Об одном методе расчета передаточных функций инверсных фильтров нижних частот Текст научной статьи по специальности «Физика»

delta-functions of equal volume those are allocated at the vertexes of regular N-dimensional simplex.

Vector parameter, hyper-sphere, delta-function, correlation function, rotation matrix, Fisher information matrix, generalized frequency, potential accuracy, simplex, topology

Статья поступила в редакцию 21 декабря 2010 г.

УДК 621.372.54

Е. Н. Червинский

ЗАО "СИМЕТА" (Санкт-Петербург)

Об одном методе расчета передаточных функций инверсных фильтров нижних частот

Представлена методика расчета нормированной равноволновой на отрезке амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) фильтра нижних частот п-го порядка. Нормированная АЧХ фильтра-прототипа преобразуется в АЧХ инверсного фильтра нижних частот (ИФНЧ) с равноволновым затуханием в полосе задерживания при сохранении полосы пропускания фильтра. Расчет коэффициентов передаточной функции (ПФ) выполнен переходом к комплексной частоте. Полученные значения использованы в качестве начальных при определении коэффициентов ПФ для других значений минимального затухания на основе решения системы п + 1 нелинейных уравнений, связывающих искомые коэффициенты со значениями модуля ПФ и его производных в определенных точках частотной оси. В качестве примеров рассчитаны ПФ ИФНЧ порядков 2-10. Проведено сравнение равноволновых на отрезке А ЧХ с характеристиками ИФНЧ.

Нормированная амплитудно-частотная характеристика, инверсный фильтр нижних частот, передаточная функция, крутизна амплитудно-частотной характеристики, затухание в полосе задерживания

В работе [1] представлена методика расчета передаточных функций (ПФ) фильтров нижних частот (ФНЧ) с равноволновыми на отрезке амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ). Равноволновая АЧХ обеспечивает оптимальное соотношение неравномерности в полосе пропускания и крутизны в полосе задерживания. Оптимизация параметров осуществляется при неизменной частоте среза, определяемой по ослаблению модуля ПФ на 3 дБ. С уменьшением неравномерности крутизна ската АЧХ при переходе к полосе задерживания также уменьшается. Увеличение крутизны может быть достигнуто при переходе к инверсным фильтрам нижних частот (ИФНЧ).

Цель настоящей статьи - разработка методики расчета ПФ ИФНЧ порядка п с требуемым затуханием в полосе задерживания и неизменной полосой пропускания.

Пусть Нп () есть ПФ ФНЧ порядка п (= уюн - мнимая часть нормированной комплексной частоты рн =ан + уюн; юн = ю/юс, причем ю - текущая частота; юс - уг-

ловая частота среза) с АЧХ Hn (шн) = Ь/ £ V2i®H. Коэффициенты V2' связаны соотно-

i=0

шениями ^ v2/' = 2 и £ 2iV2i = g, где g - параметр, характеризующий крутизну частот-

i=0 i=1

16 © Червинский Е. Н., 2011

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2011. Вып. 5

ной характеристики в переходной области. В соответствии с общей методикой преобразования ФНЧ в ИФНЧ [2] квадрат модуля искомой ПФ определяется как

О О

Н (¿н)| = 1 -\НпИ ОАн)| , (1)

где \нпь (1/)| - модуль ПФ фильтра верхних частот (ФВЧ) Нпн (1/), полученный из Нп (¿Н ) преобразованием ¿н ^ 1/¿н.

Представим ПФ Нп (¿н ) ФНЧ с равноволновой на отрезке АЧХ и их модули Нп (юн ) = = |яп (¿н )| в виде произведений ПФ и АЧХ соответственно звеньев первого и второго порядков с общим коэффициентом К в числителе и коэффициентами Ъ, с в знаменателе:

п 2 1 ~ , ч п 2 1

Нп (¿н) = К П-2-; Нп к) = К П , , , п = 2, 4, ...;

' =1 ¿2 + Ъ>*н + с г ю2 _ с, )2 + ьр

-"и

К (п-1)/2 . К (п-1)/2

Нп (¿н) =- П -; Нп К) = , К „ П

1п\ н/ II 2 ' п\ н/ I—^-Т 11 I-^-

¿н + с0 /=1 ¿н + Ъ^н + сг К + г=1 _ с, )2 + ър

п = 3, 5, ... .

