+ D2 '

добротности звеньев;

D = 0.5

be e+^¡ ( be e)2 - 4

По аналогии, передаточные функции ПФ шестого и восьмого порядков запишутся с учетом выражений (11) и (12) следующим образом:

Н ( sH ) =

Нб (sH ) =

4К

е Sh

3К г

-SH

0 н

sH2 + —

н DE

л /

H DE D2 )

sH

D )

4К ,

3К г

е

sH2 +—sH+1 н 0 H

3К r

е

sH2 + DsH+d2

E

(13)

л

sH2 + 1

ML

sh+ TT2

r

M2 )

4К ,

л

e

2 M 2 sH2+ — sH+ M L

f

4К ,

e

sH2 + Ds'^+ D2

V E

, (14)

где L = (1/ F 0.5

FL/0 + ^(FL¡0)2 - 4

О + 402 + >/(а + 4е2)^^(2рё)2. ; М = 0.5

Пример 4. На рис. 9, а приведена схема звена второго порядка в составе ПФ, содержащего последовательно соединенные индуктивность ¿Пф , емкость Спф и резистор

Гпф , к которому подключен усилитель с коэффициентом усиления Ку. Передаточная

функция такого звена

*>0гмспф _ г [юр/(ю0(пф )] 4

Н2ПФ (sH )- Ку —

y 2 2 г

sH ®0¿ПФСПФ + s>0гПФСПФ +1

= К

y2

+ ®р/ ( ®0(ПФ ) 4 + ( ®р/Ю0 )

где Юр = 14ъПфсПФ и 0ПФ ¿ПФ СПФ /гПФ - резонансная частота и добротность

контура соответственно.

Передаточная функция другого звена второго порядка (рис. 9, б) имеет вид

Н ( . ч _ К _*>0¿ПФ__ К [Юр/(Ю00ПФ )] <

Н 2 ПФ К у—^--

У í2 2 г

s> 0 %ФСПФ + s> 0%Ф +

У '2

sH + ®р/ 00ПФ ) sH + p/®0 )

2

а его добротность 0Пф = Rn ф/ ФС

-пф/^ПФ •

Запишем выражение для модуля передаточной функции ^-го звена второго порядка в общем виде:

Н2? («H ) = Кy

СО

p?

\ «00? )

СО'

У2

JH

юн- (ю р?/ю 0)

+

2 «2 Юн

Ю (ю 00 ) _

Определив нормированную резонансную частоту ^-го звена как ю^ = Ю0 , из последнего выражения найдем нормированные частоты среза звена:

< нж £ = ( Юр!=/ ®0 ) ( - + )/ У40р +1) ; < вх £ = ( Юр^ ®0 ) ( У2( У40р + 1) ,

1

1

1

2

б

а

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 4

при которых модуль передаточной функции Н^ (юН ) = Н^ (юН )/V2 (Н2^ (юН ) = = Н2 (Юр^Юо) = Ky - максимальное значение АЧХ звена второго порядка).

Добротность звена второго порядка Q^ = ®рн^ /(®Н вх^ - ЮН нж^ ). Так, для ПФ второго порядка с передаточной функцией (11) имеем Юр/®о = 1. Добротность ПФ второго порядка <2пф = еПф = V (< вх- < нж) = e/A.

Для ю0 = 105, 0 = 2, СПФ = 10-7Ф : ЬПФ = \¡ю£сПФ = l/(1010-10-7) = 1 10-3 Гн, <ПФ = <ПФ = 077 - 1.858, юн ^ - 0.7664, ю^ - 1.3047, Гпф = V W Спф / <ПФ = = 100/1.858 « 53.8 Ом , ЯПФ = QnW%Ф/СПФ ~ 1 858-100 = 185.8 Ом, Ky = K¡ А « «1.145^1 0766 «1.064.