В качестве примеров в табл. 1 приведены коэффициенты К, Ъ, с, и координаты экстремумов модулей передаточных функций фильтров порядка п = 9, 10 для двух значе-

Таблица 1

И 5 1 ,--.тт юн/ Н юнН К с0 г Ъг сг

п = 9

34 0.0004 2 0.141311 3 0.290158 0.089423 0.529412 1 0.183863 0.918298

4 0.424183 5 0.545319 2 0.529412 0.820069

6 0.649885 1 0.134106 3 0.811106 0.511649

8 0.191202 9 0.835416 4 0.994969 0.364468

50 0.0191 2 0.162006 3 0.319089 0.031081 0.359998 1 0.125026 0.913154

4 0.466411 5 0.599691 2 0.359998 0.182400

6 0.1X4684 1 0.801961 3 0.551549 0.489228

8 0.816689 9 0.918180 4 0.616515 0.231416

п = 10

39 0.0002 3 0.265290 2 0.134298 0.061316 - 1 0.160446 0.981964

4 0.3891492 2 0.465631 0.848096

5 0.504611

6 0.601048 3 0.125238 0.631492

1 0.694538

8 0.164925 4 0.913853 0.414889

9 0.816418

10 0.841926 5 1.013014 0.281021

57 0.0114 3 0.289310 2 0.146489 0.019163 - 1 0.109118 0.918541

4 0.425121 2 0.318589 0.819261

5 0.550415

6 0.662150 3 0.496214 0.561551

1 0.151581

8 0.834358 4 0.625261 0.303841

9 0.890590

10 0.924893 5 0.693113 0.144513

ний g при каждом п. Раздельно приведены абсциссы локальных минимумов юн/

Ш1П

(I = 2, 4,..., п-1 для нечетных п; I = 3, 5, ..., п-1 для четных п) и максимумов ю™* (И = 3, 5, ..., п для нечетных п; И = 2, 4, ..., п для четных п) функции Нп (юн). Для каждого значения g указана неравномерность равноволновой АЧХ, выраженная в децибелах: 5 = 20^ Нп (юШйаХ )/Нп (©Ш/П) . Максимальные значения Нп (юн ) превышают 1.

При замене переменной на обратную величину получим выражения для ПФ ФВЧ Нпи () = Нп (1/). Максимальные значения АЧХ Йпн (юн ) = \Й„и ()| ФВЧ, прототипом которого является ФНЧ с равноволновой на отрезке частотной характеристикой, также превышают единицу. По условиям реализуемости квадрат модуля ПФ фильтра не должен принимать отрицательных значений в области положительных частот, поэтому Нп (юн ) не может быть непосредственно преобразована в характеристику ИФНЧ.

Нормированная равноволновая на отрезке АЧХ. Введем функцию Нпн (юн) =

/ I--п 2'

= 1/у1и2п (юн ) (и2п (юн) = X ии®н - образующий полином степени 2п), равномерно

I =0

отклоняющуюся на отрезке [0, ], < 1 от единицы в точках минимума и равную единице в точках максимума. Координаты экстремумов функции Н пн (юн) есть положительные корни &н]-, у = 1, 2, ..., п полинома и2п (юн) = юн X 2ш21®Н(1 -1), полученного диф-

г =1

ференцированием образующего полинома. Корень йн1 = 0 при всех п. Коэффициенты и21, г = 0, 1, ..., п и координаты экстремумов АЧХ йну, у = 2, 3, ..., п определяются в

результате решения системы 2п уравнений, связывающих искомые величины со значениями АЧХ и ее производных в заданных точках, с учетом дополнительных условий: и2п = 2 и и2п (О = g. После дифференцирования и элементарных преобразований система уравнений приводится к следующему виду: • при четном п :

и2п (Юну ) = 1, У = 2, 4,

и2п (Юну ) = и2п (0), ] = 3, 5,

и2 п н )

®н =юн/

0, у 2, 3,

п;

п -1;

п;

(2)

I иа- = 2;

г =0

п

I 2ги ;

г =1

при нечетном п:

и2п ( ЮН ) = 1 и2п (юН ) = и2п (юн2 ),

Щп (Юн )|, - = О,

1юн =юну

7 = 1, 3, 7 = 4, 6, 7 = 2, 3,

п;

, п -1; п;

(3)

Е иц= 2;

I=0 п

Е 2™ 21=8.

I=1

В качестве начальных значений (неизвестных при решении систем (2), (3)) для произвольного 8 принимаются коэффициенты образующего полинома и координаты экстремумов (ненормированной) равноволновой на отрезке АЧХ, синтезированной методом последовательных приближений [3]. Найденная совокупность параметров АЧХ является исходной при решении систем того же порядка с другими значениями 8. Точность определения неизвестных определяется погрешностью решения системы.

По определению Н пн (юн) есть нормированная равноволновая на отрезке АЧХ.

В табл. 2 приведены образующие полиномы и2п (юн), п = 9, 10 и координаты локальных минимумов ю^Г и максимумов ю™* функции Нпн (юн). Для каждого значения 8 ука-

заны неравномерности нормированной АЧХ 5н = -20 ^

Н п

( - шт ^

Люн/ )

и ненормированной

равноволновой на отрезке АЧХ 5 (см. [1] и табл. 1). При практически полном совпадении характеристик Нп (юн) и Нпн (юн) в полосе задерживания при равных 8 имеет место

Таблица 2

8 5 н/5 1 ~ шт ®н/ Н ~ шах ®нН и 2п

п = 9

2 0.147320 3 0.290164 1 + 0.011135®2 - 0.412536&Н + 5.884496®Н --42.046658®Н +168.764113ю|0 - 397.898190®Н2 + + 546.752601юН4 - 405.142088®Н + 125.087129а|,8

34 0.0004 4 0.424191 5 0.545329

0.0004 6 0.649898 7 0.734720

8 0.797218 9 0.835493

2 0.162061 3 0.319198 1 + 0.427300®Н -13.082360®4 +154.205425®1 --910.517323®1 + 3019.973631®Н -5883.846546®12 + + 6681.078184®14 - 4090.999074®1 +1043.760762®1*

50 0.0199 4 0.466636 5 0.599895

0.0197 6 0.714927 7 0.808237

8 0.876988 9 0.919093

2 0.171217 3 0.337232 1 +14.658307®^ - 402.065863®^ + 4245.915115®^ --22460.551321®1 + 66741.489535®10 -116496.969041®^ + + 118511.470660®Н -65013.531836®Н6 +14860.584445® Н

98 0.7038 4 0.493001 5 0.633790

0.6222 6 0.755321 7 0.853903

8 0.926539 9 0.971022

2 0.172806 3 0.340361 1 + 40.491400&1 -1090.32568Щ + 11303.434475®^ -- 58700.202559®\ +171236.032375®Ю - 293422.870653аН + + 293035.203329®]^ -157813.169689®!,6 + 35412.407003®Н8

130 1.7466 4 0.497574 5 0.639669

1.4914 6 0.762328 7 0.861823

8 0.935133 9 0.980029

2 0.173648 3 0.342020 1 + 81® 2 - 2160®Н + 22176&1 --114048®Н + 329472®Н - 559104®Н2 + + 552960®Н4 - 294912®Н + 65536®Н

162 3.0103 4 0.500000 5 0.642788

2.6014 6 0.766044 7 0.866025

8 0.939693 9 0.984808

Окончание табл. 2

8 8 н/8 1 ~ шт ®н/ Н ~ шах ®нН и 2п

п = 10

39 0.0002 3 0.265292 2 0.134299 1.000048 - 0.006512шН + 0.291579шН - 5.063874шН + + 44.659352шН - 226.217060шН° + 697.571680шН2 --1331.292795шН4 + 1535.354517шН6 -980.315569шН8 + + 266.018634шН°

4 0.389752

5 0.504616

6 0.607053

0.0002 7 0.694544

8 0.764932

9 0.816485

10 0.847934

57 0.0115 3 0.289424 2 0.146516 1.002650 - 0.302062шН +11.363347шН -165.810477шН + + 1228.629818шН - 5228.938626шН° + 13547.419935шН2 --21723.054685шН4 + 21049.197660шН6 - 11292.038159шН8 + + 2574.530599шН°

4 0.425206

5 0.550517

6 0.662273

0.0114 7 0.757722

8 0.834513

9 0.890755

10 0.925065

120 0.6874 3 0.305440 2 0.154624 1.171487-17.552654шН + 592.882325шН -7767.660662шН + + 51679.151315шН-197480.361040шН0 + 459391.555387шН2 --661398.729898шН4 + 575432.058826шН6 - 277170.427153шН8 + + 56739.912066шН°

4 0.448736

5 0.580982

6 0.698923

0.6091 7 0.799653

8 0.880694

9 0.940049

10 0.976257

160 1.7347 3 0.307786 2 0.155811 1.490966 - 49.490229шН + 1646.271429шН - 21241.219652шН + + 139174.876856шН - 523751.949854шН° + 1199888.843875шН2 --1701287.189783шН4 + 1457688.060947шН6 - 691470.571383шН8 + + 139402.876827шН0

4 0.452181

5 0.585443

6 0.704289

1.4835 7 0.805793

8 0.887456

9 0.947267

10 0.983753

200 3.0103 3 0.309017 2 0.156434 2 - 100шН + 3300шН - 42240шН + + 274560шН -1025024шН0 + 23296000^ -- 3276800шН4 + 2785280шН6 -1310720шН8 + + 262144шН0

4 0.453990

5 0.587785

6 0.707107

2.6051 7 0.809017

8 0.891007

9 0.951057

10 0.987688

неравенство 5 <5н, усиливающееся с ростом указанного параметра. Графики нормированных равноволновых на отрезке АЧХ приведены на рис. 1.