В табл. 3 приведены АЧХ H2^ (юН), нормированные резонансные частоты юрн^, добротности Q^, частоты среза юН нж^, ю^ вх^ и ФЧХ ф2^ (юН), ^ = 1 — 4, звеньев второго

Таблица 3

n = 2; £ = 1

Параметр

®Н НЖ ®Н вх Q

1 - А/ ( 20) Ц [ А/ ( 20)]2 +1 А/ ( 20) + >/ [ А/ ( 20)]2 +1 0/ А

H2 (®Н) Ф2(шН)

" К (0/ A) "[ (А/ 0) шН " - arctg шН2 -1

L 0 У(шН2 -1)2 + (А/0)2 (шН2) __ Н 1 г(А/ 0)шНJ

n = 4; £ = 1

Параметр

юрн1 ®н нж1 ®Н вх1 <1

1/ D (V D) _ -V (2 E ) 41/( 2E )jf +1] (V D ) [v ( 2E ) + ^[1/ ( 2E )J2 +1 E

H21 к) Ф21(шН)

/ V y¡KE2 У (1/ de ) шН - arctg шН2 -1 D2

0 ) \/(шН2 -1D2)2 + (1/ DE)2 шН2 (1 de ) шН

n = 4; £ = 2

Параметр

юрн2 ®н нж2 ®н вх2 <2

D D [-1/ ( 2E ) ^[V ( 2E )J2 + 1J D [1/ ( 2E ) + ^[1/ ( 2E )J2 +1 E

H22 К) Ф22(шН)

л/ KE2 1 " ( DE ) шН " - arctg шН2 - D2

V 0 ) J(шН2 - D2 )2 + (DE)2 шН2 __ г ( de ) шН J

Продолжение табл. 3

n = 6; £, = 1

Параметр

юрн1 ®н нж1 ®н вх1 01

1D (1D ) -V (2E ) (2E )]2 + (V D ) _1/ (2E ) + J)/ (2E )]2 +1 E

H 21 ( ) Ф21(®H)

- 3KE2 (0/A) Г (V DE ) шН - arctg ®H2 -1D2

0 J (шН2-1D2)2 + (1/ DE)2 шН2 (1 de )

n = 6; ^ = 2

Параметр

юрн2 ®н нж2 ®н вх2 02

1 - AA (20) + 3 [ A/ (20)]2 +1 AA (20 ) + 3 [ AA (20)]2 +1 0/ A

H22 () Ф22 ()

3ke 2 (e/ A ) Г (A/e) шН " - arctg юн -1

L e (шН2-1)2 + (A/ e)2 (шн2) _ _ (A/ 0) ®н _

n = 6; £, = 3

Параметр

юрн3 ®н нж3 ®н вх3 03

D D |_-1/ (2E ) ^[V (2E )]2 +1 D |_1/ (2E ) + (2E )]2 +1 E

H 23) Ф23 ()

3KE2 (0/A) Г (DE) шн " - arctg ®H2 - D2

L 0 (шн2 -D2)2 + (DE)2 шн2 _ _(D/E)_

n = 8; Е,= 1

Параметр

юрн1 ®н нж1 ®н вх1 01

1D (1D ) -1/ (2E ) ф (2E )]2 + (V D ) V ( 2E ) + ( 2E )]2 +1 E

H 21 ( ) Ф21(®H)

4 KE 212 |f [V(DE)]©H ' - arctg <| -1 D2

v 0 J] l(шн2 -VD2 )2 +[1/(DE)]2 шн2 ( de )>;,

n = 8; £, = 2

Параметр

юрн2 ®н нж2 ®н вх2 02

1/M (VM) -V (2! ) + )/[1/ (2! )]2 + (VM) V ( 2! ) + ^[1/ ( 2! )f +1 !

H 22) Ф22 ()

/ 4 KE 212 |[ [1/(ML)>H ' - arctg <| иН2 -1 m 2

0 J| l(- 1/m2)2 +[1/(M!)]2 иН2 1 (M!

Окончание табл. 3

n = 8; £ = 3

Параметр

®рн3 ®н нж3 ®н вх3 Оз

M M -1/ ( 2L ) + ^1/ ( 2L)]2 +1 M 1/ ( 2L ) + ( 2L )]2 +1 L

H23 (®Н ) Ф23(®н)

4 KE2L2 " (M/L ) ®Н - arctg ®Н - m 2

v 9 ^ (®н2 - M2 )2 + (M/L )2 ®н2 _ (M/L) ®Н _

n = 8; £ = 4

Параметр

®рн4 t ®н нж4 t н вх4 Q4

D D -1/ ( 2E ) + ( 2E )f +1 D 1/ ( 2E ) + ( 2E )]2 +1 E

H24(®н) Ф24(®н)

4 KE 2L2 Г (DE) ®н " - arctg ®н2 - D2

1 9 J W (®н2 - D2 )2 + (DE )2 ®н2 _ _ (DE) ®н ]

порядка, образующих при последовательном соединении в соответствии с выражениями (11), (12)—(14) ПФ второго - восьмого порядков.