В отличие от АЧХ фильтров Чебышева НпЧ (юн) = 1/^1 + в2Тп2(юн) (0<е< 1 - коэффициент неравномерности; Тп (юн) - полином Чебышева п-го порядка) все характеристики Нпн (юн ) = 1/7и2п (о)н ), п > 2 на границе полосы пропускания юн = 1 равны 1/-\/2. В частном случае при 5н = 201^>/2 « 3.0103 дБ образующий полином и2п (юн) = 1 + Т^ (юн).

Н9н

0.75 0.5 0.25

^ ^ ^

98

130 162

п = 9

8 = 34

Н10н

0.75 0.5 0.25

0

п = 10

8 = 39

0.5

1.5

ю

н

Рис. 1

0

0.5

1.5

юн

Расчет ПФ ИФНЧ. Представим нормированную АЧХ в виде Нпн (юн) =

=№ + и 2п (юн ) , где и 2п (®н ) = {и0 } + Ё и21 ®Н', причем {щ} - дробная часть свобод-

ного члена и2п (юн). При нечетном п {щ} = 0 (см. табл. 2) и и%„ (юн) = X и2/®н . По

I =1

аналогии с инверсными фильтрами Чебышева [4] запишем квадрат модуля ПФ ИФНЧ: '2 + \/и2п (V®н )]. После преобразований квадрат модуля ПФ выражается

|Нп (>н )| = 1

через коэффициенты полинома и2п (юн ) следующим образом:

при четном п :

2 _ (и0 -1) ®Нп + и2®1(п 1} + " ■ + и2(п-1)ЮН + и2п .

\Нп (7'Юн ) _

и0&Н + и2®Нп 11 + — + и2( п-\)®Н + и2п

(4)

при нечетном п :

|Нп (7™н )| =

и2юН( п 1) + - + и2( п-1)ЮН + и2п ®Нп + и2®Н( п-1) + — + и2( п-1)ЮН + и2п

(5)

Разделив числитель и знаменатель на коэффициенты при старших членах и выполнив замену переменной юн = -, представим выражения (4), (5) как функции : • при четном п :

2п

„2( п-1)

Н ( * \ Н ( * \ К 2 + т2 + ••• + т2( п-1) + т2п К2 Щ Нп(*н)Нп(-*н) = К ~п-2оп-1-2-, К '

4п + п24 п " + ••■ + п2(п-1)4 + П2п и0

при нечетном п :

Нп ( ) Нп ( -) = К:

2( п-1)

+ •■• + т2( п-1)*н + т2п

2п , 2(п-1) , 2 ,

+ п2 + •■• + п2( и-1)*н + п2п

К2 = и

где коэффициенты числителя и знаменателя т21, щ1, / = 1, 2, п - вещественные положительные числа. Все нули числителя относительно переменной лежат на мнимой оси = 'юн, попарно комплексно сопряжены, каждый нуль имеет кратность 2. Нули

1

1

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2011. Вып. 5======================================

знаменателя также комплексно сопряжены с отрицательными и положительными вещественными частями при четных п и содержат дополнительно отрицательный и положительный нули на вещественной оси ан при нечетных п. В качестве нулей и полюсов передаточной функции Нп () примем половину положительных и отрицательных нулей числителя на мнимой оси ¿Н(* *+1) =±7юн/, * = 1, 3, ..., п-1 и все нули знаменателя, лежащие в левой полуплоскости переменной рн : при четном п рн(* *+1) = -стш- ± уюн|, 1 =1, 3 п-1; при нечетном п рно = -ан0; Рн(|, *+1) = -ан* ±7юн1, 1 =1 3, —, п-2

С учетом изложенного ПФ ИФНЧ Нп () и их модули Нп (юн) = |нп ()| запишем в виде произведений ПФ и АЧХ соответственно звеньев первого и второго порядков с коэффициентами а* в числителе и положительными коэффициентами Ь*, с* в знаменателе:

n 2 sH + а - . . n 2

Hn ( Sh )=K П 2 Н ' ; Hn (ШН) = K П

( 2 )2

i \»н _ ai)

'nVh/ 11 2 1 '^nvwh/ "h I -

' =1 Sh + bish + ci ; l(»н с. )2 + ^

2

n = 2, 4, ...;

®н - ci + bi ®h

(n-1)/2 „2 + K (n-DI2 Л »2 - а )

Hn (Sh ) = П 2 2 ■ Hn ( »h ) = П I 2

sh +с° ,-1 s„ + i,sH + ci + с2 i^ »h _ с )2 + j2»2

n = 3, 5, ...

(6)

где а ; Ь = 2ан; с =аН .

Коэффициенты К, Ь, с как решение системы уравнений. Функция Нп (юн) и ее производная принимают в определенных точках частотной оси юн известные значения. Из формулы (1) следует, что максимумы и минимумы нормированной АЧХ инвертируются в нули и максимумы АЧХ ИФНЧ с координатами ю^/ = 1 юнИаХ, (нИ* = 1(н7П соот-

-|2

•>/- max .У® н( n+2-2i).

ветственно. Поскольку H n (юн) = 0 при юш = *Ja (см. (6)), то ai =

(i = 1, 2, ..., n/2 при четном n; i = 1, 2, ..., (n-1)/2 при нечетном n), причем последний максимум АЧХ ФНЧ-прототипа пересчитывается в первый нуль АЧХ ИФНЧ. Максимальные значения АЧХ в полосе задерживания: Hn (ютх) = lim Hn (юн) = K при чет-

юн ^да

n n

Нп (<Т) — ^1-Нп,и (0)//т) при нечетном п; минимальное затухание ИФНЧ (в децибелах) в этой же полосе: 5 = -20^К при четном п и 5 = -10^ 1 -Н(ю///1П)

при

нечетном п. Системы п + 1 уравнений для определения коэффициентов К, Ь*, с* имеют вид: 22

при четном п:

п1 2 а

к п ^ = V, 2=1с2

П 2

к П

2=м

(1 - а )2

(1 - с )2+ь2

= Ш

П 2

п

2 =1

й

( ¡С )2 - а

= 1,

И = 2, 4, ..., п-2;

2

(7)

+

т 2(-шах\2

ь2 I ®ни ;

йш ,

й

п/ 2

кп

2 =1

п 12

кп

2=1

(®н - а)

(- с ) + ^Н

(®н - а2 )

4^2'

Юн =1

ЦШн - С ) + Ь1®Н

= 2, И = 2, 4.....п-2;

т^шах Юн =®нй

при нечетном п: К (п-1) 2 а

- П ^ = 1 с0 2=1 с2

К

(п-1)/ 2

П

1

(1 - а )2

(1 - с,- )2 + ь2

=

(п-1) 2

П

.(—ша? )2 - а-

(-шах) .2 2 =1 1^2/ с2 ' 1

1

(—шах )2 (п-1)/2

П

— /

+$ (—т*)

(—7х )2 - а

(8)

/-шах) ,2 /=1 1®нИ ) +с2 1 1

И = 4, 6.....п - 1;

й

йф н

й

К

(п-1)12

П

(т^шах\ ^ , т2(—шах)

.1юни ; -с\ +ь2 I®ни ;

■8 .

йн

К

(п-1) 2

П

(—2 - а2 )

(—Н- с ) + ь2—Н

(—2 - а2 )

юн =1

№+с2 1=1 ц—2 - с )2+ь2—н

2, И 2, 4,

и- 1.

„ ттшах Юн =®нИ

Передаточные функции при минимальных 8 рассчитываются по ранее изложенной методике. Все последующие решения используют предыдущие в качестве начальных значений

2

2

2

2

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2011. Вып. 5======================================

неизвестных системы уравнений. В табл. 3 приведены коэффициенты К, Ц, с, передаточных функций ИФНЧ порядков 2-10, удовлетворяющие системам уравнений (7), (8), для различный значений g и коэффициентов а,, заданных координатами максимумов ФНЧ-прото-

типа. Частоты, на которых обеспечивается максимальное (юН/) и минимальное (Юи*) подавление помех, являются функциями крутизны АЧХ в переходной области. Минимальное затухание ИФНЧ в полосе задерживания связано с неравномерностью нормированной равно-

волновой на отрезке АЧХ фильтра-прототипа соотношением 5 = -10^(1 -^10 ).

Графики АЧХ для выборочных значений g для п = 9, 10 представлены на рис. 2. На

рис. 3 даны зависимости юН/(g), / = 1, 3, ... и юшах(g), И = 2, 4, ... для тех же значений п.