Результирующие АЧХ и ФЧХ ПФ могут быть получены перемножением Н 2^ (юН )

и сложением ф2? (о>Н) составляющих це-

пей второго порядка соответственно.

Результирующие АЧХ и ФЧХ ПФ могут быть получены перемножением Н 2^ (юН )

и сложением ф2^ (о>Н) составляющих цепей

второго порядка соответственно. АЧХ четвертого порядка

И4 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0

1.0

Рис. 10

H 4 К ) =

(К е2)

СО'

2

юн4 - (2+с/ е2) шн2 + ij + (В е) (юн3 -<)

Графики Н4 (юН) для трех значений 6 приведены на рис. 10. ФЧХ ПФ четвертого порядка как функция ю^ и 6 в неявной форме:

tg Ф4 (юН) =

(В/6)(юН3 -юн)

юН4 - (2 + с/62) юН2 +1 АЧХ и ФЧХ ПФ шестого и восьмого порядков имеют вид:

(15)

(16)

2

Нб (шн) = (к/е3)шн3/ (шн6 - [з+(AB+с)/е2](шн4 - <2)-1}

2

сон - СОн )- 1 + ,0.5

+

П0.5

;

tg^(ш) = шН6-[3 +(AB + с)/е2](шн4-шН2)-1 .

6 н [(a+в)/е](ш;5+шн)-[2(a+в)/е +ca¡е3]ш;3' н8 (<) = (к/ е4) </({ю8 - [4+(с+bf+g )/ е2 ] (<6+®Н2)+ -[6 + 2 (с + bf + g )/ е2 + CG¡ е4 ]юн4 +1} +

(17)

(18)

+

+ KB +

7 f

«н — оН

rV5 rV3

юн - юн

\0.5

tg Ф8 () =

[(в+f )/е] (юн7 - ) - [3 (в+f )/е+( bg+cf )/ е3 ] («н5 - «н3) шн8-[4+(с+bf+g )/ е2 ] (юн6 +юн2)+[6+2 (с+bf+g )/ е2+cg/ е4 ]«н4 +1

(19)

(20)

н

2 -

н22;

02 = 4.012

0 н

JH

Рис. 11

п —

-п —

-2п 30

Ф4

-^Г/ХЧ Ф2

0.5 0.75

1.25

н

Ф6

Ф8

Пример 5. На рис. 11 представлены графики АЧХ Нп (юН), п = 2; 4; 6; 8, для

0 = 2, полученные перемножением Н2^ (ю^).

На рис. 12 приведены графики фп (юН ) как

результат сложения функций ф2^ (о>Н) для

каждого значения п.

2

1

2

1

Ф

0

Результирующие кривые совпадают с кривыми АЧХ и ФЧХ, построенными по формулам (15)—(20). Как видно из графиков, в полосе пропускания синтезированные АЧХ имеют меньшую неравномерность, а ФЧХ - большую линейность по сравнению с теми же характеристиками фильтров Чебышева при равных полосах пропускания.

Библиографический список

1. Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. М.: Высш. шк, 1978. 208 с.

2. Червинский Е. Н. Об одном способе аппроксимации прямоугольной функции // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 3. С. 34-42.

3. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. шк, 2000. 464 с.

4. Джонсон Д., Джонсон Дж., Мур Г. Справочник по активным фильтрам. М.: Энергоатомиздат, 1983. 128 с. E. N. Chervinsky

Closed joint-stock company "SIMETA" (Saint-Petersburg) Synthesis of filters with improved frequency properties

The transfer functions of high-pass- and band-pass filters correspondingly to four- and eight-orders are determined by transform frequency method on the base of synthesizing low-pass filters with improved properties. Filters amplitude-frequency- and phase-response characteristics are calculated. The estimation of amplitude-frequency characteristics unevenness in pass-band and comparison of fading in attenuation band of synthesized filters and Chebyshev filters are completed. Examples of realization of sections with cascade construction offilters are presented.

Transfer function, low-pass filter, amplitude-frequency characteristic unevenness, fading in attenuation band, transform frequency method, high-pass filter, band-pass filter

Статья поступила в редакцию 24 марта 2008 г.