Таблица 3

g 5 / И —шах ®нИ К с0 г а, с,

п = 2

4.001 72.041 1 63.253458 - - 0.000250 - 1 4001 1.414213 1.000250

4.1 32.044 1 6.403124 - - 0.024992 - 1 41 1.413556 1.024680

4.2 26.031 1 4.582576 - - 0.049938 - 1 21 1.411610 1.048690

4.3 22.523 1 3.785939 - - 0.074790 - 1 14.33333 1.408414 1.071989

4.4 20.043 1 3.316625 - - 0.099504 - 1 11 1.404016 1.094541

п = 3

6.01 86.366 1 20.024984 2 34.684290 0.002500 1.001667 1 401 0.999167 1.000832

6.5 35.898 1 3.000000 2 5.196152 0.125000 1.083422 1 9 0.958422 1.038376

7.0 27.332 1 2.236068 2 3.872983 0.250000 1.167328 1 5 0.917328 1.070822

7.5 22.480 1 1.914854 2 3.316625 0.375000 1.252079 1 3.666667 0.877079 1.098173

8.0 19.138 1 1.732051 2 3.000000 0.500000 1.337944 1 3 0.837944 1.121123

п = 4

8.08 86.105 1 7.710952 2 10.074844 0.000050 - 1 59.458773 0.760154 1.002841

3 18.615883 2 346.551118 1.860828 1.017430

9 43.194 1 2.362455 2 3.086696 0.006923 - 1 5.581193 0.701884 1.031705

3 5.703471 2 32.529577 2.000913 1.218268

10 32.129 1 1.803005 2 2.355740 0.024747 - 1 3.250828 0.646190 1.055582

3 4.352839 2 18.947211 2.134119 1.444025

11 15.994 1 1.574802 2 2.057578 0.050156 - 1 2.480001 0.597213 1.073796

3 3.801908 2 14.454502 2.248223 1.674390

12 21.844 1 1.448372 2 1.892390 0.080873 - 1 2.097783 0.553887 1.087776

3 3.496680 2 12.226773 2.344197 1.906938

п = 5

11 60.090 1 2.523921 2 2.967047 0.011878 1.100000 1 6.370176 0.571317 1.016852

3 4.083789 4 7.767829 2 16.677336 1.659440 1.128150

13 38.205 1 1.645375 2 1.934254 0.096216 1.300073 1 2.707259 0.494663 1.040553

3 2.662273 4 5.063944 2 7.087696 1.698519 1.364742

15 28.903 1 1.409958 2 1.657505 0.240728 1.500677 1 1.987981 0.434855 1.055892

3 2.281360 4 4.339404 2 5.204602 1.694805 1.571880

17 23.230 1 1.298565 2 1.526555 0.426727 1.702688 1 1.686271 0.386987 1.066151

3 2.101122 4 3.996572 2 4.414715 1.662948 1.749952

19 19.276 1 1.233771 2 1.450385 0.641512 1.907101 1 1.522191 0.347753 1.073080

3 1.996283 4 3.797157 2 3.985148 1.613342 1.901571

п = 6

14 60.816 1 2.009935 2 2.241792 0.000910 - 1 4.039840 0.451719 1.018094

3 2.745623 2 7.538444 1.397571 1.152938

4 3.882897

5 7.501181 3 56.287714 2.200600 1.328972

Продолжение табл. 3

8 5 1 ®Н/ И тгшах ®нй К с2 2 а2 с

п = 6

1 1.461499 2 1.632292 1 2.135979 2.378281 1.234769

17 39.782 3 1.996444 2.212254 2 3.985791 1.332533 1.334898

4 2.823399

5 5.454388 3 29.752346 2.563925 1.882254

1 1.293738 2 1.442977 1 1.673758 2.324354 1.244711

22 32.285 3 1.767279 2.231313 2 3.123276 1.247537 1.472758

6 2.499312

5 4.828296 3 23.312447 2.877755 2.483626

1 1.212652 2 1.352537 1 1.472525 2.283455 1.252955

23 24.292 3 1.656513 2.262429 2 2.744236 1.158754 1.572542

4 2.342664

5 4.525678 3 22.481766 3.142512 3.121973

1 1.165381 2 1.299814 1 1.358114 2.251222 1.254935

26 19.928 3 1.591942 2.121266 2 2.534274 1.273166 1.649622

4 2.251344

5 4.349262 3 18.916282 3.362138 3.781273

п = 7

1 1.631923 2 1.765863 1 2.663128 2.353252 1.219952

18 57196 3 2.234952 4 2.551747 2.215381 1285716 2 4.141221 1.145846 1.181441

5 3.666853 6 7.149835 3 13.445812 2.263132 1.472283

1 1.292729 2 1.398847 1 1.671148 2.279585 1.232158

23 36.952 3 1.612226 4 2.221392 2.125321 1.642984 2 2.598565 1.224888 1.324211

5 2.924735 6 5.663815 3 8.437487 2.242965 2.245127

1 1.184232 2 1.281227 1 1.421932 2.232925 1.238452

28 27.353 3 1.476464 4 1.851427 2.346922 2.2211318 2 2.179946 2.879561 1.411636

5 2.662496 6 5.187584 3 7.278242 2.323252 2.557879

1 1.131826 2 1.224714 1 1.282985 2.196248 1.241918

33 21.447 3 1.411339 4 1.769763 2.656242 2.362814 2 1.991877 2.774787 1.468289

5 2.543145 6 4.958766 3 6.467585 2.285111 2.996381

1 1.121712 2 1.192147 1 1.213764 2.172154 1.243782

38 17.363 3 1.373829 4 1.722723 1.228226 2.732227 2 1.887353 2.687882 1.525988

5 2.475519 6 4.826925 3 6.128195 2.219728 3.363221

п = 8

1 1.699318 2 1.823987 1 2.887683 2.316479 1.213892

3 2.224483 2 4.217951 1.222237 1.125213

22 72.3X9 4 2.357222 2.222325

5 2.999922 3 8.999523 1.771169 1.331349

6 4.355212

7 8.543251 4 72.983717 2.422562 1.529738

1 1.293529 2 1.373181 1 1.673164 2.245922 1.224217

3 1.525797 2 2.328258 2.846228 1.237274

26 43.838 4 1.794148 2.226428

5 2.283517 3 5.214452 1.793867 1.752972

6 3.315153

7 6.522926 4 42.287793 3.222252 2.485521

1 1.177222 2 1.249712 1 1.385826 2.222772 1.229352

3 1.388625 2 1.928224 2.722765 1.321241

32 32.139 4 1.632827 2.224722

5 2.278194 3 4.318891 1.726722 2.277161

6 3.217272

7 5.918197 4 35.225251 3.521668 3.591485

Продолжение табл. 3

8 5 1 ^2 ®н/ И —шах ®нй К с2 2 а2 с

п = 8

38 25.142 1 1.123719 2 1.192934 2.255319 - 1 1.262745 2.169389 1.232175

3 1.325517 2 1.756996 2.626419 1.342383

4 1.558643

5 1.983777 3 3.935371 1.622773 2.322142

6 2.879998

7 5.649319 4 31.914822 3.962227 4.822246

44 22.384 1 1.293751 2 1.161122 2.295673 - 1 1.196292 2.146227 1.233758

3 1.292168 2 1.664533 2.552155 1.365752

4 1.517277

5 1.932873 3 3.728269 1.528487 2.522194

6 2.823192

7 5.498662 4 32.235262 4.322914 6.278947

п = 9

26 62.612 1 1.427182 2 1.474742 2.211624 1.444423 1 1.982162 2.244266 1.215951

3 1.622189 4 1.829239 2 2.562624 2.795922 1.149672

5 2.155928 6 2.771628 3 4.648228 1.527418 1.442233

7 4.251822 8 7.982528 4 16.417246 2.428567 1.851135

34 42.247 1 1.196899 2 1.254363 2.125521 1.888962 1 1.432567 2.187933 1.222179

3 1.361263 4 1.538723 2 1.852493 2.645545 1.219411

5 1.833755 6 2.357432 3 3.362659 1.424121 1.731186

7 3.446333 8 6.787952 4 11.877229 2.729952 2.743862

42 29.779 1 1.123738 2 1.177689 2.323241 2.334244 1 1.262787 2.152531 1.225192

3 1.277868 4 1.444652 2 1.632946 2.538252 1.256427

5 1.721667 6 2.213332 3 2.964136 1.262245 1.919767

7 3.235675 8 6.373236 4 12.469593 2.885332 3.583653

52 23.397 1 1.288229 2 1.142266 2.653682 2.782224 1 1.183828 2.128171 1.226779

3 1.237261 4 1.398744 2 1.532815 2.459372 1.278262

5 1.666958 6 2.142999 3 2.778748 1.125982 2.244729

7 3.132856 8 6.172521 4 9.814784 2.923322 4.327598

58 18.978 1 1.267442 2 1.118688 1.271228 3.235598 1 1.139428 2.112297 1.227588

3 1.213848 4 1.372274 2 1.473426 2.399197 1.291642

5 1.635413 6 2.122446 3 2.674574 1.228734 2.132331

7 3.273572 8 6.253751 4 9.446834 2.884424 4.965864

п = 12

32 63.876 1 1.358364 2 1.412684 2.222642 - 1 1.845154 2.211458 1.213784

3 1.525758 2 2.267328 2.683594 1.129321

4 1.658359

5 1.897366 3 3.599999 1.325412 1.384623

6 2.282535

7 2.955217 4 8.733329 2.125428 1.789287

8 4.341642

9 8.576375 5 73.554221 2.875141 2.183256

39 43.188 1 1.179338 2 1.224762 2.226928 - 1 1.392837 2.163389 1.218365

3 1.327326 2 1.729249 2.549221 1.179112

4 1.439794

5 1.647321 3 2.713622 1.148435 1.583562

6 1.981727

7 2.565732 4 6.582981 2.222642 2.412327

8 3.769432

9 7.446245 5 55.443582 3.624818 3.558576

Окончание табл. 3

g 5 / ®Н/ И —шах ®нИ К с0 г а, ь, с,

п = 10

1 1.113685 2 1.156580 1 1.240293 0.133022 1.020619

3 1.234529 2 1.524062 0.455893 1.205286

4 1.359642

48 32.506 5 1.555597 0.023698 3 2.419882 1.004004 1.704216

6 1.871386

7 2.422899 4 5.870441 2.158726 2.907975

8 3.559588

9 7.031528 5 49.442382 4.246941 5.160958

1 1.081006 2 1.122643 1 1.168573 0.112070 1.021841

3 1.198304 2 1.435932 0.388491 1.220564

4 1.319746

57 25.779 5 1.509951 0.051407 3 2.279952 0.882914 1.780985

6 1.816474

7 2.351804 4 5.530981 2.057009 3.292927

8 3.455139

9 6.825201 5 46.583363 4.797128 6.927686

1 1.061998 2 1.102903 1 1.127840 0.096687 1.022500

3 1.177234 2 1.385880 0.337580 1.230152

4 1.296540

66 21.091 5 1.483402 0.088200 3 2.200480 0.783122 1.832205

6 1.784535

7 2.310452 4 5.338189 1.932660 3.588426

8 3.394387

9 6.705193 5 44.959613 5.256106 8.803869

Рис. 3

Передаточные функции ИФНЧ в соответствии с выражением (6) не имеют нулей в правой полуплоскости переменной рн, поэтому их фазочастотная фп (юн ) = arg Hn (sH ) и

амплитудно-частотная H n (юн) характеристики связаны зависимостью [4]:

_ ( ) 2шн ® lnlHn (%)|

Фп (Юн) = ~Г J %2 2 d

Групповое время запаздывания узкополосного сигнала (задержка) в полосе пропускания определяется абсолютной величиной наклона фазовой характеристики:

Тгрп (®н) = -dФп (®н )/dюн • (9)

H9, H9

0.75 0.5 0.25

0

H9, H9

0.75 0.5 0.25

0.5

п = 9 g = 34

тгр9= Ф9,

9 H9

1.5

п = 9 g = 50

0

9 H9

тгр9, Ф9.

п = 9 g = 34

п = 9 g = 50

0.5

1.5

3

H10 = H10

0.75 0.5 0.25

0

H10> H10

0.75 0.5 0.25

0

0.5

0.5

п = 10

g = 39

1.5

п = 10

g=57

1.5

тгр10, ф 10 тгр10

тгр10, ф 10 тгр10

"н

Рис. 4

п = 10

g = 39

3

п = 10

g=57

т

1

0

1

2

3

ю

ю

н

н

Т

1

0

1

2

ю

ю

н

н

1

0

1

2

ю

ю

н

н

0

1

2

3

1

ю

н

На рис. 4 представлены зависимости Hn (юн), фи (юн), тГр„ (юн) при n = 9, 10 в сравнении с характеристиками Hn (юн ), фn (юн ), тГрП (юн) ФНЧ с равноволновой на отрезке АЧХ (см. табл. 1). Из графиков видно, что при равных значениях g ИФНЧ обеспечивает большую крутизну АЧХ в переходной области, меньший наклон фазочастотной характеристики и, следовательно, меньшую задержку сигнала. Поскольку фп (юн) есть функция нормированной частоты, групповое время запаздывания является безразмерной величиной. Для получения зависимости Trpn (ю) в единицах времени необходимо в (9) перейти от юн к

переменной ю при конкретном значении юс. Соотношения между значениями Trpn (ю) на различных частотах определяются общей зависимостью "тГр„ (юн) при тех же коэффициентах передаточной функции.

Список литературы

1. Червинский Е. Н. Передаточные функции фильтров нижних частот с равноволновыми на отрезке амплитудно-частотными характеристиками // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2011. Вып. 4. С. 3-12.

2. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Расчет и реализация. М.: Мир, 1982. 592 с.

3. Червинский Е. Н. Равноволновое приближение на отрезке идеальной амплитудно-частотной характеристики // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 2. С. 9-22.

4. Джонсон Д., Джонсон Дж., Мур Г. Справочник по активным фильтрам. М.: Энергоатомиздат, 1983. 128 с.

5. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Сов. радио, 1964. 695 с.

E. N. Chervinsky

Closed JSC "SIMETA" (Saint-Petersburg)

About one of the method of calculation of inverse low-pass filters transfer functions

The method of calculation of normalized equiwave on the section amplitude-frequency characteristic (AFC) of n-order low-pass filter is suggested. The normalized AFC of filter-prototype is transformed at AFC of inverse low-pass filter (ILPF) with equiwave fading in attenuation band by conservation of pass band. Calculation of transfer functions (TF) coefficients is fulfilled by means of conversion to complex frequency. Calculated meanings are used as initial ones in determination of TF coefficients for another meanings of minimal fading on the base of solution of n + 1 nonlinear equations system. The system equations put in touch sought for coefficients with meanings of TF module and its derivatives in certain points of frequency axis. As examples the TF of orders 2-10 inverse low-pass filters are calculated. The comparison of equiwave on the section AFR with ILPF characteristics is performed.

Normalized amplitude-frequency characteristic, inverse low-pass filter, transfer function, amplitude-frequency response slope, fading in attenuation band

Статья поступила в редакцию 11 января 2011 г.